文档内容
专题 5.2 解一元一次方程（2 大知识点 11 类题型）（知识梳理与题
型分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点1】解一元一次方程的一般步骤
变形名称 具体做法 注意事项
(1)不要漏乘不含分母的项
在方程两边都乘以各分母的最小公倍
去分母 (2)分子是一个整体的，去分母后应加
数
上括号
先去小括号，再去中括号，最后去大 (1)不要漏乘括号里的项
去括号
括号 (2)不要弄错符号
把含有未知数的项都移到方程的一
(1)移项要变号
移项 边，其他项都移到方程的另一边(记住
(2)不要丢项
移项要变号)
合并同类项 把方程化成 的形式 字母及其指数不变
在方程两边都除以未知数的系数a，
系数化成1 不要把分子、分母写颠倒
得到方程的解 ．
【要点提示】
（1）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合
并简化．
(2) 去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行.
（3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意
去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆．
【知识点2】解特殊的一元一次方程
1.含绝对值的一元一次方程
解此类方程关键要把绝对值化去，使之成为一般的一元一次方程，化去绝对值的依据是绝对值的意义．
【要点提示】此类问题一般先把方程化为 的形式，再分类讨论：
c0 c0 axb0 c0
(1)当 时，无解；（2）当 时，原方程化为： ；（3）当 时，原方程可化为：axbc axbc
或 .
2.含字母的一元一次方程
此类方程一般先化为最简形式 ，再分三种情况分类讨论：
（1）当 时， ；（2）当 时， 为任意有理数；（3） 时，方程无解．
考点与题型目录
【考点一】解一元一次方程
【题型1】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项..................................2
【题型2】解一元一次方程（二）——去括号............................................3
【题型3】解一元一次方程（三）——去分母............................................5
【考点二】解一元一次方程——拓展
【题型4】解含绝对值的一元一次方程..................................................8
【题型5】同解原理解一元一次方程...................................................10
【题型6】整体思想解一元一次方程...................................................12
【题型7】用特殊方法解较为复杂的一元一次方程.......................................14
【题型8】解新定义下的一元一次方程.................................................16
【题型9】一元一次方程的含参问题——有无数解、无解、唯一解问题.....................18
【考点三】直通中考
【题型10】直通中考................................................................19
【题型11】拓展延伸................................................................21
第二部分【题型展示与方法点拨】
【考点一】解一元一次方程
【题型1】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
【例1】（24-25七年级上·全国·期中）解方程：
(1) ； (2) ．
【答案】(1) ； (2)
【分析】本题考查解一元一次方程，熟记解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1是解决问题的关键．
（1）移项、合并同类项即可得到答案；（2）去分母、合并同类项即可得到答案．
解：（1） ，
移项得 ，
合并同类项得 ；
（2） ，
去分母得 ，
合并同类项得 ．
【变式1】（2024·河北·一模）若非零实数x满足 ，则 的值为（ ）
A．1 B．3 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解法步骤是本题的关键；
根据一元一次方程的步骤移项，合并同类项，根据 得 ，即可求出答案．
解：
移项，得：
合并同类项，得：
x是非零实数，
，
，
，
故选：D．
【变式2】（22-23七年级下·四川内江·期中）当 时，代数式 与代数式 的值相等．
【答案】3
【分析】本题考查解一元一次方程．熟练掌握解一元一次方程的方法，代数式求值的方法是解题的关键．
根据题意可列方程 ，再解一元一次方程即可．
解：当代数式 与代数式 的值相等时， ，
移项得， ，
合并同类项得， ，
两边都除以 得， ．
故答案为：3．【题型2】解一元一次方程（二）——去括号
【例2】（2024七年级上·全国·专题练习）解方程：
(1) ； (2) ．
【答案】(1) ； (2) .
【分析】本题考查了一元一次方程的解法，理解一元一次一次方程的解题步骤：去分母，去括号，移项，
合并同类项，系数化1，是解答关键.
