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专题 03 一元二次方程的解法（公式法）（6 种题型 1 个易错点
中考 1 种考法）
【目录】
倍速学习五种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点 公式法
【方法二】 实例探索法
题型1用公式法解一元二次方程
题型2解系数中有字母的一元二次方程
题型3用一元二次方程的公式法解决实际问题
题型4运用换元法求代数式的值
题型5根的判别式
题型6根的判别式的应用
【方法三】 差异对比法
易错点1忽略了△的取值，直接将系数代入求根公式
【方法四】 仿真实战法
考法：用公式法解一元二次方程
【方法五】 成果评定法
【倍速学习五种方法】
【方法一】脉络梳理法
一、公式引入
一元二次方程 （ ），可用配方法进行求解：
得： ．对上面这个方程进行讨论：因为 ，所以
①当 时，
利用开平方法，得： ， 即：
②当 时，
这时，在实数范围内，x取任何值都不能使方程 左右两边的值相等，所以原方
程没有实数根．
二、求根公式
一元二次方程 （ ），当 时，有两个实数根：
，
这就是一元二次方程 （ ）的求根公式．
三、用公式法解一元二次方程一般步骤
①把一元二次方程化成一般形式 （ ）；
②确定a、b、c的值；
③求出 的值（或代数式）；
④若 ，则把a、b、c及 的值代入求根公式，求出 、 ；若 ，则方程
无解．
四、 根的判别式
1.一元二次方程根的判别式：我们把 叫做一元二次方程 的根的判别式，
通常用符号“ ”表示，记作
．
2.一元二次方程 ，
当 时，方程有两个不相等的实数根；
当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程没有实数根．
五、根的判别式的应用
（1）不解方程判定方程根的情况；
（2）根据参数系数的性质确定根的范围；
（3）解与根有关的证明题．
【方法二】实例探索法
题型1用公式法解一元二次方程
例1.用公式法解下列方程：
（1） ； （2） ．
7
x =0,x =
1 2 2 x =0,x =2
【答案】（1） ；（2） 1 2 ．
−7±7 7
x= x =0,x =
【解析】（1） a=−2,b=7,c=0 ，则 b2 −4ac=49 ，则 −4 ，∴ 1 2 2；
1 1
±
2 2
x=
a= 1 ,b=− 1 ,c=0 b2 −4ac= 1 1
（2） 4 2 ，则 4，则 2 ，∴ x 1 =0,x 2 =2 ．
【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式 的运用．
例2.用公式法解下列方程：
（1） ； （2） ．
【答案】（1） ；（2） ．
−3±√17
x=
b2 −4ac=17 2
【解析】（1） ，则 ，则 ，
∴ ；
−6±2√14
x=
b2 −4ac=56 −10
（2） ，则 ，则 ，∴ ．【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式 的运用．
例3.用公式法解下列方程：
（1） ； （2） ．
【答案】（1） ；（2） ．
2x2 +4x−5=0 b2 −4ac=56
【解析】（1）方程可化为： ， ，则 ，
−4±2√14
x=
4
则 ，∴ ；
（2）方程可化为： ，则 ．
【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式的运用，（2）也可以用直接开平方法求解．
例4.用公式法解下列方程：
（1） ； （2） ．
【答案】（1） ；（2） ．
a=2,b=24,c=−13 b2 −4ac=680
【解析】（1）方程可化为
，
，则 ，则
−24±2√170
x=
4
，∴
（2）两边同时乘以10，方程可化为
2x2 −3x−2=0
，
a=2,b=−3,c=−2
，则
b2 −4ac=25
， 则
3±5
x=
4 ，∴ ．
【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式的运用，（2）也可以用因式分解法求解．
例5.用公式法解下列方程：
（1） ； （2） ．
【答案】（1） ；（2） ．
6√6±6√5
x=
a=9,b=−6√6,c=1 b2 −4ac=180 18
【解析】（1） ，则 ，则 ，∴原方程的解为： ；
−4√3±8
x=
（2）
a=√2,b=4√3,c=−2√2
，则
b2 −4ac=64
，则
2√2
，
∴原方程的解为： ．
【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式的运用．
