易错点16椭圆答案-备战2023年高考数学易错题_2.2025数学总复习_赠品通用版（老高考）复习资料_一轮复习_2023年高考数学一轮复习易错题（含解析）

易错点 16 椭圆 易错点1：焦点位置不确定导致漏解 要注意根据焦点的位置选择椭圆方程的标准形式， 知道 之间的大小关系和等量关系： 易错点2：椭圆的几何性质 易错点3：直线与椭圆的位置关系 （1）忽视直线斜率为0或不存在的情况 （2）在用椭圆与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否 为零？判别式 的限制.（求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在 下进行）. 易错点4：求轨迹方程时，忽视对结论进行验证。 题组一：椭圆的定义与焦点三角形 1.（2019年全国文科1卷）已知椭圆 的焦点为 ， ，过 的直线与 交于 ， 两点．若 ， ，则 的方程为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】法1：由已知可设|FB|=n,则|AF|=2n,|BF|=|AB|=3n,由椭圆的定义有2a=|BF|+| 2 2 1 1 BF|=4n,所以|AF|=2a-|AF|=2n,在ΔAFB中，由余弦定理的推论得 2 1 2 1 ,在ΔAFF 中，由余弦定理得 1 2 , , 法2：由已知可设|FB|=n,则|AF|=2n,|BF|=|AB|=3n，由椭圆的定义有2a=|BF|+|BF| 2 2 1 1 2 =4n,所以|AF|=2a-|AF|=2n,在ΔAFF 和ΔBFF，由余弦定理得 1 2 1 2 1 2 又因为∠AFF 和∠BFF， 2 1 2 1 所以cos∠AFF+cos∠BFF=0,消去cos∠AFF 和cos∠BFF得 2 1 2 1 2 1 2 所以 x2 y2 C:  1 2.（2019年全国3卷）设 F 1， F 2为椭圆 36 20 的两个焦点，M 为C上一点且在第 一象限，若△ MF 1 F 2为等腰三角形，则M 的坐标为 ． 【答案】 【解析】设M(m,n),m,n>0,由题意得 ，由于M为C上一点且 在第一象限，可得|MF|>|MF|,ΔMFF 为等腰三角形，可能|MF|=2c或|MF|=2c,即有 1 2 1 2 1 2故答案为 3.(2013新课标1)已知圆 ： ，圆 ： ，动圆P与圆M 外切并与圆N 内切，圆心 的轨迹为曲线 .则 的方程为________ 【答案】 【解析】因为圆P与圆M外切并与圆N 内切，所以 ，由椭圆的 定义可知，曲线C是以M,N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为 的椭圆（左顶 点除外），其方程为： 题组二：椭圆的标准方程 x2 y2  1 y2 2px(p0) 3p p 4.（2019新课标2卷）若抛物线 的焦点是椭圆 的一个焦点，则 p=（ ） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】D 【解析】由题意可知: 故选D 5.（2017新课标1卷）已知椭圆C： （a>b>0），四点P（1,1），P（0,1）， 1 2 P（–1， ），P（1， ）中恰有三点在椭圆 C上，则 C的方程是 3 4 ______________。 【解析】由于 ， 两点关于y轴对称，故由题设知C经过 ， 两点． 又由 知，C不经过点 ，所以点 在C上． 因此 ，解得 ．故C的方程为 ． 6.（2014新课标1卷）已知点 （0，-2），椭圆 ： 的离心率为 ， 是椭圆的焦点，直线 的斜率为 ， 的方程是____________. 【解析】设F(c,0),由条件知， 故椭圆E得方程为 ，题组三：椭圆的几何性质 7．（2021年全国乙卷）设 是椭圆 的上顶点，若 上的任意一点 都满足 ，则 的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 点坐标为 ，可以看成以 为圆心，2b为半径的圆与椭圆至多只有一个交 点. 即 至多一个解，消去x得 ,即 ， ,所以 . 8．（2021年浙江卷）已知椭圆 ，焦点 ， ，若过 的直线和圆 相切，与椭圆的第一象限交于点 P，且 轴，则该 直线的斜率是 ，椭圆的离心率是 ． 【答案】 ； ． 【解析】法一（解析几何角度）：设切线方程为 又与椭圆的第一象限交于点 P ， 轴， ， ， ． 法二（平面几何角度）：在 中， ， ， ，在 中，， ． 9．（2017新课标3卷）已知椭圆 （ ）的左、右顶点分别为 ， 且以线段 为直径的圆与直线 相切，则 的离心率为（） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得，原点到直线的距离 所以椭圆C的离心率 ，故选A. 题组四：直线与椭圆的位置关系 x2 y2 + =1(a>b>0) a2 b2 10.（2013新课标2卷）过椭圆M： 右焦点的直线 1 2 交M于A、B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为 ，M的方程为_________ 【解析】把右焦点(c,0)代入直线 得 设 ，即 则 ，则 ， 联立 .