（1）先去括号，再移项，合并同类项，系数化1求解；
（2）先去中括号，再去小括号，再移项，合并同类项，系数化1求解．
解：（1）去括号，得 ，
移项、合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ．
（2）去中括号，得 ，
去小括号，得 ，
移项、合并同类项，得 ．
系数化为1，得 ．
【变式1】（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）方程 的解（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，根据方程的特点，逐步的去分母与去括号即可得到答案．
解： ．∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ；
故选A
【变式2】（20-21六年级·上海·期末）将 去括号后，方程转化为 ．
【答案】
【分析】根据去括号法则解答即可．
解：原方程去括号，得： ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解题步骤是解答本题的关键．去括
号时，一是注意不要漏乘括号内的项，二是明确括号前的符号．
【题型3】解一元一次方程（三）——去分母
【例3】（23-24七年级下·全国·课后作业）解方程：
(1) ； (2) ； (3) ．
【答案】(1) ； (2) ； (3) ．
【分析】（ ）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为 的步骤解方程即可；
（ ）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为 的步骤解方程即可；
（ ）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为 的步骤解方程即可；本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
解：（1）去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
两边都除以 ，得 ；
（2）去分母，得 ，
移项、合并同类项，得 ，
两边都除以 ，得 ；
（3）去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项、合并同类项，得 ，
两边都除以 ，得 ．
【变式1】（23-24七年级上·湖北恩施·单元测试）若关于y的一元一次方程 的解是
，则a的值是（ ）
A． B． C．40 D．50
【答案】A
【分析】此题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知
数的值．
把 代入方程 ，得到关于 的方程，解方程即可求出 的值．
解：把 代入方程 ，
得： ，
解得： ．
则 的值为 ．
故选：A．【变式2】（22-23六年级上·山东烟台·期末）在解关于 的方程 时，小明在去分母的过
程中，右边的“ ”漏乘了公分母 ，因而求得方程的解为 ，则方程正确的解是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，按小明的方法去分母得 ，
把 代入求出 ，则原方程为 ，然后根据解方程的步骤求解即可，熟练掌握知识点
的应用是解题的关键．
解：按小明的方法去分母得： ，
将 代入 得： ，
解得： ，
∴原方程为 ，
去分母得： ，
去括号得： ，
移项、合并同类项得：y=−1，
原方程正确的解是：y=−1，
故答案为：y=−1．
【例4】（22-23七年级·全国·假期作业）解方程： ．
【答案】
【分析】利用分数的基本性质，先将含有的小数化为整数，再按步骤：去分母，去括号，移项，合并同
类项，系数化为 ，进行求解即可．
解：原方程可化为：
，
去分母，得： ，
去括号，得： ，
移项，得： ，合并同类项，得： ，
系数化为 ，得： .
【点拨】本题考查了一元一次方程的解法，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
【变式1】（22-23六年级上·山东烟台·期末）下列方程与方程 的解相同的是方程
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】题目主要考查解一元一次方程及化简，根据分子分母同乘以一个不为0的数，分数的值不变进
行求解即可
解：
左边分子和分母都乘以10得：
整理得： ，即 ，
故选：D
【变式2】（18-19七年级上·全国·期末）解方程: ；
【答案】
【分析】先把小数都处理成整数，再按解一元一次方程的步骤计算即可．
解：原方程可化为： ，
去分母，可得： ，
去括号，可得： ，
移项，可得： ，
合并同类项，可得： ，
系数化为1，可得： ．
