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易错点 06 解三角形
易错点1：正、余弦定理相关公式混乱、记错
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，
则
定理 余弦定理 正弦定理
a2＝ b 2 ＋ c 2 － 2 bc cos __A；
公式 b2＝ c 2 ＋ a 2 － 2 ca cos __B； ＝ ＝＝ 2R
c2＝ a 2 ＋ b 2 － 2 ab cos __C
(1)a＝2Rsin A，b＝ 2 R sin __B，c＝
2 R sin __C；
cos A＝； (2)sin A＝，sin B＝ ， sin C＝；
常见变
cos B＝； (3)a∶b∶c＝
形
cos C＝ sin__ A ∶ sin __ B ∶ sin __C；
(4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin
B，asin C＝csin A
易错点2：三角形面积公式不知如何运用、混乱、记错
(1)S＝a·h (h 表示a边上的高).
a a
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A＝.
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径).
1．已知 的三个内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由 ，边化角得 ，又 ，所以 ，
展开得 ，
所以 ，
因为 ，所以 ．
故选：B．
2．在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ， ，
，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】 ．由正弦定理可得 ．
又∵ ， ，
∴由余弦定理 ，
可得 ，
解得 或 （舍去）．
故选：B．
3．已知 三边a，b，c及对角A，B，C，周长为5，且满足
，若 ，则 的面积 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为 ，由正弦定理得 ，所以
（ 舍去），
三角形周长为5， ，则 ， ，
由等腰三角形性质知 边上的高为 ，
所以三角形面积为 ．
故选：A．
4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ，则△ABC的面积
为 时，k的最大值是（ ）A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【详解】由题意得 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，其中 ，且 ，
所以 的取值范围为 ，
故选：B.
5．已知 的内角 所对的边分别为 ，且 ，若
的面积为 ，则 的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．2 D．4
【答案】A
【详解】
（当且仅当 时取等号），
∴
故选：A.
1．已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为 ， ， ，
则 （ ）
A． B．5 C．8 D．
【答案】A【详解】由题意可知， ，得
，
由余弦定理可得：
整理得： ，
故选：A
2．已知 中， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由正弦定理可得 ，
，又 ，
，
化简得：
当且仅当 时取等号，即 ，
其中 ， ，
即 ，又 ， ，
， ，即 ，
，
.
故选：B
3．在 中，内角 的对边分别为 ，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【详解】由 得 ，
结合余弦定理 ，可得 ，
再由正弦定理得 ，因为
，
所以 ，所以 ，得 ．
因为 ，所以 ．
故选：B
4．在 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若 ，则 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】 (当且仅当 时取等号)
由 ，可得
， 其中 ，当且仅当 时取
得等号,
所以
故选：C
5．我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设
的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积”公式为
，若 ， ，则用“三斜求积”
公式求得 的面积为（ ）A． B． C． D．1
【答案】A
【详解】解：因为 ， ，
所以 ， ，
所以 ，
故选：A
一、单选题
1．已知 的内角 对应的边分别是 ， 内角 的角平分线交边 于 点，
且 ．若 ， 则 面积的最小值是（ ）
A．16 B． C．64 D．
【答案】B
【详解】∵ ，
∴ ，
即 ，
又 ， ，
∴ ，即 ，又 ，
∴ ，
由题可知 ， ，
所以 ，即 ，
又 ，即 ，
当且仅当 取等号，
所以 .
故选：B.
2． 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ， ，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】∵ ， ，
∴由正弦定理得 ，
因为 ，所以 ，即 ，
∴ ，即 ．
故选：B.
3．在 中，已知 ， ， ，则 的面积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】根据正弦定理得： ，所以 ，
因为 ，所以
.
故选：C.
4．在 中， ， 的内切圆的面积为 ，则边 长度的最小值为
（ ）
A．16 B．24 C．25 D．36
【答案】A
【详解】因为 的内切圆的面积为 ，所以 的内切圆半径为4．设 内角
， ， 所对的边分别为 ， ， ．因为 ，所以 ，所以 ．
因为 ，所以 ．设内切圆与边 切于点
，由 可求得 ，则 ．又因为 ，所以
．所以 ．又因为 ，所以
，即 ，整理得 ．因为 ，
所以 ，当且仅当 时， 取得最小值．故选：A．
5．记 的内角 的对边分别为 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由正弦定理得： .
故选：C.
6．在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ， ，
，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【详解】因为 ，由正弦定理可知 ，
在 中，由余弦定理可得： ，解得 ，
，故
故选：D
二、多选题
7．如图， 的内角 所对的边分别为 ，且
.若 是 外一点， ，则下列说法中正确的是（ ）
A． 的内角
B． 的内角
C．四边形 面积的最小值为D．四边形 面积无最大值
【答案】AB
【详解】因为 ，
所以由正弦定理，得 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，所以
因为 所以 ，
又因为 ，所以 ， 所以 ，
所以 ，因此A，B正确；
四边形 面积等于
，
所以当 即 时， 取最大值 ，
所以四边形 面积的最大值为 ，
因此C，D错误
故选：AB
8． 内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知 ，且 ，
则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． 的周长为 D． 的面积为
【答案】ABD
【详解】由正弦定理得 ，整理得 ，即 ，A正确；由 可得 ，则 ，B正确；
由余弦定理得 ，又 ，可得 ，整理得
，
的周长为 ，C错误；
由上知： ， ，可得 ，则 的面积为
，D正确.
故选：ABD.
三、解答题
9．已知 的内角 所对边分别为 ，且 .
(1)求 ；
(2)若 ，求 面积的最大值.
【答案】
（1）
解：在 中，因为 ，
所以由正弦定理可得 ，即 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ；
（2）
解： 时，由（1）可得 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，
所以 面积的最大值为 .
10．记 的内角 的对边分别为 ，且 .(1)求 ;
(2)若 ，求 .
【答案】
（1）
因为 ，由正弦定理得
又 ，所以 .
故 .
（2）
由余弦定理
将 代入 ；解得
当 时， ， 满足
当 时， 不满足 ，故舍去.
综上: .
