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易错点 10 圆锥曲线
易错点1：椭圆及其方程
1、焦点位置不确定导致漏解 要注意根据焦点的位置选择椭圆方程的标准形式，知道
之间的大小关系和等量关系：
2、椭圆的几何性质
3、直线与椭圆的位置关系
（1）忽视直线斜率为0或不存在的情况
（2）在用椭圆与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否
为零？判别式 的限制.（求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在
下进行）.
4、求轨迹方程时，忽视对结论进行验证。
易错点2：双曲线及其方程
1、焦点位置不确定导致漏解 要注意根据焦点的位置选择双曲线方程的标准形式，知道
之间的大小关系和等量关系：
2、双曲线的几何性质，渐近线、离心率、焦半经、通径；
3、直线与双曲线的位置关系
（3）忽视直线斜率与渐近线平行的情况；
（4）在用椭圆与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否
为零？判别式 的限制.（求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在
下进行）.
易错点3：抛物线及其方程
1、主观认为抛物线的顶点就是原点;
2：忽视抛物线的变化趋势,只从图形的局部,乱下结论;
3：在使用抛物线的焦半径公式时,错把纵坐标写成横坐标;
4：解决直线与抛物线综合题时,忽略对直线斜率不存在情况的讨论;
5：在解有关直线与抛物线的位置关系的问题
必记结论
直线AB过抛物线 的焦点，交抛物线于A(x，y)，B(x，y)两
1 1 2 2
点，如图：
（1）yy＝－p2，xx＝.
1 2 1 2
（2）|AB|＝x＋x＋p，x＋x≥ ＝p，即当x＝x
1 2 1 2 1 2
时，弦长最短为2p.
（3）＋为定值.
（4）弦长AB＝(α为AB的倾斜角)．
（5）以AB为直径的圆与准线相切。
（6）以AF为直径的圆与y轴相切．（7）焦点F对A，B在准线上射影的张角为90°.
1．抛物线 的焦点到准线的距离为（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
【答案】C
【详解】抛物线 的焦点到准线的距离为 ， 由抛物线标准方程 可得 ，
故选：C.
2．已知双曲线 的一个焦点 到 的一条渐近线的距离为 ，
则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为 的一个焦点 到 的一条渐近线的距离为 ，
不妨取渐近线方程为 ，即 ，
所以 ，，
两边平方得 .又 ，所以 ，
化简得 ，所以 .
故选：C.
3．已知 是双曲线 的左右焦点，直线 过 与抛物线 的焦
点且与双曲线的一条渐近线平行，则 （ ）
A． B． C．4 D．
【答案】C
【详解】已知双曲线的左焦点 ，双曲线的渐近线方程为 ，抛物线 的焦点 .
因为直线 过 与抛物线的焦点 且与双曲线的一条渐近线平行，
所以 ，又 ，解得： ，所以 .
故选：C
4．已知 分别为椭圆 的左右焦点，点P为椭圆上一点，以 为圆心的圆与
直线 恰好相切于点P，则 是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】依题意 ，
设 ，由椭圆定义得 ，
由于以 为圆心的圆与直线 恰好相切于点P，
所以 ，即 ，
整理得 ，得 ，得 ，所以 ．
故选：A
5．若椭圆 上存在两点 到点 的距离
相等，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】记 中点为 ，则 ，
由题意点 在线段 的中垂线上，
将 坐标代入椭圆方程得
两式相减可得 ，
所以 ，得 ，
所以 的中垂线的方程为 ，令 得 ，由题意， ，故 ，所以
所以
故选：B.
1．已知双曲线 满足 ，且与椭圆 有公共焦点，则
双曲线 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由椭圆的标准方程为 ，可得 ，即 ，
因为双曲线 的焦点与椭圆 的焦点相同，所以双曲线 中，半焦距 ，
又因为双曲线 满足 ，即 ，又由 ，即 ，解得 ，可得 ，
所以双曲线 的方程为 .
故选：A．
2．已知 是双曲线 （ ， ）的左焦点，点 在双曲线上，直线 与
轴垂直，且 ，那么双曲线的离心率是（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【详解】 的坐标为 ，设 点坐标为 ，
易得 ，解得 ，
因为直线 与 轴垂直，且 ，
所以可得 ，则 ，即 ，
所以 ，离心率为 ．
故选：A.
3．抛物线 的焦点到直线 的距离为 ，则 （ ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】B
【详解】抛物线的焦点坐标为 ，
其到直线 的距离： ，
解得： ( 舍去).
故选：B.
4．设 是椭圆 的上顶点，若 上的任意一点 都满足 ，
则 的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【详解】设 ，由 ，因为 ， ，所以
，
因为 ，当 ，即 时， ，即 ，符合题意，
由 可得 ，即 ；
当 ，即 时， ，即 ，化简得，
，显然该不等式不成立．
故选：C．
5．设双曲线C： （a>0，b>0）的左、右焦点分别为F ，F ，离心率为 ．P是
1 2
C上一点，且F P⊥F P．若△PF F 的面积为4，则a=（ ）
1 2 1 2
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】A
【详解】 ， ，根据双曲线的定义可得 ，
，即 ，
， ，
，即 ，解得 ，
故选：A.
