文档内容
微专题：抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值
【考点梳理】
1、抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离， 等于焦点到抛物线顶点的距离．牢
记它对解题非常有益．
2、求解直线和抛物线相交所得交点有关的问题，关键是联立直线的方程和抛物线的方程，写出根与系数关系，
结合根与系数关系，设而不求来对问题进行求解.
【典例剖析】
典例1．已知抛物线 的焦点为 ， 点 为抛物线 上一点，点 ，则 的最小值为
（ ）
A． B．2 C． D．3
典例2．已知点 为抛物线 上的动点，设点 到 的距离为 ，到直线 的距离为 ，则
的最小值是（ ）
A． B． C． D．
典例3．已知直线 ： 和直线 ： ，抛物线 上一动点P到直线 和直线 的距离之和的最
小值是（ ）
A． B． C． D．
典例4．过抛物线 ： 的焦点 作两条互相垂直的弦 ， ，设 为抛物线上的一动点，
，若 ，则 的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
典例5．已知A（2，1），抛物线C： 的焦点为F，P是抛物线C上任意一点，则△PAF周长的最小值为
（ ）
第 1 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
【双基达标】
6．已知抛物线 的焦点为 ， 、 是抛物线上两动点， 是平面内一定点，下列说法正确的序号为
（ ）
①抛物线准线方程为 ；
②若 ，则线段 中点到 轴距离为 ；
③以 为圆心，线段 的长为半径的圆与准线相切；
④ 的周长的最小值为 .
A．①②④ B．②③ C．③④ D．②③④
7．已知点 是抛物线 上的一个动点，则点 到点 的距离与点 到 轴的距离之和的最小值为
（ ）
A．2 B． C．3 D．
8．点F是抛物线 的焦点，点 ，P为抛物线上一点，P不在直线AF上，则 PAF的周长的最小值是
△
（ ）
A．4 B．6 C． D．
9．已知抛物线 ）的焦点为F，过F且倾斜角为 的直线l与抛物线相交于A，B两点， ，
过A，B两点分别作抛物线的切线，交于点Q.则下列四个命题中正确的个数是（ ）个.
① ；
②若M（1，1），P是抛物线上一动点，则 的最小值为 ；
③ （O为坐标原点）的面积为 .；
④ ，则 .
A．1 B．2 C．3 D．4
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司10．已知抛物线E： ，圆F： ，直线l： （t为实数）与抛物线E交于点A，与圆F交于
B，C两点，且点B位于点C的右侧，则△FAB的周长可能为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
11．已知 ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知P为抛物线 上一个动点，Q为圆 上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P
到抛物线的准线距离之和的最小值是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
13．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，定点 ，M为抛物线上一点，则|MA|+|MF|的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
14．抛物线有一条重要的性质：平行于抛物线的轴的光线，经过抛物线上的一点反射后经过它的焦点．反之，从
焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．已知抛物线 ，从点
发出一条平行于x轴的光线，经过抛物线两次反射后，穿过点 ，则光线从A出发到达B所走过的路程为
（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
15．已知点 ，点 为抛物线 的焦点，点 在抛物线上移动，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
16．已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线上运动，点 坐标为 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
17．已知抛物线 焦点的坐标为 ，P为抛物线上的任意一点， ，则 的最小值为
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
18．已知点 是抛物线 上的一个动点，则点 到点 的距离与 到 轴的距离之和的最小值为
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（ ）
A．1 B． C．2 D．
19．已知抛物线 的焦点为F，过F且倾斜角为 的直线l与抛物线相交于A，B两点， ，过
A，B两点分别作抛物线的切线，交于点Q．下列说法正确的是( )
A．
B． (O为坐标原点)的面积为
C．
D．若 ，P是抛物线上一动点，则 的最小值为
20．若抛物线 的准线为 ， 是抛物线上任意一点，则 到准线 的距离与 到直线 的距离之
和的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【高分突破】
一、单选题
