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第 7 节 抛物线
考试要求 1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问
题中的作用；2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.
1.抛物线的定义
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点
F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.
(2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离).
2.抛物线的标准方程与几何性质
图形
y2＝
标准 2px(p> y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
0)
方程
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
顶点 O(0，0)
对称轴 y＝0 x＝0
焦点 F F F F
性 离心率 e＝1
质 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
x≤0，
范围 x≥0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
y∈R
开口方向 向右 向左 向上 向下
1.通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p，通径是过焦点最短的弦.
2.抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x ，y )到焦点F的距离|PF|＝x ＋，也称为抛物线
0 0 0的焦半径.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.(
)
(2)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.( )
(3)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切.( )
(4)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线
的通径，那么抛物线x2＝－2ay(a>0)的通径长为2a.( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
解析 (1)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F与定直线l垂直的一条直线，而
非抛物线.
(2)抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形.
(3)一条直线平行抛物线的对称轴，此时与抛物线只有一个交点，但不相切.
2.(易错题)(2022·长春检测)已知抛物线方程为y＝，则抛物线的准线方程为( )
A.x＝1 B.x＝－1
C.y＝1 D.y＝－1
答案 D
解析 化抛物线的方程为标准方程，得 x2＝4y，所以p＝2，所以抛物线的准线
方程为y＝－＝－1，故选D.
3.(易错题)过点(0，1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直
线有( )
A.1条 B.2条
C.3条 D.4条
答案 C
解析 结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x＝0，过点(0，1)且
平行于x轴的直线以及过点(0，1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0).
4.(2021·兰州调研)已知点(1，1)在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，则C的焦点到其准
线的距离为( )A. B. C.1 D.2
答案 B
解析 因为点(1，1)在抛物线C上，所以1＝2p，解得p＝，故C的焦点到其准
线的距离为，故选B.
5.(2022·太原质检)顶点在原点，且过点 P(－2，3)的抛物线的标准方程是
_________________________.
答案 y2＝－x或x2＝y
解析 设抛物线的标准方程是 y2＝kx 或 x2＝my，代入点 P(－2，3)，解得 k＝
－，m＝，所以y2＝－x或x2＝y.
6.(2020·新高考山东卷)斜率为的直线过抛物线 C：y2＝4x的焦点，且与 C交于
A，B两点，则|AB|＝________.
答案
解析 由题意得，
抛物线焦点为F(1，0)，
设直线AB的方程为y＝(x－1).
由得3x2－10x＋3＝0.
设A(x ，y )，B(x ，y )，
1 1 2 2
则x ＋x ＝，
1 2
所以|AB|＝x ＋x ＋2＝.
1 2
考点一 抛物线的定义及标准方程
1.(2022·豫北六校联考)已知圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则
圆C的圆心的轨迹为( )
A.双曲线 B.椭圆
C.直线 D.抛物线
答案 D解析 由题意知，圆C的圆心到点(0，3)的距离比到直线y＝0的距离大1，
即圆C的圆心到点(0，3)的距离与到直线y＝－1的距离相等，
根据抛物线的定义可知，所求轨迹是抛物线，故选D.
2.(2020·全国Ⅰ卷)已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的
距离为12，到y轴的距离为9，则p＝( )
A.2 B.3 C.6 D.9
答案 C
解析 设A(x，y)，由抛物线的定义知，点A到准线的距离为12，即x＋＝12.
又因为点A到y轴的距离为9，即x＝9，
所以9＋＝12，解得p＝6.故选C.
3.顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点的
抛物线的标准方程为( )
A.x2＝－12y或y2＝16x
B.x2＝12y或y2＝－16x
C.x2＝9y或y2＝12x
D.x2＝－9y或y2＝－12x
答案 A
解析 对于直线方程3x－4y－12＝0，
令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4，
所以抛物线的焦点为(0，－3)或(4，0).
当焦点为(0，－3)时，
设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，
则＝3，所以p＝6，
此时抛物线的标准方程为x2＝－12y；
当焦点为(4，0)时，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则＝4，所以p＝8，
此时抛物线的标准方程为y2＝16x.
故所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x.
4.设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为该抛物线上一点，PA⊥l，A为垂
足，若直线AF的斜率为－，则△PAF的面积为________.
