易错点17双曲线答案-备战2023年高考数学易错题_2.2025数学总复习_赠品通用版（老高考）复习资料_一轮复习_2023年高考数学一轮复习易错题（含解析）

易错点 17 双曲线 易错点1：焦点位置不确定导致漏解 要注意根据焦点的位置选择双曲线方程的标准形 式，知道 之间的大小关系和等量关系： 易错点2：双曲线的几何性质，渐近线、离心率、焦半经、通径； 易错点3：直线与双曲线的位置关系 （1）忽视直线斜率与渐近线平行的情况； （2）在用椭圆与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否 为零？判别式 的限制.（求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在 下进行）. 题组一：定义与标准方程 1．（2015福建理）若双曲线 的左、右焦点分别为 ，点 在双曲线 上，且 ，则 等于（ ） A．11 B．9 C．5 D．3 【答案】B PF  PF 2a6 3 PF 6 PF 9 【解析】由双曲线定义得 1 2 ，即 2 ，解得 2 ，故选 B． 2．（2019年新课标1卷）已知椭圆 的焦点为 ， ，过 的直线与 交于 ， 两点．若 ， ，则 的方程为 A． B． C． D． 【答案】B 【解答】∵ ，∴ ， 又 ，∴|BF|＝3|BF|， 1 2 又|BF 1 |+|BF 2 |＝2a，∴|BF 2 |＝ ， ∴|AF 2 |＝a，|BF 1 |＝ ， 在Rt△AFO中，cos∠AFO＝ ， 2 2在△BFF中，由余弦定理可得cos∠BFF＝ ， 1 2 2 1 根据cos∠AF O+cos∠BF F ＝0，可得 ，解得a2＝3，∴ ． 2 2 1 b2＝a2﹣c2＝3﹣1＝2． 所以椭圆C的方程为 故选：B． 3．（2017新课标Ⅲ理）已知双曲线 ： 的一条渐近线方程为 ，且与椭圆 有公共焦点，则 的方程为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得： ， ，又 ，解得 ， ， 则 的方程为 ，故选B． x2 y2 − =1 4.（2016年新课标1卷）已知方程m2 +n 3m2 −n 表示双曲线，且该双曲线两焦点间 的距离为4，则n的取值范围是（ ） A.(-1,3) B.(-1,) C.(0,3) D.(0,) 【答案】A 】由题意知c=2, 【解析 , x2 y2 − =1 因为方程m2 +n 3m2 −n 表示双曲线， 所以 解得 故选A. 题组二：焦点三角形5．（2020·新课标Ⅰ文）设 是双曲线 的两个焦点， 为坐标原点，点 在 上且 ，则 的面积为（ ） A． B．3 C． D．2 【答案】B 【解析】由已知，不妨设 ， 则 ，∵ ，∴点 在以 为直径的圆上， 即 是以P为直角顶点的直角三角形，故 ， 即 ，又 ， ∴ ， 解得 ，∴ ，故选B． 6．【2020年高考全国Ⅲ卷理数11】已知双曲线 的左、右焦 点 ，离心率为 √5 ．P是 C 上的一点，且 F 1 P⊥F 2 P ．若 ΔPF 1 F 2的面积为 ，则 a=（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解法一： ， ，根据双曲线的定义可得 ， ，即 ， ， ， ，即 ，解得 ，故选A． b2 S = PF F θ b2 1 2 tan 解法二：由题意知，双曲线的焦点三角形面积为 2 ．∴ tan45° =4，则 b=2 ， c e= =√5 又∵ a ，∴ a=1 ．解 法 三 ： 设 PF 1 =m,PF 2 =n ， 则 S PF 1 F 2 =mn=4 ， m−n=2a ， c m2 +n2 =4c2,e= =√5 a ，求的 a=1 ． 7.（2015全国1卷）已知 是双曲线 上的一点， 是 上的两 个焦点，若 ，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】法1：根据题意 的坐标分别为 ， 所以 所以 所以 .故选A. 秒杀法2： 当由等面积得： 因为 ，所以 为钝角，根据变化规律，可得 故选A. 8．(2016全国II理)已知 ， 是双曲线 ： 的左、右焦点，点 在 上， 与 轴垂直， ，则 的离心率为（ ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解析】设 ，将 代入双曲线方程，得 ，化简得 ， 因为 ，所以，所以 ，所以 ，故选A． 题组三：渐进线 x2 y2 C:  1 9．（2019全国3卷）双曲线 4 2 的右焦点为F ，点P在C的一条渐近线上，O 为坐标原点，若 |PO||PF| ，则PFO的面积为 ( ) 3 2 3 2 A． 4 B． 2 C．2 2 D．