题型2解系数中有字母的一元二次方程
例6.用配方法解下列关于x的方程： （ ）．
1 2
【解析】 （ ），则 ax2 +x=−2 ，整理得：x2 + a x=− a ，
( 1 ) 2 2 1 1−8a
配方可得： x+ =− + = ，
2a a 4a2 4a2
1 √1−8a−1 −√1−8a−1
当a≤ 时，x = ，x = ，
8 1 2a 2 2a
1
当a> 时，方程无实数根．
8
【总结】本题主要考查利用配方法求一元二次方程的解，注意配方时方程两边同加一次项系数一半的平方，
另此题系数中含有字母，要注意分类讨论．
例7.用公式法解下列关于x的方程：
（1） ； （2） ．
b+√b2 +4c b−√b2 +4c
x = x =
【解析】（1）∵
Δ=b2 +4c
，∴当
b2 +4c≥0
时，
1 2
，
2 2
；
当
b2 +4c<0
时，原方程无实数根；
（2）原方程可化为： ，∵ ，
∴原方程的解为： ， ．
【总结】本题主要考查利用公式法求解一元二次方程的根，注意分类讨论．
题型3用一元二次方程的公式法解决实际问题
例8.某商场销售一批衬衫，进货价为每件 元，按每件 元出售，一个月内可售出 件．已知这种衬衫每件涨价 元，其销售量要减少 件．为了减少库存量，且在月内赚取 元的利润，售价应定
为每件多少元？
【答案】60元．
【解析】设这种衬衫每件涨价x元．
则根据题意可得：
(50+x−40)(500−10x)=8000
，
整理可得：x2 −40x+300=0，
解得：
x
1
=10
，
x
2
=30
．
x =10 x =30
当 1 时， ；当 2 时， ．
因为要减少库存量，所以售价应定为每件50+10=60元．
【总结】本题中主要考查对减少库存的理解．
题型4运用换元法求代数式的值
例9.已知 ，求代数式 的值．
【答案】1．
【解析】
，
∵ ，∴ ，
∴原式 ．
【总结】本题主要考查代数式的化简求值，不要去解方程，而是用整体代入思想求值．
例10.已知 ，求 的值．
【答案】-4或2．
【解析】∵ ，∴ ，
十字相乘分解得：(x2 −y+4)(x2 −y−2)=0，
∴x2 −y=−4或 ．
【总结】本题主要考查利用整体思想求代数式的值，也可进行换元．
题型5根的判别式
例11.不解方程，判别下列方程的根的情况：
（1） ； （2） ；（3） ； （4） ．
【答案】（1）方程有两不等实根；（2）方程无实数根；（3）方程有两相等实根；
（4）方程有两不等实根．
【解析】（1） ， ， ， ，方程有两不等实根；
（2） ， ， ， ，方程无实数根；
（3） ， ， ， ，方程有两相等实根；
（4） ， ， ， ，方程有两不等实根．
【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，先将方程整理成一般形式，列出方程中的 、
、 ，再代值计算 ，根据 与0的大小关系确定方程根的情况，注意 、 异号时则必有两不等实根．
例12.已知方程组 的解是 ，试判断关于 的方程 的根的情况．
【答案】方程无实数根．
【解析】方程组 的解是 ，代入即得： ，可解得： ，
此时方程即为 ，其中 ， ， ， ，可知方程无实数根．
【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，对于系数含有字母的情况，根据题目条件确定
字母取值，再确定其 值，判定方程解的情况．
例13.当 取何值时，关于 的方程 ，
（1）有两个不相等的实数根？ （2）有两个相等的实数根？（3）没有实数根？
【答案】（1） ；（2） ；（3） ．
【解析】对此方程， ， ， ，则，由此可知，
（1）当 ，即 时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当 ，即 时，方程有两两个相等的实数根；
（3）当 ，即 时，方程无实数根．
【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，对于系数含有字母的情况，先确定其 值，方
程可由 值判定其根的情况，同样地，可由方程根的情况确定其 值与0的大小关系，可在此基础上进行
分类讨论．
题型6根的判别式的应用
例14.证明：方程 有两个不相等的实数根．
【解析】证明：对原方程进行整理，即为：
其中 ， ， ，
则 恒成立，
由此可证得方程有两个不相等的实数根．
【总结】将方程整理成一元二次方程的一般形式，方程的根的情况，只需要根据方程的 值即可以确定下
来．
例 15.如果 是实数，且不等式 的解集是 ，那么关于 的一元二次方程
的根的情况如何?
