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第 31 节 抛物线
基础知识要夯实
1.抛物线的定义
(1)平面内与一个定点 F和一条定直线l(F l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫
做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.
∉
(2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离).
2.抛物线的标准方程与几何性质
图形
y2＝－ x2＝－
标准 y2＝2px(p>0) x2＝2py(p>0)
2px(p>0) 2py(p>0)
方程
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
顶点 O(0，0)
对称轴 y＝0 x＝0
焦点 F F F F
离心率 e＝1
性
准线方
质 x＝－ x＝ y＝－ y＝
程
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
开口方
向右 向左 向上 向下
向
1.通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p，通径是过焦点最短的弦.
2.抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x ，y )到焦点F的距离|PF|＝x ＋，也称为抛物线的焦半
0 0 0
径.
基本技能要落实
考点一 抛物线的定义及标准方程
1.顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点为直线 3x－4y－12＝0与坐标轴的交点的抛物线
的标准方程为( )
A.x2＝－12y或y2＝16x B.x2＝12y或y2＝－16x
C.x2＝9y或y2＝12x D.x2＝－9y或y2＝－12x2.若抛物线y2＝4x上一点P到其焦点F的距离为2，O为坐标原点，则△OFP的面积为
( )
A. B.1
C. D.2
3.动圆过点(1，0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________.
【方法技巧】
1.应用抛物线定义的两个关键点
(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.(2)抛物线焦点到准
线的距离为p.
2.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在
方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数 p，只需一个条件就可以确
定抛物线的标准方程.
考点二 抛物线的几何性质
【例2】(2020·全国Ⅲ卷)设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于
D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为( )
A. B.
C.(1，0) D.(2，0)
(2)A是抛物线y2＝2px(p>0)上一点，F是抛物线的焦点，O为坐标原点，当|AF|＝4时，
∠OFA＝120°，则抛物线的准线方程是( )
A.x＝－1 B.y＝－1
C.x＝－2 D.y＝－2
【方法技巧】
在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解
题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.
【跟踪训练】
1.(2022·长春质量监测)过抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点F作直线与该抛物线交于A，B
两点，若3|AF|＝|BF|，O为坐标原点，则＝( )
A. B.
C.4 D.
考点三 与抛物线有关的最值问题
【例3】点P为抛物线y2＝4x上的动点，点A(2，1)为平面内定点，F为抛物线焦点，则：
(1)|PA|＋|PF|的最小值为________；
(2)|PA|－|PF|的最小值为________，最大值为________.
【例4】设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1，1)的距离与点P到直
线x＝－1的距离之和的最小值为________.
【例5】已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离
为( )
A. B.
C.1 D.2
【例5】 已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别
作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则|AC|＋|BD|的最小值为________.
【例6】 (2022·榆林一模)抛物线y＝4x2上一点到直线y＝4x－5的距离最短，则该点的
坐标是________.
【方法技巧】
1.解决到焦点与定点距离之和的最小问题，先将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准
线的距离，再结合图形解决问题.
2.到两定点距离之差的最值问题，当且仅当三点共线时取得最值.
3.解决到点与准线的距离之和的最值问题，先将抛物线上的点到准线的距离转化为到焦
点的距离，再构造出“两点之间线段最短”，使问题得解.
4.解决动弦中点到坐标轴距离最短问题
将定长线段的中点到准线的距离转化为线段端点到准线距离之和的一半，再根据三角
形中两边之和大于第三边得出不等式求解.
5.过抛物线的焦点且与抛物线的对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，通径是抛物线所有
过焦点的弦中最短的，若能将问题转化为与通径有关的问题，则可以用通径最短求最
值.
6.抛物线上的动点到定直线的距离，可以转化为平行线间的距离，也可以利用单变量设
点利用函数思想求最值.
【跟踪训练】
1.若在抛物线y2＝－4x上存在一点P，使其到焦点F的距离与到A(－2，1)的距离之和
最小，则该点的坐标为( )
A. B.C.(－2，－2) D.(－2，2)
2.(2022·河南六市一模)已知点M是抛物线x2＝4y上的一动点，F为抛物线的焦点，A是
圆C：(x－1)2＋(y－4)2＝1上一动点，则|MA|＋|MF|的最小值为( )
A.3 B.4
C.5 D.6
考点四 直线与抛物线的综合问题
【例7】(2019·全国Ⅰ卷)已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交
点为A，B，与x轴的交点为P.
(1)若|AF|＋|BF|＝4，求直线l的方程；
(2)若AP＝3PB，求|AB|.
【方法技巧】1.直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般
要用到根与系数的关系.
2.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，
可直接使用公式|AB|＝x ＋x ＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.
1 2
3.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而
不求”、“整体代入”等解法.