【点拨】本题考查一元一次方程的解法，一般解方程步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1．
【考点二】解一元一次方程——拓展
【题型4】解含绝对值的一元一次方程
【例5】（23-24七年级上·广东广州·期末）（1）解方程
（2）在解形如 这一类含有绝对值的方程时，可以根据绝对值的意义分 和 两种
情况讨论：
当 时，原方程可化为 ．解得 ．符合 ．
当 时，原方程可化为 ．解得 ．符合 ．
所以原方程的解为 或 ．
请你类比此法解方程： ．
（3）新定义：若 是关于x的一元一次方程的解， 是关于y的方程的一个解，且 ， 满足
，则关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”．例如：一元一次方程
的解是 ，方程 的解是 或 ，当 时，满足
，所以关于y的方程 是关于x的一元一次方程 的“航天方程”．
若关于y的方程 是关于x的一元一次方程 的“航天方程”，求a的值．
【答案】（1） 或 ；（2） 或 ；（3） 或
【分析】本题主要考查了解一元一次方程：
（1）先推出 ，进而得到 或 ，进而解方程即可；
（2）仿照题意进行求解即可；
（3）先解方程得到 或 ， ，再根据新定义得到 或 ，
解方程即可得到答案．解：（1）∵ ，
∴ ，
∴ 或 ，
解得 或 ；
（2）
当 时，原方程可化为 ．解得 ．符合 ．
当 时，原方程可化为 ．解得 ．符合 ．
所以原方程的解为 或 ；
（3）∵ ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴ 或 ；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∵关于y的方程 是关于x的一元一次方程 的“航天方程”，
∴ 或 ，
解得 或 ．
【变式1】（23-24七年级上·山西大同·阶段练习）已知 是方程 的解，则k的值为
（ ）
A．11或 B．9或 C．11或 D． 或9
【答案】C【分析】本题主要考查了一元一次方程的解以及绝对值求值，熟练掌握绝对值求解是解题的关键．将
代入方程，根据绝对值的定义求解即可．
解：将 代入方程，得 ，
，
解得 或 ．
故选：C．
【变式2】（23-24七年级上·四川雅安·阶段练习）关于x的方程 的解为 ．
【答案】 或
【分析】本题考查的是含有绝对值符号的一元一次方程，充分利用绝对值的几何意义，采用分类讨论的
方法即可求解．
解：当 时，方程可化为 ，即 ，解得 ；
当 时，方程可化为 ，即 ，此时原方程无解；
当 时，方程可化为 ，即 ，解得 ；
综上，方程的解为： 或 ．
【题型5】同解原理解一元一次方程
【例6】（21-22七年级上·广东江门·阶段练习）已知关于 的方程 和 的解相同．
(1)求 的值；
(2)求 的值．
【答案】(1) ；(2) .
【分析】（1）先根据等式的性质求出每个方程的解，根据同解方程得出 ，再求出 的值即
可；
（2）把 代入 ，再根据积的乘方和有理数的运算法则进行计算即可．
解：（1）由 ，得 ，
由 ，得 ．因为这两个方程的解相同，
所以 ，
解得 ；
（2）把 代入 ，得
原式
．
【点拨】本题考查了同解方程和实数的混合运算，能得出关于m的一元一次方程是解题的关键．
【变式1】（22-23七年级上·广东广州·期末）如果方程 和方程 的解相同，那么 的
值为（ ）.
A．1 B．5 C．0 D．
【答案】D
【分析】先求出方程 ，将解代入方程 ，再解方程即可．
解：解方程 ，得 ，
∵方程 和方程 的解相同，
∴将 代入方程 中，得
，
解得 ，
故选：D．
【点拨】此题考查了解一元一次方程，方程的解，正确理解同解方程的意义是解题的关键．
【变式2】（23-24七年级上·陕西西安·期末）关于x的方程 与方程 的解相同，则常数a是 ．
【答案】3
【分析】本题考查了一元一次方程同解为题．先解方程 ，求得 ，再将 代入方程
，求出 的值即可．
解：方程 ，解得： ，
x的方程 与方程 的解相同，
将 代入 ，得： ，
解得： ，
故答案为：3．
【题型6】整体思想解一元一次方程
【例7】（23-24七年级上·贵州遵义·阶段练习）方程 可以有多种不同的
解法，观察此方程，设 ．
(1)原方程可变形为 ，解方程得： ，从而可得 ．
(2)上述解法所用到的数学思想是 ．
(3)利用上述方法解方程：
【答案】(1) ， ; (2)换元思想（整体思想）; (3)
【分析】本题通过代换法的应用以及解一元一次方程，掌握换元思想是解题关键．
（1）解出方程得到 的值，进而得到 的值即可；
（2）解题方法用到了换元思想；
（3）设 ，将原方程换成 的方程，解出方程得到 的值，进而得到 的值即可．
解：（1） ，
，
，
，
∴ ，解得x=−1，故答案为： ， ．
（2）上述解法用到的数学思想为换元思想或者整体思想．
故答案为：换元思想（整体思想）．
