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26.1.1 反比例函数 分层练习
基础篇
一、单选题：
1．下列函数中， 是 的反比例函数的有（ ）个．
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】如果两个变量x、y之间的关系可以表示成 （k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比
例函数据此分析即可．
【详解】根据反比例函数的定义可得：
① ；② ；③ ；是反比例函数，
④ ；⑤ ；⑥ 不是反比例函数，
故选：B．
【点睛】本题考查知识点：反比例函数，解题关键点：理解反比例函数的定义．
2．若点A（2，a）在反比例函数 的图象上，则a的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】B
【分析】直接将点（2，a）代入 即可求出a的值．
【详解】解：由题意知， ，
解得：a＝3．
故选：B．
【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于
比例系数．
3．下列问题中，两个变量成反比例函数的是（ ）
A．矩形面积固定，长 和宽 的关系 B．矩形周长固定，长 和宽 的关系C．正方形面积 和边长 之间的关系 D．正方形周长 和边长 之间的关系
【答案】A
【分析】根据矩形的面积、周长与其长和宽的关系，正方形面积、周长与其边长的关系，列出关系式，根
据反比例函数的定义判断即可．
【详解】解：A、 ，故长 和宽 成反比例函数，选项符合题意；
B、 ，故长 和宽 成一次函数，选项不符合题意；
C、 ，故正方形面积 和边长 不成反比例函数，选项不符合题意；
D、 ，故正方形周长 和边长 成正比例函数，选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数的解析式，根据题意列出函数关系式是解答本题的关键．
4．已知 在双曲线 上，则下列各点一定在该双曲线上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先把点 代入双曲线 ，求出 的值，再对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解： 点 在双曲线 上，
．
A、 ， 此点不在双曲线上，故本选项不符合题意；
B、 ， 此点不在双曲线上，故本选项不符合题意；
C、 ， 此点不在双曲线上，故本选项不符合题意；
D. ， 此点在双曲线上，故本选项符合题意．
故选：D．【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函
数的解析式是解答此题的关键．
5．若函数y=（3﹣k） 是反比例函数，那么k的值是（ ）
A．0 B．3 C．0或3 D．不能确定
【答案】A
【分析】直接利用反比例函数的定义分析得出答案．
【详解】解：∵函数y=（3﹣k） 是反比例函数，
∴k2﹣3k﹣1=﹣1，3﹣k≠0，
解得：k =0，k =3，（不合题意舍去）
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那么k的值是：0．
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，正确把握定义是解题的关键．
6．若点 在双曲线 上，则代数式 的值为（ ）
A．－12 B．－7 C．－5 D．5
【答案】C
【分析】把A点坐标代入反比例函数解析式即可求出 的值．
【详解】解：把 代入 得，
=3，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，解题关键是把点的坐标代入解析式，然后整体代
入求值．
7．已知y是x的函数，下表是x与y的几组对应值：
x … 3 6 …
y … 2 1 …
对于y与x的函数关系有以下4个描述①可能是正比例函数关系；②可能是一次函数关系；③可能是反比
例函数关系；④可能是二次函数关系．所有正确的描述是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④【答案】C
【分析】根据表格中x和y值得变化规律判断即可．
【详解】解：根据表格数据判断xy=6，故有可能为反比例函数；x从-3到3，y的值在增加，然后x从3到
6，y值在减小，所以也有可能是二次函数．
故选：C
【点睛】本题主要考查函数的基本关系，能够从自变量何因变量的数值变化判断函数类型是解题的关键．
二、填空题：
8．函数y＝- 的自变量的取值范围是_____．
【答案】x≠1
【分析】根据分母不能为零，可得答案．
【详解】由题意，得
x-1≠0，
解得x≠1，
故答案为x≠1．
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，利用分母不能为零得出不等式是解题关键．
9．下列关系式：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ，其中 是 的反比例函数
的为________（只填序号）
【答案】②③⑤
【分析】根据反比例函数解析式的一般形式y＝ （k≠0），也可转化为y=kx-1（k≠0）的形式，即可作出判
断．
【详解】y是x的反比例函数的为②③⑤.
故答案是：②③⑤.
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，解题的关键是熟练的掌握反比例函数的定义.
