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第三课时 最值、范围问题
题型一 距离与面积的最值(范围)
例1 已知椭圆C：＋＝1(a>)的右焦点F到左顶点的距离为3.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设O为坐标原点，过点F的直线与椭圆C交于A，B两点(A，B不在x轴上)，
若OE＝OA＋OB，延长AO交椭圆于点G，求四边形AGBE的面积S的最大值.
解 (1)由已知得b2＝3，a＋c＝3，
a2＝b2＋c2.
联立以上3个式子，可得a2＝4，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)法一 因为过F(1，0)的直线与椭圆C交于A，B两点(A，B不在x轴上)，所
以设l的方程为x＝ty＋1，
由得(3t2＋4)y2＋6ty－9＝0，
设A(x ，y )，B(x ，y )，
1 1 2 2
则
因为OE＝OA＋OB，
所以四边形AOBE为平行四边形，
所以S＝S ＋S ＝3S ＝|y －y |
AOBE △OGB △AOB 1 2
＝＝.
令＝m，则m≥1，
S＝＝.
由函数的单调性易得当m＝1，即t＝0时，S ＝.
max
法二 由OE＝OA＋OB知四边形AOBE为平行四边形.
所以S＝S ＋S ＝3S .
AOBE △OGB △AOB
当直线AB的斜率不存在时，S＝3S ＝.
△AOB
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，k≠0.由得
(4k2＋3)y2＋6ky－9k2＝0.
设A(x ，y )，B(x ，y )，
1 1 2 2
得
所以S＝3S ＝|y －y |
△AOB 1 2
＝＝.
令4k2＋3＝m，则m>3，
S＝<.
综上知，四边形AGBE的面积S的最大值S ＝.
max
感悟提升 1.本题求四边形AGBE面积的最值，首先分割，借助三角形面积转化
为函数的最值问题；求解最值应用了两个技巧：一是换元，运用函数的性质；二
是利用已知或隐含的不等关系构造不等式求解.
2.若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质数形
结合求解.
训练1 (2022·南宁模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，右顶点M到左焦
点的距离为3，直线l与椭圆C交于点A，B.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线MA，MB的斜率为k ，k .若4k k ＋9＝0，求|AB|的最小值.
1 2 1 2
解 (1)设椭圆的半焦距为c，
由题意得解得∴b＝，
∴椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)由题意知，直线l的斜率不为0，
设其方程为x＝my＋n，A(x ，y )，B(x ，y )，
1 1 2 2
由得(3m2＋4)y2＋6mny＋3n2－12＝0，
∴y ＋y ＝－，y y ＝，
1 2 1 2
Δ＝(6mn)2－4(3m2＋4)(3n2－12)
＝48(3m2－n2＋4)>0.
由(1)知M(2，0)，则直线MA，MB的斜率分别为k ＝，k ＝，
1 2
∴k k ＝
1 2
＝＝
＝
＝＝＝－，解得n＝1.
∴直线l的方程为x＝my＋1，直线l过定点(1，0)，
此时，y ＋y ＝－，y y ＝，
1 2 1 2
∴|AB|＝|y －y |
1 2
＝·
＝
＝·
＝＝4·
＝4≥3(当且仅当m＝0时取等号)，
∴|AB|的最小值为3.
题型二 斜率或某些参数(式子)的最值(范围)
例2 (2021·兰州诊断)已知抛物线y2＝4x及点P(4，0).
(1)以抛物线的焦点F为圆心，|FP|为半径作圆，求圆F与抛物线交点的横坐标；
(2)若A，B是抛物线上不同的两点，且直线AB与x轴不垂直，弦AB的垂直平分
线恰好经过点P，求FA·FB的取值范围.
解 (1)由已知得F(1，0)，
所以圆F的方程为(x－1)2＋y2＝9，
由得x2＋2x－8＝0.
解得x＝2或x＝－4.
由于x>0，所以x＝2.
则圆与抛物线交点的横坐标为2.
(2)设弦AB的中点为M，A，
B，M(x ，y )，
0 0
则x ＝，y ＝，
0 0
设线段AB的垂直平分线的方程为y＝k(x－4)(k≠0)，
则直线AB的斜率
k ＝＝＝＝－，
AB
∴y ＝－2k.
0∵点M在弦AB的垂直平分线上，
∴y ＝k(x －4)(k≠0)，∴x ＝2.
0 0 0
则直线AB的方程为k(y－y )＝2－x，
0
由得ky－ky ＝2－，
0
即y2＋4ky＋8k2－8＝0，
∴Δ＝16k2－32k2＋32＝－16k2＋32>0，
∴0b>0)的离心率e＝，直线x＋y－1＝0被以椭圆C的
短轴为直径的圆截得的弦长为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点M(4，0)的直线l交椭圆于A，B两个不同的点，且λ＝|MA|·|MB|，求λ的
取值范围.
