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第一课时 定点问题
题型一 直线过定点问题
例1 (2020·全国Ⅰ卷)已知A，B分别为椭圆E：＋y2＝1(a>1)的左、右顶点，G为
E的上顶点，AG·GB＝8，P为直线x＝6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB
与E的另一交点为D.
(1)求E的方程；
(2)证明：直线CD过定点.
(1)解 由题设得A(－a，0)，B(a，0)，G(0，1).
则AG＝(a，1)，GB＝(a，－1).
由AG·GB＝8，得a2－1＝8，
解得a＝3或a＝－3(舍去).
所以椭圆E的方程为＋y2＝1.
(2)证明 设C(x ，y )，D(x ，y )，P(6，t).
1 1 2 2
若t≠0，设直线CD的方程为x＝my＋n，由题意可知－3b>0)上一点，F ，F 分别是椭圆的左、右焦
1 2
点，|PF |＋|PF |＝4.
1 2
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线l不经过P点且与椭圆C相交于A，B两点.若直线PA与直线PB的斜率
之和为1，问：直线l是否过定点？证明你的结论.
解 (1)由|PF |＋|PF |＝4，得a＝2，
1 2
又P在椭圆上，
代入椭圆方程有＋＝1，解得b＝，
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)当直线l的斜率不存在时，
设A(x ，y )，B(x ，－y )，
1 1 1 1
k ＋k ＝＝1，解得x ＝－4，与椭圆无交点，不符合题意；
1 2 1
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程y＝kx＋m，A(x ，y )，B(x ，y )，
1 1 2 2由整理得
(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，
x ＋x ＝，x x ＝，
1 2 1 2
Δ＝48(4k2－m2＋3)>0.
由k ＋k ＝1，整理得
1 2
(2k－1)x x ＋(x ＋x )＋2m－4＝0，
1 2 1 2
即(m－4k)(2m－2k－3)＝0.
当m＝k＋时，此时，直线l过P点，不符合题意；
当m＝4k时，Δ＝4k2－m2＋3>0有解，此时直线l：y＝k(x＋4)过定点(－4，0).
题型二 圆过定点问题
例2 (2021·湖南三湘名校联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b≥1)的离心率为，它的上
焦点到直线bx＋2ay－＝0的距离为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点P的直线l交椭圆C于A，B两点，试探究以线段AB为直径的圆是否过
定点.若过，求出定点坐标；若不过，请说明理由.
解 (1)由题意得，e＝＝.
又a2＝b2＋c2，
所以a＝b，c＝b.
又＝，a>b≥1，
所以b2＝1，a2＝2，
故椭圆C的方程为＋x2＝1.
(2)当AB⊥x轴时，以线段AB为直径的圆的方程为＋y2＝.
当AB⊥y轴时，以线段AB为直径的圆的方程为x2＋y2＝1.
可得两圆交点为Q(－1，0).
由此可知，若以线段AB为直径的圆过定点，则该定点为Q(－1，0).
下证Q(－1，0)符合题意.
设直线l的斜率存在，且不为0，
其方程设为y＝k，代入＋x2＝1，
并整理得(k2＋2)x2－k2x＋k2－2＝0.
设A(x ，y )，B(x ，y )，
1 1 2 2则x ＋x ＝，x x ＝，
1 2 1 2
所以QA·QB＝(x ＋1)(x ＋1)＋y y
1 2 1 2
＝x x ＋x ＋x ＋1＋k2
1 2 1 2
＝(1＋k2)x x ＋(x ＋x )＋1＋k2
1 2 1 2
＝(1＋k2)·＋·＋1＋k2
＝0.
故QA⊥QB，即Q(－1，0)在以线段AB为直径的圆上.
综上，以线段AB为直径的圆恒过定点(－1，0).
感悟提升 1.定点问题，先猜后证，可先考虑运动图形是否有对称性及特殊(或
极端)位置猜想，如直线的水平位置、竖直位置，即k＝0或k不存在时.
2.圆过定点问题，一般从圆的直径所对的圆心角为直角入手，利用垂直关系找到
突破口，从而解决问题.
训练2 (2022·江西红色七校联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且椭圆
上一点到两个焦点的距离之和为2.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点S的动直线l交椭圆C于A，B两点，试问：在x轴上是否存在一个定点
T，使得无论直线l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T？若存在，求出点T的
坐标；若不存在，请说明理由.
解 (1)由椭圆的定义可得2a＝2，
则a＝，
∵椭圆C的离心率e＝＝，
∴c＝1，则b＝＝1，
∴椭圆C的标准方程为＋x2＝1.
(2)当直线l不与x轴重合时，设直线l的方程为x＝my－，A(x ，y )，B(x ，y )，
1 1 2 2
T(t，0)，
由消去x并整理，得
(18m2＋9)y2－12my－16＝0，
Δ＝144m2＋64(18m2＋9)＝144(9m2＋4)>0恒成立，
则y ＋y ＝＝，
1 2
y y ＝－.