【答案】方程无实根．
【解析】由 的解集是 ，可知 ，即 ，
对一元二次方程 而言，其中 ， ， ，则 ， 时， 恒成立，
由此可知方程无实数根．
【总结】探求含有字母的一元二次方程根的情况，需要根据题目条件确定相关字母取值范围，再根据其
值确定相关方程根的情况．
例16.已知关于 的方程 总有实数根，求 的取值范围．
【答案】 ．
【解析】（1）当 ，即 时，方程为一元一次方程 ，方程有实根；
（2）当 ，即 时，方程为一元二次方程，
其中 ， ， ，方程有实根，则必有：
，可解得 且 ；
综上所述， 的取值范围为 ．
【总结】对于形如 的方程，首先要根据题意确定二次项系数能否为0，在此基础上进行相
关分类讨论和计算．
【方法三】差异对比法
易错点1忽略了△的取值，直接将系数代入求根公式
例11.用公式法解下列方程：
（1） ； （2） ．
【答案】（1）方程无实数解；（2）方程无实数解．
b2 −4ac=−7<0
【解析】（1） ，则 ，方程无实数解；
b2 −4ac=−216<0
（2） ，则 ，方程无实数解．
【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式的运用．【方法四】 仿真实战法
考法：用公式法解一元二次方程
1．（2021•无锡）（解方程：2x（x﹣2）＝1；
【分析】方程整理后，利用公式法求出解即可；
【解答】解：方程整理得：2x2﹣4x﹣1＝0，
∵a＝2，b＝﹣4，c＝﹣1，
∴Δ＝16+8＝24＞0，
∴x＝ ＝ ，
解得：x ＝ ，x ＝ ；
1 2
2．（2020•无锡）解方程：x2+x﹣1＝0；
【分析】先计算判别式的值，然后利用求根公式求方程的解；
【解答】解：（1）∵a＝1，b＝1，c＝﹣1，
∴△＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，
∴x＝ ，
∴x ＝ ，x ＝ ；
1 2
【方法五】 成果评定法
一、单选题
1．（2023·云南红河·统考二模）一元二次方程 的根的情况为（ ）
A．无实数根 B．一个实数根
C．两个相等的实数根 D．两个不相等的实数根
【答案】C
【分析】计算判别式 的值，然后与零比较大小进行判断即可．
【详解】解： ，
方程有两个相等的实数根．
故选C．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别．解题的关键在于明确一元二次方程 的根与 有如下关系：当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数
根；当 时，方程没有实数根．
2．（2023年河南省洛阳市中考三模数学试题）定义运算： ．例如：
，则方程 的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．无实数根 C．有两个相等的实数根 D．只有
一个实数根
【答案】A
【分析】根据定义的运算，将 转化为一元二次方程，再根据根的判别式判断即可．
【详解】∵
∴
即
∴
∴方程有两个不相等的实数根
故选：A
【点睛】本题考查定义新运算，一元二次方程根的判别式，熟练运用根的判别式判别一元二次方程的根的
情况是解题的关键．
3．（2023·云南楚雄·统考三模）关于x的一元二次方程 有实数根，则k的取值范围是
（ ）
A． B． 且 C． 且 D．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义则 ，再根据一元二次方程 有实数根，则 ，即可
得到 的范围．
【详解】解：由题意得： ，
解得： 且 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义、根的判别式，本题的关键是理解一元二次方程有实数根，包括有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根两种情况．
4．（2023·河南商丘·统考三模）对于实数 、 定义运算“ ”为 ，例如