21．已知P为抛物线 上一个动点，Q为圆 上一个动点，那么过点P作 的垂线，垂足为
M， 与 距离之和的最小值是（ ）
A． B． C． D．
22．已知点P是抛物线 上的动点，过点P向y轴作垂线，垂足记为N，动点M满足 最小值为
3，则点M的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
23．点P在曲线 上，过P分别作直线 及 的垂线，垂足分别为G，H，则 的最小值
为（ ）
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
24．已知抛物线 上一点P到 的距离为 ，到准线的距离为 ，则 的最小值为（ ）
A． B．3 C． D．
25．已知 为抛物线 的准线，抛物线上的点 到 的距离为 ，点 的坐标为 ，则 的最小值是
（ ）
A． B．4 C．2 D．
26．设抛物线 的焦点为 ，点 为抛物线 上一点，点 坐标为 ，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
27．已知抛物线 的准线为 ，点 在抛物线上，以 为圆心的圆与 相切于点 ，点 与抛
物线的焦点 不重合，且 ， ，则（ ）
A．圆 的半径是4
B．圆 与直线 相切
C．抛物线上的点 到点 的距离的最小值为4
D．抛物线上的点 到点 ， 的距离之和的最小值为4
28．过抛物线 的焦点F的直线l与C交于A，B两点，设 、 ，已知 ， ，
则（ ）
A．若直线l垂直于x轴，则 B．
C．若P为C上的动点，则 的最小值为5 D．若点N在以AB为直径的圆上，则
直线l的斜率为2
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司29．已知抛物线C： 的焦点为F，P为抛物线上一点，则下列结论正确的有（ ）
A．焦点F到抛物线准线的距离为2
B．若 ，则点P的坐标为
C．过焦点F且垂直于x轴的直线被抛物线所截得的弦长为2
D．若点M的坐标为 ，则 的最小值为4
30．已知抛物线 的焦点为 为抛物线上一动点，直线 交抛物线于 两点，点 ，则下列说法正
确的是（ ）
A．存在直线 ，使得 两点关于 对称
B． 的最小值为6
C．当直线 过焦点 时，以 为直径的圆与 轴相切
D．若分别以 为切点的抛物线的两条切线的交点在准线上，则 两点的纵坐标之和的最小值为4
三、填空题
31．已知 为抛物线 上的一个动点， 为圆 上的一个动点，那么点 到点 的距离与点 到
抛物线准线的距离之和的最小值是______.
32．已知点 为抛物线 上的一个动点，设点 到抛物线的准线的距离为 ，点 ，则 的最小
值为______．
33．已知 是抛物线 上一点，点 ， ，则 周长的最小值为______．
34．已知 是抛物线 上一点， 为其焦点，点 ，则 的最小值是______.
35．已知抛物线 ，圆 ，点 ，若A，B分别是 ， 上的动点，则
的最小值为______．
36．已知曲线 ： ，抛物线 ： ， 为曲线 上一动点， 为抛物线 上一动点，
与两条曲线都相切的直线叫做这两条曲线的公切线，则以下说法正确的有___________
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司①直线l： 是曲线 和 的公切线：
②曲线 和 的公切线有且仅有一条；
③ 最小值为 ；
④当 轴时， 最小值为 .
37．F为抛物线 的焦点，点P在抛物线上，Q是圆 上的点，则 最小值是
__________．
38．已知 为抛物线 的焦点， 是 上的动点，点 ，则 的最小值为 _______.
39．已知点 是抛物线 的准线与x轴的交点，F为抛物线的焦点，P是抛物线上的动点，则 最
小值为_____．
40．如图所示，已知P为抛物线 上的一个动点，点 ，F为抛物线C的焦点，若
的最小值为3，则抛物线C的标准方程为______.
四、解答题
41．已知抛物线 ： 的焦点为 ，点 在 上，点 在 的内侧，且 的最小值为
.
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(1)求 的方程；
(2) 为坐标原点，点A在y轴正半轴上，点B，C为E上两个不同的点，其中B点在第四象限，且AB， 互相
垂直平分，求四边形AOBC的面积.
42．已知抛物线 的焦点为F，M为T上一动点，N为圆 上一动点，
的最小值为 .
(1)求T的方程；
(2)直线l交T于A，B两点，交x轴的正半轴于点C，点D与C关于原点O对称，且 ，证明：
.
43．如图所示， ， 是焦点为 的抛物线 上的两动点，线段 的中点 在定直线 上.
（1）求 的值；
（2）求 的最大值.
44．在两个条件①点 ；②点 中任选一个，补充在下面的问题中．
已知抛物线 的焦点为F，准线为l，点P在此抛物线上移动，求：
(1)点P到点F与它到______的距离之和的最小值；
(2)点P到点 与它到准线l的距离之和的最小值；
(3)点P到直线 与它到准线l的距离之和的最小值．
45．设P是抛物线 上的一个动点，F为抛物线的焦点.
（1）若点P到直线 的距离为 ，求 的最小值；
（2）若 ，求 的最小值.
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．D
【分析】求出抛物线C的准线l的方程，过A作l的垂线段，结合几何意义及抛物线定义即可得解.
【详解】抛物线 的准线l： ，显然点A在抛物线C内，过A作AM⊥l于M，交抛物线C于P，如图，
在抛物线C上任取不同于点P的点 ，过 作 于点N，连PF，AN， ，
由抛物线定义知， ，
于是得 ，即点P是过A作准线l的垂线与抛物线C的交点时， 取最小
值，
所以 的最小值为3.
