易错点12立体几何中的平行与垂直答案-备战2023年高考数学易错题_2.2025数学总复习_赠品通用版（老高考）复习资料_一轮复习_2023年高考数学一轮复习易错题（含解析）

易错点 12 立体几何中的垂直与平行 在立体几何中，点、线、面之间的位置关系，特别是线面、面面的平行和垂直关系， 是高中立体几何的理论基础，是高考命题的热点与重点之一，一般考查形式为小题(位置关 系基本定理判定)或解答题(平行、垂直位置关系的证明)，难度不大。 立体几何中平行与垂直的易错点更多免费资源，关注公众号拾穗者的杂货铺 易错点1：线面平行的判定定理和性质定理在应用时都是三个条件，但这三个条件易混为 一谈；面面平行的判定定理易把条件错误地记为＂一个平面内的两条相交直线与另一 个平面内的两条相交直线分别平行＂而导致证明过程跨步太大。 易错点2：有关线面平行的证明问题中，对定理的理解不够准确，往往忽视 三个条件中的某一个。 易错点3：线面平行的判定定理和性质定理在应用时都是三个条件，但这三个条件易混为 一谈；面面平行的判定定理易把条件错误地记为＂一个平面内的两条相交直线与另一个 平面内的两条相交直线分别平行＂而导致证明过程跨步太大； 题组一：基本性质定理 1．（2021年浙江卷）已知正方形 ， 分别是 的中点，则（ ）. A．直线 与直线 垂直，直线 平面 B．直线 与直线 平行，直线 平面 C．直线 与直线 相交，直线 平面 D．直线 与直线 平行，直线 平面 【答案】A 【解析】如图，连结 ， 平面 ， ， 平面 ， 2．（2021 新高考 1 卷多选题）在正三棱柱 中， ，点 满足，其中 ， ，则 A．当 时， 的周长为定值 B．当 时，三棱锥 的体积为定值 C．当 时，有且仅有一个点 ，使得 D．当 时，有且仅有一个点 ，使得 平面 【答案】BD 【解析】由点 满足 ，可知点 在正方形 内． B C 1 1 P B C A选项，当 时，可知点 在线段 （包括端点）上运动． C A 1 1 B 1 P A C B 中， ， ， ，因此周长 不 为定值，所以选项A错误； B选项，当 时，可知点 在线段 （包括端点）上运动． C A 1 1 P B 1 A C B 由图可知，线段 //平面 ，即点 到平面 的距离处处相等， 的面积是定值，所以三棱锥 的体积为定值，所以选项B正确； C选项，当 时，分别取线段 ， 中点为 ， ，可知点 在线段 （包括 端点）上运动．很显然若点 与 或 重合时，均满足题意，所以选项C错误． C 1 A 1 D 1 B 1 P A C D B D选项，当 时，分别取线段 ， 中点为 ， ，可知点 在线段 （包括端点）上运动．此时，有且只有点 与 点重合时，满足题意. 所以选项D正确． C A C 1A 1 1 1 B B 1 N(P) 1 N P M M A C A C B B 因此，答案为BD. 3.（2019全国Ⅲ理8）如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥ 平面ABCD，M是线段ED的中点，则（ ） A．BM=EN，且直线BM、EN 是相交直线 B．BM≠EN，且直线BM，EN 是相交直线 C．BM=EN，且直线BM、EN 是异面直线 D．BM≠EN，且直线BM，EN 是异面直线 【答案】B更多免费资源，关注公众号拾穗者的杂货铺 【解析】 如图所示，联结BE，BD.因为点N 为正方形 ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD平 面 ABCD，M 是线段ED的中点，所以BM 平面 BDE， EN 平面 BDE，因为 BM 是 △BDE中DE边上的中线，EN 是△BDE中BD边上的中线，直线BM ，EN 是相交直线， 3 5 设 ，则 ，BE  a2  a2  2a， DE a BD  2a 4 4 6 3 1 所以BM  a，EN  a2  a2 a， 2 4 4 所以BM  EN ．故选B． 4.（2019全国Ⅱ理7）设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行 C．α，β平行于同一条直线 D．α，β垂直于同一平面 【解析】 对于A，内有无数条直线与  平行，则与  相交或 ∥，排除； 对于B，内有两条相交直线与  平行，则 ∥； 对于C，，  平行于同一条直线，则与  相交或 ∥，排除； 对于D，，  垂直于同一平面，则与  相交或 ∥，排除． 故选B． 题组二：线面平行 5. （2021天津卷）如图，在棱长为2的正方体 中，E为棱BC的中 点，F为棱CD的中点． （1）求证： 平面 ； 【解析】（1）以 为原点， 分别为 轴，建立如图空间直角坐标系， 则 , , , , , , ， 因为E为棱BC的中点，F为棱CD的中点，所以 ， ， 所以 , , , 设平面 的一个法向量为 ， 则 ，令 ，则 ， 因为 ，所以 ， 因为 平面 ，所以 平面 ； 6．（2017新课标Ⅱ）如图，四棱锥 中，侧面 为等边三角形且垂直于底 面三角形 ， ， ， 是 的中点．(1) 证明：直线 ∥平面 ； P M E A D B C 【解析】（1）取 的中点 ，连结 ， ．