，则关于 的方程 的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【答案】A
【分析】先根据新定义得到关于x的方程，再根据一元二次方程根的判别式进行判断即可．
【详解】∵实数 ， 定义运算“ ”为 ，
∴ 可化为 ，
整理得： ，
，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，一元二次方程根的判别式，准确理解题意，熟练掌握一元二次
方程根的判别式是解题的关键．
5．（2023·河南郑州·郑州市第八中学校考二模）王林准备解一元二次方程 时，发现常数项被
污染，若该方程有实数根，则 处的数可能是（ ）
A．2 B．3 C．5 D．7
【答案】A
【分析】由题意知， ，解得 ，进而可得结果．
【详解】解：由题意知， ，解得 ，
∴ 处的数可能是2，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的判别式．解题的关键在于正确的运算．
6．（2023·云南昆明·统考二模）若关于x的一元二次方程 没有实数根，则k的值可以是（
）A． B． C． D．0
【答案】A
【分析】根据根的判别式得到 ，再解不等式得到k的取值范围，在对选项进行判断．
【详解】解： 一元二次方程 没有实数根，
解得 ，故k可取 ．
故选：A．
【点睛】本题考查了根的判别式，熟知根与根的判别式之间的关系是解题的关键．
7．（2023·四川巴中·校考二模）已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则
的取值范围是（ ）
A． B．
C． 且 D．
【答案】D
【分析】由关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，根据一元二次方程的定义和根的
判别式的意义可得 且 ，即 ，两个不等式的公共解即为m的取值范围．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，
解得 且 ，
∴m的取值范围为 且 ．
故选：D．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，根据题意列出不等式组是解题的关
键．
8．（2023·云南楚雄·统考一模）已知一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的值为（
）
A． B． C． ，或 D． ，或【答案】B
【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根可知 ，即可求出 的值．
【详解】解： 一元二次方程有两个相等的实数根，
，
，或 .
故选：B．
【点睛】本题考查根的判别式，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
9．（2023·山西·模拟预测）已知关于 的一元二次方程 没有实数根，则一次函数
的图像一定不经过( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】先利用根的判别式的意义得到 ，解不等式得到b的取值范围，然后根据一次函数的
性质解决问题．一元二次方程 的根与 有如下关系：当 时，方程有两
个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程无实数根．
【详解】解：根据题意得 ，解得 ，
∴一次函数 的图像经过第一、二、四象限，不经过第三象限．
故选：C．
【点睛】本题考查了根的判别式，掌握一元二次方程与根的判别式的关系及一次函数的性质是解题的关键．
10．（2023·浙江杭州·统考二模）已知点A，B，C是直线l上互不重合的三个点，设 ，
， ，其中n，a是常数，（ ）
A．若 ，则点A在点B，C之间 B．若 ，则点A在点B，C之间
C．若 ，则点C在点A，B之间 D．若 ，则点C在点A，B之间
【答案】D
【分析】根据点A，B，C是直线l上互不重合的三个点，设当点A在点B，C之间时， 恒成立；设点C在点A，B之间时， 恒成立；分别代入求解即可．