1 2由于以AB为直径的圆恒过点T，
则TA⊥TB，
TA＝，TB＝，
则TA·TB＝＋y y
1 2
＝(m2＋1)y y －m(y ＋y )＋
1 2 1 2
＝＋
＝－＝0，
∵点T为定点，∴t为定值，与m无关，
∴＝，解得t＝1，
此时TA·TB＝－＝0，符合题意.
当直线l与x轴重合时，AB为椭圆C的短轴，易知以AB为直径的圆过点(1，0).
综上所述，存在定点T(1，0)，使得无论直线l如何转动，以AB为直径的圆恒过
定点T.
圆锥曲线中的“伴侣点”问题
在圆锥曲线的很多性质中，常常出现一对活跃的点 A(m，0)和B，这一对点总是
同时出现在圆锥曲线的对称轴上，形影不离，相伴而行，我们把这对特殊的点形
象地称作圆锥曲线的“伴侣点”.圆锥曲线的“伴侣点”在我们研究圆锥曲线的
性质中具有重要的地位，蕴涵着圆锥曲线许多有趣的性质.
例 已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，设A(m，0)和B(0b>0)的左、右焦点分别为F (－，0)，F (，0)，且经过点
1 2
A.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点B(4，0)作一条斜率不为 0的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，记点 P
关于x轴对称的点为P′.证明：直线P′Q经过x轴上一定点D，并求出定点D的坐
标.
(1)解 由椭圆的定义，可知
2a＝|AF |＋|AF |＝＋＝4.解得a＝2.
1 2
又b2＝a2－()2＝1.
∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)证明 由题意，设直线l的方程为
x＝my＋4(m≠0).
设P(x ，y )，Q(x ，y )，则P′(x ，－y ).
1 1 2 2 1 1
由消去x，可得
(m2＋4)y2＋8my＋12＝0.
∵Δ＝16(m2－12)>0，∴m2>12.
∴y ＋y ＝，y y ＝.
1 2 1 2
∵k ＝＝.
P′Q
∴直线P′Q的方程为
y＋y ＝(x－x ).
1 1
令y＝0，可得x＝＋my ＋4.
1
∴x＝＋4＝＋4＝＋4＝1.
∴D(1，0).
∴直线P′Q经过x轴上定点D，其坐标为(1，0).
3.如图，已知直线l：y＝kx＋1(k>0)关于直线y＝x＋1对称的直线为l ，直线l，l
1 1
与椭圆E：＋y2＝1分别交于点A，M和A，N，记直线l 的斜率为k .
1 1(1)求kk 的值；
1
(2)当k变化时，求证：直线MN恒过定点，并求出该定点的坐标.
(1)解 设直线l上任意一点P(x，y)关于直线y＝x＋1对称的点为P (x ，y )，
0 0 0
直线l与直线l 的交点为(0，1)，
1
所以l：y＝kx＋1，l ：y＝k x＋1，k＝，k ＝，
1 1 1
由＝＋1，得y＋y ＝x＋x ＋2，①
0 0
由＝－1，得y－y ＝x －x，②
0 0
由①②得
所以kk ＝
1
＝＝1.
(2)证明 由得
(4k2＋1)x2＋8kx＝0，
设M(x ，y )，N(x ，y )，
M M N N
所以x ＝，所以y ＝.
M M
同理可得x ＝＝，
N
y ＝＝.
N
k ＝＝
MN
＝＝－，
直线MN：y－y ＝k (x－x )，
M MN M
即y－＝－，
即y＝－x－＋
＝－x－.
所以当k变化时，直线MN过定点.
4.已知椭圆C ：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是双曲线 C ：－y2＝1的左、右
1 2
焦点，且C 与C 相交于点.
1 2(1)求椭圆C 的标准方程；
1
(2)设直线l：y＝kx－与椭圆C 交于A，B两点，以线段AB为直径的圆是否恒过
1
定点？若恒过定点，求出该定点；若不恒过定点，请说明理由.
解 (1)将代入－y2＝1，解得m2＝1，
∴a2＝m2＋1＝2，
将代入＋＝1，解得b2＝1，
∴椭圆C 的标准方程为＋y2＝1.
1
(2)设A(x ，y )，B(x ，y )，
1 1 2 2
由整理得(9＋18k2)x2－12kx－16＝0，
∴x ＋x ＝，x x ＝，
1 2 1 2
Δ＝144k2＋64(9＋18k2)>0.
由对称性可知，以AB为直径的圆若恒过定点，则定点必在y轴上.
设定点为M(0，y )，则
0
MA＝(x ，y －y )，MB＝(x ，y －y )
1 1 0 2 2 0
MA·MB＝x x ＋(y －y )(y －y )
1 2 1 0 2 0
＝x x ＋y y －y (y ＋y )＋y
1 2 1 2 0 1 2
＝x x ＋k2x x －(x ＋x )－y ＋＋y
1 2 1 2 1 2 0
＝(1＋k2)x x －k(x ＋x )＋y＋y ＋
1 2 1 2 0
＝＝0，
∴解得y ＝1，
0
∴M(0，1)，
∴以线段AB为直径的圆恒过定点(0，1).
