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第 03 讲 抛物线（练）
一、单选题
1．已知抛物线 的焦点为 ，若抛物线上的点 与点 间的距离为
3，则 （ ）.
A． B． C． 或 D．4或
【答案】C
【分析】结合抛物线的定义求得正确答案.
【详解】抛物线 开口向左，
依题意，抛物线上的点 与点 间的距离为3，
所以 ，抛物线方程为 ，
令 ，得 ，解得 ，
故选：C
2．已知函数抛物线 的焦点为 ，准线为 ，点 在抛物线 上，直线 交 轴
于点 ，若 ，则点 到焦点 的距离为（ ）
A．5 B．3 C．4 D．6
【答案】A
【分析】过点P作x轴的垂线，可知 ，由此结合 可得 ，
求得 ，即可求得答案.
【详解】如图，不妨设点P在第一象限，过点P作x轴的垂线，垂足为N，则 ,
由题意知， ，即 ，
因为 ，所以 ,故 ,
所以点P到准线的距离为 ,即点 到焦点 的距离为5，
故选：A .
3．已知抛物线C的焦点为F，准线为l，过F的直线m与C交于A，B两点，点A在l上的
投影为D.若 ，则 （ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】A
【分析】过点 作 ，垂足为点 ，作 ，垂足为点 ，分析出点 为 的
中点，利用抛物线的定义可求得结果.
【详解】过点 作 ，垂足为点 ，作 ，垂足为点 ，
，所以，四边形 为矩形，所以， ，
因为 ，所以， ，故 ，
由抛物线的定义可得 ， ，所以， ，
即 .故选：A.
4．过点 作直线与抛物线 相交，恰好有一个交点，则符合条件的直线的条数
为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】作图分析，根据抛物线的图形特点结合直线与抛物线的位置关系，可得答案.
【详解】如图示，过点 作直线与抛物线 相交，恰好有一个交点，符合条件的直线有三条，其中两条是与抛物线相切的直线，其中包含y轴，另一条是与抛
物线对称轴平行的直线，
故选：D
5．点 是抛物线 上一动点，则点 到点 的距离与到抛物线准线的距离之和的
最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据抛物线的性质进行求解即可.
【详解】由 可知该抛物线的焦点坐标为 ，设 ，准线方程为 ，
设 ，垂足为 ，
因为点 是抛物线 上一动点，
所以点 到抛物线准线的距离等于 ，当 三点在同一条直线上时，点 到点
的距离与到抛物线准线的距离之和最小，最小值为 ，
故选：D
6．已知 均为抛物线 上的点， 为 的焦点，且 ，则直
线 的斜率为（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】当直线 的斜率大于0时，过 作准线的垂线，作 ，根据
，设 ，推出 ， 的值,计算 ，同理计
算当直线 的斜率小于0时的 ，即得答案.
【详解】当直线 的斜率大于0时，如图，过 作准线l的垂线，
垂足分别为 ，过B作 为垂足,
因为 ，所以可设 ，
因为 均在C上，所以 ,
,故 ，
则 ，
当直线 的斜率小于 时，同理可得 ，
故直线 的斜率为 ，
故选：A.
7．已知抛物线 的焦点为F，直线l过焦点F与C交于A，B两点，以 为直径
的圆与y轴交于D，E两点，且 ，则直线l的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设 的中点为M，根据 求出r，进而得到M点横
坐标；再设直线 ，由韦达定理得到k与M横坐标的关系，进而求出k．
【详解】设 的中点为M， 轴于点N，过A，B作准线 的
垂线，垂足分别为 ，如下图：
由抛物线的定义知 ，
故 ，
所以 ，
即 ，
解得 或 （舍去），
故M的横坐标为 ，
设直线 ，
将 代入 ，
得 ，
则 ，
解得 ，
故直线l的方程为 ．
故选：C．
8．已知抛物线 的焦点为 为 上一点，且 在第一象限，直线 与 的准
线交于点 ，过点 且与 轴平行的直线与 交于点 ，若 ，则 的
面积为（ ）
A．8 B．12 C． D．【答案】C
【分析】过 作准线的垂线，垂足为 ，准线与 轴交于点 ，进而根据几何关系得
为等边三角形， ，再计算面积即可.
