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易错点 14 计数原理
易错点1.基本计数原理错误
(1)分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类，并且只属于其中一
类.
(2)分步乘法计数原理中，各个步骤中的方法相互依存，步与步之间“相互独立，
分步完成”.
易错点2.排列与组合分辨不清
1.排列与组合的概念
名称 定义
并按照一定的顺序排成一列，称为从n
排列
从n个不同对象中取出 个不同对象中取出m个对象的一个排列
m(m≤n)个对象 并成一组，称为从n个不同对象中取出
组合
m个对象的一个组合
2.排列数与组合数
(1)从n个不同对象中取出 m(m≤n)个对象的所有排列的个数，称为从 n个不同
对象中取出m个对象的排列数，用符号A表示.
(2)从n个不同对象中取出 m(m≤n)个对象的所有组合的个数，称为从 n个不同
对象中取出m个对象的组合数，用符号C表示.
3.排列数、组合数的公式及性质
(1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝.
公式 (2)C＝＝
＝(n，m∈N*，且m≤n).特别地C＝1
(1)0！＝1；A＝ n ！ .
性质
(2)C＝C；C＋C＝C
易错点3.二项式定理相关公式和性质错误
1.二项式定理
(1)二项式定理：(a＋b)n＝ C a n ＋ C a n － 1 b ＋ … ＋ C a n － k b k ＋ … ＋ C b n (n∈N*)；
(2)通项公式：T ＝ C a n － k b k，它表示第 k ＋ 1 项；
k＋1(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C，C，…，C.
2.二项式系数的性质
性质 性质描述
对称性 与首末等距离的两个二项式系数相等，即 C ＝ C
二项式系 当k＜(n∈N*)时，是递增的
增减性
数C 当k＞(n∈N*)时，是递减的
二项式 当n为偶数时，中间的一项 取得最大值
系数最大值
当n为奇数时，中间的两项 与 相等且取得最大值
3.各二项式系数和
(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝ 2 n .
(2)奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝
C＋C＋C＋…＝ 2 n － 1 .
1．北京某大学为第十八届四中全会招募了 名志愿者（编号分别是 ， ，…， 号），
现从中任意选取 人按编号大小分成两组分配到江西厅、广电厅工作，其中三个编号较小
的人在一组，三个编号较大的在另一组，那么确保 号、 号与 号同时入选并被分配到
同一厅的选取种数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】要“确保6号、15号与24号入选并分配到同一厅”，则另外三人的编号或都小于
6或都大于24，
根据分类加法计数原理可得选出的情况有 种，
然后将选出的两组进行全排列对应江西厅、广电厅，故确保 号、 号与 号同时入选并
被分配到同一厅的选取种数是 .
故选：C.
2．已知 的展开式的各项系数之和为81，则 （ ）A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【详解】由题意，令 得： ，解得： ．
故选：B
3．电视台在电视剧开播前连续播放6个不同的广告，其中4个商业广告2个公益广告，现
要求2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式共有（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】先排4个商业广告，则 ，即存在5个空，再排2个公益广告，则 ，故总排法：
，
故选：A.
4． 的展开式中， 的系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】 的展开式的通项是 ，（ ）
由题意， ，
因此， 的系数是 .
故选：B.
5．佳木斯市第一中学校为了做好疫情防控工作，组织了6名教师组成志愿服务小组，分配
到东门、西门、中门3个楼门进行志愿服务.由于中门学生出入量较大，要求中门志愿者人
数不少于另两个门志愿者人数，若每个楼门至少分配1个志愿服务小组，每个志愿服务小
组只能在1个楼门进行服务，则不同的分配方法种数为（ ）
A．240 B．180 C．690 D．150
【答案】A
【详解】第一种情况，当中门的志愿者有3人时，其他两个门有1个门1人，1个门2人，
有 种，
第二种情况，当中门有2人时，其他两个门也分别是2人， 种，
第三种情况，当中门有4人时，其他两个们分别1人，有 种，
所以不同的分配方法种数是 .
故选：A1．有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，
则不同排列方式共有（ ）
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
【答案】B
【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排
列,有 种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一
个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排
这5名同学共有： 种不同的排列方式，
故选：B
2．若 ，则 （ ）
A．40 B．41 C． D．
【答案】B
【详解】令 ，则 ，
令 ，则 ，
故 ，
故选：B.