答案 4解析 设准线与x轴交于点Q，
因为直线AF的斜率为－，|FQ|＝2，
所以∠AFQ＝60°，|FA|＝4，
又因为|PA|＝|PF|，∠PAF＝60°，
所以△PAF是边长为4的等边三角形，
所以△PAF的面积为×|FA|2＝×42＝4.
感悟提升 1.应用抛物线定义的两个关键点
(1)由抛物线定义，把抛物线上的点到焦点距离与到准线距离相互转化.(2)抛物线
的焦点到准线的距离为p.
2.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方
向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数 p，只需一个
条件就可以确定抛物线的标准方程.
考点二 抛物线的几何性质及其应用
角度1 焦半径和焦点弦
例1 (1)(2022·南昌模拟)已知△ABC的三个顶点都在抛物线 x2＝8y上，且F为抛
物线的焦点，若AF＝(AB＋AC)，则|AF|＋|BF|＋|CF|＝( )
A.6 B.8 C.10 D.12
(2)(2021·全国百校大联考)已知F是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为－2且经
过焦点F的直线l交该抛物线于M，N两点，若|MN|＝，则p＝________.
答案 (1)D (2)1
解析 (1)由x2＝8y，得焦点F(0，2)，准线方程为y＝－2，
设A(x ，y )，B(x ，y )，C(x ，y )，
1 1 2 2 3 3
由AF＝(AB＋AC)得(－x ，2－y )＝(x －x ，y －y )＋(x －x ，y －y )，
1 1 2 1 2 1 3 1 3 1
则2－y ＝(y －y ＋y －y )，
1 2 1 3 1
化简得y ＋y ＋y ＝6，
1 2 3
所以|AF|＋|BF|＋|CF|＝y ＋2＋y ＋2＋y ＋2＝12.
1 2 3
(2)根据题设知直线l：y＝－2x＋p，
由得4x2－6px＋p2＝0.
设M(x ，y )，N(x ，y )，
M M N N
则x ＋x ＝＝，
M N又|MN|＝，
所以x ＋＋x ＋＝＝，
M N
所以p＝1.
感悟提升 1.在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、
直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.
2.解决焦点弦问题时，要注意焦点位置，利用抛物线定义把到焦点距离转化为到
准线的距离.
角度2 与抛物线有关的最值问题
例2 (1)已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短
距离为( )
A. B. C.1 D.2
(2)(2022·江西七校联考)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，P为抛物线上一动点，点
A(1，1)，当△PAF的周长最小时，PF所在直线的斜率为________.
(3)(2021·榆林一模)抛物线y＝4x2上一点到直线y＝4x－5的距离最短，则该点的
坐标是________.
答案 (1)D (2)－ (3)
解析 (1)由题意知，抛物线的准线l：y＝－1，
过点A作AA ⊥l交l于点A ，过点B作BB ⊥l交l于点B ，
1 1 1 1
设弦AB的中点为M，过点M作MM ⊥l交l于点M ，
1 1
则|MM |＝.
1
因为|AB|≤|AF|＋|BF|(F为抛物线的焦点)，即|AF|＋|BF|≥6，
所以|AA |＋|BB |≥6，2|MM |≥6，
1 1 1
|MM |≥3，
1
故点M到x轴的距离d≥2，故选D.
(2)由题意可知抛物线的焦点F(1，0)，准线为x＝－1，
因为A(1，1)，
所以|AF|＝1，△PAF的周长l＝|PA|＋|PF|＋|AF|.
过点P作准线x＝－1的垂线，垂足为M，
根据抛物线的定义可知|PM|＝|PF|，
则当A，P，M三点共线时，|PA|＋|PM|最小，此时P点的纵坐标为1，代入抛物线的方程可得P点的横坐标为，
所以直线PF的斜率为＝－.
(3)法一 设与y＝4x－5平行的直线y＝4x＋b与y＝4x2相切，将y＝4x＋b代入y
＝4x2，得4x2－4x－b＝0.①
由Δ＝16＋16b＝0得b＝－1，
代入①得x＝，
∴所求点为.
法二 设该点坐标为A(x ，y )，那么有y ＝4x.
0 0 0
设点A到直线y＝4x－5的距离为d，
则d＝＝|－4x＋4x －5|
0
＝|4x－4x ＋5|
0
＝.
当且仅当x ＝时，d有最小值，
0
将x ＝代入y＝4x2解得y ＝1.
0 0
故A点坐标为.
感悟提升 与抛物线有关的最值问题的转化策略
策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点
之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决.