【详解】解：如图，过 作准线的垂线，垂足为 ，准线与 轴交于点 ，
所以， ， ．
因为 ，
所以 ， ， ．
所以 ， ．
又因为 ，
所以 ，所以 为等边三角形，
所以 ．
若 在第三象限，结果相同．
故选：C
二、填空题
9．已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为
________.
【答案】2
【分析】结合图像，可知 且|AB|≤|AF|＋|BF|，由此可得|MM|≥3，进而可
1
求得AB的中点到x轴的最短距离为2.【详解】由题意知，抛物线的准线l： ，过点A作AA⊥l交l于点A，过点B作
1 1
BB⊥l交l于点B，如图，
1 1
设弦AB的中点为M，过点M作MM⊥l交l于点M，则 ，
1 1
因为|AB|≤|AF|＋|BF|(F为抛物线的焦点)，即|AF|＋|BF|≥6，
又 ，所以|AA|＋|BB|≥6，即2|MM|≥6，故|MM|≥3，
1 1 1 1
所以点M到x轴的距离 ，故最短距离为2.
故答案为：2.
10．抛物线 的准线恰好平分圆 的周长，则 ______．
【答案】
【分析】根据抛物线的准线经过圆的圆心求得 .
【详解】抛物线 的准线为 ，
圆 ，则圆心坐标为 ，
所以 ，解得 ．
故答案为：
11．已知抛物线C： 的焦点为F，准线为l，以F为圆心作圆与C交于A，B
两点，与l交于D、E两点，若 ，则F到l的距离为________．
【答案】2
【分析】根据题意分析求出点A的坐标，代入抛物线的方程求 ，即可得出F到l的距离.
【详解】设 与x轴的交点分别为 ，则 ，即点 ，
∴ ，解得 或 （舍去），
故F到l的距离为2.
故答案为：2.三、解答题
12．已知抛物线C： 与直线 相切．
(1)求C的方程；
(2)过C的焦点F的直线l与C交于A，B两点，AB的中垂线与C的准线交于点P，若
，求l的方程．
【答案】(1)
(2) 或
【分析】（1）联立方程利用 运算求解；（2）分析可得 ，设l的方程为
，联立方程结合韦达定理运算求解.
【详解】（1）联立方程 ，消去x得 ，
∵抛物线C与直线 相切，则 ，解得 或 （舍去）
故抛物线的方程C： .
（2）设l的方程为 ，则线段AB的中点 ，
过 作抛物线的准线 的垂线，垂足为N，则 ，即
，
∵ ，则 ，即 ，
∴ ，
联立方程 ，消去x得 ，，
则 ，AB的中垂线的方程为 ，
∴ ，则 ，
即 ，解得 ，
故l的方程为 或 .
一、单选题
1．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴
的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已
知抛物线 ，O为坐标原点，一束平行于x轴的光线l 从点 射入，经过r上
1
的点A(x，y)反射后，再经r上另一点B(x，y)反射后，沿直线l 射出，经过点Q，则下列
1 1 2 2 2
结论错误的是（ ）
A．yy＝－1
1 2
B．
C．PB平分∠ABQ
D．延长AO交直线x＝－ 于点C，则C，B，Q三点共线
【答案】A
【分析】对于A，利用 轴可得 点纵坐标，进而求得 ，从而求得直线 的方程，联立抛物线方程，由韦达定理可求得 ；
对于B，结合A中结论易得 ，从而求得 ，再由两点距离公式即可求得
；
对于C，先求 ，得到∠ABP＝∠APB，再由平行线内错角相等得到∠PBQ＝
∠APB，从而可知PB平分∠ABQ；
对于D，联立方程求得 ，由纵坐标相等可知C，B，Q三点共线.
【详解】对于A，设抛物线的焦点为F，则 ，
因为 ，且 轴，
所以A的纵坐标为 ，代入抛物线 得 ，故 ，
故直线AF（即直线 ）为 ，
联立 ，消去 ，得 ，故 ，故A错误；
对于B，又y＝1，故 ，故 ，
1
故 ，故B正确；
对于C，因为 ，故 为等腰三角形，故∠ABP＝∠APB，
而 ，故∠PBQ＝∠APB，即∠ABP＝∠PBQ，故PB平分∠ABQ，故C正确；
对于D，易得直线AO为y＝x，联立 ，解得 ，故 ，
故 ，所以C，B，Q三点共线，故D正确.
故选：A..
2．已知F为抛物线 的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，
（其中O为坐标原点），则 与 面积之和的最小值是（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】D
【分析】设 （ ）且直线 ，联立抛物线应用韦达定
理，结合向量数量积的坐标表示求得 ，进而可得 ，最后
应用基本不等式求最小值，注意取值条件.
【详解】
设 （ ）且直线 ，联立抛物线得 ，
由 ，而 ，所以 ，得 或 ，
又A，B位于x轴的两侧，故 ，故 ，
由 ，且 过定点 ，
又 ， ，
所以 ，当且仅当 时等号成立.
