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2025 年秋季八年级开学摸底考试模拟卷（苏州专用）
数学•全解全析
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题
目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上）
1．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是轴对
称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图
形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴．
根据定义逐一判断即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选D．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查幂的运算性质，包括同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方以及同底数幂的除法．需逐
一验证各选项是否符合对应运算法则．
【详解】选项A：根据同底数幂相乘法则，底数不变，指数相加， ，故错误．
选项B：根据积的乘方法则，需对每个因数分别平方， ，故错误．
选项C：根据幂的乘方法则，底数不变，指数相乘， ，选项结果正确．
选项D：根据同底数幂相除法则，底数不变，指数相减， ，故错误．
故选C．
3．《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中记载了一个问题，大意是：五只雀、六只燕，共
重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的质量各为多少？若设雀每只 两，燕每
只 两，则可列出方程组为（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据题意找出等量关系．
根据题意，找出等量关系，列方程组即可．
【详解】解：∵五只雀、六只燕，共重 两
∴ ，
∵五只雀、六只燕，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重
∴四只雀、一只燕的重量和五只燕、一只雀的重量相等
∴ ，
∴ ，
故选： ．
4．多顶式 是一个完全平方式，则 的值为（ ）
A．11 B． C． D．11或
【答案】D
【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
根据完全平方式的结构特征，确定中间项的系数，进而求出k的值．
【详解】解：∵ 为完全平方式，
∴
∴
∴ 或 ，
故选：D．
5．若不等式组 无解，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了由不等式组解集情况求参数，解不等式①得 ，解不等式②得 ，由不等
式组解集的判断方法得 ，即可求解；能熟练利用“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大
大小小是无解”进行求解是解题的关键．
【详解】
解：由①得
，
由②得，
，
原不等式组无解，，
解得： ，
故选：A．
6．如图，面积为6的正方形 的顶点 在数轴上，且表示的数为－1，若点 在数轴上，（点 在点
的右侧）且 ，则点 所表示的数为（ ）
A． B． C． D．1.6
【答案】A
【分析】本题考查了实数与数轴及两点间距离，根据正方形的边长是面积的算术平方根得 ，
结合 点所表示的数及 间距离可得点 所表示的数，根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数
是关键．
【详解】解：∵正方形的面积为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵点 表示的数是 ，且点 在点 右侧，
∴点 表示的数为： ，
故选： ．
7．如图，在线段 上取一点 ，分别以 为边作正方形 ，连接 ．若
阴影部分的面积和为11， 面积为7，则 的长度为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】此题主要考查了完全平方公式，三角形的面积公式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解决问
题的关键．设 ，则 ，进而得 ，根据图中阴影部分的面积之和为
11，得 ，整理得 ，再根据 面积为7得 ，整理得 ， ，则 ，再根据 得 ，由此即可得
出 的长．
【详解】解：设 ，
，
，
∵四边形 和四边形 都是正方形，
， ，
，
， ，
∵图中阴影部分的面积之和为11，
，
整理得： ，
又∵ 面积为7，
，
整理得： ，
，
，
，
，
．
故选：D．
8．如图， 是 内部一点， 关于 ， 的对称点分别是点 ，点 ，连结 分别与 ，
交于点 ，点 ，连结 ， ，下列结论：① 一定是等边三角形；② ；③
的周长等于线段 的长；④ ．其中正确的结论是（ ）
A．②③ B．①④ C．②③④ D．①②③④
【答案】C【分析】此题考查了轴对称的性质，以及线段垂直平分线的性质．由题意得 ，
，从而得出 可判断②，由 且
的大小没有确定，可得出 的大小没有确定，可判断①，由对称性可得 为线段 的垂直
平分线， 为线段 的垂直平分线，从而得出 ， ，从而得出 的周长
，可判断③，由题意得 ，可得 ，从而得
出 ，即得出 ， ，所以 ，