策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所
有点的连线中垂线段最短”原理解决.
策略三：抛物线上的动点到定直线的距离，可以转化为平行线间的距离，也可以
利用单变量设点利用函数思想求最值.
训练1 (1)(2020·全国Ⅲ卷)设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px(p>0)
交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为( )
A. B. C.(1，0) D.(2，0)
(2)(2022·昆明检测)已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点A(2，y )，F为焦点，直线FA
0
交抛物线的准线于点M，满足2FA＝AM，则p＝________.
(3)已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别
作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则|AC|＋|BD|的最小值为________.
答案 (1)B (2)12 (3)2解析 (1)将x＝2与抛物线方程y2＝2px联立，可得y＝±2，
不妨设D(2，2)，E(2，－2)，
由OD⊥OE，可得OD·OE＝4－4p＝0，解得p＝1，
所以抛物线C的方程为y2＝2x.其焦点坐标为.故选B.
(2)由题意知，抛物线的准线方程为x＝－，过点A作准线的垂线，垂足为B，
由抛物线的定义，得
|AB|＝|AF|＝x ＋＝2＋，
A
设准线与x轴的交点为C，
因为2FA＝AM，
所以＝，即＝，解得p＝12.
(3)由题意知F(1，0)，
|AC|＋|BD|＝|AF|＋|FB|－2＝|AB|－2，
即|AC|＋|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值.
依抛物线定义知，当|AB|为通径，即|AB|＝2p＝4时为最小值，
所以|AC|＋|BD|的最小值为2.
考点三 直线与抛物线的综合问题
例3 已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与
x轴的交点为P.
(1)若|AF|＋|BF|＝4，求直线l的方程；
(2)若AP＝3PB，求|AB|.
解 设直线l的方程为y＝x＋t，A(x ，y )，B(x ，y ).
1 1 2 2
(1)由题设得F，
故|AF|＋|BF|＝x ＋x ＋.
1 2
又|AF|＋|BF|＝4，所以x ＋x ＝.
1 2
由可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，
其中Δ＝144(1－2t)>0，
则x ＋x ＝－.
1 2
从而－＝，得t＝－(满足Δ>0).
所以l的方程为y＝x－.
(2)由AP＝3PB可得y ＝－3y .
1 2由可得y2－2y＋2t＝0，
其中Δ＝4－8t>0，
所以y ＋y ＝2，从而－3y ＋y ＝2，
1 2 2 2
故y ＝－1，y ＝3.
2 1
代入C的方程得x ＝3，x ＝.
1 2
所以A(3，3)，B，故|AB|＝.
感悟提升 1.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若
过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x ＋x ＋p，若不过焦点，则必须用一般
1 2
弦长公式.
2.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用
“设而不求”、“整体代入”等解法.
提醒 涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.
训练2 (1)(2021·咸阳模拟)直线y＝x＋b交抛物线y＝x2于A，B两点，O为抛物线
顶点，OA⊥OB，则b的值为( )
A.－1 B.0 C.1 D.2
(2)(2022·成都质检)已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线与该抛物线相交于
A，B 两点，若△AOF 与△BOF(O 为坐标原点)的面积之比是 2∶1，则|AB|＝
________.
答案 (1)D (2)
解析 (1)设A(x ，y )，B(x ，y )，
1 1 2 2
将y＝x＋b代入y＝x2，
化简可得x2－2x－2b＝0，
故x ＋x ＝2，x x ＝－2b，
1 2 1 2
所以y y ＝x x ＋b(x ＋x )＋b2＝b2.
1 2 1 2 1 2
又OA⊥OB，所以x x ＋y y ＝0，
1 2 1 2
即－2b＋b2＝0，则b＝2或b＝0，
经检验b＝0时，不符合题意，故b＝2.
(2)因为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，
所以抛物线的方程为y2＝2x，
设直线AB的方程为x＝my＋，代入y2＝2x可得，y2－2my－1＝0.
设A(x ，y )，B(x ，y )，则y y ＝－1.
A A B B A B
因为△AOF与△BOF的面积之比为2∶1，
所以|OF|·|y |＝2×|OF|·|y |，
A B
所以y ＝－2y ，所以y y ＝－2y＝－1，
A B A B
所以y＝，y＝2，
分别代入y2＝2x，可得x ＝，x ＝1，
B A
所以|AB|＝x ＋x ＋1＝.