故 与 面积之和的最小值是 .
故选：D
3．已知 为抛物线 的焦点，过 且斜率为1的直线交 于 两点，若 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】通过抛物线焦点坐标及点斜式即可求解出直线 的方程，代入 的方程，设
，根据根与系数关系即可得出 与 的关系，通过抛物线上的
点到焦点的距离与该点到抛物线准线距离相等可知 ，代入
即可转化为关于 的二元一次方程，即可求解.
【详解】由题意知 的方程为 ，代入 的方程，得 ，
设 ，则 ；因为 ，且
，所以 32，整理得 ，所以
，结合 ，解得 .
故选：D.
4．抛物线 的焦点为 ，其准线与 轴的交点为 ，过点 做直线与此抛物线交于
， 两点，若 ，则 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】根据抛物线标准方程，得到焦点坐标和准线方程，设出直线方程，联立抛物线方
程，整理得到关于 的一元二次方程，根据垂直，得到点 的横坐标，根据韦达定理，得
到 的横坐标，在由抛物线的定义，可得答案.
【详解】由 ，则焦点 ，且准线方程为直线 ，即 ，
设过点 的直线方程为 ，联立抛物线可得： ，
消去 可得： ，化简得： ，
因为 ，且直线 过点 ，所以 ，
即点 位于以线段 为直径的圆上，
易知以线段 为直径的圆的方程为 ，
将 代入上式，可得 ，解得 ， （舍去），
则点 的横坐标 ，设点 的横坐标 ，由韦达定理可得： ，则 ，
根据抛物线的定义，可得 ， ，
则 ，
故选：B.
5．已知抛物线 ： ，圆 ： ，过点 的直线 与圆 交
于 ， 两点，交抛物线 于 ， 两点，则满足 的直线 有三条的 的值不可
能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】当直线 斜率不存在时，直线方程为： 与抛物线交于点 ，与圆交于点
.当直线斜率存在时，设直线方程为 ，联立直线与抛物线方程，利用
韦达定理，再联立直线与圆的方程，结合 ， ，然后转化为求解
直线的条数.
【详解】当直线 斜率不存在时，直线方程为：
与抛物线交于点 ，与圆交于点 ，显然满足条件；
当直线斜率存在时，设直线方程为 ，
由 得 ，设 ， ， ，
由韦达定理可得 ， ，
由 ，
设 ， ， ， ，
有 ， ，
当 时，即 ，
又因为 ，所以 (舍)
当 时，即 ，
因为 ， ，
由此， ，解得 ，显然，当 ， 有两解，对应直线有两条. ， ，此时直线斜率不存在，即为第
一种情况，所以当 时，对应直线 有三条.
故选：A
6．如图所示，已知抛物线 过点 ，圆 . 过圆心 的
直线 与抛物线 和圆 分别交于 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由点在抛物线上求出p，焦半径的几何性质有 ，再将目标式转化为
，应用基本不等式“1”的代换求最值即可，注意等号成立条件.
【详解】由题设，16＝2p×2，则2p＝8，故抛物线的标准方程： ，则焦点F(2,0)，
由直线PQ过抛物线的焦点，则 ，
圆C ： 圆心为(2,0)，半径1，
2
，
当且仅当 时等号成立，故 的最小值为13.
故选：D
7．已知抛物线 ）的焦点为F，过F且倾斜角为 的直线l与抛物线相交于
A，B两点， ，过A，B两点分别作抛物线的切线，交于点Q.则下列四个命题中正
确的个数是（ ）个.
① ；②若M（1，1），P是抛物线上一动点，则 的最小值为 ；
③ （O为坐标原点）的面积为 .；
④ ，则 .
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】利用 求得 ，然后结合导数、抛物线的定义、三角形的面积、两角差的
正切公式对命题进行分析，从而确定正确答案.
【详解】抛物线 的焦点为 ，
直线 的方程为 ，设 ，
由 消去 并化简得 ， .
，
由 得 ，
所以抛物线方程 ， ，
不妨设 在第一象限， 在第二象限，则 ，
，设 ，
，设 ，
所以 ，所以 ，①正确.
到抛物线准线 的距离为 ，结合抛物线的定义可知， 的最小值是 ，
②正确.
到直线 的距离为 ，所以 ，③错误.，
，④正确.
所以正确的有 个.