，再求解即可判断④．
【详解】解： 关于 ， 的对称点分别是点 ，点 ，
∴ ， ，
故②正确，
， 的大小没有确定，
的大小没有确定，
不一定是等边三角形，故①错误，
关于 ， 的对称点分别是点 ，点 ，
为线段 的垂直平分线， 为线段 的垂直平分线，
∴ ， ，
的周长 ，
故③正确，
如图，设 与 交于点E， 与 交于点F，
由题意得 ，
，
，
∵ ， ，
∴ ， ，，
，
，
，故④正确，
综上，正确的是②③④，
故选：C．
二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分）
9．若 ， ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆用，根据同底数幂乘法的逆用即可求解，掌握同底数幂乘法法则是
解题的关键．
【详解】解： ，
故答案为： ．
10．用反证法证明“三角形中必有一个内角不大于 ”时，应假设 ．
【答案】每一个内角都大于
【分析】本题考查反证法，熟练掌握反证法的基本步骤是解题的关键．写出与结论相反的假设即可．
【详解】解：第一步应假设结论不成立，即每一个内角都大于 ．
故答案为：每一个内角都大于 ．
11．正数m的两个平方根分别是 和 ，那么这个正数m的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了平方根的定义，掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数是解题的关键．
根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数，据此列出关于x的一元一次方程求解即可求出x的值，然
后再求出m的值即可．
【详解】解：∵正数m的两个平方根分别是 和 ，
∴ ，解得： ．
∴ ，
∴这个正数m的值为 ．
故答案为： ．
12．如果多项式 乘积中不含关于x的一次项，那么常数 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，解答本题的关键在于正确去括号并计算，直接利用多项式乘法
去括号，进而得出一次项系数为0，求解即可．
【详解】解：，
的乘积中不含 的一次项，
∵∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
13．若关于 的方程组 的解，也是方程 的解，则 ．
【答案】 /0.5
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，二元一次方程的解，解一元一次方程，掌
握二元一次方程组解的定义，解二元一次方程组的方法，解一元一次方程的方法是解题的关键．利用加减
消元法解方程组，可得 ，把 分别代入方程 ，得出关于k的一元一
次方程，解一元一次方程即可得出答案．
【详解】解： ，
① ②，得 ，
解得： ，
把 代入①，得 ，
解得： ，
∵关于x，y的方程组的解，
∴ ，
∴ ，
解得： ．
故答案为： ．
14．为了响应国家低碳生活的号召，更多的市民放弃开车选择自行车出行，市场上的自行车销量增加，某
种品牌自行车专卖店抓住商机搞促销活动，对原进价为 元，标价为 元的某款自行车进行打折销售，
若要保持利润率不低于 ，则这款自行车最多可打 折．
【答案】九
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据题意列出不等式是解题的关键．
设这款自行车打 折，根据利润率等于利润除以进价，利润等于售价减进价，售价等于标价乘以折扣列出
不等式，解不等式求解即可．
【详解】解：设这款自行车打 折，根据题意得，解得
即这款自行车最多可打九折．
故答案为：九
15．如图，已知 ，D为 内一点，且 ，若点D关于 的对称点分别记作点
E，F，连接 ，则 的面积为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了轴对称的性质及三角形的面积，熟知轴对称的性质是解题的关键．根据轴对称的
性质得出 及 ，再结合三角形的面积公式即可解决问题．
【详解】解：如图所示，
∵点D关于 的对称点分别记作点E，F，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ 的面积为 ．
故答案为： ．
16．如图，在四边形 中， ．动点P以 的速度从
点A出发沿边 向点D匀速移动，动点Q以 的速度从点B出发沿边 向点C匀速移动，动点M
从点B出发沿对角线 向点D匀速移动，三点同时出发．连接 ，当动点M的速度为
时，存在某个时刻，使得以P、D、M为顶点的三角形与 全等．【答案】5或
【分析】本题考查了全等三角形的性质和二元一次方程组的求解，正确理解题意、分情况讨论是解题的关
键；
设运动的时间为ts，动点M的速度为vcm/s，则 ， ， ，表示出 ，
，再分 与 两种情况，根据全等三角形的性质构建方程组求解
即可．
【详解】解：设运动的时间为ts，动点M的速度为vcm/s，
由题意得， ， ， ，
所以 ， ，
∵ ，
∴ ，
当 时，则 ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
解得： ；
当 时，则 ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
解得： ；
综上，动点M的运动速度是2或 ；
故答案为：5或 ．
三、解答题（本题共11小题 ，共82分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程
