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第 31 讲 高考题中的解答题二 （立体几何）
空间向量与空间角、距离问题
(一) 线面角
以空间几何体为载体考查线面角是高考命题的重点.空间向量是将空间几何问题坐标化的工具，利用空
间向量求线面角是高考热点，通常以解答题的形式出现，难度中等.
[典例] (2022·全国甲卷)在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD， CD∥ AB ，
AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，DP＝.
(1)证明：BD⊥PA；
(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值．
方法技巧
利用空间向量求线面角的解题模型
针对训练
(2022·百师联盟开学考)如图，四棱柱 ABCD-ABC D 中，四边形 AADD 为矩
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形，且平面 AADD ⊥平面 ABCD，AB∥CD，AB＝AD＝AA＝CD， ∠DAB＝，
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M，E分别为AD，BC的中点．
1 1
(1)证明：ME∥平面DCC D；
1 1
(2)求AE与平面BBCC 所成的角的正弦值．
1 1(二) 平面与平面的夹角
以空间几何体为载体考查平面与平面的夹角是高考命题的重点.空间向量是将空间几何问题坐标化的工
具，利用空间向量求平面与平面的夹角是高考热点，通常以解答题的形式出现，难度中等.
[典例] 如图，在四棱锥 P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的 正 方 形 ，
△PAB为正三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD，PM＝MD.
(1)求证：BP∥平面ACM；
(2)求平面MBC与平面DBC夹角的余弦值．
[关键点拨]
(1)在平面ACM内找与PB平行的线；
切入点
(2)建立坐标系，利用向量法求解
(1)把线面平行问题转化为线线平行问题；
迁移点
(2)把求两平面夹角问题转化为求两法向量的夹角问题
不会建系．本题不能直接建系，需根据侧面PAB⊥底面ABCD，作
障碍点
交线AB的垂线，可得平面ABCD的垂线，从而建立坐标系
方法技巧
利用空间向量平面与平面所成角的解题模型
针对训练
1．(2022·新高考Ⅱ卷)如图，PO是三棱锥P-ABC的高，PA ＝ PB ，
AB⊥AC，E为PB的中点．
(1)证明：OE∥平面PAC；
(2)若∠ABO＝∠CBO＝30°，PO＝3，PA＝5，求二面角C-AE-B的正弦值．2.(2022·岳阳质检)如图，在直三棱柱ABC-ABC 中，D，E分别是 棱 AA ，CC
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上的点，AD＝C E＝AA，AC ＝BC .
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(1)求证：平面DEB ⊥平面AABB；
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(2)若直线BD与平面ABC所成的角为45°，且AB ＝AC ，求平面 DBE 与平面
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BBE夹角的正弦值．
1
命题点(三) 距离问题
[典例] (2022·菏泽一模)如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E 在底面圆周
上，AF⊥DE，F为垂足．
(1)求证：AF⊥DB；
(2)当直线DE与平面ABE所成角的正切值为2时，
①求二面角E-DC-B的余弦值；
②求点B到平面CDE的距离．
方法技巧
向量法求点到平面的距离的步骤针对训练
(2022·北京房山区二模)如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PA⊥底面 ABCD.在底
面ABCD中，BC∥AD，CD⊥AD，AD＝CD＝1，BC＝2.
(1)求证：AC⊥平面PAB；
(2)若平面PAB与平面PCD的夹角等于，求点B到平面PCD的距离．
[课时验收评价] 综合性考法针对练——空间向量与空间角、距离问题
1.三棱锥 P-ABC 中，PA＝4，AB＝2，BC＝2，PA⊥平面 ABC， AB⊥BC，D
为AC中点，点E在棱PC上(端点除外)．过直线DE的平面α与平面PAB垂 直，平面 α
与此三棱锥的面相交，交线围成一个四边形．
(1)在图中画出这个四边形，并写出作法(不要求证明)；
(2)若PE＝3EC，求点C到平面α的距离．
2.(2022·泰安一模)如图，在五面体 ABCDE 中，已知 AC⊥平面 BCD ，
ED∥AC，且AC＝BC＝2ED＝2，DC＝DB＝.
(1)求证：平面ABE⊥平面ABC；
(2)求平面ABE与平面BCE夹角的余弦值．
3.(2022·盐城模拟)在三棱柱ABC-ABC 中，AA ＝13，AB＝8， BC ＝ 6 ，
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AB⊥BC，AB＝BC，D为AC中点，平面ABC⊥平面ABC.