故选：D
2．B
【分析】直线 为抛物线 的准线，点 到准线的距离等于点 到焦点 的距离，过焦点 作直线
的垂线，此时 最小，再根据点到直线距离公式即可求解.
【详解】直线 为抛物线 的准线，点 到准线的距离等于点 到焦点 的距离，过焦点 作直线
的垂线，
如下图所示，此时 最小，为点 到直线 的距离.
，则 ．
故选：B．
第 9 页【点睛】抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离， 等于焦点到抛物线顶点的距离．
牢记它对解题非常有益．
3．A
【分析】根据已知条件，结合抛物线的定义，可得点P到直线 和直线 的距离之和 ，当
B，P，F三点共线时， 最小，再结合点到直线的距离公式，即可求解．
【详解】∵抛物线 ，∴抛物线的准线为 ，焦点为 ，
∴点P到准线 的距离PA等于点P到焦点F的距离PF，即 ，
∴点P到直线 和直线 的距离之和 ，
∴当B，P，F三点共线时， 最小，
∵ ，∴ ，
∴点P到直线 和直线 的距离之和的最小值为 ．
故选：A．
4．B
【分析】显然直线 的斜率存在且不为0，设直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 ，与抛物线方
程联立结合韦达定理可得： ，因为 ，所以直线 的斜率为： ，所以
，由 ，解得 ，设点 到准线 的距离为 ，由抛物线的性质可知：
，而当 垂直于 轴时， 的值最小，最小值为 ．
【详解】解：显然直线 的斜率存在且不为0，设直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 ，
第 10 页联立方程 ，消去 得： ，
设 ， ， ， ，
，
，
由抛物线的性质可知： ，
， 直线 的斜率为： ，
，
，
，
，
抛物线方程为： ，准线方程为： ，
设点 到准线 的距离为 ，由抛物线的性质可知： ，
而当 垂直于 轴时， 的值最小，最小值为 ，如图所示：
的最小值为3，
故选：B．
5．C
【分析】借助抛物线的定义，将 转化成 ， 三点共线时，周长最小.
第 11 页【详解】
抛物线的准线 ，过点P作 垂直于准线，由题可知，△PAF的周长为 ,
，易知当 三点共线时，△PAF的周长最小，且最小值为 .
故选：C.
6．D
【分析】根据抛物线的方程直接写出抛物线的准线方程，可判断①的正误；设点 、 ，利用抛物
线的定义可判断②的正误；利用抛物线的定义可判断③的正误；过点 作抛物线准线 的垂线，垂足为点 ，
利用抛物线的定义以及 、 、 三点共线时，求出 的周长的最小值，可判断④的正误.
【详解】对于①，易知点 ，抛物线的准线方程为 ，①错；
对于②，设点 、 ，则 ，所以， ，
所以，线段 中点到 轴距离为 ，②对；
对于③，由抛物线的定义可得 ，所以，线段 的长为半径的圆与准线相切，③对；
对于④，过点 作抛物线准线 的垂线，垂足为点 ，
由抛物线的定义可得 ，所以， ，
当且仅当 、 、 三点共线时，即当 时， 取得最小值 ，
又因为 ，所以， 的周长的最小值为 ，④对.
故选：D.
7．B
【解析】利用抛物线的定义，把 到 轴的距离转化为 ,利用几何法求最值
第 12 页【详解】
抛物线 的焦点 ,准线 ，如图示：过P作PP⊥y轴于P,作PP⊥l于P,则
1 1 2 2
所以点 到点 的距离与点 到 轴的距离之和为
由图示，易知，当P落在Q时，DPF三点共线， ,
其他位置，都有
所以点 到点 的距离与点 到 轴的距离之和的最小值为：
当D、P、F三点共线时取最小值.
故选：B
【点睛】解析几何问题解题的关键：解析几何归根结底还是几何，根据题意画出图形，借助于图形寻找几何关系
可以简化运算．
8．C
【分析】由抛物线的定义转化后求距离最值
【详解】抛物线 的焦点 ，准线为
过 点作 准线 于点 ，故 PAF的周长为 ，
，可知当 三点共△线时周长最小，为
故选：C
第 13 页9．C
【分析】利用 求得 ，然后结合导数、抛物线的定义、三角形的面积、两角差的正切公式对命题进行分析，
从而确定正确答案.
【详解】抛物线 的焦点为 ，
直线 的方程为 ，设 ，
由 消去 并化简得 ， .
，
由 得 ，
所以抛物线方程 ， ，
不妨设 在第一象限， 在第二象限，则 ，
，设 ，
，设 ，
所以 ，所以 ，①正确.
