易错点17极坐标和参数方程（解析版）_2.2025数学总复习_赠品通用版（老高考）复习资料_专项复习_备战2023年高考数学考试易错题（全国通用）

易错点 17 极坐标和参数方程 易错点1.极坐标 1．极坐标与直角坐标的互化： ①互化条件：（1）极点与原点重合；（2）极轴与 轴正方向重合；（3）取相 同的单位长度。 ②互化公式：设 是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是 ，极坐标是 ，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表： 点 直角坐标 极坐标 互化公式 说明：若把直角坐标化为极坐标，求极角 时，应注意判断点 所在的象限 （即角 的终边的位置），以便正确地求出角 ； 利用两种坐标的互化，可以 把不熟悉的问题转化为熟悉的问题。 易错点2.参数方程 1.常见的参数方程: (1)直线的参数方程： 若直线过 ，α为直线的倾斜角，则直线的参数方程为(t为参数)，其中参 数t的几何意义是直线上定点P 到动点P的有向线段P P的数量，若动点P在 0 0 定点P 的上方，则t>0；若动点P在定点P 的下方，则t<0；若动点P与定点P 0 0 0 重合，则t＝0.定点P 到动点P的距离是|P P|＝|t|. 0 0 （2）圆的参数方程： {x=rcosθ¿¿¿¿ ①圆 的参数方程 （ 为参数） ②圆 的参数方程为： （ 为参数） （3）椭圆 的参数方程 （ 为参数）（4）抛物线 的参数方程 （ 为参数） 2.关于参数几点说明： （1）参数方程中参数可以是有物理意义，几何意义，也可以没有明显意义。 （2）同一曲线选取的参数不同，曲线的参数方程形式也不一样 （3）在实际问题中要确定参数的取值范围。 （4）利用直线参数方程中参数的几何意义解题中经常用到结论： 经过点 ，倾斜角为 的直线 的参数方程为 ( 为参 数)．若A，B为直线 上两点，其对应的参数分别为 t ，t ，线段AB的中点为 1 2 M，点M所对应的参数为t ，则以下结论在解题中经常用到： 0 ① ；② ；③ ；④ . 注意：直线的参数方程中，参数 的系数的平方和为1时， 才有几何意义，其 几何意义为：|t|是直线上任一点 到 的距离，即 . 1．已知圆 ： （ 为参数），与圆 关于直线 对称的圆的普通方 程是（ ）. A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆 ： （ 为参数）转化为普通方程为 ， 圆心为 ，半径为 ，设圆 关于直线 对称的圆的圆心为 ，半径为 ， 所以点 与点 关于 对称，所以 ，解得 ， 所以对称的圆的圆心为 ，半径为 ，故对称的圆的普通方程是 . 故选：A. 2．已知直线 ： (t为参数)与圆 ： 交于 、 两点，当 最小时， 的取值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：圆 ： 化为直角坐标方程为： ． 把直线 ： ，化为普通方程为： ， 由于直线 过定点 在圆的内部， 因此当 时， 取得最小值． ， ， 解得 ． 故选：D． 3．已知实数x，y满足 ，则 的最大值是（ ） A． B． C．6 D．3 【答案】A 【详解】因为实数x，y满足 ， 所以可设 ， 所以 ， 所以 的最大值是 ，当 取得等号 故选:A 4．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点 为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C极坐标方程为： . (1)求直线l普通方程与曲线C的直角坐标方程； (2)过点 的直线l与C相交于A，B两点，求 的值.【详解】（1）对 ，可得 ，代入 可得： ， 故直线 的普通方程为： ； 对 两边同时乘以 可得： ，即 ， 故曲线 的直角坐标方程为： . （2）将l的参数方程代入 ，并化简得 ， ， 设A，B对应参数为 ， ，又 ，所以 . 5．在平面直角坐标系 中，已知曲线 的参数方程为 （ 为参数）， 以原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线 的极坐标方程； (2)设射线 和射线 分别与曲线 交于 两点， 求 面积的最大值. 【详解】（1）易知曲线 的普通方程： ， 因为 ， ， 所以曲线 的极坐标方程为： ，即 . （2）由题意及（1）知 ， ， ∴ ， 因为 ，则 ， 所以当 ，即 时， 的面积最大，最大值是 .1．