3．现从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，分别担任5门不同学科的课代
表，则不同安排方法的种数是（ ）
A．12 B．120 C．1440 D．17280
【答案】C
【详解】首先从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，共有 种情况，
再分别担任5门不同学科的课代表，共有 种情况.
所以共有 种不同安排方法.
故选：C
4． 的二项展开式中，所有项的二项式系数之和是（ ）
A．0 B． C． D．32
【答案】D
【详解】 的二项展开式中所有项的二项式系数之和为故选：D
5．某值日小组共有5名同窗，假设任意安排3名同窗负责教室内的地面卫生，其余2名同
窗负责教室外的走廊卫生，那么不同的安排方式种数是（ ）
A．10 B．20 C．60 D．100
【答案】A
【详解】从5人当选取3人负责教室内的地面卫生，共有 种安排方式．（选取3人
后剩下2名同窗干的活就定了）
故选：A
一、单选题
1．下列不属于 的展开式的项的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由二项式定理可知， ，故 不是展开式的项.
故选：B
2． 的展开式中， 项的系数是（ ）
A．30 B．30 C．60 D．60
【答案】C
【详解】由题意 ，当 时， 项的系数是
故选：C
3．2022年北京冬季奥运会期间，从3名男志愿者和2名女志愿者中选4名去支援“冰壶”
“花样滑冰”“短道速滑”三项比赛志愿者工作，其中冰壶项目需要一男一女两名，花样
滑冰和短道速滑各需要一名，男女不限．则不同的支援方法的种数是（ ）
A．36 B．24 C．18 D．42
【答案】A
【详解】第一步从3名男志愿者和2名女志愿者各选一名志愿者去支援冰壶项目，选法共
有 种；
第二步从剩余的3人中选一人去支援花样滑冰，选法共有 种；
第三步从剩余的2人中选一人去支援短道速滑，选法共有 种；
依据分步乘法计数原理可知，不同的支援方法的种数是 ，故选： .
4．已知 的二项展开式中，第三项与第 项的二项式系数和为84，则第四项的系
数为（ ）
A．280 B．448 C．692 D．960
【答案】B
【详解】由题， ，
因为第三项与第 项的二项式系数和为84，所以 ，即 ，
所以 ，解得 ，
所以第四项的系数为 ，
故选：B
5．甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者去 三个不同的小区参加新冠疫情防控志愿服务，
每个小区至少去1人，每人只去1个小区，且甲、乙去同一个小区，则不同的安排方法有
（ ）
A．28 种 B．32 种 C．36 种 D．42 种
【答案】C
【详解】将甲、乙看成一个元素A，然后将A、丙、丁、戊四个元素分为3组，共有
种，再将3组分到3个不同小区有 种，所以满足条件的安排方法共有
种.
故选：C
6．现从男、女共8名学生中选出2名男生和1名女生分别参加学校“资源”“生态”和
“环保”三个夏令营活动，已知共有90种不同的方案，那么男、女学生的人数分别是（
）
A．2，6 B．3，5 C．5，3 D．6，2
【答案】B
【详解】设男生有 人，则女生有 人，且 ．
由题意可得 ，即 ，得 ，故 ，
即男、女学生的人数分别是3，5.
故选：B．
7．为贯彻落实《中共中央国务院关于全面深化新时代教师队伍建设改革的意见》精神，加
强义务教育教师队伍管理，推动义务教育优质均衡发展，安徽省全面实施中小学教师“县
管校聘”管理改革，支持建设城乡学校共同体.2022年暑期某市教体局计划安排市区学校的6名骨干教师去4所乡镇学校工作一年，每所学校至少安排1人，则不同安排方案的总数为
（ ）
A．2640 B．1440 C．2160 D．1560
【答案】D
【详解】6人分组有2种情况：2211，3111，
所以不同安排方案的总数为 .
故选：D.