到抛物线准线 的距离为 ，结合抛物线的定义可知， 的最小值是 ，②正确.
第 14 页到直线 的距离为 ，所以 ，③错误.
，
，④正确.
所以正确的有 个.
故选：C
【点睛】求解直线和抛物线相交所得交点有关的问题，关键是联立直线的方程和抛物线的方程，写出根与系数关
系，结合根与系数关系，设而不求来对问题进行求解.
10．B
【分析】先判断出抛物线焦点和圆心重合，由抛物线定义得 ，又 ，可得△FAB的周长为
，又知 ，即可求解.
第 15 页【详解】
由题意知：抛物线焦点 恰为圆心 ，抛物线准线 ，圆半径为2，可得圆 与 相切，设直线l：
与准线 交于 ，
由抛物线定义知： ，又 ，故△FAB的周长为 ，
由图知 ，故 ，结合选项知：△FAB的周长可能为5.
故选：B.
11．A
【分析】由题意将问题转化为函数 和 图象两点的距离问题，结合图象即可得出结果.
【详解】记 ，易知所求根式部分为函数 和
图象两点的距离问题，
设 ，
则 ，
所以 ，
又 单调递增，所以 是 唯一零点，
令 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
得 ，即 ，所以 ，
，
当且仅当 时等号成立.
故选：A
第 16 页12．C
【分析】根据抛物线定义将线段进行转化，数形结合进行求解.
【详解】连接PF，根据抛物线定义可知：点P到抛物线准线的距离等于点P到焦点 的距离，连接圆心
与焦点 ，交圆于 点，交抛物线于点 ，如图所示，此时点P到点Q的距离与点P到抛物线的准
线距离之和最小即为 的长度，其中 ，故 ，
故选：C
13．B
【分析】作出图象，过点M作准线 的垂线，垂足为H，结合图形可得当且仅当三点M，A，H共线时|MA|+|
MH|最小，求解即可．
【详解】过点M作准线 的垂线，垂足为H，
由抛物线的定义可知|MF|＝|MH|，
则问题转化为|MA|+|MH|的最小值，
结合图形可得当且仅当三点M，A，H共线时|MA|+|MH|最小，
第 17 页其最小值为 .
故选：B．
14．C
【分析】利用抛物线的定义求解.
【详解】如图所示：
焦点为 ，设光线第一次交抛物线于点 ，第二次交抛物线于点 ，
过焦点F，准线方程为： ，
作 垂直于准线于点 ，作 垂直于准线于点 ，
则 ，
，
，
，
故选：C
15．C
【分析】作出图形，过点 作直线 的垂线，垂足为点 ，由抛物线的定义可知当 、 、 三点共线时，即
第 18 页当 与直线 垂直时， 取得最小值，即可得解.
【详解】抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ，如下图所示：
过点 作直线 的垂线，垂足为点 ，由抛物线的定义可得 ，
所以， ，
由图可知，当点 、 、 三点共线时，即当 与直线 垂直时，
取得最小值，且最小值为 .
故选：C.
16．D
【解析】利用抛物线的定义和数形结合分析，求得 的最小值.
【详解】由图可知， 是点 到准线的距离， 是点 到准线的距离，由抛物线的定义可知 ，即
，所以 的最小值是求点 到准线的距离 ，抛物线方程 ，准线方程
， .
故选：D
17．A
【分析】先根据焦点坐标求出 ，结合抛物线的定义可求答案.
【详解】因为抛物线 焦点的坐标为 ，所以 ，解得 ．
第 19 页记抛物线的准线为l，作 于 ，作 于 ，则由抛物线的定义得 ，
当且仅当P为BA与抛物线的交点时，等号成立．
故选：A.
18．A
【分析】利用抛物线的定义进行转化，结合图像可知当三点共线时即可得出答案．
【详解】解：如图所示，
设此抛物线的焦点为 ，准线 ．
过点 作 ，垂足为 ．
则 ， 到 轴的距离 ，
则点 到点 的距离与 到 轴的距离之和为
设 ，因此当 、 、 三点共线时， 取得最小值．
．
即 的最小值为 ，
所以则点 到点 的距离与 到 轴的距离之和为 .
故选：A.
19．A
【分析】设l的方程，和抛物线方程联立，得到根与系数关系，求出 ，根据 求出p的值.
A：用导数求出切线斜率，验证两斜率之积是否为－1；
B：利用三角形面积公式即可求解；
C：根据抛物线焦点弦的几何性质可判断；
第 20 页D：数形结合，利用抛物线的定义转化 为P到准线的距离即可求出最值.
