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易错点18不等式选讲（学生版）_2.2025数学总复习_赠品通用版（老高考）复习资料_专项复习_备战2023年高考数学考试易错题（全国通用）

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易错点18不等式选讲（学生版）_2.2025数学总复习_赠品通用版（老高考）复习资料_专项复习_备战2023年高考数学考试易错题（全国通用）
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易错点 18 不等式选讲 易错点1.绝对值不等式 定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立． 定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时， 等号成立． 2．绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|a的解集 不等式 a>0 a＝0 a<0 |x|a {x|x>a或x<－a} {x∈R|x≠0} R (2)|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法： ①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c； ②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c. (3)|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法： ①利用绝对值不等式的几何意义求解． ②利用零点分段法求解． ③构造函数，利用函数的图象求解． 易错点2.基本不等式 定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 定理2：如果a，b>0，那么≥，当且仅当a＝b时，等号成立，即两个正数的算术平均 不小于(即大于或等于)它们的几何平均． 定理3：如果a，b，c∈R ＋ ，那么≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立． 易错点3.不等式证明 1．比较法 (1)比差法的依据是：a－b>0⇔a>b．步骤是：“作差→变形→判断差的符号”．变形 是手段，变形的目的是判断差的符号． (2)比商法：若B>0，欲证A≥B，只需证≥1. 2．综合法与分析法 (1)综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列 的推理、论证而得出命题成立． (2)分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知 条件或一个明显成立的事实(定义，公理或已证明的定理，性质等)，从而得出要证的命题 成立．易错点4.柯西不等式 1、柯西不等式的代数形式：设a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥ ( ac ＋ bd ) 2 (当 且仅当ad＝bc时，等号成立)． 2、柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当α或β是零 向量，或存在实数k，使α＝kβ(α，β为非零向量)时，等号成立． 3、柯西不等式的三角不等式：设x，y，x，y，x，y∈R， 1 1 2 2 3 3 则＋≥. 4、柯西不等式的一般形式：设a ，a ，a ，…，a ，b ，b ，b ，…，b 是实数，则(a 1 2 3 n 1 2 3 n ＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(ab ＋ab ＋…＋ab)2，当且仅当b＝0(i＝1,2，…，n)或存在 1 1 2 2 n n i 一个数k，使得a＝kb(i＝1,2，…，n)时，等号成立． i i 1．已知平面向量 ， 是单位向量，且 ，向量 满足 ，则 的最大 值为（ ） A． B． C． D． 2．已知 ，则“ ”是“ ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．设 ，若 的最大值是5，则 的最大值是 （ ） A． B． C．2 D．4 4．关于x的不等式 恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 5．已知函数 (1)当 时，解不等式 ；(2)若 对于任意的 恒成立，求实数a的取值范围． 1．已知集合 ，则 （ ） A． B． C． D． 2．已知 ，若对任意 ，则（ ） A． B． C． D． 3．已知a，b，c都是正数，且 ，证明： (1) ； (2) ； 4．已知a，b，c均为正数，且 ，证明： (1) ； (2)若 ，则 ． 5．已知函数 ． （1）当 时，求不等式 的解集; （2）若 ，求a的取值范围． 一、单选题 1．如果不等式 成立的充分不必要条件是 ；则实数 的取值范围是（ ）A． B． C． D． 2．设 ，则“ ”是“ ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 4．若正数 满足 ，且 ， 则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 5．“柯西不等式”是由数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的，但从历史 的角度讲，该不等式应当称为柯西﹣﹣布尼亚科夫斯基﹣﹣施瓦茨不等式，因为正是后两 位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式推广到完善的地步，在高中数 学选修教材4﹣5中给出了二维形式的柯西不等式：（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2当且 仅当ad＝bc（即 ）时等号成立．该不等式在数学中证明不等式和求函数最值等方面 都有广泛的应用．根据柯西不等式可知函数 的最大值及取得最大值 时x的值分别为（ ） A． B． C． D． 6．若存在实数 ，使得当 时，都有 ，则实数 的最大值 为（ ） A．1 B． C．2 D． 7．已知 ， ，且 ，则 的最大值为（ ） A． B． C． D． 8．设 ，其中常数 ， .若函数 的图 象如图所示，则数组 的一组值可以是（ ）A． B． C． D． 二、填空题 9．已知平面向量 ， ， 满足 ，且 ，则 的最大值为 ________． 10．在直角坐标系中，定义两点 与 之间的“直角距离”为 .若A，B是椭圆 上任意两点，则 的最大值是 ___________ 三、解答题 11．已知： ， ． (1)若 ，求不等式 的解集； (2) ，若 的图象与 轴围成的三角形面积不大于54，求 的取值范 围． 12．已知 均为正实数，且 . (1)求 的最小值; (2)证明: .
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