解 (1)原点到直线x＋y－1＝0的距离为，
由题得＋＝b2(b>0)，解得b＝1.
又e2＝＝1－＝，得a＝2，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)当直线l的斜率为0时，直线l：y＝0为x轴，λ＝|MA|·|MB|＝12.
当直线l的斜率不为0时，设直线l：x＝my＋4，点A(x ，y )，B(x ，y )，
1 1 2 2
联立消去x得
(m2＋4)y2＋8my＋12＝0.
由Δ＝64m2－48(m2＋4)>0，得m2>12，
所以y y ＝.
1 2λ＝|MA|·|MB|
＝|y |·|y |
1 2
＝(m2＋1)|y y |＝
1 2
＝12.
由m2>12，得0<<，
所以<λ<12.
综上可得：<λ≤12，即λ∈.
1.如图，已知椭圆C ：＋y2＝1，抛物线C ：y2＝2px(p＞0)，点A是椭圆C 与抛
1 2 1
物线C 的交点，过点A的直线l交椭圆C 于点B，交抛物线C 于点M(B，M不
2 1 2
同于A).
(1)若p＝，求抛物线C 的焦点坐标；
2
(2)若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值.
解 (1)由p＝，得抛物线C 的焦点坐标是.
2
(2)由题意可设直线l：x＝my＋t(m≠0，t≠0)，点A(x ，y ).
0 0
将直线l的方程代入椭圆C ：＋y2＝1，得
1
(m2＋2)y2＋2mty＋t2－2＝0，
所以点M的纵坐标y ＝－.
M
将直线l的方程代入抛物线C ：y2＝2px，得y2－2pmy－2pt＝0，
2
所以y y ＝－2pt，解得y ＝，
0 M 0
因此x ＝.
0
由＋y＝1，得＝4＋2≥160，
当且仅当m＝，t＝时，p取到最大值.
2.已知抛物线x2＝y，点A，B(，)，抛物线上的点P(x ，y ).
0 0
(1)求直线AP斜率的取值范围；
(2)Q是以AB为直径的圆上一点，且AP·BQ＝0，求AP·PQ的最大值.解 (1)设直线AP的斜率为k，
则k＝＝x －，且－3)为它
1 1 2 2 1 2
们的两个交点，且动圆M与直线y＝2相交于另一点D，求|DH|的最小值.
解 (1)设动点P(x，y)，
则由题意知x＋2＝|PF|＋1，
所以x＋1＝|PF|，
即点P到定直线x＝－1的距离与点P到点F的距离相等，所以点P的轨迹是以
O为顶点，F为焦点的抛物线，
所以轨迹C的方程为y2＝4x.
(2)由题意可知圆心M在x轴上，
设M(m，0)，D(x ，2)，x >3，
3 3
由题意知A(x ，2)，B(x ，－2)，
1 1
连接MH，MA，则|MH|＝|MA|，即＝，
即m＝.
由题意知圆M的方程为(x－m)2＋y2＝(m－3)2＋4.
令y＝2，得x＝2m－3或x＝3，
所以x ＝2m－3，
3
所以|DH|＝x －3＝2m－6＝－6＝.
3
因为x >3，
1
所以|DH|＝
＝(x －3)＋＋4
1
≥2＋4＝4＋4，
当且仅当x －3＝，即x ＝3＋2(x ＝3－2舍去)时等号成立.
1 1 3
所以|DH|的最小值为4＋4.
4.(2020·新高考Ⅱ卷)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点M(2，3)，点A为其左顶点，
且AM的斜率为.
(1)求C的方程；
(2)点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.
解 (1)由题意可知直线AM的方程为
y－3＝(x－2)，即x－2y＝－4，
当y＝0时，解得x＝－4，
所以a＝4.
由椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点M(2，3)，
可得＋＝1，解得b2＝12，
所以C的方程为＋＝1.
(2)设与直线AM平行的直线方程为x－2y＝m(m≠－4).
如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，
此时△AMN的面积取得最大值.联立直线方程x－2y＝m与椭圆方程＋＝1，
可得3(m＋2y)2＋4y2＝48，
化简可得16y2＋12my＋3m2－48＝0，
所以Δ＝144m2－4×16(3m2－48)＝0，
即m2＝64，解得m＝±8，
与AM距离比较远的直线方程为x－2y＝8，
点N与直线AM的距离即两平行线之间的距离，
即d＝＝，
由两点之间距离公式可得|AM|＝＝3，
所以△AMN的面积的最大值为×3×＝18.