A B
抛物线的几个“二级结论”的应用
抛物线焦点弦的有关性质是高中数学的重要部分，了解和掌握相关结论，在解题
时可迅速打开思路，抛物线焦点弦的常见结论如下：
设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x ，y )，B(x ，y )，则
1 1 2 2
(1)x ·x ＝.
1 2
(2)y ·y ＝－p2.
1 2
(3)|AB|＝x ＋x ＋p＝(α是直线AB的倾斜角).
1 2
(4)＋＝为定值(F是抛物线的焦点).
例 1 过抛物线 y2＝4x 的焦点 F 的直线 l 与抛物线交于 A，B 两点，若|AF|＝2|
BF|，则|AB|等于( )
A.4 B. C.5 D.6
答案 B
通性通法 易知直线l的斜率存在，设为k，则其方程为y＝k(x－1).
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
得x ·x ＝1，①
A B
因为|AF|＝2|BF|，
由抛物线的定义得x ＋1＝2(x ＋1)，
A B
即x ＝2x ＋1，②
A B
由①②解得x ＝2，x ＝，
A B
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝x ＋x ＋p＝.
A B
应用示范 法一 由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图，设A，B在准线上
的射影分别为D，C，作BE⊥AD于E，设|BF|＝m，直线l的倾斜角为θ，
则|AB|＝3m，
由抛物线的定义知
|AD|＝|AF|＝2m，|BC|＝|BF|＝m，
所以cos θ＝＝，所以sin2θ＝.
又y2＝4x，知2p＝4，
故利用弦长公式|AB|＝＝.
法二 因为|AF|＝2|BF|，所以＋＝＋＝＝＝1，
解得|BF|＝，|AF|＝3，
故|AB|＝|AF|＋|BF|＝.
例2 设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两
点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )
A. B. C. D.
答案 D
通性通法 由已知得焦点坐标为F，因此直线AB的方程为y＝，
即4x－4y－3＝0.
与抛物线方程联立，化简得
4y2－12y－9＝0，
故|y －y |＝＝6.
A B
因此S ＝|OF||y －y |＝××6＝.
△OAB A B
应用示范 由2p＝3，及|AB|＝
得|AB|＝＝＝12.
原点到直线AB的距离
d＝|OF|·sin 30°＝，
故S ＝|AB|·d
△AOB
＝×12×＝.1.抛物线x2＝y的焦点到准线的距离是( )
A.2 B.1 C. D.
答案 D
解析 抛物线标准方程x2＝2py(p>0)中p的几何意义为抛物线的焦点到准线的距
离，又p＝.
2.已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线 C
的方程是( )
A.y2＝±2x B.y2＝±2x
C.y2＝±4x D.y2＝±4x
答案 D
解析 由已知可知双曲线的焦点为(－，0)，(，0).
设抛物线方程为y2＝±2px(p>0)，则＝，所以p＝2，
所以抛物线方程为y2＝±4x.故选D.
3.过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x ，y )，Q(x ，y )两点，如果x
1 1 2 2 1
＋x ＝6，则|PQ|等于( )
2
A.9 B.8 C.7 D.6
答案 B
解析 抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.
根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x ＋1＋x ＋1＝x ＋x ＋2＝8.
1 2 1 2
4.(2021·河南中原名校联考)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是抛物线上的两
点，且|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为( )
A. B.1 C. D.
答案 C
解析 如图所示，设抛物线的准线为l，AB的中点为M，作AA ⊥l于点A ，BB ⊥l于点B ，MM ⊥l于点M ，
1 1 1 1 1 1
由抛物线的方程知p＝，
由抛物线定义知
|AA |＋|BB |＝|AF|＋|BF|＝3，
1 1
所以点M到y轴的距离为|MM |－
1
＝(|AA |＋|BB |)－＝×3－＝，故选C.
1 1
5.(2020·北京卷)设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l，P是抛物线上异于O
的一点，过P作PQ⊥l于Q.则线段FQ的垂直平分线( )
A.经过点O B.经过点P
C.平行于直线OP D.垂直于直线OP
答案 B
解析 法一 不妨设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，P(x ，y )(x >0)，
0 0 0
则Q，F，
直线FQ的斜率为，从而线段FQ的垂直平分线的斜率为，
又线段FQ的中点为，
所以线段FQ的垂直平分线的方程为
y－＝(x－0)，即2px－2y y＋y＝0，
0
将点P的横坐标代入，得2px －2y y＋y＝0，
0 0
又2px ＝y，所以y＝y ，
0 0
所以点P在线段FQ的垂直平分线上，故选B.