【详解】∵l过点F且倾斜角为 ，
∴直线l的方为 ，与抛物线方程联立，得 ，
设 ，则 ， ，
∴ ， ，
又 ，∴ ，∴ ；
不妨设 ，当 时， ，
∴过A的切线斜率为 ，
同理可得过B的切线斜率为 ，
∴ ，∴ ，故A正确；
，故B错误； ，故C错误；
设点M到准线的距离为d，若 ，则 ，则D错误．
故选：A．
20．A
【分析】过点 作 ，垂足为点 ，过点 作直线 的垂线段 ，垂足为点 ，计算出点 到直
第 21 页线 的距离 ，由抛物线的定义可得 ，利用当 、 、 三点共线可求得 的最小
值.
【详解】如下图所示，过点 作 ，垂足为点 ，过点 作直线 的垂线段 ，垂足为点 ，
抛物线 的准线为 ，焦点为 ，
点 到直线 的距离为 ，
由抛物线的定义可知 ，所以， ，
当且仅当 、 、 三点共线时，等号成立，
因此， 到准线 的距离与 到直线 的距离之和的最小值是 .
故选：A.
21．D
【分析】根据点P到 距离等于到准线的距离加1，结合抛物线的定义以及图象，得出 与 距离之和
的最小值.
【详解】抛物线 的焦点为 ，圆 的圆心为 ，半径 ，如图所示，根据点P到
距离等于到准线的距离加1，由抛物线的定义可知，点P到准线的距离等于到焦点的距离，进而推断当P，
Q，F三点共线时，点P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小值为 ，故 与 距离的
最小值为 .
故选：D．
第 22 页22．C
【分析】分点M在抛物线外部，点M在抛物线上或内部两种情况讨论得解.
【详解】当点M在抛物线外部时， ， ，
点M的轨迹方程为 （在抛物线外部的部分），
与 联立解得 ，
∴ 轨迹与抛物线的两个交点为 ， ，则 ，圆在抛物线外部的弧长为
；
当点M在抛物线上或内部时， 三点共线时， 最小，此时点M的轨迹方程为
，其长度为 .
所以点M的轨迹长度为 .
故选：C.
第 23 页23．B
【解析】根据抛物线的性质， 的最小值等价于 的最小值，即焦点 到直线的距离.
【详解】由题可知 是抛物线的准线，交点 ，
由抛物线的性质可知 ,
，
如图，当 在一条直线上时， 取得最小值为 ，
利用点到直线距离公式可以求出 ，
所以 的最小值为 .
故选：B.
【点睛】本题考查求抛物线上的点到两直线的距离之和最小问题，利用抛物线的性质是关键，属于基础题.
24．C
【分析】利用抛物线的定义，结合图象，求 的最小值.
【详解】如图，根据抛物线的定义可知， ，那么 ，
， ， .
第 24 页故选：C
25．B
【解析】设抛物线焦点为 ，由题意利用抛物线的定义可得，当 共线时， 取得最小值，由此求得
答案.
【详解】解：抛物线焦点 ，准线 ，
过 作 交 于点 ，连接
由抛物线定义 ，
，
当且仅当 三点共线时，取“＝”号，
∴ 的最小值为 .
故选：B.
【点睛】本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档
题.
26．B
【分析】设点P在准线 上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|＝|PD|，进而把问题转化为求|PM|+|PD|
的最小值，即可求解．
【详解】解：由题意，设点P在准线 上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|＝|PD|，
所以要求|PM|+|PF|的最小值，即求|PM|+|PD|的最小值，
第 25 页当D，P，M三点共线时，|PM|+|PD|取得最小值为 ．
故选：B．
27．AC
【分析】由抛物线的定义，得 ，又 ， ，易得 是等边三角形，结合图
像得到 ，即可求解 ；求得 的坐标，则判断出A和B选项；对于C选项，设 ，利用两点
间的距离公式得到 ，结合二次函数的图象性质，得到 的最小值；设 交 于点 ，通过抛物线的定
义结合三点共线得， ，当且仅当 、 、 三点共线时取得最小值，即可判断D选项.
【详解】由抛物线的定义，得 ， ，准线
以 为圆心的圆与 相切于点 ，所以 ，即 轴，
又 ，所以 ；因为 ，所以 是等边三角形，即 ；
设点 在第一象限，作 的中点 ，连接 ，
， ，则 ，即 ，
解得： ，则抛物线的方程为： ，则 =3，
对于A选项，有 ，故A选项正确；
对于B选项， ，所以 ，易得圆 与直线 不相切，故B选项错误；
第 26 页对于C选项，设抛物线上的点 ，则
化简，得 ，当且仅当 时等号成立，故C选项正确；
对于D选项，设过点 作准线 的垂线交 于点 ，
由抛物线的定义，知 ，则 ，当且仅当 、 、 三点共线时取得最小值，所
以 ，故D选项错误；
故选：AC.