一、单选题
1．抛物线W： 的焦点为F.对于W上一点P，若P到直线 的距离是P到点F距
离的2倍，则点P的横坐标为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A
【详解】由题意得： ，准线方程为 ，设点P的横坐标为 ， ，
由抛物线的定义可知：
则 ，解得： 或 （舍去），
从而点P的横坐标为1
故选：A
2．双曲线 的实轴长为4，则其渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：由题意知， ，所以双曲线的标准方程为 ，
双曲线 的渐近线方程为 ，即 .
故选：D．
3．在平面上，一动点到一定点的距离与它到一定直线的距离之比为1，则动点的轨迹是（
）
A．抛物线 B．直线
C．抛物线或直线 D．以上结论均不正确
【答案】C
【详解】由题意，一动点到一定点的距离与它到一定直线的距离之比为1，
可得该动点到定点和定直线距离相等，
当定点不在定直线上时，动点的轨迹是抛物线；
当定点在定直线上时，动点的轨迹是经过该定点且垂直于定直线的直线；
故选C．
4．已知椭圆 的焦距为2，离心率 ，则椭圆 的标准方程为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由于2c=2,所以c=1,
又因为 ，故 ，，所以椭圆的标准方程为： .
故选：C
5．已知双曲线 的离心率为3，则双曲线 的离心率为（ ）．
A． B． C． D．3
【答案】A
【详解】解：因为双曲线 的离心率为3，所以 ，所以 ，
故双曲线 的离心率 ．
故选：A.
6．已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，点 在 上，过点 作准线 的垂线，垂
足为 ，若 ，则 （ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】D
【详解】由题知 ，准线 ，设与 轴的交点为 ，点 在 上，
由抛物线的定义及已知得 ，则 为等边三角形，
解法1：因为 轴，所以直线 斜率 ，所以 ，
由 解得 ， 舍去，
所以 .
解法2：在 中， ，则 .解法3：过 作 于点 ，则 为 的中点，因为 ，则 .
故选：D.
7．设双曲线 的左右焦点为 ，过 的直线与双曲线右支交 两
点，设 中点为 ，若 ，且 ，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：根据题意可知，过 的直线斜率存在，
中点为 ，
又
又
在 中，由余弦定理
整理得： 且 ，所以 是等腰直角三角形.
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得：
由双曲线定义可知：
由双曲线定义可知： 且
整理得：
在 中， ， ，
由余弦定理可得：
代入计算得：离心率e＝
故选：A.
8．设椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，点M，N在C上（M位于
第一象限），且点M，N关于原点O对称，若 ， ，则C的离
心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：依题意作下图，由于 ，并且线段MN， 互相平分，
∴四边形 是矩形，其中 ， ，
设 ，则 ，
根据勾股定理， ， ，
整理得 ，
由于点M在第一象限， ，
由 ，得 ，即 ，
整理得 ，即 ，解得 .
故选：C．
二、多选题
9．已知双曲线 的左､右焦点分别为 ，离心率为 为 上一点，
则（ ）
A．双曲线 的实轴长为2B．双曲线 的一条渐近线方程为
C．
D．双曲线 的焦距为4
【答案】ABD
【详解】由双曲线方程知： ，离心率为 ，解得 ，故
，
实半轴长为1，实轴长为 ，A正确；
因为可求得双曲线渐近线方程为 ，故一条渐近线方程为 ，B正确；
由于 可能在 的不同分支上，则有 ，C错误；
焦距为 正确.
故选：ABD.
10．已知抛物线 ： 的焦点为 ， 为 上一点，下列说法正确的是（ ）
A． 的准线方程为
B．直线 与 相切
C．若 ，则 的最小值为
D．若 ，则 的周长的最小值为11
【答案】BCD
【详解】解：抛物线 ： ，即 ，所以焦点坐标为 ，准线方程为
，故A错误；
由 ，即 ，解得 ，所以直线 与 相切，故
B正确；
设点 ，所以 ，
所以 ，故C正确；如图过点 作 准线，交于点 ， ， ，
所以 ，
当且仅当 、 、 三点共线时取等号，故D正确；
故选：BCD
三、解答题
11．已知双曲线 经过点 ，且渐近线方程为 .
(1)求C的方程；
(2)若抛物线 与C的右支交于点A，B，证明：直线AB过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析.
（1）
因为双曲线 经过点 ，且渐近线方程为 ，
所以 ， ，解得 ，
所以C的方程为 ，（2）
设 ，则 ，
由 可得 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，
所以直线 的方程为 ，
即 ，
所以直线AB过定点 .
12．已知椭圆 ，过点 且与 轴平行的直线与椭圆 恰有一
个公共点，过点 且与 轴平行的直线被椭圆 截得的线段长为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)设过点 的动直线与椭圆 交于 两点， 为 轴上的一点，设直线 和 的斜
率分别为 和 ，若 为定值，求点 的坐标.
【答案】(1)
(2)
（1）
解：由题意，椭圆的下顶点为 ，故 .
由对称性，椭圆过点 ，代入椭圆方程有 ，
解得： .
故椭圆 的标准方程为： .
（2）设点 坐标为 .
当直线 斜率存在时，设其方程为 ，与 联立得：
.
设 ，则 .
，
，
，
为定值，即与 无关，则 ，此时 .
经检验，当直线 斜率不存在时也满足 ，故点 坐标为 .