法二 由抛物线的定义可知|PQ|＝|PF|，所以线段FQ的垂直平分线一定经过点
P，故选B.
6.(2022·沈阳模拟)历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯(公元前375年～
325年)，大约100年后，阿波罗尼奥更详尽、系统地研究了圆锥曲线，并且他还
进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质，比如：从抛物线的焦点发出的光线或声波在经过抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线
对称轴的光线，经抛物线反射后，反射光线经过抛物线的焦点.设抛物线C：y2＝
x，一束平行于抛物线对称轴的光线经过A(5，2)，被抛物线反射后，又射到抛物
线C上的Q点，则Q点的坐标为( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 设过点A(5，2)且平行于抛物线对称轴的直线与抛物线交于点 P，易知y
P
＝2，
将(x ，2)代入抛物线方程得x ＝4，
P P
即P(4，2).
设焦点为F，则F.
设Q(y，y )，由P，F，Q三点共线，有k ＝k ，即＝，
Q PF QF
化简得8y－15y －2＝0，
Q
解得y ＝－或y ＝2(舍)，
Q Q
即Q.
7.动圆过点(1，0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________.
答案 y2＝4x
解析 设动圆的圆心坐标为(x，y)，
则圆心到点(1，0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，
根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x.
8.(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P
为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的
准线方程为________.
答案 x＝－
解析 法一 由题意易得|OF|＝，|PF|＝p，∠OPF＝∠PQF，
所以tan∠OPF＝tan∠PQF，
所以＝，即＝，解得p＝3，
所以C的准线方程为x＝－.
法二 由题意易得|OF|＝，|PF|＝p，|PF|2＝|OF|·|FQ|，即p2＝·6，解得p＝3或p＝0(舍去)，
所以C的准线方程为x＝－.
9. 点P为抛物线y2＝4x上的动点，点A(2，1)为平面内定点，F为抛物线焦点，
则：
(1)|PA|＋|PF|的最小值为________；
(2)|PA|－|PF|的最小值为________，最大值为________.
答案 (1)3 (2)－
解析 (1)如图1，由抛物线定义可知，|PF|＝|PH|，|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PH|，从而
最小值为A到准线的距离为3.
(2)如图2，当P，A，F三点共线，且P在FA延长线上时，|PA|－|PF|有最小值为
－|AF|＝－.
当P，A，F三点共线，且P在AF延长线上时，|PA|－|PF|有最大值为|AF|＝.
故|PA|－|PF|最小值为－，最大值为.
10.如图所示，抛物线关于 x轴对称，它的顶点在坐标原点，点 P(1，2)，A(x ，
1
y )，B(x ，y )均在抛物线上.
1 2 2
(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；
(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y ＋y 的值及直线AB的斜率.
1 2
解 (1)由已知条件，可设抛物线的方程为
y2＝2px(p＞0).
∵点P(1，2)在抛物线上，
∴22＝2p×1，解得p＝2.故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1.
(2)设直线PA的斜率为k ，直线PB的斜率为k ，
PA PB
则k ＝(x ≠1)，k ＝(x ≠1)，
PA 1 PB 2
∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，
∴k ＝－k .
PA PB
由A(x ，y )，B(x ，y )均在抛物线上，得y＝4x ，①
1 1 2 2 1
y＝4x ，②
2
∴＝－，
∴y ＋2＝－(y ＋2).
1 2
∴y ＋y ＝－4.
1 2
由①－②得，y－y＝4(x －x )，
1 2
∴k ＝＝＝－1(x ≠x ).
AB 1 2
11.(2021·贵阳诊断)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点A(a，3)，点P为抛物
线C上的动点.
(1)若|PA|＋|PF|的最小值为5，求实数a的值；
(2)设线段OP的中点为M，其中O为坐标原点，若∠MOA＝∠MAO＝∠AOF，
求△OPA的面积.
解 (1)由题意知F(1，0)，当线段AF与抛物线C没有公共点，
即a>时，设点P在抛物线准线x＝－1上的射影为D，则D，P，A三点共线时，
|PA|＋|PF|有最小值，为|AD|＝a－(－1)＝5，此时a＝4；
当线段AF与抛物线C有公共点，即a≤时，则A，P，F三点共线时，|PA|＋|PF|
有最小值，为|AF|＝＝5，此时a＝－3.