因为 是 的中点，所以 ， ． 由 得 ， 又 ， 所 以 ，四边形 是平行四边形， ，又 平面 ， 平面 ，故 ∥平面 ． 7.（2019全国Ⅰ理18）如图，直四棱柱 ABCD–A B C D 的底面是菱形，AA =4，AB=2， 1 1 1 1 1 ∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB ，A D的中点．（1）证明：MN∥平面C DE； 1 1 1 【解析】 （1）连结B C，ME．因为M，E分别为BB ，BC的中点，所以ME∥B C，且ME= 1 1 1 1 B C． 2 1 1 又因为N为A D的中点，所以ND= A D．由题设知A B PDC，可得B CPA D，故MEP 1 2 1 1 1 1  1  ND，  因此四边形MNDE为平行四边形，MN∥ED．又MN 平面EDC ，所以MN∥平面C DE． 1 1 题组三线线垂直 ABC−A B C AAB B 8.（2021 全国甲卷理）已知直三棱柱 1 1 1中，侧面 1 1 为正方形， AB=BC=2，E，F 分别为 AC 和 CC 1的中点，D为棱 A 1 B 1上的点， BF⊥A 1 B 1． （1）证明： BF⊥DE ； 【解析】（1）因为 是直三棱柱 中 和 的中点，且 ， 所以 ，连结 ，由 且 ，则 ，于是 ，所以， ，由 ，则 ，故如图右图所示，建立空间直角 坐标系： 于是 设 ，则 ． 于是， ， 由⃗BF⋅⃗DE=0可得BF⊥DE； 9.（2021 全国甲卷理）已知直三棱柱ABC−A B C 中，侧面A A B B为正方形． 1 1 1 1 1 AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC 的中点，BF⊥A B ． 1 1 1 (1)略 (2)已知D为棱A B 上的点，证明：BF⊥DE． 1 1 【解析】(2)取 中点 ，连接 ， ， ， 因为 分别为 的中点，所以 ， 因为 ，所以 ，所以 四点共面， 因为侧面 为正方形，所以 ， 又 ，所以 ，所以侧面 为正方形， 又 为 中点， 为 中点，由平面几何知识可知 ， 又 ， ，所以 平面 ， 而 平面 ，所以 . 10．（2021新高考1卷）如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， ， 为 的中点．（1）证明： ； 【解析】（1）因为在 中， ， 为 中点，所以 ， 因为平面 平面 ，且平面 平面 ， 平面 ， ，所以 平面 ， 又因为 面 ，所以 ． 11．(2021浙江卷)如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形， ， ， ， ， ， 分别为 ， 的中点， ， ． （1）证明： ；更多免费资源，关注公众号拾穗者的杂货铺 （2）求直线 与平面 所成角的正弦值． 【解析】（1）因为ABCD是平行四边形，∠ABC=120°，AB=1，所以 ， AB∥DC，DC=AB=1．因为M为BC中点，BC=4，所以CM=2． 在 中，由余弦定理得 所以 ，所以 ，所以 ， 因为 ，所以 ， 所以 ． 因为 ， ，所以 ，所以 ． 题组四：线面垂直 12．（2016全国II）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O， ， ， 点E，F分别在AD，CD上， ，EF交BD于点H．将 沿 折到 的位置， ．（I）证明： 平面ABCD；【解析】（I）证明：∵ ，∴ ，∴ ． ∵四边形 为菱形，∴ ，∴ ， ∴ ，∴ ． ∵ ，∴ ；又 ， ，∴ ， ∴ ，∴ ， ∴ ，∴ ． 又∵ ，∴ 面 ． 13．(2018全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥 中， ， ， 为 的中点．(1)证明： 平面 ； P O C A M B 【解析】(1)因为 ， 为 的中点，所以 ，且 ． 连结 ．因为 ，所以 为等腰直角三角形， 且 ， ．由 知 ． 由 ， 知 平面 ． 14.（2019全国Ⅱ理17）如图，长方体ABCD–A B C D 的底面ABCD是正方形，点E在棱AA 1 1 1 1 1 上，BE⊥EC .（1）证明：BE⊥平面EB C ； 1 1 1BC  ABB A ABB A 【解析】 （1）由已知得， 1 1 平面 1 1，BE 平面 1 1， BC  BE  EC EBC 故 1 1 BE．又 1，所以BE 平面 1 1． 题组五：面面垂直 15.（2021 新高考 2 卷）在四棱锥 中，底面 是正方形，若 ， ， ，（1）证明：平面 平面 ； Q A D B C 【解析】（1）证明：取 的中点 ，连接 ， ， ， ， ， ， 又 平面 ， 所以 平面 ，又 平面 ， 所以平面 平面 . Q H A M D B C 16（2019全国Ⅲ理19）图1是由矩形ADEB、Rt ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形， 其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图 △ 2. （1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；【解析】 （1）由已知得ADBE，CGBE，所以ADCG，故AD，CG确定一个平面，从 而A，C，G，D四点共面．