10．已知 与 成反比例，当 时， ；那么当 时， 的值为__________．
【答案】
【分析】先设y= 再把已知点的坐标代入可求出k值，即得到反比例函数的解析式，从而求的函数值．
本题要把x-1看作整体．【详解】设y= ，
当x= 时，y=- ，- = ，
解得k= ，即y= ；
那么当x=2时，y= ．
故答案为 ．
【点睛】主要考查了用待定系数法求函数的解析式，属于常见题型．
11．已知反比例函数y＝ 的图象经过点(1，2)，则k的值为_____．
【答案】3
【分析】列等式k-1=1×2=2，计算即可．
【详解】∵反比例函数y＝ 的图象经过点(1，2)，
∴2= ，
∴k-1=1×2=2，
∴k=3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了反比例函数图像与点的关系，熟记图像过点，点的坐标满足函数的解析式是解题的关
键．
12．已知函数 是反比例函数，则 _________．
【答案】-2
【分析】让x的指数为-1，系数不为0列式求值即可．
【详解】依题意得 且 ，
解得 ．
故答案为：-2．【点睛】考查反比例函数的定义；反比例函数解析式的一般形式y＝ （k≠0），也可转化为y=kx-1（k≠0）
的形式，特别注意不要忽略k≠0这个条件．
13．某蓄水池的排水管的平均排水量为每小时8立方米，6小时可以将满池水全部排空．现在排水量为平
均每小时Q立方米，那么将满池水排空所需要的时间为t（小时），写出时间t（小时）与Q之间的函数表
达式_____．
【答案】t=
【分析】根据蓄水量=每小时排水量×排水时间，即可算出该蓄水池的蓄水总量，再由防水时间=蓄水总量÷
每小时的排水量即可得出时间 （小时）与 之间的函数表达式．
【详解】 某蓄水池的排水管的平均排水量为每小时 立方米， 小时可以将满池水全部排空，
该水池的蓄水量为8×6=48
（立方米），
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了根据实际问题列出反比例函数关系式，解题的关键是根据数量关系列出 关于 的函
数关系式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出函数关系式是关键．
14．已知 ， 都在反比例函数 的图象上，若 ，则 的值为______.
【答案】
【分析】把A、B两点的坐标代入解析式，再根据 即可求解.
【详解】把 ， 代入 得：
∵
∴故答案为-12
【点睛】本题考查的是反比例函数，整体代入思想是解答本题的关键.
三、解答题：
15．先列出下列问题中的函数表达式，再指出它们各属于什么函数．
电压为 时，电阻 与电流 的函数关系；
食堂每天用煤 ，用煤总量 与用煤天数 （天）的函数关系；
积为常数 的两个因数 与 的函数关系；
杠杆平衡时，阻力为 ，阻力臂长为 ，动力 与动力臂 的函数关系（杠杆本
身所受重力不计）．
【答案】（1）反比例函数关系；（2）正比例函数关系；（3）反比例函数关系；（4）反比例函数关系；
【分析】（1）利用I＝ ，进而得出答案；
（2）利用煤总量W（t）＝用煤天数t（天）×1.5，进而得出答案；
（3）利用xy＝m，进而得出答案；
（4）动力大小×动力臂＝阻力臂大小×阻力进而求出即可．
16
【详解】(1)I= ，故是反比例函数关系；
R
，故是正比例函数关系；
由题意得： ，故是反比例函数关系；
由题意得出： ，
∴ ，故是反比例函数关系．
【点睛】此题主要考查了正比例和反比例函数的定义，正确得出函数关系式是解题关键．
16．已知 ， 与 成反比例， 与 成正比例，并且当 时， ；当 时，
．求：y关于x的函数解析式．【答案】
【分析】首先根据题意，分别表示出y 与x，y 与x的函数关系式，再进一步表示出y与x的函数关系式；
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然后根据已知条件，得到方程组，即可求解．
【详解】设 = ， = （x+2），
∵ ，
∴y= + （x+2），
由 时， ； 时， ，得
，解得 ，
∴y关于x的函数解析式是 ．
【点睛】此题考查正比例函数的定义，反比例函数的定义，求函数解析式，熟记正比例函数及反比例函数
的定义，设出函数解析式进行计算是解题的关键．
17．已知函数y=（m+1）x|2m|﹣1 ，
①当m何值时，y是x的正比例函数？②当m何值时，y是x的反比例函数？
（上述两个问均要求写出解析式）
【答案】①当m=1时，y是x的正比例函数；②当m=0时，y是x的反比例函数
【分析】①根据正比例函数的定义得到|2m|-1=1，且m+1≠0，由此即可求得答案；
②根据反比例函数的定义得到|2m|-1=-1，且m+1≠0，由此即可求得.