【详解】解：当点A在点B，C之间时， 恒成立，即方程至少有一解
化简得
若 ，则 ，不符合条件，故A选项错误；
若 ，则 ，不符合条件，故B选项错误；
当点C在点A，B之间时， 恒成立，即方程至少有一解
化简得
若 ，则 ，不符合条件，故C选项错误；
若 ，则 ，符合条件，故D选项正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了线段的和与差，一元二次方程根的判定，根据题意，列方程，结合选项进行验证是解
题的关键．
二、填空题
11．（2023·山东青岛·统考二模）已知一元二次方程 有实数解，则k的取值范围是：
________．
【答案】 且
【分析】由一元二次方程 有实数解，可得 ，再解不等式组即可．【详解】解：∵一元二次方程 有实数解，
∴ ，
解得： 且 ，
故答案为： 且 ．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义，一元二次方程的根的判别式，理解题意，列出正确的不等式
组是解本题的关键．
12．（2023·山东济南·统考二模）若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的
取值范围是________．
【答案】 且
【分析】根据一元二次方程根的判别式可进行求解．
【详解】解：由题意得：
且 ，
∴ 且 ，
故答案为： 且 ．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键，注意
容易漏掉二次项系数不为零这一条件．
13．（2023·四川成都·统考二模）关于 的方程 有两个实数根，则 的取值范围是______．
【答案】
【分析】有两个实数根，首先二次项系数需不为 ，其次 ，列出不等式求解即可．
【详解】解： 有两个实数根，
，即 ，
解得 ，
故答案为： ．【点睛】本题考查一元二次方程有实数根的条件，掌握一元二次方程根的判别式是关键．
14．（2023春·北京房山·八年级统考期末）关于 的一元二次方程 有两个实数根，则 的取
值范围是_________．
【答案】 /
【分析】一元二次方程 的根与 有如下关系：当 时，方程有两个不相
等的两个实数根；当 时，方程有两个相等的两个实数根；当 时，方程无实数根．利用判别式的
意义得到 ，然后解 的不等式即可．
【详解】解：根据题意得 ，
解得 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式以及解一元一次不等式，理解并掌握一元二次方程的根的
判别式的意义是解题关键．
15．（2023春·浙江·八年级期中）下列关于一元二次方程 的命题中，真命题有
_________（填序号）
①若 ，则 ；②若方程 两根为1和2，则 ；③若方程
有两个不相等的实根，则方程 必有实根．
【答案】①②③
【分析】把 代入判别式中得到 ，则可对①进行判断；利用根与系数的关系得到
，则 ，可对②进行判断；利用方程 有两个不相等的实根得到 ，则
，可对③进行判断．
【详解】解：∵ ，则 ，
∴ ，所以①正确；
∵方程 两根为1和2，
∴ 则c=2a，∴ ，所以②正确；
∵方程ax2+c=0有两个不相等的实根，
∴ ，
∴ ，
∴方程 必有两个实根，所以③正确．
故答案为①②③．
【点睛】本题主要考查了命题真假的判断、一元二次方程根的判别式、根与系数的关系等知识点，掌握一
元二次方程根的判别式、根与系数的关系是解答本题的关键．
16．（2023·江苏扬州·统考二模）若关于x的一元二次方程 没有实数根，则c的取值范围是
______．
【答案】
【分析】由一元二次方程 没有实数根，再根据根的判别式列不等式求解即可.
【详解】解： 关于x的一元二次方程 没有实数根，
∴关于x的一元二次方程 没有实数根，
，
，解得： .
故答案为： .
【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟练由根的情况求解字母参数的取值范围是解题的关键.