或演算步骤）17．（5分）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了整式的乘法，完全平方公式，平方差公式，
对于（1），两次根据平方差公式计算即可；
对于（2），根据完全平方公式计算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
＝ ．
18．（5分）求下列各式中x的值：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查平方根，立方根解方程，掌握平方根，立方根的计算是关键．
（1）移项，运用平方根计算即可；
（2）运用立方根计算即可．
【详解】（1）解： ，
移项得， ，
∵ ，
∴ ；
（2）解： ，
∵ ，
∴ ，
解得， ．
19．（6分）（1）解方程组（2）解不等式组
【答案】（1） （2）
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，熟知以上知识是解题的关键．
（1）利用加减消元法解答，即可求解；
（2）分别求出两个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到
（无解）”求出不等式组的解集即可．
【详解】解：（1）
，得 ，
解得 ．
将 代入①，得 ．
∴原方程组的解是
（2）
由①，得 ．
由②，得 ．
原不等式组的解集是 ．
20．（6分）某超市销售A、B两种型号的篮球，已知采购3个A型篮球和2个B型篮球需要220元，采购
1个A型篮球和4个B型篮球需要290元．
(1)该超市采购1个A型篮球和1个B型篮球分别需要多少元？
(2)若该超市准备采购50个这两种型号的篮球，总费用不超过2550元，则最多可采购B型篮球多少个？
【答案】(1)该超市采购1个A型篮球需要30元，1个B型篮球需要65元
(2)最多可采购 型篮球30个
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，
（1）设该超市采购1个 型篮球需要 元，1个 型篮球需要 元，根据采购金额相等列出方程组，求出
解；
（2）设采购 型篮球 个，则采购 型篮球 个，根据总费用 列出不等式，求出解集．
【详解】（1）解：设该超市采购1个 型篮球需要 元，1个 型篮球需要 元．根据题意，得
解得
答：该超市采购1个A型篮球需要30元，1个B型篮球需要65元；
（2）解：设采购 型篮球 个，则采购 型篮球 个．
根据题意，得 ，
解得 ，
所以 的最大值为30．
答：最多可采购 型篮球30个．
21．（6分）如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，点 ， ， ，
都在格点上．按下列要求画图：
(1)画出将 向右平移8个单位长度后的 ，则 的面积为 ；
(2)画出将 以点 为旋转中心、顺时针旋转 后的 ；
(3)请利用格点用无刻度直尺画出 与 的对称轴．
【答案】(1)图见解析， 面积为4
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了平移作图，旋转作图，成轴对称，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）将点 分别向右平移8个单位得到点 ，再顺次连接即可，再根据三角形的面积公式求解；
（2）将点 分别以点 为旋转中心、顺时针旋转 得到点 ，再顺次连接即可；
（3）取格点 ，过点 即可作出直线 ，根据成对称轴的性质即可得到过点 的直线 即为所求．
【详解】（1）解：如图， 即为所求：面积为 ；
（2）解：如上图， 即为所求；
（3）解：如上图，直线 即为所求．
22．（8分）【阅读理解】
体会求 的整数部分和小数部分的过程．
，即 ，
∵ ，即
∴ 的整数部分是3，小数部分是 ．
∴【解决问题】
已知a是 的整数部分，b是 的小数部分，求：
(1)a，b的值；
(2) 的算术平方根．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】此题主要考查了估算无理数的大小，算术平方根．
（1）首先得出 接近的整数，进而得出a，b的值；
（2）由（1）知a，b的值，代入 计算，再根据算术平方根即可解答．
【详解】（1）解：∵ ，即 ，
∴ ，即 ，
∴ ， ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ 的算术平方根是5．
23．（8分）如图所示，在 中， ， ，点 为 的中点， 交 的平分
线 于点 ， 于点 ， 交 的延长线于点 ．(1)求证： ；
(2)求 的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
（ ）如图所示，连接 ， ，先利用 证明 得到 ，再由角平分线的性质得
到 ，即可利用 证明 则 ；
（ ）证明 ，得到 ，由（ ）得 ，则 ，据此
求出 的长，即可求出 的长；
【详解】（1）证明：如图所示，连接 ， ，
∵ 是 的中点， ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ， ， ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：在 和 中，∴ ，
∴ ，
由（ ）得 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
24．（8分）将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这
种方法称之为配方法．这种方法常常被用到式子的恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力