故M的方程式为 ． 11.（2013新课标1卷）已知椭圆 ： 的右焦点为 ，过点 的直线交椭圆 于 、 两点。若 的中点坐标为 ，则 的方程为( ) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 【解析】设 ，即则 ，则 则 ， 联立 ,故E的方程式为 ． 12．（2021年新高考1卷）在平面直角坐标系 中，已知点 ， ， 点 满足 ，记 的轨迹为 ． （1）求C的方程； （2）设点T在直线 上．过 的两条直线分别交 于 ， 两点和P，Q两点， 且 ，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和． 【答案】（1） ； （2） ． 【解析】（1）由题意可知：轨迹C为实轴为2，焦距为 的双曲线的右支． 从而可以直接写出轨迹方程为 ． （2）方法一：设T为 ，直线TAB为 . 又 ，将 代入可得： . 设 ，则 ， . 即 . 直线TPQ斜率为t，则有 ，其中 . 由 可知， . 方法二：设T为 ，直线 为 ． ， 代入轨迹C中可得： ．整理得 ． 设 ， ， ， ，则 ， 设直线TPQ为 ，同理 ， 有 ，从而 ，即直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0. 1．已知椭圆 （ ）的左焦点为 ，则 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得： ，因为 ，所以 ，故选C． 2．已知椭圆 （a＞b＞0）的离心率为 ，则（ ） A．a2=2b2 B．3a2=4b2 C．a=2b D．3a=4b 【答案】B 【解析】椭圆的离心率 ，化简得 ，故选B． 3.已知F ，F 是椭圆C: ＋＝1（a>b>0）的左，右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率 1 2 为的直线上，ΔP FF 为等腰三角形，∠FFP=1200，则C的离心率为( ) 1 2 1 2 A． B． C． D． 【答案】D 【 解 析 】 直 线 AP 的 方 程 为 由 ∠ FFP=1200 ， |PF|=|FF|=2c, 则 1 2 2 1 2 代入直线AP的方程得 ,故所求椭圆得离心率为 4.已知椭圆 ： 的右焦点为 ，过点 的直线交椭圆 于 、 两点。若 的中点坐标为 ，则 的方程为( ) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 【答案】D 【解析】设 ，即 则 ，则 则 ，联立 ,故E的方程式为 ． 5．设 A，B 是椭圆 C： 长轴的两个端点，若 C 上存在点 M 满足 ∠AMB=120°，则m的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当 时，焦点在 轴上，要使 C 上存在点 M 满足 ，则 ，即 ，得 ； 当 时 ， 焦 点 在 轴 上 ， 要 使 C 上 存 在 点 M 满 足 ， 则 ，即 ，得 ，故 的取值范围为 ，故选 m A． 3a x FF 6.设 1 2是椭圆 的左、右焦点， 为直线 2 上一点，Δ F PF 2 1是底角为 30的等腰三角形，则 的离心率为_____. 【答案】 F PF 【解析】如图所示，Δ 2 1是底角为 30的等腰三角形， 则有|FF|=|PF|,∠PFF=∠FPF=300,所以∠PFA=600, 1 2 2 1 2 2 1 ∠FPF=300, ， 2 1 又因为 7.设 , 分别是椭圆 的左右焦点，M是C上一点且 与x轴垂 直，直线 与C的另一个交点为N.且直线MN的斜率为 ，则C的离心率为_____ 【答案】 【解析】把 化为 ， 8.在平面直角坐标系 中，椭圆 的中心为原点，焦点 在 轴上，离心率为。过F 的直线交椭圆 于 两点，且 的周长为16，那么 的方程为 。 1 【答案】 【解析】由题意可得 ，解得 ，所以椭圆C 的方程是 x2 y2 C：  1 9.已知斜率为k的直线l与椭圆 4 3 交于A，B两点，线段AB的中点为 ，则k的取值范围是_____. 【答案】 【解析】设 ，即 . 则 ，因为点M(1，m)在椭圆内部， 所以 ，所以 ． 10．已知 ， 是其左右交点， ，直线 过点 交 于 两点， 在 轴上方，且 在线段 上， （1）若 是上顶点， ，求 ； （2）若 ，且原点 到直线 的距离为 ，求直线 ； （3）证明：对于任意 ，使得 的直线有且仅有一条. |OP| 3 x yz1 【答案】（1） ；（2） 【解析】（1）有题可知： ，因为 ， 因为 ，所以 ， 所以 ； （2）设 ，其中 ， 因为 ， ， 所以 ， 所以 ， （ 舍去），所以 ， ，则直线方程可以设为 .又因为 到直线 的距离为 ， 所以 ， 所以 ，得 或 ， 当 时，直线方程为 ，此时 （舍） 所以直线方程为 . （3）设 ， ，设直线 的斜率为 ，连接 ， ，取 中点 ， 连接 ，可知 为梯形 的中线， 因为 ，令 . 由点差法得 ，得 ， 化简得 ，即 ， 故当 当确定时，也就只有唯一 与 对应， 故对任意 时，满足条件的直线只有一条.