17．（2023春·重庆北碚·八年级西南大学附中校考期中）若关于x的一元一次不等式组 的解
集为 ，关于x的一元二次方程 有实数根，则所有满足条件的整数a的值之和是
_________．
【答案】
【分析】先求出不等式组中不等式的解集，根据不等式组的解集求出 的范围，再根据根的判别式得出，求出 的范围，最后取符合条件的整数 即可．
【详解】解：解不等式 得： ，
解不等式 得： ，
∵关于x的一元一次不等式组 的解集为 ，
∴ ，解得 ，
∵关于x的一元二次方程 有实数根，
∴ ， ，
解得 且 ，
综上所述， 且 ，
∴所有满足条件的整数a的值是 ，
∴所有满足条件的整数a的值之和是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和根的判别式，能求出a的取值范围是解此题的关键，特别注意
．
18．（2023春·浙江·七年级专题练习）已知 ， 为实数，且满足 ，记 的
最大值为 ，最小值为 ，则 ___________．
【答案】
【分析】根据题意得出 ，进而根据关于 的方程 有实数解，
得出 ，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，∴ ，
∵已知 ， 为实数，且满足 ，
∴关于 的方程 有实数解，
∴ ，
∴ ，
的最大值为 ，
的最大值为： ，即 ，
当 时， 的最小值为： ，即 ，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式是解题的关键．
19．（2023春·浙江杭州·九年级翠苑中学校考阶段练习）如图是一张菱形纸片， ， ，点
在边 上，且 ，点 在 边上，把 沿直线 对折，点 的对应点为点 ，当点 落
在菱形对角线上时，则 _____．
【答案】 或 ．
【分析】分情况讨论∶①当点 落在菱形对角线 上时，根据菱形的性质和折叠的性质先证明
，根据折叠的性质可得 ，进一步求解即可；②当点 落在菱
形对角线 上时，根据菱形的性质和折叠的性质可知 是等边三角形，可得 ．
【详解】解∶分情况讨论∶①当点 '落在菱形对角线 上时，如图所示∶在菱形 中， ， ， ， ，
∴ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
根据折叠，可知 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
解得 （舍去）或 ．
②当点 '落在菱形对角线 ．上时，如图所示∶ ．
在菱形 中， ，
∴ ，根据折叠可知， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
综上所述， 的长为 或 ，
故答案为∶ 或 ．
【点睛】本题考查了翻折变换(折叠问题)，菱形的性质， 等边三角形的判定和性质，熟练掌握折叠的性质
是解题的关键，注意分情况讨论．
三、解答题
20．（2023·全国·九年级专题练习）解方程： （公式法）
【答案】 ，
【分析】利用 对方程根的情况进行判断，然后利用公式法进行求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ．
【点睛】本题考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握一元二次方程的求根公式是解题的关键．
21．（2023·安徽淮北·校考模拟预测）将一些相同的“☆”按如图所示摆放，观察其规律并回答下列问题：(1)图6中的“☆”的个数有_________个；
(2)图 中的“☆”的个数有_________个；
(3)图 中的“☆”的个数可能是100个吗；如果能，求出 的值；如果不能，试用一元二次方程的相关知
识说明理由．
【答案】(1)35
(2)
(3)图 中的“☆”的个数不可能是100个，理由见解析
【分析】（1）图1中的“☆”的个数有 个，图2中的“☆”的个数有 个，图3中
的“☆”的个数有 个，图4中的“☆”的个数有 个，由此得到规律求解即可；
（2）根据（1）所求即可得到答案；
（3）令 ，解方程求出n的值，看n是否是正整数即可得到答案．
【详解】（1）解：图1中的“☆”的个数有 个，
图2中的“☆”的个数有 个，
图3中的“☆”的个数有 个，
图4中的“☆”的个数有 个，
……
∴可以得到规律，图n中的“☆”的个数有 个，∴图6中的“☆”的个数有 个，
故答案为： ；
（2）解：由（1）得图n中的“☆”的个数有 个，
故答案为： ；
（3）解：图 中的“☆”的个数不可能是100个，理由如下：
令 ，则 ，
解得 ，
又∵ 为整数，
∴图 中的“☆”的个数不可能是100个．
【点睛】本题主要考查了图形类的规律探索，解一元二次方程，正确理解题意找到规律是解题的关键．
22．（2023春·北京房山·八年级统考期末）已知：关于 的一元二次方程 ．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)写出一个满足条件的a的值，并求此时方程的根．
【答案】(1)证明见解析
(2)当 时，原方程的根是 ， （答案不唯一）
【分析】（1）计算根的判别式，然后进行配方判断其大于 即可证明；
（2）当 时，原方程可化为： 求解此方程即可．
【详解】（1）证明： ，
∵ ，
∴该方程总有两个实数根．
（2）由（1）知无论a取何值，该方程总有两个实数根，
当 时，原方程可化为： ，
，，
，
，
∴ ， ．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式和一元二次方程的解法，熟练掌握根的判别式与一元