由已知得ABBE，ABBC，故AB平面BCGE． 又因为AB平面ABC，所以平面ABC平面BCGE． 17．（2018全国卷Ⅰ）如图，四边形 为正方形， ， 分别为 ， 的中点， 以 为折痕把 折起，使点 到达点 的位置，且 ． (1)证明：平面 平面 ； P D C E F A B 【解析】(1)由已知可得， ⊥ ， ⊥ ，所以 ⊥平面PEF． 又 平面 ，所以平面 ⊥平面 ． 18．（2018全国卷Ⅲ）如图，边长为2的正方形 所在的平面与半圆弧 所在平面 垂直， 是 上异于 ， 的点．(1)证明：平面 平面 ； M D C A B 【解析】(1)由题设知，平面 ⊥平面 ，交线为 ． 因为 ⊥ ， 平面 ，所以 ⊥平面 ，故 ⊥ ． 因为 为 上异于 ， 的点，且 为直径，所以 ⊥ ． 又  = ，所以 ⊥平面 ． 而 平面 ，故平面 ⊥平面 ． 1．已知平面 ，直线 ， 满足 ， ，则“ ∥ ”是“ ∥ ”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】若 ， ， ∥ ，由线面平行的判定定理知 ∥ ．若 ∥ ， ， ，不一定推出 ∥ ，直线 与 可能异面，故“ ∥ ”是“∥ ”的充分不必要条件．故选A．更多免费资源，关注公众号拾穗者的杂货铺 2．若 是两条不同的直线， 垂直于平面 ，则“ ”是“ ∥ ”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】由“ 且 ”推出“ 或 ”，但由“ 且 ”可推 出“ ”，所以“ ”是“ ”的必要而不充分条件，故选B． 3．如图，四棱锥 中，底面 为矩形， ⊥平面 ， 为 的中 点．证明： ∥平面 ； 【解析】连接 交 于点 ，连结 ． 因为 为矩形，所以 为 的中点． 又 为 的中点，所以 ∥ ． 平面 , 平面 ，所以 ∥平面 ． ABCABC D,E AB,BB 4．如图，直三棱柱 1 1 1中， 分别是 1的中点， 2 AA  AC CB  AB 1 2 （Ⅰ）证明： BC 1//平面 A 1 CD ； A 1 C 1 B 1 E A C D B AC AC AC 【解析】（Ⅰ）连结 1，交 1 于点O，连结DO，则O为 1的中点， BC ACD 因为D为AB的中点，所以OD∥ 1，又因为OD 平面 1 ， BC ACD BC ACD  1 平面 1 ，所以 1 //平面 1 ； 5．如图，四棱锥 中，底面 为矩形， ⊥平面 ， 为 的中 点．证明： ∥平面 ； 【解析】（Ⅰ）连接BD交AC于点O，连结EO． 因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点．又E为PD的中点，所以EO∥PB． EO 平面AEC,PB 平面AEC，所以PB∥平面AEC． 6．如图，四棱锥 中， ⊥底面 ， ， ， ， 为线段 上一点， ， 为 的中点．证明 平面 ； P N A M D B C 【解析】由已知得 ，取 的中点 ，连接 ． 由 为 中点知 ， ． 又 ，故 平行且等于 ，四边形 为平行四边形，于是 ． 因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ． 7．如图，三棱柱 中， ， ， =60°． 证明 ； AB AE 【解析】取AB中点E，连结CE， 1 ， 1 ， AA BAA 600 BAA ∵AB= 1， 1= ，∴ 1是正三角形， AE ∴ 1 ⊥AB， ∵CA=CB， ∴CE⊥AB， CEAE CEA AC ∵ 1 =E，∴AB⊥面 1， ∴AB⊥ 1 ； 8．如图，在四棱锥 中， ∥ ，且 ． 证明：平面 ⊥平面 ；P C D A B 【解析】由已知 ，得AB⊥AP，CD⊥PD． 由于AB∥CD，故AB⊥PD，从而AB⊥平面PAD． 又AB 平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD． 9 ． 如 图 ， 四 面 体 中 ， 是 正 三 角 形 ， 是 直 角 三 角 形 ， ， ．证明：平面 ⊥平面 ； D E C B A 【解析】由题设可得， ，从而 ． 又 是直角三角形，所以 取 的中点 ，连接 ， ，则 ， ． 又由于 是正三角形，故 ． 所以 为二面角 的平面角． 在 中， ． 又 ，所以 ，故 ． 所以平面 平面 ． 10.如图，四边形 为菱形， ， 是平面 同一侧的两点， ⊥平面 ， ⊥平面 ， =2 ， ⊥ ． 证明：平面 ⊥平面 ； 【解析】连接 ，设 ，连接 ． 在菱形 中，不妨设 ，由 ，可得 ， 由 平面 ， 可知， ， 又∵ ，∴ ， ，在 中，可得 ，故 ．在 中，可得 ． 在直角梯形 中，由 ， ， ，可得 ， ∴ ，∴ ， ∵ ∩ = ，∴ 平面 ， ∵ 面 ，∴平面 平面 ．