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易错点 19 两个计数原理
易错点1：没有理解两个基本原理出错
排列组合问题基于两个基本计数原理，即加法原理和乘法原理，故理解“分类用加、分步
用乘”是解决排列组合问题的前提.
易错点2：判断不出是排列还是组合出错
在判断一个问题是排列还是组合问题时，主要看元素的组成有没有顺序性，有顺序的是排
列，无顺序的是组合.
易错点3：重复计算出错
在排列组合中常会遇到元素分配问题、平均分组问题等，这些问题要注意避免重复计数，
产生错误。
易错点4：遗漏计算出错
在排列组合问题中还可能由于考虑问题不够全面，因为遗漏某些情况，而出错。
易错点5：忽视题设条件出错
在解决排列组合问题时一定要注意题目中的每一句话甚至每一个字和符号，不然就可能多
解或者漏解.
易错点7：混淆通项公式 与展开式中的第r项
易错点8：混淆二项式展开式中a,b排列顺序设置陷阱
易错点9：混淆二项式系数和项的系数
易错点10：混淆二项式最大项与展开式系数最大项
题组一：分配问题
1．(2021年高考全国乙卷理科)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰
球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志
愿者，则不同的分配方案共有 ( )
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
【答案】C
【解析】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以
先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有 种选法；然后连同其余三人，看成四个
元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有
4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有 种不同的分配方案，
故选：C．
2．（2017新课标Ⅱ）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人
完成，则不同的安排方式共有
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
【答案】D
【解析】由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要
把工作分成三份：有 种方法，然后进行全排列，由乘法原理，不同的安排方式共有
种． 故选D．
3．（2014新课标1）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ．
4．(2018全国卷Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，
则不同的选法共有___种．（用数字填写答案）
【答案】16
【解析】通解 可分两种情况：第一种情况，只有1位女生入选，不同的选法有
（种）；第二种情况，有2位女生入选，不同的选法有 （种）．
根据分类加法计数原理知，至少有l位女生人选的不同的选法有16种．
优解 从6人中任选3人，不同的选法有 （种），从6人中任选3人都是男生，
不同的选法有 （种），所以至少有 1位女生入选的不同的选法有 20–4 =16
（种）．
题组二：排数问题
5．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不
相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，
若2个0相邻，则有 种排法，若2个0不相邻，则有 种排法，
所以2个0不相邻的概率为 .故选：C.
6．（2016四川理）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数
为
A．24 B．48 C．60 D．72
【答案】D
【解析】由题意，要组成没有重复的五位奇数，则个位数应该为1、3、5中任选一个，有
种方法，其他数位上的数可以从剩下的4个数字中任选，进行全排列，有 种方法，
所以其中奇数的个数为 ，故选D．
7．（2015广东理）某高三毕业班有 人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言．（用数字作答）
【答案】1560 【解析】由题意 ，故全班共写了1560条毕业留言．
8．（2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（大纲卷））将字母a,a,b,b,c,c,排成
三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
【答案】A
【解析】先排第一列,由于每列的字母互不相同,因此共有3×2×1种不同的方法;再排第二列,
其中第二列第一行的字母共有2种不同的排法,第二列第二、三行的字母只有1种排法,因此
共有3×2×1×2=12(种)不同的方法.
题组三：二项式定理
9．(2018全国Ⅲ理) 的展开式中 的系数为
A．10 B．20 C．40 D．80
【答案】C
【解析】 ，由 ，得 ，所以 的系数为
．故选C．
10．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）） 的展开式
中x3y3的系数为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】C
【解析】 展开式的通项公式为 （ 且 ）
所以 的各项与 展开式的通项的乘积可表示为：
和
在 中，令 ，可得： ，该项中 的系数为 ，
在 中，令 ，可得： ，该项中 的系数为
所以 的系数为 。故选：C
11．【2020全国Ⅲ理14】 的展开式中常数项是 （用数字作答）．【答案】
【解析】 ，其二项式展开通项：
，当 ，解得
， 的展开式中常数项是： ．故答案为：
．
12．【2020天津卷11】在 的展开式中， 的系数是_________．
【答案】10
【解析】因为 的展开式的通项公式为
，令 ，解得 ．所以
的系数为 ．故答案为： ．
1如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加
志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）
A．24 B．18 C．12 D．9
【答案】B
【解析】由题意可知 有6种走法， 有3种走法，由乘法计数原理知，共有
种走法，故选B．
2．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个
小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）
A．12种 B．10种 C．9种 D．8种
【答案】A【解析】先安排1名教师和2名学生到甲地，再将剩下的1名教师和2名学生安排到乙地，
共有 种．
3． 的展开式中 的系数为（ ）
A．10 B．20 C．40 D．80
【答案】C
【解析】由题可得
令 ,则 ,所以 ，故选C.
4．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去 个场馆，甲场馆安排 名，乙
场馆安排 名，丙场馆安排 名，则不同的安排方法共有 （ ）
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
【答案】C
【解析】首先从 名同学中选 名去甲场馆，方法数有 ；然后从其余 名同学中选 名
去乙场馆，方法数有 ；最后剩下的 名同学去并场馆，故不同的安排方法共有
种，故选C．
5.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的 6个
爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取
一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 在所有重卦中随机取一重卦，基本事件总数 ，
该重卦恰有3个阳爻包含的基本个数 ，
则该重卦恰有3个阳爻的概率 ．故选A．
6． 展开式中 的系数为（ ）
A．15 B．20 C．30 D．35【答案】C
【解析】 展开式中含 的项为 ，故 前系数为
30，故选C．
7．二项式 的展开式中 的系数为15，则
（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】由 ，知 ，
∴ ，解得 或 (舍去)，故选C．
8． 展开式中 的系数为（ ）
A．15 B．20 C．30 D．35
【答案】C
【解析】因为 ，则 展开式中含 的项
为 ， 展开式中含 的项为 ，故 的系
数为 ，选C.
n n
9．从 个正整数1，2，…， 中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率
1
为14，则 n =________．
【答案】8
2 1
C2 14 n8
【解析】由题意 n ，解得 ．
10． 的展开式中，若 的奇数次幂的项的系数之和为32，则 ________．
【答案】
【解析】：由已知得 ，故 的展开式中x的
奇数次幂项分别为 ， ， ， ， ，其系数之和为 ，解
得 ．
