文档内容
第 03 讲 相似三角形的判定（1）
课程标准 学习目标
①相似三角形的判定：三边定理
②相似三角形的判定：两边夹角 1. 掌握相似三角形的判定方法并能够熟练的判定三角形相似。
定理
知识点01 相似三角形的判定——三边定理
1. 相似三角形的判定：三边定理：
（1）文字语言：三边 成比例 的两个三角形相似。
（2）数学语言：∵
∴
【即学即练1】
1．△ABC的三边长分别为6、8、12，△A B C 的三边长分别为2、3、2.5，△A B C 的三边长分别为6、
1 1 1 2 2 2
3、4，则△ABC与 △ A B C 相似．
2 2 2
【分析】应用两三角形相似的判定定理，三边对应成比例，解题即可．
【解答】解：∵6：2＝3，8：2.5＝3.2，12：3＝4，三边不对应成比例，
∴△ABC与△A B C 不相似；
1 1 1
∵6：3＝2，8：4＝2，12：6＝2，三边对应成比例，
∴△ABC与△A B C 相似．
2 2 2故答案为：△A B C ．
2 2 2
【即学即练2】
2．如图，在方格纸上有△A B C 和△A B C ，这两个三角形是否相似？如果相似，△A B C 与△A B C 的
1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2
周长比和面积比分别是多少？
【 分 析 】 由 勾 股 定 理 求 出 A B ＝ 2 ， B C ＝ 2 ， A B ＝ ， B C ＝ ， 证 出
1 1 1 1 2 2 2 2
，由三边成比例的两个三角形相似即可得出△A B C ∽△A B C ，由相似三角
1 1 1 2 2 2
形的性质可得出答案．
【解答】解：△A B C ∽△A B C ．
1 1 1 2 2 2
由题意得：A C ＝4，A C ＝2，
1 1 2 2
由勾股定理得：A B ＝ ＝2 ，B C ＝ ＝2 ，
1 1 1 1
A B ＝ ＝ ，B C ＝ ＝ ，
2 2 2 2
∴ ＝2， ＝2， ，
∴ ，
∴△A B C ∽△A B C ．
1 1 1 2 2 2
∴△A B C 与△A B C 的周长比是2，△A B C 与△A B C 的面积比是22＝4．
1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2
知识点02 相似三角形的判定——两边夹角定理
1. 相似三角形的判定“两边夹角定理”：
（1）文字语言：两个三角形的两组对应边的 比 相等且这两组对应边的
夹角 相等的两个三角形相似。。
（2）数学语言：∵ 且
∴
【即学即练1】如图，AB•AE＝AD•AC，且∠1＝∠2，求证：△ABC∽△ADE．
【分析】由已知条件得到：∠BAC＝∠DAE， ＝ ．则由“两边及夹角法”证得结论．
【解答】证明：如图，∵AB•AE＝AD•AC，
∴ ＝ ．
又∵∠1＝∠2，
∴∠2+∠BAE＝∠1+∠BAE，即∠BAC＝∠DAE，
∴△ABC∽△ADE．
【即学即练2】
4．如图，D是△ABC的边BC上的一点，AB＝2，BD＝1，DC＝3，求证：△ABD∽△CBA．
【分析】先根据BD＝1，DC＝3，求出BC的长，再根据∠B＝∠B， ＝ 即可得出结论．
【解答】证明：∵BD＝1，DC＝3，
∴BC＝BD+CD＝1+3＝4，
∵ ＝ ，
∴ ＝ ，
∵∠B为公共角，
∴△ABD∽△CBA．题型01 用三边定理判定三角形相似
【典例 1】如图所示，小正方形的边长均为 1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC 相似的是
（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据网格中的数据求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形
相似判断即可．
【解答】解：根据题意得：AB＝ ＝ ，AC＝2，BC＝ ＝ ，
∴BC：AC：AB＝1： ： ，
A、三边之比为1： ： ，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；
B、三边之比 ： ：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
C、三边之比为1： ：2 ，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
D、三边之比为2： ： ，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．
故选：A．
【变式1】如图，在三角形纸片ABC中，AB＝6，BC＝8，AC＝4．沿虚线剪下的涂色部分的三角形与