28．ABD
【分析】联立抛物线 与直线 求其交点判断A，联立直线 的方程与抛物线 的方程，结合设而不求法判断
B，结合抛物线定义判断C，利用设而不求法判断D.
【详解】直线l垂直于x轴时，其方程为 ，联立 可得 或 ，
所以 ， ，所以 ，A对，
由已知可得直线l的斜率不为0，故可设其方程为 ，
联立 化简可得 ，
，设 ，
则 ， ，B对，
点N在以AB为直径的圆上，则 ，又
所以 ，又 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，故 ，此时直线l的斜率为2，D对，
过点 作 垂直与准线 ，垂足为 ，
过点 作 垂直与准线 ，垂足为 ，
则 ，
所以 ，
当且仅当点 的坐标为 时等号成立，
所以 的最小值为4，C错，
故选：ABD.
第 27 页29．AD
【分析】根据抛物线的定义与性质可以判断A、B、C的正误；结合图像当M，P，F三点共线时， 取得
最小值，计算判断．
【详解】由抛物线的解析式知 ，所以抛物线的焦点 ，准线方程为 ，所以焦点F到抛物线准线的
距离为2，故选项A正确；
设抛物线上点 ，则 ，解得 ，故 ，则点P的坐标有两个，故选项B错误；
过焦点F且垂直于x轴的直线被抛物线所截得的弦为通径，长为 ，故选项C错误；
由抛物线的图像及点M的位置可知，当M，P，F三点共线时， 取得最小值，即 ，
故选项D正确，
故选；AD．
30．BCD
【分析】由于抛物线 的焦点 ，对于A，假设存在直线 ，使得 ， 两点关于直线 对称，
设直线 的方程为 ，联立抛物线的方程，由△ 得 ，
设 ， ， ， ，求出线段 的中点为 坐标，再代入直线 上，解得 ，即可判断A是否正
确；
对于B：设 为抛物线的准线，则准线 的方程为 ，过点 作 于点 ， ，当
且仅当 ， ， 三点共线时等号成立，即可判断B是否正确；
对于C：当直线 过焦点时，设 ， ，由抛物线的定义可得 为点 到准线的距离，即 ，求出以
第 28 页为直径的圆心为 的中点坐标，进而可得圆心到 轴的距离，即可判断C是否正确；
对于D：设 ， ， ， ，求导得 ，写出切线 的方程， 的方程，联立解得交点 的坐标，又
点 在准线 上，得 ，再计算 ，即可判断D是否正确．
【详解】解：由于抛物线 的焦点 ，
对于A，假设存在直线 ，使得 ， 两点关于直线 对称，
则设直线 的方程为 ，联立 ，所以 ，
所以△ ，即 ，
设 ， ， ， ，线段 的中点为 ，所以 ，
所以 ， ，因为点 在直线 上，
所以 ，解得 ，与 矛盾，故A不正确；
对于B：设 为抛物线的准线，则准线 的方程为 ，过点 作 于点 ，
则 ，当且仅当 ， ， 三点共线时等号成立，
所以 的最小值为6，故B正确；
对于C：当直线 过焦点时，设 ， ，
则以 为直径的圆心为 的中点， ， ，
所以圆心到 轴的距离为 ，
由抛物线的定义可得 为点 到准线的距离，即 ，所以 ，
所以当直线 过焦点 时，以 为直径的圆与 轴相切，故C正确；
对于D：设 ， ， ， ，由 ，即 ，所以 ，
则切线 的方程为 ，即 ，
第 29 页同理切线 的方程为 ，
联立 ，解得 ， ，
由题意，点 在准线 上，则 ，所以 ，
所以 ，
所以当 时， 取得最小值4，故D正确；
故选：BCD．
31． ##
【分析】根据题意可得抛物线的焦点坐标 、准线方程 及圆的圆心坐标 、半径 ，利用抛物线的定义可
得点 到抛物线准线的距离即为点 到焦点 的距离，进而得到动点 位于线段 上时距离最小，计算即可求
解.
【详解】解：由题可知，抛物线 的准线方程为 ，焦点坐标为 ，
圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，
设点 到抛物线准线的距离为 ，则 ，故 ，
所以当动点 位于线段 上时，点 到点 的距离与点 到抛物线准线的距离之和最小，
此时 .
故答案为： .
32．
【分析】分析可知 ，利用抛物线的定义结合三点共线可求得 的最小值.
第 30 页【详解】抛物线 的焦点 ，准线方程为 ．
过点 作抛物线准线的垂线，垂足为点 ，
由抛物线的定义可得 ，
则 ，
当且仅当 为线段 与抛物线的交点时，等号成立，
因此， 的最小值为 .