（3）设 ，原方程变形为： ，
，
，
，
，
∴ ，
∴ ．
【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）用整体思想解方程 ．
【答案】
【分析】本题考查的是利用换元的思想解方程，以及解一元一次方程，解题的关键是掌握换元思想将复
杂的问题转化为简单的问题，利用换元的思想计算即可．
解： ，
设 ，则原方程可变形为 ，
，
，
，
，
，
k=1，
∴ ，解得 ．
【变式2】（23-24七年级上·全国·课后作业）解方程： ．
【答案】
【分析】按照解一元一次方程的步骤，把 看成整体来计算．
解：原方程可化为 ，
，
，
解得 ．
【点拨】本题考查解一元一次方程，把 看成整体是关键．
【题型7】用特殊方法解较为复杂的一元一次方程
【例8】（23-24七年级上·四川泸州·阶段练习）观察下列等式 ，将以
上三个等式两边分别相加得： ．
(1)猜想并写出： ；
(2)解方程： ．
【答案】(1) ; (2)
【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，解一元一次方程，正确理解题意找到规律是解题的关键．
（1）利用分母是两个连续的自然数的乘积，分子是1的分数可以拆成分子是1，分母是这两个自然数的
差，进而总结出规律；
（2）根据（1）的规律把原方程变形为 ，进一步
合并得到 ，据此可得答案．
解：（1） ，，
，
……，
以此类推， ，
故答案为： ；
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ．
【变式1】（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习） 的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了解一元一次方程，先利用乘法分配律的逆运算把 提出来，再利用拆项法即可化
简求解，掌握拆项法进行化简是解题的关键．
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
故选： ．
【变式2】（2024七年级·全国·竞赛）关于 的一元一次方程 的
解（ ）．
A．是一个大于 小于 的数 B．是一个大于 的数
C．是一个大于 小于 的数 D．不存在
【答案】C
【分析】本题考查了解一元一次方程，利用分数的性质先对方程化简，再移项，转化为
，得到 ，解之即可求解，把方程转化为
是解题的关键．
解：原方程变形为 ，
即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴方程 的解是一个大于 小于 的数，
故选： ．
【题型8】解新定义下的一元一次方程
【例9】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）我们规定：若关于x的一元一次方程 的解为
，则称该方程为“和解方程”．例如：方程 的解为 ，而 ，则方程
为“和解方程”．请根据上述规定解答下列问题(1)判断：方程 ______（“是”或“不是”）“和解方程”．
(2)关于x的一元一次方程 是“和解方程”，求t的值．
(3)关于x的一元一次方程 是“和解方程”，并且它的解是 ，求m、n的值．
【答案】(1)是; (2) ; (3) ， 。
【分析】本题考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，理解“和解方程”的定义是解题关键．
（1）先解方程 ，再根据“和解方程”的定义判断即可；
（2）先解方程 ，再根据“和解方程”的定义列关于 的一元一次方程求解即可；
（3）根据“和解方程”的定义可得方程 的解为 ，进而得到 ，得到方
程 ，求出 的值，再求出 的值即可．
解：（1）方程 的解为 ，
而 ，
则方程 是“和解方程”，
故答案为：是
（2）方程 的解为 ，
方程 是“和解方程”，
，
解得： ；
（3） 方程 是“和解方程”，
方程 的解为 ，
又 它的解是 ，
，
，
将 代入方程 ，可得 ，
将 代入方程 ，可得： ，将 代入 ，可得 ，
解得： ．
【变式1】（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）规定运算 ，例如 ．
若满足等式 的 是正整数，则正整数 的值为（ ）
A．1或4 B．2 C．2或4 D．4
【答案】A
【分析】本题考查有理数的计算及解一元一次方程，由题意列式并整理可得 ，然后根据 为正
整数， 为正整数，先确定 的值，再代入计算求得 的值即可．
解：由题意可得： ，
整理得： ，
为正整数， 为正整数，
或3，
则 或 ，
即 的正整数值为1或4．
故选：A
【变式2】（23-24七年级上·江苏苏州·期末）记关于x的一元一次方程 为 ，如 表
示方程 ，其解 ，若方程 的解比方程 的解大1，则 .