8．某小区共有3个核酸检测点同时进行检测，有6名志愿者被分配到这3个检测点参加服
务，6人中有4名“熟手”和2名“生手”，1名“生手”至少需要1名“熟手”进行检测
工作的传授，每个检测点至少需要1名“熟手”，且2名“生手”不能分配到同一个检测
点，则不同的分配方案种数是（ ）
A．72 B．108 C．216 D．432
【答案】C
【详解】根据题意，可先把4名“熟手”分为人数为 的三组，再分配到3个检测点，
共有 种分法，然后把2名“生手”分配到3个检测点中的2个，有 种分法，
所以共有 种不同的分配方案.
故选：C.
二、多选题
9． 的展开式中，下列结论正确的是（ ）
A．展开式共6项
B．常数项为160
C．所有项的系数之和为729
D．所有项的二项式系数之和为64
【答案】BCD
【详解】 展开式的总项数是7，A不正确；
展开式的通项公式为 ，
令 得 ，常数项为 ，B正确；取 得 展开式的所有项的系数之和为 ，C正确；
由二项式系数的性质得 展开式的所有项的二项式系数之和为 ，D正确.
故选：BCD.
10．信息技术编程中会用到“括号序列”，一个括号序列是由若干个左括号和若干个右括
号组成．合法括号序列可以按如下方式定义：①序列中第一个位置为左括号；②序列中左
括号与右括号个数相同；③从序列第一个位置开始任意截取一个连续片段，该片段中左括
号的个数不少于右括号的个数．例如（）（（））和（）（）都是合法括号序列，而
（））（，）（）和（））（（）都不是合法括号序列．一个合法括号序列中包含的左括
号和右括号的个数之和称为该序列的长度．若A和B都是括号序列，则AB表示将B拼接
在A后得到的括号序列．根据以上信息，下列说法中正确的是（ ）
A．如果A，B是合法括号序列，则 也是合法括号序列
B．如果 是合法括号序列，则A，B一定都是合法括号序列
C．如果 是合法括号序列，则A也是合法括号序列
D．长度为8的合法括号序列共有14种
【答案】AD
【详解】出题意知如果A，B是合法括号序列，则 也是合法括号序列,A正确;
对于B,AB为（（））（）为合法括号序列，但取A为（（，B为））（）显然都不是合法
括号序列，故B错误；
对于C, 如果 是合法括号序列，比如（）（）为合法括号序列，
但A为）（，不是合法括号序列，故C错误；
对于D选项，由题意知第一个位置为左括号，最后一个位置为右括号，
分类考虑：（1）当前4个位置都为左括号时，则后4个位置都为右括号，故满足条件序列
有1个；
（2）当前4个位置有3个左括号时，则第2，3，4个位置任取两个位置是左括号，第5，
6，7个位置任取一个位置是右括号，故满足条件序列共有 个；
（3）当前4个位置有2个左括号时，
则第2或第3个位置为左括号，第5个位置一定为左括号，第6，7个位置有一个为左括号，
满足条件序列共有 个，综上，共有 个，D正确，
故选：AD．
三、解答题
11．A，B，C，D，E五人站成一排．(1)A，B两人相邻的不同排法有多少种？
(2)A，B，C两两不相邻的排法有多少种？
(3)A，B都与C相邻的不同排法种数有多少种？
(4)A，B，C顺序一定的排法有多少种？
【答案】（1）
第一步：将 ， 全排列有： 种不同的排法；
第二步：将 ， 看成一个整体再与 ， ， 全排列有： 种；
由分步计数原理得，共有 种不同的排法.
（2）
第一步：将 ， 全排列有： 种不同的排法；
第二步：将 ， ， 全排列进 ， 形成的三个空中有： 种；
由分步计数原理得，共有 种不同的排法.
（3）
第一步：将 ， 排列在 的两旁有： 种不同的排法；
第二步：将 ， ， 看成一个整体再与 ， 全排列有： 种；
由分步计数原理得，共有 种不同的排法.
（4）
因为 ， ， 顺序一定，则只需将 ， 位置找到并排好即可，则有： 种
不同的排法.
12．已知 的展开式中所有项的系数和是243．
(1)求n的值，并求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求 值．
【答案】(1)
由题意，令 有 ，解得 ，故展开式中二项式系数中最大的为
，为第3项 与第4项 ，即展开式中二
项式系数最大的项为 与
(2)
由（1） ，即求 ，
，故令 有
，故