手段之一．
例如，求代数式 的最小值
解：原式 ．
，
．
当 时， 的最小值是2．
(1)请仿照上面的方法求代数式 的最小值．
(2)已知 的三边 满足 ．求 的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了配方法的应用，熟知完全平方公式是解题的关键．
（1）把原式可变形为 ，再仿照题意求解即可；
（2）把所给三个等式相加得到 ，则可变形得到
，由非负数的性质求出a、b、c的值即可得到答案．
【详解】（1）解；
，
∵ ，
∴ ，
∴当 时，代数式 的最小值为 ；
（2）解：∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的周长 ．
25．（10分）定义：若关于 ， 的二元一次方程 的一个解为 ，当 时，则称
为二元一次方程 的“ 系相关解”．例如： 是二元一次方程 的“2系相关
解”．
(1)二元一次方程 的“1系相关解”为 ；
(2)下列二元一次方程存在“2系相关解”的是 （填序号）；
① ；② ；③ ．
(3) 为二元一次方程 的“ 系相关解”，且 ，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)①，③
(3)
【分析】本题考查了二元一次方程的解，解二元一次方程组，解一元一次不等式，新定义等知识，理解新
定义是解题的关键；
（1）设 是二元一次方程 的“1系相关解”，则可得二元一次方程组 ，解方程组
即可；
（2）设 是二元一次方程的“2系相关解”，即 ，与每个方程组成二元一次方程组，求解即
可判断；
（3）由题意得 ，则 ；由 ，可求得m的取值范围；再由 即可
求得k的取值范围．【详解】（1）解：设 是二元一次方程 的“1系相关解”，则得 ，
解得： ，故 ；
故答案为： ；
（2）解：设 是二元一次方程的“2系相关解”，即 ；
当 时， ，解得 ；
当 时，方程组 无解；
当 时， ，解得 ；
综上，二元一次方程存在“2系相关解”的是①，③；
故答案为：①，③；
（3）解：由题意得 ，则 ．
∵ ，
∴ ．
解得 ．
∴ ．
∴ ，即 ．
26．（10分）如图1，将一副三角尺拼在一起，使得 与 重合．在 中，
．在 中， ，如图2，将 绕点A按逆时针
方向以每秒 的速度旋转，旋转时间为t秒 ．
(1)在图1中， ________ ；
(2)随着 的旋转， 与 之间的数量关系为________；
(3)当t为何值时，直线 与 的一条边平行？【答案】(1)15
(2)
(3)当 秒或5秒或9秒时，直线 与 的一条边平行
【分析】本题主要考查平行线的判定及一元一次方程的应用，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．
（1）根据角的和差关系可进行求解；
（2）根据题意可分当 在△ 内部时和当 在△ 外部时，进而分类求解即可；
（3）由题意可知 ，然后可分当 时，当 时，当 时，进而分类求解即可．
【详解】（1）解：如图①， ， ，
；
故答案为：15；
（2）解：当 在 内部时，如图，
，
，
当 在 外部时，如图，
；
综上所述： 与 之间的数量关系为 ，
故答案为： ；
（3）解：由题意得： ， ，
当 时，如图所示：
，
解得： ；
当 时，如图所示：，
，
解得： ；当 时，如图所示：
、 、 三点在同一直线上，
，
解得： ；综上所述：当 与△ 的一边平行时， 或5或9．
27．（10分）如图①，在 中， ，现有一动点P，从
点A出发，沿着三角形的边 运动，回到点A停止，速度为 ，设运动时间为 ．
(1)如图①，当 ________时， 的面积等于 面积的一半；
(2)如图②，在 中， ， ．在 的边上，若另外有一个
动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边 运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时
刻，恰好 ，求点Q的运动速度．
【答案】(1) 或
(2)点Q的运动速度为 或
【分析】本题考查三角形面积的求法，三角形中线的性质，全等三角形的性质，一元一次方程的应用．理
解题意，利用分类讨论和数形结合的思想是解题关键．
（1）根据题意可求出 ，分类讨论：①当点P在 上时；②当点P在 上时；③
当点P在 上时，分别列方程求解即可；
（2）分类讨论：①当点P位于 ，点Q位于 上时；②当点Q位于 ，点P位于 上时，结合全
等三角形的性质分别列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵在 中， ，∴ ，
∴ ．
分类讨论：①当点P在 上时， 不存在；
②当点P在 上时，此时 ，如图，
∴ ，
∴ ；
③当点P在 上时，此时 ，如图，
∵ 的面积等于 面积的一半，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
综上可知当 或 时， 的面积等于 面积的一半；
（2）解：∵ ，
∴只存在两种情况：①当点P位于 ，点Q位于 上时；②当点Q位于 ，点P位于 上时．
设点Q的运动速度为 ，
①当点P位于 ，点Q位于 上时，此时 ， ，如图，∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
解得： ， ，
∴此时点Q的运动速度为 ；
②当点Q位于 ，点P位于 上时，此时 ，
，如图，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
解得： ， ，
∴此时点Q的运动速度为 ．
综上可知点Q的运动速度为 或 ．