综上，实数a的值为－3或4.
(2)因为∠MOA＝∠MAO＝∠AOF，
所以MA∥x轴且|MO|＝|MA|＝|MP|，
设M(t，3)，则P(2t，6)，
代入抛物线C的方程得2t＝9，
于是|MO|＝|MA|＝|MP|＝，
所以S ＝|MA|·|y |＝.
△OPA P12.(2022·洛阳模拟)抛物线C：x2＝8y的焦点为F，过F且倾斜角为的直线l与抛
物线C交于A，B两点，点D为抛物线C上的动点，且点 D在l的右下方，则
△DAB面积的最大值为( )
A.16 B.12 C.8 D.6
答案 A
解析 因为直线l的倾斜角为，
所以直线l的斜率k＝tan ＝1.
由题意知抛物线的焦点为F(0，2)，
所以直线l的方程为y＝x＋2.
设A(x ，y )，B(x ，y )，
1 1 2 2
由消去x，得y2－12y＋4＝0，
所以y ＋y ＝12.
1 2
由抛物线的定义，得
|AB|＝y ＋y ＋p＝12＋4＝16.
1 2
设与直线l平行的直线方程为y＝x＋m，
代入抛物线的方程可得y2－(2m＋8)y＋m2＝0，
当直线y＝x＋m与抛物线相切且D为切点时，D到直线l的距离最大，即△DAB
的面积最大.
所以Δ＝(2m＋8)2－4m2＝0，解得m＝－2，此时直线l与直线y＝x＋m的距离d
＝＝2，所以△DAB面积的最大值为×16×2＝16，故选A.
13.(2022·长春质检改编)已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点F的直线l与抛物线
交于A，B两点(点A在第一象限)，且AB＝4FB，则直线l的倾斜角为________.
答案
解析 法一 由题意知，抛物线的焦点为F，
设A(x ，y )，B(x ，y )(y >0，y <0)，
1 1 2 2 1 2
则AB＝(x －x ，y －y )，
2 1 2 1
FB＝，
因为AB＝4FB，所以
即①
又知②由①②解得
所以直线l的斜率k＝＝＝，
所以直线l的倾斜角为.
法二
设抛物线的准线为l′，如图，过A，B分别作AM⊥l′，BN⊥l′，垂足分别为M，
N，过点B作BC⊥AM于C，则由抛物线的定义知|AM|＝|AF|，|BN|＝|BF|.
因为AB＝4FB，
所以|AF|＝|AB|，|FB|＝|AB|，
所以|AC|＝|AM|－|BN|＝|AF|－|FB|＝|AB|，
所以在Rt△ABC中，∠ABC＝，∠BAC＝，
因为AM∥x轴，
所以∠AFx＝∠BAC＝，
所以直线l的倾斜角为.
法三 因为AB＝4FB，所以AF＝3FB，
所以|AF|>|FB|，
又点A在第一象限，所以直线AB的倾斜角θ为锐角，
由焦点弦的性质知|AF|＝，
|BF|＝，
∴＝，解得cos θ＝，
∴θ＝，
即直线AB的倾斜角为.
14.(2021·合肥模拟)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)，其焦点到准线的距离为 2，直
线l与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的切线l ，l ，且l 与
1 2 1
l 交于点M.
2
(1)求p的值；(2)若l ⊥l ，求△MAB的面积的最小值.
1 2
解 (1)由题意知，抛物线焦点为，准线方程为 y＝－，焦点到准线的距离为2，
即p＝2.
(2)由(1)知抛物线的方程为x2＝4y，
即y＝x2，所以y′＝x，
设A(x ，y )，B(x ，y )，
1 1 2 2
l ：y－＝(x－x )，
1 1
l ：y－＝(x－x )，
2 2
由于l ⊥l ，所以·＝－1，
1 2
即x x ＝－4.
1 2
设直线l的方程为y＝kx＋m，与抛物线方程联立，得
所以x2－4kx－4m＝0，Δ＝16k2＋16m>0，
x ＋x ＝4k，x x ＝－4m＝－4，
1 2 1 2
所以m＝1，即l：y＝kx＋1.
联立方程得
即M(2k，－1).
M点到直线l的距离
d＝＝，
|AB|＝＝4(1＋k2)，
所以S＝×4(1＋k)2×＝4(1＋k2)≥4，
当k＝0时，△MAB的面积取得最小值4.