△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案即可．
【解答】解：在三角形纸片ABC中，AB＝6，BC＝8，AC＝4．
A、∵ ＝ ＝ ，对应边 ＝ ＝ ， ≠ ，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；
B、∵ ＝ ，对应边 ＝ ，即： ＝ ，∠C＝∠C，
故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，故此选项正确；
C、∵ ＝ ，对应边 ＝ ＝ ， ≠ ，
故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；
D、∵ ＝ ＝ ，
＝ ， ≠ ，
故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；
故选：B．
【变式 2】网格图中每个方格都是边长为 1 的正方形．若 A，B，C，D，E，F 都是格点，试说明
△ABC∽△DEF．
【分析】利用图形与勾股定理可以推知图中两个三角形的三条对应边成比例，由此可以证得
△ABC∽△DEF．
【解答】证明：∵AC＝ ，BC＝ ＝ ，AB＝4，DF＝ ＝2 ，EF＝
＝2 ，ED＝8，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
∴△ABC∽△DEF．
【变式3】如图，点O是△ABC外的一点，分别在射线OA，OB，OC上取一点A′，B′，C′，使得
，连接A′B′，B′C′，C′A′，所得△A′B′C′与△ABC是否相似？证
明你的结论．【分析】反复利用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似这一定理可证明这两三角形三边对应成
比例即可证得结论．
【解答】解：△A′B′C′∽△ABC．
证明：由已知 ，∠AOC＝∠A′OC′
∴△AOC∽△A′OC′，
∴ ，同理 ．
∴ ．
∴△A′B′C′∽△ABC．
题型02 用两边夹角定理判定三角形相似
【典例1】如图，下列四个三角形中，与△ABC相似的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】△ABC是等腰三角形，底角是75°，则顶角是30°，结合各选项是否符合相似的条件即可．
【解答】解：∵由图可知，AB＝AC＝6，∠B＝75°，
∴∠C＝75°，∠A＝30°，
A、三角形各角的度数分别为75°，52.5°，52.5°，
B、三角形各角的度数都是60°，
C、三角形各角的度数分别为75°，30°，75°，
D、三角形各角的度数分别为40°，70°，70°，
∴只有C选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等，故选：C．
【变式1】如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，当 ＝ 时，△AEF∽△BCE．
【分析】根据正方形的性质和已知条件可得：∠A＝∠B＝90°和 ＝ ，进而根据相似三角形的性质可
得△AEF∽△BCE时 的值．
【解答】解：∵在正方形ABCD中，若E为AB的中点，
∴∠A＝∠B＝90°， ＝ ，
∵△AEF∽△BCE，
∴ ＝ ＝ ．
∴ ＝ ．
故答案为： ．
【变式2】如图，已知∠BAC＝∠EAD，AB＝24，AC＝48，AE＝17，AD＝34，求证：△ABC∽△AED．
【分析】根据两边成比例夹角相等两三角形相似证明即可．
【解答】证明：∵AB＝24，AC＝48，AE＝17，AD＝34，
∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
∵∠BAC＝∠EAD，
∴△BAC∽△EAD．
【变式3】如图，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC＝ 13 5 °，AC＝ 2 ；
（2）判断：△ABC与△DEF是否相似，并证明你的结论．
【分析】（1）先在 Rt△BCG 中根据等腰直角三角形的性质求出∠GBC 的度数，再根据∠ABC＝
∠GBC+∠ABG即可得出∠ABC的度数；在Rt△ACH中利用勾股定理即可求出AC的长；
（2）根据相似三角形的判定定理，夹角相等，对应边成比例即可证明△ABC与△DEF相似．
【解答】解：（1）∵△BCG是等腰直角三角形，
∴∠GBC＝45°，
∵∠ABG＝90°，
∴∠ABC＝∠GBC+∠ABG＝90°+45°＝135°；
∵在Rt△AHC中，AH＝4，CH＝2，