故答案为： .
33． ##
【分析】由抛物线的定义将P点到B点（B点即为抛物线的焦点）的距离转化为到抛物线的准线的距离即可求解.
【详解】解：易知 是抛物线 的焦点， ， 周长为 ，
结合抛物线定义可知 的最小值为点 到抛物线 的准线 的距离，即 ，
所以 周长的最小值为 ．
故答案为： .
34．6
【分析】利用抛物线的定义，结合三点共线时两点之间距离最短可求解.
【详解】抛物线 的焦点 ，准线方程 ，
如图所示，利用抛物线定义知 ，
当 三点共线时， 的值最小，即 轴
此时
故答案为：6
第 31 页35．2
【分析】由抛物线 得焦点 ，准线为 ， ，转化为求 取
得最小值，过点M作准线 的垂线与抛物线 相交，当点A为此交点时， 取得最小值，由
此可求得答案.
【详解】解：由抛物线 得焦点 ，准线为 ，
由圆 ，得 ，所以圆 是以 为圆心，以 为半径的圆，
所以 ，所以当 取得最小值时， 取得最小值，
又根据抛物线的定义得 等于点A到准线 的距离，
所以过点M作准线 的垂线，垂足为N，且与抛物线 相交，当点A为此交点时， 取得最
小值，最小值为 ，所以此时 ，
所以 的最小值为2.
故答案为：2.
36．①③④
【分析】对于①利用导数的几何意义即可求解；对于②，分别设两条曲线上的切线方程，然后根据公切线的定义
建立方程，将方程转化为函数，研究函数的零点即可；对于③，利用抛物线的焦半径公式转化求 的最小值，
进而建立函数，然后再研究函数的单调性即可；对于④，先设动点 的坐标，根据 轴，进而
建立目标函数 ，然后研究该函数单调性即可.
【详解】解：选项①，对于曲线 ， ，当 时， ， ，
故直线 与曲线 相切与点 ；
第 32 页联立 ，可得 ，故此时直线 与 切于点 ，
故直线l： 是曲线 和 的公切线，故①正确；
对于②，设公切线分别与 切于点 ，
则曲线 的切线 为： ，曲线 的切线 为 ，
根据 与 表示同一条直线，则有 ，
解得 ，令 ，则有 ，
可得 在区间 上单调递增；在区间 上单调递减，
则有 ，
根据零点存在性定理可知， 在区间 上存在一个零点，即存在一条公切线
故曲线 和 的公切线有且仅有2条，故②错误；
对于③，如图所示，可得 ，根据抛物线的焦半径公式可得 ，
故有： ，
设点 的坐标为 ：，则有： ，
令 ，可得 ，
再次求导可得： ，故 在 上单调递增，
又 ，可得：当 时， ，即 在 上单调递减；
当 时， ，即 在 上单调递增；
故 ，则 ，故 ，故③正确；
对于④，当 轴时，设 ，则 ，则有： ，
记 ，则有 ，令 ，解得： ，
故当 时， ， 在区间 上单调递减；
当 时， ， 在区间 上单调递增；
故有 ，故 ，故选项④正确.
故答案为：①③④.
第 33 页37．2
【解析】利用抛物线的定义转化 ，再利用圆外的点和圆上的点连线的最小值，数形结合求 最
小值.
【详解】设抛物线的准线 ， 于点 ，则 ，
圆外的点和圆上的点的连线的最小值是 ，
所以
由图可知， 的最小值是点 到准线 的距离 ，
所以 最小值是 .
故答案为：2
【点睛】结论点睛：本题考查抛物线与圆的几何性质有关的最值，涉及与圆有关的最值具体结论如下：
（1）设 为圆的圆心，半径为 ，圆外一点 到圆上的距离的最小值为 ，最大值为 ；
（2）过圆内一点的最长弦为圆的直径，最短弦是以该点为中点的弦；
（3）记圆的半径为 ，圆心到直线的距离为 ，直线与圆相离，则圆上的点到直线的最大距离为 ，最小值为
第 34 页；
38．
【分析】过点 作抛物线 的准线 的垂线 ，垂足点为 ，结合图形可知，当 与直线 垂直，且
点 为线段 与抛物线 的交点时， 取得最小值，即可得解.
【详解】将 代入抛物线方程 ，可得 ， ， 在抛物线 的内部，
过点 作抛物线 的准线 的垂线 ，垂足点为 ，
由抛物线的定义可知 ，所以， ，
当 与直线 垂直，且点 为线段 与抛物线 的交点时， 取得最小值，且最小值为 .
故答案为： .