提醒 涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.
【跟踪训练】
1.(2022·汉中模拟)已知点M为直线l ：x＝－1上的动点，N(1，0)，过M作直线l 的垂
1 1
线l，l交MN的中垂线于点P，记点P的轨迹为C.
(1)求曲线C的方程；
(2)若直线l ：y＝kx＋m(k≠0)与圆E：(x－3)2＋y2＝6相切于点D，与曲线C交于A，B
2
两点，且D为线段AB的中点，求直线l 的方程.
2
达标检测要扎实
一、单选题
1．已知抛物线 的焦点为F，倾斜角为 的直线 过点 ，若 上恰存在3个不
同的点到 的距离为 ，则 的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．抛物线 的焦点为F，A，B是抛物线上两点，且 ，且 中点到准线的距离为3，则线段 的中点到准线的距离为（ ）
A．1 B．2 C． D．3
3．已知抛物线 ( )的焦点为 ， 、 是抛物线上的两个点，若 是边长为 的
正三角形，则 的值是（ ）
A． B．
C． D．
a.对于焦点在 轴上的抛物线的标准方程可统一设为 的正负由题设来定；
b.焦点在 轴上的抛物线的标准方程可设为 ，这样就减少了不必要的讨论．
4．已知抛物线 ，过点 的直线交抛物线于A，B两点，F为抛物线的焦点，若
，O为坐标原点，则四边形 的面积是（ ）
A． B． C． D．
5．若点 ， 在抛物线 上， 是坐标原点，若等边三角形 的面积为 ，则该抛物线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知 是抛物线 的焦点，过点 的直线 与抛物线交于 ， 两点，直线 与抛物线
的准线 交于点 ，若 ，则 （ ）
A．3 B． C． D．
7．已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则
p=（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
8．已知抛物线 的焦点为 ，抛物线 上的两点 ， 均在第一象限，且
， ， ，则直线 的斜率为（ ）
A．1 B． C． D．
9．抛物线 的焦点到直线 的距离为 ，则 （ ）
A．1 B．2 C． D．4
10．直线 交抛物线 于 、 两点， 为抛物线的顶点， ，则 的值为
（ ）
A． B． C． D．
11．已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 是 上一点，直线 与抛物线 交于 ，两点，若 ，则 （ ）
A． B． C．3 D．9
12．已知抛物线 ， 为其焦点，抛物线上两点 、 满足 ，则线段 的中
点到 轴的距离等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知抛物线 的焦点为 ，过点 作 轴的垂线交抛物线 于点A，
且满足 ，设直线 交抛物线 于另一点 ，则点 的纵坐标为________．
14．已知曲线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F与曲线C ： （a＞b＞0）的右焦点重合，曲
2
线Q与曲线C 交于A，B两点，曲线C ：y2＝﹣2px（p＞0）与曲线C 交于C，D两点，若四边形
2 3 2
ABCD的面积为2p2，则曲线C 的离心率为____．
2
15．斜率为 的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则 =________．
16．抛物线 （ ）上点 到其准线 的距离为1，则a的值为_________．
三、解答题
17．已知抛物线C：x2=−2py经过点（2，−1）．
（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；
（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1
分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．
18．在平面直角坐标系xOy中，过点F（2，0）的动圆恒与y轴相切，FP为该圆的直径，设点P的
轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点A（2，4）的任意直线l与曲线C交于点M，B为AM的中点，过点B作x轴的平行线交
曲线C于点D，B关于点D的对称点为N，除M以外，直线MN与C是否有其它公共点？说明理由．19．已知过点 的抛物线方程为 ，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于 ，
两点，且 .
（1）求抛物线的方程、焦点坐标、准线方程；
（2）求 所在的直线方程.
20．在直角坐标系xOy中，已知点 ， ，直线AD，BD交于D，且它们的斜率满足：
．
(1)求点D的轨迹C的方程；
(2)设过点 的直线l交曲线C于P，Q两点，直线OP与OQ分别交直线 于点M，N，是
否存在常数入，使 ，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．
21．已知抛物线 ，拋物线C上横坐标为1的点到焦点F的距离为3．
（1）求抛物线C的方程及其准线方程；
（2）过 的直线l交抛物线C于不同的两点A，B，交直线 于点E，直线BF交直线
于点D，是否存在这样的直线l，使得 ？若不存在，请说明理由；若存在，求出直线
l的方程．
22．如图，已知点 为抛物线 的焦点，过点 的直线交抛物线于 两点，点
在抛物线上，使得 的重心 在 轴上，直线 交 轴于点 ，且 在点 右侧.记
的面积为 .（1）求 的值及抛物线的准线方程；
（2）求 的最小值及此时点 的坐标.