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(1)求证：BD⊥平面ABC；
1
(2)求直线C D与平面ABC所成角的正弦值．
1 14.(2022·湖北调研)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为 正 方 形 ，
PA⊥底面ABCD，PA＝AB，E，F分别为线段PB，BC上的动点．
(1)若E为线段PB的中点，证明：平面AEF⊥平面PBC；
(2)若BE＝BF，且平面AEF与平面PBC所成角的余弦值为，试确 定点 F 的位
置．
5.如图，在直三棱柱ABC-ABC 中，AD⊥平面ABC，垂足D在直线 AB上．
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(1)求证：BC⊥AB.
1
(2)若AD＝，AB＝BC＝2，在线段AC上找一点P，使二面角A-AB-P 的余弦值是.
1(三) 立体几何中的综合问题
(一) 立体几何中的折叠问题
对立体几何中的折叠问题，要求学生要有较强的空间想象力和准确的计算运算能力，才能顺利解答.从
实际教学和考试来看，学生对这类题看到就头疼.分析原因，首先是学生的空间想象力较弱，其次是学生对
这类问题没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.
[典例] (2022·齐齐哈尔一模)已知平面四边形ABCM由等腰△MAC和Rt△ABC组成，AB⊥BC，MA＝
MC，O为AC上的点且OA＝OC＝BC＝2(如图1所示)，将等腰△MAC沿AC折起，点M折至点D位置，
使得平面DAC⊥平面ABC(如图2所示)．
(1)求证：DO⊥AB；
(2)若点E在棱DC上，且满足DE＝2EC，平面EAB和平面ABC所成角的余弦值为，求四面体ABCD
的体积．
[关键点拨]
切入点 通过面面垂直的性质证明DO⊥平面ABC，进而证明DO⊥AB
建立坐标系，写出两个平面的法向量，通过锐二面角的余弦值求出参
迁移点
数，进而计算四面体ABCD的体积方法技巧
画好翻折前后的平面图形与立体图形，分清翻折前后图形的位置和数量关系的变与不变．一般地，位
于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置和数量关系不变，而位于“折痕”两侧的点、线、面之间的位置
关系会发生变化；对于不变的关系应在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在立体图形中解决．
针对训练
(2022·石家庄一模)如图1，在梯形ABCD中，∠BAD为直角，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝2，如图2，
将三角形ABD沿BD折起至PBD.
(1)若平面PBD⊥平面BCD，求证：PB⊥PC；
(2)设E是PC的中点，若二面角E-BD-C为30°，求平面PBD与平面BCD夹角的大小．
(二) 立体几何中的探究性问题
与空间向量有关的探究性问题主要有两类：一类是探究线面的位置关系；另一类是探究线面角或两平
面的夹角满足特定要求时的存在性问题.处理原则：先建立空间直角坐标系，引入参数有些是题中已给出，
设出关键点的坐标，然后探究这样的点是否存在，或参数是否满足要求，从而作出判断.
[典例] (2022·济南期末)如图，在正四棱柱ABCD-ABC D 中，AA＝2AB＝2，E，F，分别为棱AA，
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CC 的中点，G为棱DD 上的动点．
1 1
(1)求证：B，E，D，F四点共面；
1
(2)是否存在点G，使得平面GEF⊥平面BEF？若存在，求出 DG的 长度；若不
存在，说明理由．
[关键点拨]
以D为坐标原点，DA，DC，DD 分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标
1
切入点
系
迁移点 假设存在满足题意的点G，根据题意列方程求解方法技巧
解决立体几何中探索性问题的基本方法
(1)通常假设问题中的数学对象存在或结论成立，再在这个前提下进行推理，如果能推出与条件吻合的
数据或事实，说明假设成立，并可进一步证明，否则假设不成立．
(2)探索线段上是否存在满足条件的点时，一定注意三点共线的条件的应用．
针对训练
如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝a，点P在AB上，PE∥BC交AC于E.PF∥AC交BC于F.
沿PE将△APE翻折成△A′PE，使平面A′PE⊥平面ABC；沿PF将△BPF翻折成△B′PF，使平面
B′PF⊥平面ABC.