3 2 【答案】A x2 y2 2 【解析】双曲线C:  1的右焦点为 ，渐近线方程为： y  x，不 4 2 F( 6,0) 2 2 6 3 妨设点 在第一象限，可得tanPOF  ，P( , )，所以 的面积为： P 2 2 2 △PFO 1 3 3 2  6  ,故选A． 2 2 4 10．(2018全国2卷)双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解法一 由题意知， ，所以 ，所以 ，所 以 ，所以该双曲线的渐近线方程为 ，故选A ． 解法二 由 ，得 ，所以该双曲线的渐近线方程为 ．故选A． 11．（2017天津理）已知双曲线 的左焦点为 ，离心率为 ． 若经过 和 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为 A． B． C． D． 【答案】B【解析】设 ，双曲线的渐近线方程为 ，由 ，由题意有 ，又 ， ，得 ， ，故选B． 1 y  x 12．（2015新课标1文）已知双曲线过点 (4, 3) ，且渐近线方程为 2 ，则该双曲 线的标准方程为 ． 【答案】 1 y  x 【解析】∵双曲线的渐近线方程为 2 ，故可设双曲线的方程为 (4, 3) ，又双曲线过点 ，∴ ，∴ ，故双曲线的方程为 ． 题组四：离心率 13．(2021年高考全国甲卷理科)已知 是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且 ，则C的离心率为 ( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为 ，由双曲线的定义可得 ， 所以 ， ； 因为 ,由余弦定理可得 ， 整理可得 ，所以 ，即 ． 故选：A 14．(2021全国乙卷理科)设 是椭圆 的上顶点，若 上的任意 一点 都满足 ，则 的离心率的取值范围是( ) A B C D A． B． C． D． 1 1 1 1 【答案】C【解析】设 ，由 ，因为 ， ，所以 ， 因为 ，当 ，即 时， ，即 ，符 合题意，由 可得 ，即 ； 当 ，即 时， ，即 ，化简得， ，显然该不等式不成立． 故选：C． 15．（2019全国1卷）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过 的直线与 的两条渐近线分别交于 ， 两点．若 ， ，则 的离心率为 ． 【答案】2 【解析】如图， ， ，∴OA⊥F1B， 则F B： ①，渐近线OB为 ② 1 联立①②，解得B ， 则 ， ， 又 ， 所以 整理得： ，故 的离心率为 x2 y2 C:  1(a0,b0) 16．（2019全国2卷）设F 为双曲线 a2 b2 的右焦点，O为坐标原点， 以OF 为直径的圆与圆 x2  y2 a2 交于P， Q 两点，若 |PQ||OF| ，则C的离心率为( ). A． B． C．2 D． 【答案】A c c2 【解析】法1：由题意，把x 代入 ，得 PQ 2 a2  ， 2 x2  y2 a2 4 c2 再由 ，得2 a2  c，即 ， PQ  OF 4 2a2 c2 c2 c 所以 2，解得e  2.故选A． a2 a 法2：如图所示，由 PQ  OF 可知PQ为以OF 为 直径圆的另一条直径， c c 所以P  , ，代入 得 ， 2 2 x2  y2 a2 2a2 c2 c2 c 所以 2，解得e  2.故选A． a2 a 法 3 ： 由 PQ  OF 可 知 PQ为 以 OF 为 直 径 圆 的 另 一 条 直 径 ， 则 1 2 c OP a 2 OF  c，e  2.故选A． 2 2 a 题组五：距离 17．【2020 年高考北京卷 12】已知双曲线 ，则 的右焦点的坐标为 ________； 的焦点到其渐近线的距离是__________． 【答案】 ， 【解析】∵双曲线 ，∴ ， ， ，∴ ，∴右焦点坐标为 ，∵双曲线中焦点到渐近线距离为 ，∴ ．18．【2018·全国Ⅲ文】已知双曲线 的离心率为 ，则点 到 的渐近线的距离为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ， ，∴双曲线 的渐近线方程为 ， ∴点 到渐近线的距离 ，故选D． 19.（2018全国1卷）已知双曲线C： - y2 =1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线 与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若ΔOMN为直角三角形，则|MN|=____. 【答案】3 【解析】因为双曲线 的渐近线方程为 ，所以 ．