【详解】①∵函数y=（m+1）x|2m|﹣1是正比例函数，
∴|2m|﹣1=1，且m+1≠0，
解得，m=1，
即当m=1时，y=2x，y是x的正比例函数；
②∵函数y=（m+1）x|2m|﹣1是反比例函数，
∴|2m|﹣1=﹣1，且m+1≠0，
解得，m=0；
即当m=0时，y= ，y是x的反比例函数．【点睛】本题考查了正比例函数、反比例函数的定义．熟记定义是解题的关键．
18．如图，某养鸡场利用一面长为11m的墙，其他三面用栅栏围成矩形，面积为 ，设与墙垂直的边
长为xm，与墙平行的边长为ym．
(1)直接写出y与x的函数关系式为______；
(2)现有两种方案 或 ，试选择合理的设计方案，并求此栅栏总长．
【答案】(1)
(2)22m
【分析】（1）)利用矩形的面积计算公式可得出xy= 60，变形后即可得出结论；
（2）利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出当x = 5和x = 6时的y值，结合墙长11m即可得出应选x
= 6的设计方案，再将其代入2x + y中即可求出此栅栏的总长．
（1）
解：根据题意得： ，
∴y与x的函数关系式为： ，
故答案为： ；
（2）
解：当x= 5时， ，
∵ ，
∴不符合题意，舍去；
当x=6时， ，
∵ ，
∴符合题意，此栅栏总长为：
；
答：应选择x = 6的设计方案，此栅栏总长为22m．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y与x的函数关系式；（2）利用反比例函数图象上点的坐标特征，求出x=5和x=6时的y值．
19．某工人打算用不锈钢条加工一个面积为0.8平方米的矩形模具．假设模具的长与宽分别为x米和y米．
(1)你能写出y与x之间的函数解析式吗？
(2)变量y与x是什么函数关系？
(3)已知这种不锈钢条每米6元，若想使模具的长比宽多1.6米，则加工这个模具共需花多少钱？
【答案】(1) y＝ (x＞0)；(2)变量y与x是反比例函数关系；(3)加工这个模具共需花费为28.8元．
【分析】（1）利用矩形面积公式得出即可；
（2）利用反比例函数的定义得出答案；
（3）利用长与宽的关系结合矩形面积求出长和宽，然后求出矩形周长，即可得到结论．
【详解】（1）由题意可得：xy=0.8，则y ；
（2）变量y与x之间是反比例函数关系；
（3）设长为xm，则宽为（x﹣1.6）m，根据题意得：
x（x﹣1.6）=0.8
解得；x=2，x=﹣0.4（不合题意舍去）．
1 2
则长为2m，宽为0.4m，故矩形的周长为：4.8m．
故加工这个模具共需花4.8×6=28.8（元）．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用以及矩形的性质，正确掌握矩形的性质是解题的关键．
提升篇
1．2019年10月，《长沙晚报》对外发布长沙高铁两站设计方案，该方案以三湘四水，杜鹃花开 ，塑造
出杜鹃花开的美丽姿态，该高铁站建设初期需要运送大量的土石方，某运输公司承担了运送总量为
土石方的任务，该运输公司平均运送土石方的速度 （单位： 天）与完成运送任务所需的时间t（单位：
天）之间的函数关系式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由总量=vt，求出v即可．【详解】解（1）∵vt=106，
∴v= ，
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
2．按如图所示的运算程序，能使输出y值为3的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将 分别代入 和 ，求出符合条件的 的值即可．
【详解】解：当 为偶数时， ，令 ，可得 ，即 =4，4是偶数，符合；
当 为奇数时， ，令 ，可得 ，即 =2，2不是奇数，不符合．
故选D．
【点睛】本题考查了程序流程图，熟练掌握运算程序的含义，由y的取值推出x的值是解题的关键．
3．已知函数 ，当函数值为3时，自变量x的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣ C．﹣2或﹣ D．﹣2或﹣
【答案】A
【分析】根据分段函数的解析式分别计算，即可得出结论．
【详解】解：若x＜2，当y=3时，﹣x+1=3，
解得：x=﹣2；
若x≥2，当y=3时，﹣ =3，解得：x=﹣ ，不合题意舍去；
∴x=﹣2，
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质、一次函数的图象上点的坐标特征；根据分段函数进行分段求解是
解题的关键．
4．点 ， 都在反比例函数 的图象上，则 ________．
【答案】
【分析】根据同一反比例函数图象上横纵坐标的积为定值解答即可．
【详解】∵A(m,m+1),B(m+3,m−1)都在反比例函数 的图象上，
∴m(m+1)=(m+3)(m−1)，解得m=3.