参数方程 （其中 ）表示的曲线为（ ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【详解】由参数方程可得曲线普通方程为： ， 曲线为抛物线. 故选：D. 2．已知双曲线 的参数方程为 （ 为参数），则此双曲线的焦距等于（ ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】由 可得， ，所以 ，即 ，所以双 曲线的焦距为 ． 故选：D． 3．已知椭圆 为参数， ， 的焦点分别 、 ，点 为椭圆 的上顶点，直线 与椭圆 的另一个交点为 ．若 ，则椭圆 的普 通方程为 __． 【答案】 【详解】解：根据题意，椭圆 为参数， ， ，其普通方程为 ，若其焦点分别 、 ，则 ，则有 ，① 点 为椭圆 的上顶点，则 的坐标为 ， 又由 ，而 ，则 ， ， 又由 ，且 、 、 三点共线，则 的坐标为 ， 又由 ，则有 ，② 联立①②，解可得： ， ； 故椭圆的方程为 ； 故答案为： ． 4．在直角坐标系 中， 的圆心为 ，半径为1． （1）写出 的一个参数方程; （2）过点 作 的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系， 求这两条切线的极坐标方程． 【详解】（1）由题意， 的普通方程为 ， 所以 的参数方程为 ，（ 为参数） （2）[方法一]：直角坐标系方法 ①当直线的斜率不存在时，直线方程为 ，此时圆心到直线的距离为 ，故舍去． ②当切线斜率存在时，设其方程为 ，即 ． 故 ，即 ，解得 ． 所以切线方程为 或 ．两条切线的极坐标方程分别为 和 ． 即 和 ． [方法二]【最优解】：定义求斜率法 如图所示，过点F作 的两条切线，切点分别为A，B． 在 中， ，又 轴，所以两条切线 的斜率分别 和 ． 故切线的方程为 ， ，这两条切线的极坐标方程为 和 ． 即 和 ． 5．在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （t为参数），曲线 的参数方 程为 （s为参数）． (1)写出 的普通方程； (2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，求 与 交点的直角坐标，及 与 交点的直角坐标． 【详解】（1）因为 ， ，所以 ，即 的普通方程为 ． （2）因为 ，所以 ，即 的普通方程为 ，由 ，即 的普通方程为 ． 联立 ，解得： 或 ，即交点坐标为 ， ； 联立 ，解得： 或 ，即交点坐标为 ， ． 一、单选题 1．下列点不在直线 (t为参数)上的是( ) A．(－1，2) B．(2，－1) C．(3，－2) D．(－3，2) 【答案】D 【详解】直线l的普通方程为x＋y－1＝0，因此点(－3，2)的坐标不适合方程x＋y－1＝0. 故答案为D 2．若x与y满足 ，则该轨迹上的任意一点可表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设轨迹上的点的坐标为 ，将选项的坐标依次代入方程中验证. A：将 代入 中得1，故A错误； B：将 代入 中得2，故B错误； C：将 代入 中得4，故C正确； D：将 代入 中得16，故D错误； 故选：C3．当曲线 ( 为参数)的点到直线 (t为参数)的最短距离 时，该点的坐标是（ ）. A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：曲线 ( 为参数)的直角坐标方程为 ， 直线 (t为参数)的直角坐标方程为 ， 当直线过圆心 且垂直于直线 时， 直线的方程为 ，即 ， 由 ，得 或 ， 所以当曲线 ( 为参数)的点到直线 (t为参数)的最短距 离时，该点的坐标是 ， 故选：B 4．在边长为3的正方形 中，以点 为圆心作单位圆，分别交 ， 于 ， 两 点，点 是 上一点，则 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意画出图形，并建立平面直角坐标系，如图： 由题意可知 ， ， ， ． 设点 ， 则．又 ，则 ， 所以 ，所以 ， 即 的取值范围为 ， 故选：A． 5．设直线 与椭圆 交于 、 两点，点 在直线 上．