(1)求证：B′C∥平面A′PE；
(2)设＝λ(λ>0)，是否存在λ，使得二面角C-A′B′-P的大小为30°？若存在，求出λ的值；若不存在，
请说明理由．
(三) 立体几何中的最值问题
立体几何中的最值问题主要有三类，一是距离长度的最值问题；二是面体积的最值问题；三是在最
值已知的条件下，确定参数其他几何量的值.从解答思路看，有几何法利用几何特征和代数法应用函数
思想、基本不等式等两种，这两种解答思路都需要我们正确揭示空间图形与平面图形的联系，并有效地实
施空间图形与平面图形的转换.要善于将空间问题转化为平面问题，这一步要求我们具备较强的空间想象能
力，熟练掌握几何体的结构特征及有关计算公式.
[典例] 如图，在正三棱柱 ABC-ABC 中，AB＝AA ＝2，点D 在边 BC 上，
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E为BC 的中点．
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(1)如果D为BC的中点，求证：平面BAE∥平面C DA；
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(2)设锐二面角B-AC -D的平面角为α，CD＝λCB，λ∈，当λ取 何值时，cos
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α取得最大值？方法技巧
角度与距离取值范围问题的求解策略
在考察空间几何体中的运动对象时，直接考虑它的极端情形，如它的起点位置与
极端化
终点位置，从中得出一般性的结论，从而达到解决问题的目的
将所有待解决的立体几何中的最值问题通过代数化转化为一个变量或多个变量的
函数问题，运用函数求最值的方法来解决立体几何中的最值问题．此外，用变量
函数化 表示出立体几何待求的问题后，也常用均值不等式的方法加以解决．立体几何问
题的函数化，常用方法是建立平面直角坐标系或空间直角坐标系，用坐标中的变
量表示几何对象的变化
针对训练
1.如图所示，在棱锥P-ABC中，BC⊥平面PAC，PA⊥AB，PA＝AB ＝4，且 E 为
PB的中点，AF⊥PC于F，当AC变化时，三棱锥P-AEF体积的最大值 是( )
A. B．
C. D．
2.(2022·枣庄三模)如图，在平行六面体 ABCD-ABC D 中，AD⊥ 底 面
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ABCD，AB＝AA＝2AD＝2，∠DAB＝60°.
1
(1)证明：AD⊥AB；
1
(2)设点P为线段DC 上一点(异于D，C )，当DP为何值时，平面 APB与平面
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AADD夹角的余弦值最大？
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综合性考法针对练——立体几何中的综合问题
1．(2022·济南模拟)如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，将△ACD沿AC折起，使得点D到达点P的位置，PB＝.
(1)证明：平面PAB⊥平面ABC；
(2)求直线PC与平面ABC所成角的正弦值．
2.(2022·潍坊二模)如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为矩 形，PD⊥平
面ABCD，PD＝CD＝1，PA与平面ABCD所成角为30°，M为PB上一 点 且
CM⊥PA.
(1)求证：PA⊥DM；
(2)设平面PAD与平面PBC的交线为l，在l上取点N使PN＝DA，Q为线段PN上一动点，求平面ACQ
与平面PDC所成二面角的余弦值的最大值．
3．(2022·东北师大附中二模)如图①所示，平面五边形ABCDE中，四边形ABCD为直角梯形，∠B＝
90°且AD∥BC，若AD＝2BC＝2，AB＝，△ADE是以AD为斜边的等腰直角三角形，现将△ADE沿AD折
起，连接EB，EC得如图②的几何体．
(1)若点M是ED的中点，求证：CM∥平面ABE；
(2)若EC＝2，在棱EB上是否存在点F，使得平面ADE与平面ADF的夹角为60°？若存在，求出点F
的位置；若不存在，请说明理由．4．(2022·马鞍山三模)如图所示，四棱锥P-ABCD，底面在以AC为直 径的圆O上，
PO⊥圆O，△ABD为等边三角形，AC＝4，PO＝.
