文档内容
易错点 04 导数及其应用
易错点1：导数与函数的单调性
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识
点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解
析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求
参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想
的应用．
易错点2：导数与函数的极（最）值
求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤
(1)求函数在(a，b)内的极值；
(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；
(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小
值。
易错点3：对“导函数值正负”与“原函数图象升降”关系不清楚
讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论．
易错点4：导数与函数的零点
研究函数图像的交点、方程的根、函数零点，归根到底是研 究 函数的性质，如单调性、极
值等。用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数单调性，借助零点村子性定理判
断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图像的交点问题，利用数形结合来解决。
考点一：含参函数的单调性
1．（2018·全国1卷）已知函数 ．(1)讨论 的单调性；
2．（2017·全国2卷）已知函数 ，且 ．(1)求 ；
3．（2017·全国3卷）已知函数 ．(1)若 ，求 的值；
4．（2016·全国1卷） 已知函数 有两个零点．
（I）求a的取值范围；
f(x)2x3 ax2 b f(x)
5．（2019·全国3卷）已知函数 ，讨论 的单调性；
考点二：零点问题★1．（2017新课标Ⅲ）已知函数 有唯一零点，则
A． B． C． D．1
x1
f (x) lnx
f (x)
x1
3.（2019全国Ⅱ理20（1））已知函数 ,讨论 的单调性，并证
f(x)
明 有且仅有两个零点；
4．(2016年全国Ⅰ)已知函数 有两个零点．
（I）求a的取值范围；
5．（2017新课标Ⅰ）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；(2)若 有两个零点，求 的取值范围．
6.（2019全国Ⅰ理20（2））已知函数 ， 为 的导数．证
明： 有且仅有2个零点．
考点三、导数与函数的极值
1.(2021·北京高考)已知函数f(x)＝。
(1)若a＝0，求y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；
(2)若函数f(x)在x＝－1处取得极值，求f(x)的单调区间，以及最大值和最小值。
2.(2021·全国甲卷)已知a>0且a≠1，函数f(x)＝(x>0)。
(1)当a＝2时，求f(x)的单调区间；
(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝1有且仅有两个交点，求a的取值范围。
3. (2021·全国乙卷)设函数 ，已知 是函数 的极值点．
（1）求a；
（2）设函数 ．证明: ．
4. （2021年新课标1卷）已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）设 ， 为两个不相等的正数，且 ，证明： .1．已知函数 ．
（1）求函数 的单调区间；
（2）若 ，分别解答下面两题：
（i）若不等式 对任意的 恒成立，求 的取值范围；
（ii）若 ， 是两个不相等的正数， ，求证： ．
2．已知函数 ， ．
（1）若 在 处取得极值，求 的值；
（2）设 ，试讨论函数 的单调性；
（3）当 时，若存在实数 ， 满足 ，求证： ．
3．已知函数 ， ，当 时， 恒成立．
（1）求实数 的取值范围；
（2）若正实数 、 满足 ，证明： ．
4．已知函数 ， ．
（1）讨论 的单调性；
（2）当 时，正实数 ， 满足 ，证明： ．
5．已知函数 ， ， ，令 ．
（1） ，研究函数 的单调性；
（2）若关于 的不等式 恒成立，求整数 的最小值；
（3） ，正实数 ， 满足 ，证明： ．
6．已知函数 ．
（1）若 ，求函数 的单调减区间；
（2）若 ，正实数 ， 满足 ，证明： ．7．设函数 ．
（1）若函数 在 上单调递增，求 的值；
（2）当 时，
①证明：函数 有两个极值点 ， ，且 随着 的增大而增大；
②证明： ．
8．已知函数 ．
（1）若 在 上单调递减，求 的取值范围；
（2）若 在 处的切线斜率是 ，证明 有两个极值点 ，且
．
9．已知函数 .
（1）函数 是否存在极小值?若存在，求出 的取值范围，若不存在，说明理由；
（2）若 ，求证：
10．已知函数 （ 为常数）．
（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）当 时，设函数 的两个极值点 ， （ ）满足
，求 的最小值．