∴AC＝ ＝ ＝2 ．
故答案为：135， ；
（2）△ABC∽△DEF．
证明：∵在4×4的正方形方格中，
∠ABC＝∠DEF＝135°，
∴∠ABC＝∠DEF．
∵AB＝2，BC＝2 ，FE＝2，DE＝ ，
∴ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ．
∴ ＝ ，
∴△ABC∽△DEF．1．如图所示，网格中相似的两个三角形是（ ）
A．①与③ B．②与③ C．①与④ D．③与④
【分析】分别根据网格的特点求得各三角形三边的长，根据三边对应成比例判断两三角形相似即可．
【解答】解：根据网格的特点，①号三角形的三边长分别为 ，2， ＝ ，
②号三角形的三边长分别为：2， ＝ ，3，
③号三角形的三边长分别为：2， ＝2 ， ＝2 ，
④号三角形的三边长分别为： ，3， ＝ ，
∴ ，
∴①与③相似，故A选项正确，符合题意；
其他选项不正确，
故选：A．
2．如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，则图中共有（ ）对相似三角形
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】先根据DE∥BC、DF∥AC可知△ADE∽△ABC，△DBF∽△ABC，即△ADE∽△DBF，再根
据DE∥BC、DF∥AC可得∠DEF＝∠EFC，∠DFE＝∠FEC，即△DEF∽△CFE，然后统计即可解答．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵DF∥AC，
∴△DBF∽△ABC，
∵△ADE∽△ABC，
∴△ADE∽△DBF，
∵DE∥BC，DF∥AC，∴∠DEF＝∠EFC，∠DFE＝∠FEC，
∴△DEF∽△CFE，
综上所述，图中共有4对相似三角形．
故选：C．
3．若△ABC的三边长分别是3，5，6，则与△ABC相似的△DEF的边可能是（ ）
A．DE＝6，DF＝8，EF＝10 B．DE＝9，EF＝18，DF＝25
C．DE＝1，EF＝2，DF＝2.5 D．DE＝6，DF＝10，EF＝12
【分析】根据相似三角形的判定定理对四个选项进行逐一判断即可．
【解答】解：A∵△ABC的三边长分别是3，5，6，DE＝6，DF＝8，EF＝10，
∴ ，
∴此选项不符合题意．
B∵△ABC的三边长分别是3，5，6，DE＝9，EF＝18，DF＝25，
∴ ，
∴此选项不符合题意．
C∵△ABC的三边长分别是3，5，6，DE＝1，EF＝2，DF＝2.5，
∴ ，
∴此选项不符合题意．
D∵△ABC的三边长分别是3，5，6，DE＝6，DF＝10，EF＝12，
∴ ，
∴此选项符合题意．
故选：D．
4．如图，△ABC中，∠A＝76°，AB＝8，AC＝6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剩下的阴影三角形与原
三角根的不相似的是（ ）
A． B．C． D．
【分析】根据相似三角形的判定逐项进行分析即可．
【解答】解：A、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似，
故本选项不符合题意；
B、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似，
故本选项不符合题意；
C、两三角形的两对应边成比例，但夹角不相等，故两三角形不相似，
故本选项符合题意；
D、阴影三角形中，∠A的两边分别为6﹣2＝4，8﹣5＝3，则两三角形对应边成比例且夹角相等，故两
三角形相似，
故本选项不符合题意．
故选：C．
5．如图，D为△ABC的边AB上一点，若AB＝15，AC＝10，AD＝3，在AC边上取一点E，使△ADE与
△ABC相似，则AE的长为（ ）
A．2 B．3.5 C．2或4.5 D．2或3.5
【分析】由于△ADE与△ABC相似，但其对应角不能确定，所以应分两种情况进行讨论．
【解答】解：如图，
①当∠AED＝∠B时， ，即 ，
解得：AE＝4.5；
②当∠ADE＝∠B时， ，即 ，
解得：AE＝2．
故选：C．
6．下列说法中，正确的有（ ）①三边成比例的两个三角形相似；
②两个等边三角形相似；
③两个直角三角形相似．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】根据相似三角形的判定定理逐个判断即可．
【解答】解：①三边成比例的两个三角形相似，即①正确；
②两个等边三角形，则所有内角都为60°，两个等边三角形相似，即②正确；
③两组直角三角形只能确定一组对角相等，不能判定三角形相似，即③错误；
综上，正确的有①②．