二次方程的根的情况的关系、一元二次方程的解法是解题的关键．
23．（2023·全国·九年级专题练习）解方程： ．
【答案】 ，
【分析】直接利用公式法求解即可．
【详解】解： ， ， ，
，
，
， ．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
24．（2023·广东广州·统考二模）已知正方形 中， ，E是边 上的动点，连接 和 ．
(1)尺规作图：在图中分别作线段 和 的中点F和G，连接FG；（不写作法，不说明理由，写明结论
并保留作图痕迹）
(2)当 时，求（1）中所作的线段 的长度．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）分别作出 和 的线段垂直平分线，对应线段与对应的线段垂直平分线的交点即为所求；
（2）设 ，则 ， ，利用勾股定理建立方程求出 的长，再由三角形中位线定理
求出 的长即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：∵四边形 是正方形，
∴ ，
设 ，则 ， ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
∴ ，
解得 或 （舍去），
∴ ，
∵ 分别为 的中点，
∴ 为 的中位线，
∴ ．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的尺规作图，三角形中位线定理，灵
活运用所学知识是解题的关键．
25．（2022秋·上海·八年级期末）如图，在Rt ABC中，∠C=90°，AB= ，BC= ，点D是边AB的
△
中点，点E是边AC上一个动点，作线段DE的垂直平分线分别交边AC、BC于点M、N，设AM=x，
ME=y．
(1)当点E与点C重合时，求ME的长；
(2)求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
(3)当MN经过 ABC一边中点时，请直接写出ME的长．
【答案】(1) △
(2)
(3) 或
【分析】（1）连接MD，结合题意，根据含 角直角三角形、直角三角形斜边中线、垂直平分线的性质
分析，结合勾股定理性质计算，即可得到答案；
（2）连接MD，过点M作AB的垂线，垂足为F，根据垂直平分线、勾股定理的性质，得 ，
结合（1）的结论，通过列一元二次方程并求解，得函数的定义域，即可得到答案；
（3）分MN经过AC中点、MN经过AB中点、MN经过BC中点三种情况，结合（2）的结论，根据垂直平分线、勾股定理、二次根式、三角形中位线的性质计算，即可得到答案．
(1)
连接MD，
∵AB= ，BC= ，
∴BC= AB，
∵∠C=90，
∴∠A=30
∵点D是AB的中点，
∴CD=AD，
∴∠ACD=30，∠ADC=120，
∵MN垂直平分CD，
∴CM=DM，
∴∠MDC=30，
∴
∴
设 ，则
∴
∴
∴ 或 （舍去）
∴ ；
(2)
连接MD，过点M作AB的垂线，垂足为F，∵MN垂直平分ED，
∴ME=MD=y，
∵∠A=30
∴MF= ，
∴
∴FD ，
在Rt MDF中，
△
∴
∴
根据（1）的结论，当点E与点C重合时，
∴
∴ 或
∵
∴ 不符合题意
∴
∴
∴y关于x的函数解析式是 ；
(3)
分MN经过AC中点、MN经过AB中点、MN经过BC中点三种情况分析，当MN经过AC中点时，即
∴ ，即
当MN经过AB中点时，和MN分别交边AC、BC于点M、N的结论矛盾
∴MN经过AB中点不成立
当MN经过BC中点时，如图，分别连接EN、DN
∴
∵
∴ ，
∵MN线段DE的垂直平分线
∴
∵AM=x，ME=y
∴
∵∠C=90°
∴
∴
∴
∴
∴∴ ，即
∴ 或 ．
【点睛】本题考查了勾股定理、垂直平分线、三角形中位线、含 角直角三角形、直角三角形斜边中线、
二次根式、一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理、含 角直角三角形、一元二次方程
的性质，从而完成求解．
26．（2023春·全国·八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标（2，0），点C是y轴上的动
点，当点C在y轴上移动时，始终保持 是等边三角形（点A、C、P按逆时针方向排列）；当点C
移动到O点时，得到等边三角形 （此时点P与点B重合）．
(1)点B的坐标为 ，直线 的表达式为 ．
(2)点C在y轴上移动过程中，当等边三角形 的顶点P在第二象限时，连接 求证：
；
(3)当点C在y轴上移动时，点P也随之运动，探究点P在移动过程中有怎样的规律？请将这个规律用函数
关系式表达出来；
(4)点C在y轴上移动过程中，当 为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
【答案】(1) ；
(2)证明见解析
(3)
(4) 或 或 或【分析】（1）①过点B作 轴于D，根据等边三角形的性质得出坐标即可；②根据待定系数法即可
求出直线 的解析式．
（2）根据 证明 即可．
（3）根据第二问推出三角形 为直角三角形，发现 ，设 ，利用勾股定理和坐标轴中点
到点之间距离公式列方程，即可求出 的运动规律，即求出函数关系式．
（4）根据 为等腰三角形分三种情况讨论：① ② ③ ，利用在坐标轴中点到
点的距离公式根据三种情况，列方程，即可求出点 坐标．
【详解】（1）解： ，
，
过点B作 轴于D，
为等边三角形， ，
， ，
，
即 .