39．
【分析】利用已知条件求出p，设出P的坐标，然后求解 的表达式，利用基本不等式即可得出结论．
【详解】解：由题意可知： ，设点 ，P到直线 的距离为d，则 ，
所以 ，
当且仅当x 时， 的最小值为 ，此时 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，基本不等式的应用，属于中档题．
40．
【分析】根据定义将 转化为点P到点Q和准线的距离之和，由最小值为3可得p，然后可得抛物线标准
方程.
【详解】过点P、Q分别作准线的垂线，垂直分别为M、N，
第 35 页由抛物线定义可知 ，当P，M，Q三点共线时等号成立
所以 ，解得
所以抛物线C的标准方程为 .
故答案为：
41．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，结合抛物线定义，可求得 ，即得抛物线方程；
（2）由题意推出四边形AOBC是菱形.，设 ，根据抛物线的对称性，可表示出B,C的坐标，从而利
用向量的坐标运算，求得所设参数值，进而求得答案.
(1)
的准线为 ： ，作 于R，
根据抛物线的定义有 ，所以 ，
因为 在 的内侧，所以当P，Q，R三点共线时， 取得最小值，
第 36 页此时 ，解得 ，
所以 的方程为 .
(2)
因为AB，OC互相垂直平分，所以四边形AOBC是菱形.
由 ，得 轴，设点 ，则 ，
由抛物线的对称性知 ， ， ， .
由 ，得 ，解得 ,
所以在菱形 中， ， 边上的高 ，
所以菱形 的面积 .
42．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）先判断出当点M，N，F，E四点共线且点M，N在E，F中间时取得最小值，再解方程求出 ，即
可求解；
（2）设出直线方程 ，联立抛物线求出 ，由 解出 ，再由
即可证明.
(1)
由题得 ，当点M，N，F，E四点共线且点M，N在E，F中间时， 取得最小值，
最小值为 ，又 ，解得 ，所以T的方程为 .
(2)
当直线l的斜率为0时，显然不适合题意；
第 37 页当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为 ，联立 得
，
则 ，所以 ，又 ，
所以 ，所以 ，解得 或 （舍去），即 ，所以 ，
所以 ，又
，所以 .
43．（1） ；（2） .
【解析】（1）由抛物线定义有 ，结合已知条件即可求 ；
（2）由直线与抛物线位置关系，联立方程得到一元二次方程，结合根与系数关系、弦长公式即可求 的最大值.
【详解】（1）由题意知： ，抛物线对称轴方程 .
设 ， ， ，则 ；
（2）点 和 在抛物线 上，有 ， ，
两式相减得： ，令 ，
∴ ，即 ，
∴设直线 的方程为 ，即 ，代入抛物线方程得 ，
∴ ，得 ， ，
∴
∴当 时， ，
【点睛】思路点睛：求抛物线焦半径相关线段长度时注意抛物线定义的应用，即抛物线焦点到抛物线上点的距离
等于该点到抛物线准线的距离；直线与抛物线相交，求弦长时一般要联立方程应用根与系数关系以及弦长公式.
44．(1)选①：4；选②：
(2)
(3)
【分析】（1）（2）（3）数形结合，利用抛物线定义对所求距离之和进行转化为两点之间的距离，或点到直线的
第 38 页距离可得.
(1)
过点B、P分别作准线的垂线，垂足为E、D.
选①：如图1
由抛物线定义可得，
所以点P到点F与它到B的距离之和的最小值为4.
选②：由图2可知，
所以点P到点F与它到B的距离之和的最小值为
(2)
如图2
由抛物线定义可得，
点P到点 与它到准线l的距离之和的最小值为 .
(3)
记P到直线 的距离为d，F到直线 的距离为m.
由图2结合抛物线定义可知，则 .
所以点P到直线 与它到准线l的距离之和的最小值为
45．（1） ；（2）4.
【分析】（1）利用抛物线的定义可知 ，将问题问题转化为求 的最小值，即求.
（2）判断点B在抛物线的内部，过B作 垂直准线于点Q，交抛物线于点 ，利用抛物线的定义求解即可.
【详解】解析（1）依题意，抛物线的焦点为 ，准线方程为 .
由已知及抛物线的定义，可知 ，
于是问题转化为求 的最小值.
由平面几何知识知，
当F，P，A三点共线时， 取得最小值，
最小值为 ，即 的最小值为 .
第 39 页（2）把点B的横坐标代入 中，得 ，
因为 ，所以点B在抛物线的内部.
过B作 垂直准线于点Q，交抛物线于点 （如图所示）.
由抛物线的定义，可知 ，
则 ，
所以 的最小值为4.
【点睛】本题考查了抛物线的定义，理解定义是解题的关键，属于基础题.
第 40 页第 41 页