故选：C．
7．已知△ABC的三边长分别为1， ， ，△DEF的三边长分别 ， ， ，则△ABC与△DEF
（ ）
A．一定相似 B．一定不相似
C．不一定相似 D．无法判定是否相似
【分析】求出三组对应边的比，看看是否相等即可作出判断．
【解答】解：因为 ＝ ＝ ＝ ，
所以△ABC与△DEF一定相似．
故选：A．
8．如图，在正方形网格中，A、B、C、D、M、N都是格点，从A、B、C、D四个格点中选取三个构成一
个与△AMN相似的三角形，某同学得到两个三角形：①△ABC；②△ABD．关于这两个三角形，下列
判断正确的是（ ）
A．只有①是 B．只有②是
C．①和②都是 D．①和②都不是
【分析】根据勾股定理求出△ABD、△ABC、△AMN的三边长，再根据相似三角形的对应边成比例判断
即可．
【解答】解：由图形可知，AM＝2，AN＝4，MN＝ ，
AB＝ ，
AC＝ ＝3 ，
BC＝ ，
AD＝ ，
BD＝ ＝4 ，
∵ ，
∴△ABD∽△MAN；
∵ ，
∴△ABC与△AMN不相似，
故选：B．
9．在△ABC中，AB＝4，BC＝6，AC＝5，D为BC边一点且BD＝4，若过点D作直线截△ABC，使截得
的三角形与原三角形相似，则满足条件的直线有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
【分析】过点D作AC的平行线，作AB的平行线，都可使截得的三角形与原三角形相似；过 D作
∠BDF＝∠A，作∠CDH＝∠A，再由公共角相等，都可使截得的三角形与原三角形相似．
【解答】解：作DE∥AC交AB于E，作DG∥AB交AC于G，如图所示：
则△BDE∽△BCA，△CDG∽△CBA；
过D作∠BDF＝∠A，交AB于F，
∵∠B＝∠B，
∴△BDF∽△BAC；
此时点F在BA的延长线上，故舍去，
同理：作∠CDH＝∠A，交AC于H，则△CDH∽△CAB；
∴满足这样条件的直线可作3条；
故选：B．
10．如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q
从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么经过（ ）秒时△QBP与
△ABC相似．
A．2秒 B．4秒 C．2或0.8秒 D．2或4秒
【分析】设经过t秒时，△QBP与△ABC相似，则AP＝t cm，利用两组对应边的比相等且夹角对应相
等的两个三角形相似进行分类讨论：当 时，△BPQ∽△BAC，即 ；当 时，
△BPQ∽△BCA，即 ＝ ，然后解方程即可求出答案．
【解答】解：设经过t秒时，△QBP与△ABC相似，
则AP＝t cm，BP＝（4﹣t）cm，BQ＝2t cm，
∵∠PBQ＝∠ABC，
∴当 时，△BPQ∽△BAC，
即 ，
解得：t＝2，
当 时，△BPQ∽△BCA，
即 ，
解得：t＝0.8，
综上所述：经过0.8s或2s秒时，△QBP与△ABC相似，
故选：C．11．如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC的点，要使△ADE∽△ACB，需添加一个条件是 ∠ ADE ＝
∠ C 或∠ AED ＝∠ B 或 .（只要写一个条件）
【分析】由∠A是公共角，根据相似三角形的判定方法，即可得要使△ADE∽△ACB，可添加：∠ADE
＝∠ACB或∠AED＝∠ABC或 等．
【解答】解：∵∠A是公共角，
∴要使△ADE∽△ACB，可添加：∠ADE＝∠ACB或∠AED＝∠ABC或 等．
故答案为：如∠ADE＝∠ACB或∠AED＝∠ABC或 等（此题答案不唯一）．
12．△ABC的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的△DEF，其最长边为12，则△DEF的周长是
27 ．
【分析】设△DEF其余两边长为x，y，得出比例式 ＝ ＝ ，求出x、y的值，再求出答案即可．
【解答】解：设△DEF其余两边长为x，y，
则 ＝ ＝ ，
解得：x＝6，y＝9，
所以△DEF的周长是6+9+12＝27，
故答案为：27．
13．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，且AB＝4，AC＝6．当AD＝ 9 时，△ABC∽△ACD．
【分析】根据两组对应边成比例，且夹角相等的两个三角形相似，进行求解即可．
【解答】解：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
当 时，△ABC∽△ACD，
即：AC2＝AB•AD，
∵AB＝4，AC＝6，∴62＝4AD，
∴AD＝9；
故答案为：9．