设直线 的解析式为： ，
将 ， 代入，
则：解得：
.
故答案为： ； ．
（2）证明： 和 为等边三角形，
， ， ，
.
在 和 中，
.
（3）解： ，
，
设
在 中， ，
，
，
，
．
故答案为： ．
（4）解： ， ， ，， ， .
① 时，
，
解得： 或 （舍去），
直线解析式为：
故此时 ；
② 时，
，
解得： ，
直线解析式为：
故此时 ；
③ 时，
，
解得： 或
直线解析式为：
故此时 或 ；
综上所述，点P的坐标为 或 或 或 ．故答案为： 或 或 或 ．
【点睛】此题考查三角形的综合题，综合性较强，涉及到的知识点有一次函数解析式、一元二次方程．解
题的关键在于是否能分情况讨论求出点 坐标．
27．（2023春·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考期中）如图1．在平面直角坐标系中，直线 与
轴， 轴交于 、 两点．将直线 竖直向上平移2个单位后与 交于点 ，与
轴交于 ．
(1)求点C的坐标；
(2)连接 ，在直线 上是否存在点E，使得 ．若存在，求出点 的坐标；若不存在，请
说明理由；
(3)如图2，已知 ， ，过B作 轴且 ；若点G沿 方向以每秒2个单位长
度运动，同时， 点沿 方向以每秒1个单位长度运动经过t秒的运动， 到达 处， 到达 处，连
接 、 ．问： 能否平分 ？若能，请直接写出t的值；若不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在， ，
(3)能， 的值为3
【分析】（1）根据题意利用待定系数法先求出直线 的解析式，由平移2个单位长度得到直线 的函
数解析式，再与直线 的解析式联立，求解即可；（2）先求出 的面积，设点 ，用含有的 的代数式表示 的面积，根据
列方程求解即可；
（3）利用角平分线和平行线的性质得到 ，再分别利用线段的和差关系以及勾股定理用含有 的
代数式表示 ，最后列方程求解即可．
【详解】（1）解：设直线 的解析式为：
把 、 代入得：
解得：
∴直线 ：
∵直线 由 竖直向上平移2个单位得到，
∴直线 ：
联立得：
解得：
∴点 的坐标为
（2）解：设直线 与 轴交于点 ，
当 时，
解得：
∴∴
∵点 在直线 ，
设点
①当点 在 延长线上时，
则
∵
解得：
∴点
②当点 在 延长线上时，
则
∵
解得：
∴点
∴存在，点E的坐标为 和（3）过点 作
∵ 轴
∵ 平分
∴
∴ ，
∴
，
∴解得： （舍去）
∴能， ．
【点睛】本题主要考查一次函数与几何综合，熟练掌握直线的交点坐标的求法以及利用角平分线的性质以
及平行线的性质得到等腰三角形并列方程求解是解决本题的关键．