(1)求证：平面PBD⊥平面PAB；
(2)线段PB上是否存在一点M使得直线PA与平面AMC所成角的正 弦值为？若存
在，求出；若不存在，请说明理由．
5.如图，在斜三棱柱BCE-ADF中，侧面ABCD⊥侧面ABEF，AB＝ AD＝AF＝2，
∠ADC＝∠AFE＝60°，M为CD上的动点．
(1)当M为CD的中点时，证明：EM⊥BF；
(2)求EM与平面BCE所成角的正弦值的取值范围．
大题专攻——“立体几何”大题的规范解题路径
立体几何问题重在“建”——建模、建系
立体几何解答题的基本模式是论证推 理与计算相
结合，以某个几何体为依托，分步设问， 逐层加深．
解决这类题目的原则是建模、建系．
建模——将问题转化为平行模型、垂 直模型、平
面化模型及角度、距离等的计算模型，有 时也需建立
函数模型；
建系——依托于题中的垂直条件，建 立空间直角
坐标系，利用空间向量求解．
[解题示范]
[典例] (2021·新高考Ⅰ卷)如图，在三棱锥 A-BCD 中，平面 ABD⊥ 平 面BCD，AB＝AD，O为BD的中点．
(1)证明：OA⊥CD.
(2)若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE＝2EA，且二面角E-BC-D的大小为45°，
求三棱锥A-BCD的体积．
[关键点拨]
1．利用法向量求解空间角的关键在于“四破”
2．解答立体几何问题，应具备以下5点思维
(1)由于空间图形问题往往可转化为平面图形问题加以解决，因此要注意平面几何知识在解题中的灵活
运用．例如，证线线平行可以利用三角形、梯形的中位线性质定理，还可以利用比例关系；证线线垂直可
以利用菱形、正方形的对角线互相垂直，还可以利用勾股定理的逆定理．
(2)立体几何中证明有关平行或垂直问题时，由于大多数问题主要考查的是有关判定定理在证题中的灵活运用，所以我们要优先考虑对应的判定定理去寻找证题思路．
(3)立体几何中证明有关平行或垂直问题时，若对应的判定定理不便于运用，则应该及时考虑其他的证
题思路．例如，要证线面平行，可以先证面面平行，再利用面面平行的性质；要证明线面垂直，可以先证
面面垂直，再利用面面垂直的性质．
(4)分析、解决有关立体几何问题时，往往需要考虑数形结合思想、分类与整合思想、转化思想在解题
中的灵活应用．
(5)由于立体几何解答题侧重考查空间向量法在解题中的灵活运用，所以必须熟练掌握利用空间向量法
求解空间角的具体过程．
(2022·全国乙卷)如图，四面体 ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD， ∠ ADB ＝
∠BDC，E为AC的中点．
(1)证明：平面BED⊥平面ACD；
(2)设AB＝BD＝2，∠ACB＝60° ，点F在BD上，当△AFC的 面积最小时，
求CF与平面ABD所成的角的正弦值．
“立体几何”大题规范增分练
1.(2022·福州3月质检)如图，在直三棱柱ABC-ABC 中，点E为AB 的中点，点F
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在BC上，且AC＝BC＝3BF.
(1)证明：平面ABF⊥平面CC E；
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(2)若∠ABC＝60°，AA ＝2AB，且三棱锥E-ABF的体积为，求CE 与平面 ABF
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所成角的正弦值．
2．(2022·许昌二模)如图所示，在四棱锥 S-ABCD 中，四边形 ABCD 为 菱
形，△SAD为等边三角形，∠ABC＝120°，点S在平面ABCD内的射影 O为线段 AD
的中点．
(1)求证：平面SOB⊥平面SBC；
(2)已知点E在线段SB上，SE＝BE，求平面OBE与平面OCE夹角的余弦值．3.(2022·中山期末)已知圆锥AO的底面半径为2，母线长为2，点C 为圆锥底面圆
周上的一点，O为圆心，D是AB的中点，且∠BOC＝.
(1)求三棱锥D-OCB的表面积；
(2)求A到平面OCD的距离．
4．如图1，在平面四边形PDCB中，PD∥BC，BA⊥PD，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1.将△PAB沿BA翻
折到△SAB的位置，使得平面SAB⊥平面ABCD，如图2所示．
(1)设平面SDC与平面SAB的交线为l，求证：BC⊥l；
(2)点Q在线段SC上(点Q不与端点重合)，平面QBD与平面BCD夹角的余弦值为，求线段BQ的长．
5.如图，在水平放置的直角梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠DAB＝ 90°，AD＝
DC＝AB＝1.以AB所在直线为轴，将ABCD向上旋转角θ得到ABEF， 其 中
θ∈(0，π)．
(1)证明：平面ADF⊥平面CDFE；
(2)若平面ADF与平面BCE的夹角余弦值不超过，求θ的取值范围．