故选：C
8．过点 的直线 与抛物线 ： 交于 ， 两点，且与E的准
线交于点C，点F是E的焦点，若 的面积是 的面积的2倍，则
（ ）
A． B． C．10 D．17
【答案】C
【分析】设出直线方程，与抛物线联立得到两根之和，两根之积，利用面积之比得到线段
之比，进而得到关系式 ，结合韦达定理求出 ，从而求出 .【详解】由题意得： ，设直线 ： ，与抛物线联立得： ，
则 ， ，抛物线准线方程为： ，则 ，所以 ，由
可得： ，即 ，又 ，故 ，所以
，由 可得： ，整理得：
，解得： ， .
故选：C
二、填空题
9．过点 作抛物线 的两条切线，切点分别为 和 ，又直线 经过
拋物线 的焦点 ，那么 的最小值为_________．
【答案】16
【分析】设 ，写出以 为切点的切线方程，由判别式求出切线斜率，得到以 为
切点的切线方程，同理求出以 为切点的切线方程，结合 在两条切线上得
直线 的方程，联立直线 与抛物线方程，根据根与系数的关系，结合抛物线定义得出
结果．
【详解】设 ， ，以 为切点的切线斜率为 ，
则以 为切点的切线方程为 ，
与抛物线 联立，得 ，由 ，即 ，
则 ，即 ，解得 ，
则以 为切点的切线方程为 ，即 ，
，整理得 ；
同理，设 ， ，则以 为切点的切线斜率为 ，
以 为切点的切线方程为 ，
又因为 在切线 和 ，
所以 ， ，
所以直线 的方程 ，
又因为直线 经过抛物线 的焦点 ，
所以令 得 ，即 ， ，
所以抛物线方程为 ，直线 的方程 ，
联立 ，消去 得 ，
∴ ，
∴ ，
，
∵ ，∴ ，
所以 ，
则当 时， 取最小值16．
故答案为：16．
10．在直线l： 上取一点D做抛物线C： 的切线，切点分别为A，B，直线
AB与圆E： 交于M，N两点，当│MN│最小时，D的横坐标是
______．
【答案】1
【分析】联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理，根据切线联立求交点，可得直线方
程中的截距，可得直线过定点，根据圆中弦最小的情况，得到直线的斜率，可得最后答案.【详解】设 ，且直线 的方程为 ，
联立抛物线 ，可得 ，消去 可得： ，
根据韦达定理可得： ，
由抛物线 ，求导可得： ，
过 的切线方程为 ，
过 的切线方程为 ，
联立上式，可得： ，
消去 整理可得： ，
两式相减整理可得： ，
因为 ，所以 ，且 ，根据题意，可得 ，即 ，
则直线 的方程为 ，由此该直线过定点 ，
由圆E： ，可得 ，可得 ，
易知当 时，│MN│取最小，可得直线 的方程为 ，
所以点 的横坐标 .故答案为： .
三、解答题
11．直线 过抛物线 的焦点 ，且与抛物线交于 ， 不同的
两点，点 在抛物线的准线上，且 // 轴.
(1)证明： ；
(2)判断直线 是否经过坐标原点，并说明理由.
【答案】(1)证明见解析；
(2)直线 是经过坐标原点，理由见解析.
【分析】（1)先设出直线方程（注意考虑斜率的存在性），再将直线与抛物线联立，运用
韦达定理解决问题
（2)当斜率不存在时，直线 此时 , , ,可证直线 经过原点．当斜率存在时，设直线方程为： 与抛物线联立，运用韦达定理可求
得k，进而求得直线 的方程，证明直线 经过原点.
【详解】（1）当 斜率不存在时，直线 ，此时 ， ，则 ；
当 斜率存在时，与抛物线交于 ， 不同的两点，
设直线 方程为： ，
联立得： ，整理得： , ，
所以 ，
综上所述 ；
（2）当直线l斜率不存在时，直线 ，此时 ， ， ，
所以直线 的斜率为 ，
所以直线 的方程为 ，即 ，故直线 经过原点；
当斜率l存在且不为0时，设直线 方程为： ，
设 ， ，
由（1）知 ，
所以直线 的斜率为 ，
所以直线 的方程为 ，即 ，
所以直线 经过原点，
综上所述，直线 经过原点.
四、双空题
12．过抛物线 （ ）的焦点F且斜率为1的直线与抛物线交于A，B两点，
， 为抛物线C上一动点，抛物线的方程为______； 的最小值为______.
【答案】 ； .
【分析】设直线方程并联立抛物线方程求 ， ，应用弦长公式列方程
求 ，即可得抛物线方程，由 的几何意义，将问题转化为 到直线
距离最小，应用点线距离公式求最小值即可.