14．如图所示，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，P是AC的中点，过 P点的直线交 AB于点Q，若以A、
P、Q为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形相似，则AQ的长为 4 或 ．
【分析】分△AQP∽△ABC和△AQP∽△ACB两种情况，列出比例式，计算即可．
【解答】解：∵点P是AC的中点，
∴AP＝ AC＝3，
当△AQP∽△ABC时， ，即 ，
解得，AQ＝4，
当△AQP∽△ACB时， ，即 ，
解得，AQ＝ ，
故答案为：4或 ．
15．如图，在△ABC中，AC＝5，AB＝7，BC＝8，D是AC的中点，E是BC上的一个动点，当△CDE与
△CAB相似时，则DE的长是 或 ．
【分析】分两种情况，当△CDE∽△CAB时，推出DE：AB＝CD：CA，代入有关数据，求出DE长，
当△CDE∽△CBA时，得到DE：AB＝CD：CB，代入有关数求出DE长，于是得到答案．
【解答】解：当△CDE∽△CAB时，∴DE：AB＝CD：CA，
∵D是AC中点，
∴CD：CA＝1：2，
∴DE：AB＝1：2，
∵AB＝7，
∴DE＝ ，
当△CDE∽△CBA时，
∴DE：AB＝CD：CB，
∵D是AC中点，
∴CD＝ CA＝ ，
∴DE：7＝ ：8，
∴DE＝ ，
∴DE＝ 或 ．
故答案为： 或 ．
16．如图，已知线段AB与CD交于点O，OA＝4，OD＝3，OC＝8，OB＝6，求证：△AOC∽△DOB．
【分析】由已知条件证得 ，由相似三角形的判定可得出结论．
【解答】证明：∵OA＝4，OD＝3，OC＝8，OB＝6，
∴ ， ，
∴ ，
∵∠AOC＝∠BOD，
∴△AOC∽△DOB．
17．求证：三边成比例的两个三角形相似．
如 图 ： 已 知 在 △ ABC 和 △ A′ B′ C′ 中 ， ， 求 证 ：
△ABC∽△A′B′C′．【分析】在线段 AB（或它的延长线）上截取 AD＝A′B′，得出△ADE∽△ABC，再证明
△ADE≌△A′B′C′（SSS），进而得出答案．
【解答】证明：在线段AB（或它的延长线）上截取AD＝A′B′，过点D作DE∥BC，交AC于点E，
如图：
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ＝ ＝ ，
∵ ，AD＝A′B′，
∴ ＝ ， ＝ ，
∴DE＝B′C′，AE＝A′C′，
在△ADE和△A′B′C′中
，
∴△ADE≌△A′B′C′（SSS），
∴△ABC∽△A'B'C'．
18．如图，在△ABC中，AB＝4cm，BC＝8cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为1cm/s，动点Q从
点B开始沿BC边运动，速度为2cm/s，如果P、Q两动点同时运动，那么经过多少秒时，以B、Q、P
为顶点的三角形与△ABC相似．
【分析】设运动的时间为 t 秒，则 AP＝t cm，BQ＝2tcm，BP＝（4﹣t）cm，再分两种情况：当△BPQ∽△BAC时，当△BQP∽△BAC时，分别利用相似三角形的性质求解即可．
【解答】解：设运动的时间为t秒，
∵AB＝4cm，BC＝8cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为1cm/s，动点Q从点B开始沿BC边运
动，速度为2cm/s，
∴AP＝t cm，BQ＝2tcm，BP＝（4﹣t）cm，
当△BPQ∽△BAC时，
∴ ，即 ，
解得：t＝2；
当△BQP∽△BAC时，
∴ ，即 ，
解得： ；
综上所述，当2秒或 秒时，以B、Q、P为顶点的三角形与△ABC相似．
19．如图，在平面直角坐标系中，点 A（1，0），点B在y轴正半轴，点C在x轴的负半轴上，且满足
．
（1）求点B、C的坐标；
（2）在BC上是若存在一点P，使△COP∽△CAB？若存在，请求出OP的长；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用绝对值和二次根式非负性列式继而求出 ，OC＝2，再根据点所处象限的位置
即可得到坐标；
（2）利用勾股定理求得AB＝2，再作OP∥AB，交BC于点P，得到△COP∽△CAB，利用相似三角形
性质即可得到答案．
【解答】（1）解：∵ ，
又∵|OB﹣ |≥0， ≥0，
∴ ， ，
∴ ，OC＝2，
∵点B在y轴正半轴，点C在x轴的负半轴，
∴ ；
（2）解：在BC上存在一点P，使△COP∽△CAB，∵在Rt△BOA中，∠BOA＝90°， ，OA＝1，
根据勾股定理得： ，
作OP∥AB，交BC于点P，
∴△COP∽△CAB，
∴ ，
∴ ．