【答案】
【分析】本题考查解一元一次方程，根据新定义列出两个方程的解，再根据方程 的解比方程
的解大1列式求解即可得到答案；
解：由题意可得，方程 的解为： ，
方程 的解为： ，
∵方程 的解比方程 的解大1，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
【题型9】一元一次方程的含参问题——有无数解、无解、唯一解问题
【例10】已知关于x的方程 有无数多个解，求常数a、b的值．
【答案】 ，
【分析】首先把方程进行化简，方程有无数个解即方程的一次项系数等于0，据此即可求得 的值，进而
得出b的值．
解：化简得： ，
即： ，
根据题意得：
解得： ，
∴
∴ ．
【点拨】本题主要考查了含有一个未知数的方程有无数个解的条件，正确理解条件是解题的关键．
【变式1】（2023九年级·全国·专题练习）关于x的方程 有无穷多个解，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】把原方程化为 ，可得当 ，即 时， ，此时方程有无穷多
个解，即可求解．
解： ，
∴ ，
∴ ，
∴当 ，即 时， ，此时方程有无穷多个解，
∴当 时，方程有无穷多个解．
故选：A
【点拨】本题主要考查了一元一次方程的解，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程
的解是解题的关键．
【变式2】（23-24七年级上·福建泉州·期末）已知 为定值，关于 的方程 ，无论
为何值，它的解总是1，则
【答案】
【分析】本题考查方程解的定义，求代数式的值；熟练运用方程解的定义及由k可以取任何值得到a和b
的值是解题的关键．把 代入已知等式，得到 ，整理为 的形
式，令 ，由此求得 ， 进而求得a、b的值，代入求值即可．
解：把 代入方程 ，得：
，即 ，
整理得： ，
无论m为何值，它的解总是1，
， ，
解得： ， ，
则 ，
故答案为： ．第三部分【直通中考与拓展延伸】
【考点三】直通中考与拓展延伸
【题型10】直通中考
【例1】（2023·浙江衢州·中考真题）小红在解方程 时，第一步出现了错误：
解： ，
……
(1)请在相应的方框内用横线划出小红的错误处．
(2)写出你的解答过程．
【答案】(1)见解析；(2) .
【分析】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求
出解
（1）根据等式的性质，解一元一次方程的步骤即可判断；
（2）首先去分母、然后去括号、移项、合并同类项、次数化成1即可求解．
解：（1）
（2）解： ，
去分母，得， ，
移项，得： ，
合并同类页，得： ，
解得： ．
【例2】（2021·重庆·中考真题）若关于x的方程 的解是 ，则a的值为 ．
【答案】3
【分析】将x=2代入已知方程列出关于a的方程，通过解该方程来求a的值即可．
解：根据题意，知，
解得a=3．
故答案是：3．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解的定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一
次方程的解．
【题型10】拓展延伸
【例1】（20-21七年级上·重庆·期末）已知关于 的方程 有非负整数解，则整数 的所
有可能的取值的和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据解方程的一般步骤解方程，再根据非负数的定义将 的值算出，最后相加即可得出答案．
解：
去分母，得
去括号，得
移项、合并同类项，得
将系数化为1，得
是非负整数解
或 ， ， 时， 的解都是非负整数
则
故选C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解方程的一般步骤是解题的关键．
【例2】（24-25七年级上·全国·单元测试）已知关于 的一元一次方程 的解为 ，
那么关于 的一元一次方程 的解为 ．
【答案】【分析】本题考查了一元一次方程的解，由方程 得
，设 ，则方程可转化为 ，即可得 ，据此即
可求解，掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键．
解：∵ ，
∴ ，
设 ，则方程 可转化为 ，
∵关于 的一元一次方程 的解为 ，
∴ ，
∴ ，
∴方程 ，
故答案为： ．