不妨 设过点 的直线与直线 交于点 ，由 为直角三角形，不妨设 ，则 ，又直线 过点 ，所以直线 的方程 为 ， 由 ，得 ，所以 ， 所以 ，所以 ． 20．【2020 年高考浙江卷 8】已知点 ．设点 满足 ，且 为函数 图像上的点，则 （ ） A． B． C． D． 10 【答案】D 【解析】由条件可知点 在以 为焦点的双曲线的右支上，并且 ，∴ ，方 程 为 且 点 为 函 数 上 的 点 ， 联 立 方 程 ，解得： ， ， ，故选 D． y2 =16x 1.等轴双曲线 的中心在原点，焦点在 轴上， 与抛物线 的准线交于 两 点， ；则 的实轴长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C y2 =16x 【解析】设等轴双曲线C: ， 的准线 y2 =16x 因为 与抛物线 的准线交于 两点， ， 所以 ,将A点代入双曲线方程得 ，故选C. 1 y=± x 2 2.双曲线的渐进线方程为 ，且焦距为10，则双曲线方程为（ ） x2 y2 x2 y2 x2 y2 − =1 − =1 − =1 20 5 5 20 20 5 A. B. 或 x2 y2 x2 y2 − =1 | − |=1 5 20 20 5 C. D. 【答案】D 1 y=± x 2 【解析】当焦点在x轴时，渐进线方程为 ， 所以 ，解得 ， 所以双曲线的方程为 .1 y=± x 2 焦点在y轴时，渐进线方程为 ， 所以 ，解得 ， 所以双曲线的方程为 .故选D. 3.已知双曲线 的中心为原点， 是 的焦点，过F的直线 与 相交于A，B两 点，且AB的中点为 ,则 的方程式为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由双曲线 的中心为原点， 是 的焦点可设双曲线的方程为 ，设 ，即 则 ，则 ， 故 的方程式为 ．应选B． 4.已知双曲线 ： 的离心率为 ，则 的渐近线方程为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题意 ， 所以 的渐近线方程为 故选C. 5. 已知 是双曲线 ： 的一个焦点，则点 到 的一条渐近线的 距离为( ) A. B.3 C. D. 【答案】A】由C: 得 【解析 即 ， 则点F到C得一条渐近线得距离 故选A. x2 y2  1(a 0,b0) a2 b2 6.P是双曲线 右支上的一点，F 、F 分别是左、右焦点，且焦距 1 2 PF F 为2c，则 1 2的内切圆的圆心的横坐标为 . 【答案】x=a 【解析】如图所示： ，设内切圆与x轴的切点是 点H，PF ,PF 与内切圆的切点分别为M、N， 1 2 由双曲线定义有|PF |-|PF |=2a，由圆的切线长定理知， |PM|=| 1 2 PN|,所以|MF |-|NF |=2a,即|HF |-|HF |=2a,设内切圆的圆心横坐标 1 2 1 2 为x，则点H的横坐标为x，所以（x+c)-(c-x)=2a,得x=a. 7.已知F、F为双曲线C： 的左、右焦点，点P在C上，∠FPF＝60°，则P到 1 2 1 2 x轴的距离为________. 【答案】 【解析】法1：设 ，可知 , 根据双曲线定义 ①， 在ΔPF F 中，根据余弦定理 1 2 ② 联立①②得 ，设P到x轴得距离为h， 则 秒杀法2：由等面积得： 设P到x轴得距离为h，故答案为： 8.已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为 120°，则E的离心率为_____. 【答案】 【解析】根据题意，设双曲线 ，不妨设点M在第一象限，所以| AB|=|BM|=2a,∠MBA=1200,作MH⊥x轴于点H，则∠MBH=600，故|BH|=a, 将点M代入 得a=b,所以 9.若双曲线 （ ， ）的一条渐近线被圆 所截得的 弦长为2，则 的离心率为___. 【答案】2 【解析】双曲线 的渐近线方程为 ，圆心 到渐近线的距离为 ，圆心 到弦的距离也为 ， 所以 ，又 ，所以得 ，所以离心率 10．设F ，F 是双曲线C: －＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦点，O是坐标原点．过F 作C的 1 2 2 一条渐近线的垂线，垂足为P．若|PF|=|OP|，则C的离心率为_____. 1 【答案】 【解析】法1：不妨设一条渐近线的方程为 ， 则 到 的距离 ， 在 中， ，所以 ， 所以 ，又 ，所以在 与 中， 根据余弦定理得 ， 即 ，得 ．所以 ． 法2：选C 设P(t,- t),∵PF 与y=- x垂直， 2 ∴=，解得t= 即P(,- ) ∴|OP|==a，|PF|=， 1依题有(+c)2+(- )2=6a2，化简得c2=3a2，即