【详解】由题设， ，则 ，联立抛物线可得 ，
所以 ， ，故 ，
所以，由 有 ，则 ，故抛物线方程 .
由 表示 上点到直线 与y轴距离之和，
如上图， ，要使目标式最小，只需 共线
且 到直线 距离最小，即 ，
所以 .
故答案为：1；
一、单选题1．（2022·天津·高考真题）已知抛物线 分别是双曲线
的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点 ，与双曲线的渐近线交于点A，若
，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由已知可得出 的值，求出点 的坐标，分析可得 ，由此可得出关于
、 、 的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程.
【详解】抛物线 的准线方程为 ，则 ，则 、 ，
不妨设点 为第二象限内的点，联立 ，可得 ，即点 ，
因为 且 ，则 为等腰直角三角形，
且 ，即 ，可得 ，
所以， ，解得 ，因此，双曲线的标准方程为 .
故选：C.
2．（2022·全国·高考真题（文））设F为抛物线 的焦点，点A在C上，点
，若 ，则 （ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点 的横坐标，进而求得
点 坐标，即可得到答案.
【详解】由题意得， ，则 ，
即点 到准线 的距离为2，所以点 的横坐标为 ，
不妨设点 在 轴上方，代入得， ，所以 .
故选：B
3．（2021·天津·高考真题）已知双曲线 的右焦点与抛物线
的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于
C、D两点，若 ．则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【分析】设公共焦点为 ，进而可得准线为 ，代入双曲线及渐近线方程，结合线
段长度比值可得 ，再由双曲线离心率公式即可得解.
【详解】设双曲线 与抛物线 的公共焦点为 ，
则抛物线 的准线为 ，
令 ，则 ，解得 ，所以 ,
又因为双曲线的渐近线方程为 ，所以 ，
所以 ，即 ，所以 ，
所以双曲线的离心率 .
故选：A.
4．（2021·全国·高考真题）抛物线 的焦点到直线 的距离为 ，则
（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】B
【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得 的值.
【详解】抛物线的焦点坐标为 ，
其到直线 的距离： ，
解得： ( 舍去).
故选：B.5．（2020·北京·高考真题）设抛物线的顶点为 ，焦点为 ，准线为 ． 是抛物线上异
于 的一点，过 作 于 ，则线段 的垂直平分线（ ）．
A．经过点 B．经过点
C．平行于直线 D．垂直于直线
【答案】B
【分析】依据题意不妨作出焦点在 轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和
抛物线的定义可知，线段 的垂直平分线经过点 ，即求解.
【详解】如图所示： ．
因为线段 的垂直平分线上的点到 的距离相等，又点 在抛物线上，根据定义可知，
，所以线段 的垂直平分线经过点 .
故选：B.
6．（2020·全国·高考真题（理））已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的
焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
【答案】C
【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.
【详解】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知 ，即 ，解得
.
故选：C.
二、填空题
7．（2020·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点 与双曲线
的左焦点重合，若两曲线相交于 ， 两点，且线段 的中点是点
，则该双曲线的离心率等于______.
【答案】
【分析】利用抛物线的性质，得到M的坐标，再带入到双曲线方程中，即可求解.
【详解】由题意知：抛物线方程为：
在抛物线上，所以
在双曲线上，
，又 ，
故答案为：
8．（2021·全国·高考真题）已知 为坐标原点，抛物线 ： ( )的焦点为 ，
为 上一点， 与 轴垂直， 为 轴上一点，且 ，若 ，则 的准线
方程为______.
【答案】
【分析】先用坐标表示 ，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得 ，即得结果.
【详解】抛物线 ： ( )的焦点 ,
∵P为 上一点， 与 轴垂直，
所以P的横坐标为 ，代入抛物线方程求得P的纵坐标为 ,
不妨设 ,
因为Q为 轴上一点，且 ，所以Q在F的右侧，
又 ，
因为 ，所以 ,
，
所以 的准线方程为
故答案为： .
9．（2020·海南·高考真题）斜率为 的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B
两点，则 =________．
【答案】【分析】先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方
程联立消去y并整理得到关于x的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定
义将焦点弦长转化求得结果.
【详解】∵抛物线的方程为 ，∴抛物线的焦点F坐标为 ，
又∵直线AB过焦点F且斜率为 ，∴直线AB的方程为：
代入抛物线方程消去y并化简得 ，
解法一：解得
所以
解法二：
设 ，则 ,
过 分别作准线 的垂线，设垂足分别为 如图所示.
故答案为：