若 ，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】椭圆方程为 ，椭圆中心在原点，直线 与椭圆交于 、 两点， 则由对称性可知， 、 关于原点对称，所以 ， 所以 ，故原点到直线 的距离 ， 解得 或 ， 故选：D. 6．已知抛物线 的焦点为 ，过 点倾斜角为 的直线与曲线 交于 ， 两 点（ 在 的右侧），则 （ ）A．9 B．1 C． D．3 【答案】C 【详解】由已知抛物线的方程可得： ，且直线 的斜率为 ， 所以直线 的参数方程为： ， 代入抛物线方程可得： ， 解得 ， ， 则 . 故选：C. 7．已知点 是直线 （ 是参数）和圆 （ 是参数）的公共点，过点 作圆 的切线 ，则切线 的方程是（ ） A． B． C． D．x3y160 【答案】A 【详解】由13t4得t 1，则y514，所以P(4,4)， 圆C的普通方程为(x1)2y2 25，圆心为C(1,0)， 40 4 3 k   ，所以切线的斜率为k  ， CP 41 3 4 3 方程为y4 (x4)，即 ． 4 3x4y280 故选：A． 8．已知实数a，b满足a2b2 6，则ab的取值范围是（ ） A． 0,3 B． ,3 C． ,33, D． 3,3 【答案】D 【详解】∵a2b2 6，不妨设a 6sin，b 6cos 则ab6sincos3sin23,3 故选：D． 二、填空题x2t, 9．设 ，直线 （ 为参数）的倾斜角的大小为____________． tR y1t t 3 【答案】 ## 4 135 3 【详解】由题意，直线方程 ，即 斜率为 ，故倾斜角为 xy1 yx1 1 4 3 故答案为： 4 xsec21  π π 10．曲线  , 的焦点坐标为__________．  y2tan   2 2 【答案】 1,0 xsec21  π π 【详解】解：因为 ，又曲线  , ， sec21tan2  y2tan   2 2  y 2  y 2 p 所以  tan2，即  x，所以 ，即 ，所以 1， 2 2 y2 4x 2p4 2 即曲线表示焦点在x轴上的抛物线，且焦点为 1,0 ； 故答案为： 1,0 三、解答题 11．在直角坐标系xOy中，圆C 1 :x32y22 5，以坐标原点为极点，x轴正半轴为 极轴建立极坐标系． (1)求C 的极坐标方程； 1 π (2)若直线 C 的极坐标方程为 4 R ，设 C ， C 的交点为 A，B ，求△C AB 的面积． 2 2 1 1 【详解】（1）已知圆C :x32y22 5，得x2y26x4y80， 1 因为xcos,ysin， 所以26cos4sin80为圆C 的极坐标方程． 1 π （2）方法一： R 代入 ， 4 26cos4sin80 可得25 280， 解得 2或 4 2， 1 2 ∴ AB  3 2， 2 12  AB  9 2 又因为半径 ，则d  r2   5  ， 2 2 2 r  5   1 1 2 3 ∴S  AB d  3 2  ； ABC1 2 2 2 2 π 方法二：直线 C 2 ： 4 R 化为直角坐标方程为 xy0 ，圆心C3,2到直线 AB 的 32 2 距离d   ， 11 2 由半径r  5 ， ∴ AB 2 r2d2 3 2， 1 1 2 3 ∴S  AB d  3 2  . ABC1 2 2 2 2 x33cos, 12．在直角坐标系 中，圆 的参数方程为 （ 为参数），直线 的参数 xOy C y3sin  l  π xtcos ,   3 方程为 （ 为参数）． π y6tsin  3 t (1)判断直线l和圆C的位置关系，并说明理由； 3 3 (2)设 是圆 上一动点， A4,0，若点 到直线 的距离为 ，求 的值． P C P l 2 CACP x33cos 【详解】（1）圆 的参数方程为 （ 为参数），消参得圆C的普通方程为 C y3sin  (x3)2y2 9，圆心C坐标为 3,0 ，半径为3．  π xtcos ,   3 直线 的参数方程为 （ 为参数），消参得直线 的普通方程为 ． π y6tsin l  3 t l 3xy60 3 36 ∵圆心C到直线 的距离d  3， l 2 ∴直线l和圆C相离． （2）设P（33cos，3sin)0,2π ， 3 3cos3sin63 3 3 3 由点 到直线 的距离：  ， P l 2 2 π π  ∴ 2cos( )2 3  3，则cos 1． 6 6 π 5π ∴ π，则 ， 6 6  3 3 3   3 3 3 ∴P   3 2 ， 2    ， C  A  1,0 ，CP    2 , 2      3 3 ∴CACP ． 2