∴k=m(m+1)=3×4=12.
故答案为12.
【点睛】考查待定系数法求反比例函数解析式，掌握待定系数法是解题的关键.
5．若以方程 的两个实数根作为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数y 的图象
上，则满足条件的k值为_____．
【答案】-2
【分析】设方程的两个根分别为 ，根据题意得到 ＝ ，结合判别式，即可求解．
【详解】解：∵以方程 的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数数y 的
图象上，
∴设方程的两个根分别为 ，
∴ ＝ ，即 ，
∴
解得：
∵ ，∴ ，
∴ ．
故答案为：-2．
【点睛】本题考查了一元二次方程 的根的判别式 ：当 ，方程有两个
不相等的实数根；当 ，方程有两个相等的实数根；当 ，方程没有实数根，也考查了反比例函数．
6．将 代入函数 中，所得函数值记为 ，将 代人函数 中，所得函数值记为 ；
将 代人函数 中，所得函数值记为 ……依此继续下去，则 =________.
【答案】
【分析】根据题意计算可知每3次为一个循环，可得 .
【详解】由题意得 ， ， ， ……所以每3次计算
为一个循环，因为 ，所以 .
故答案为 .
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，理解题中的计算方法得出规律是解题关键.
7．已知点P在（m，n）直线y＝﹣x+2上，也在双曲线y＝ 上，求m2+n2的值．
【答案】2
【分析】先利用一次函数图象上点的坐标特征、以及反比例函数图象上点的坐标特征得出 、 的值，
再利用完全平方公式将原式变形即可得到答案．
【详解】解：∵点 在直线 上
∴
∵点 在双曲线 上
∴
∴ ．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征、完全平方公式以及
整体代入法求代数式的值，灵活运用相关知识点是解决问题的关键．
8．某商家销售某种商品，已知该商品的进货单价由两部分构成：一部分为每件商品的进货固定价16元，
另一部分为进货浮动价．据市场调查，该商品的日销售量 （件）与销售单价 （元）的函数解析式为
，而该商品的日销售量 （件）与每件的进货浮动价 （元）的关系如下表所示．
每件的进货浮动价 （元） 0.1 0.125 0.2 0.25
日销售量 （件） 100 80 50 40
（1）请你建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映该商品的日销售量 与每件的进货浮动价 之间的
关系；
（2）运用（1）中的函数模型判断，该商品的销售单价定为多少元时，每天销售产品的总利润最大？
【答案】（1） ；（2）20元．
【分析】（1）利用表中该商品每件的进货浮动价 与日销售量 的积为一个固定常数10，由反比例函数的
定义即可得出结论；
（2）设每天销售产品的总利润为 元，利用总利润=单个利润×销售数量建立函数关系式，则可由二次函
数的性质求得结果．
【详解】解：（1）根据表中数据，该商品每件的进货浮动价 与日销售量 的积为一个固定常数10，
∴日销售量 和每件的进货浮动价 为反比例函数关系．
设 ．
由题意可得 ，
即 ；
（2）设每天销售产品的总利润为 元．
由题意可得 ．
∵ ，
∴当 时， 有最大值，
即该商品的销售单价定为20元时，每天销售产品的总利润最大．
【点睛】本题属于函数综合问题，考查了反比例函数及二次函数的应用，熟练掌握反比例函数的定义及二
次函数的性质是解答此题的关键．
