文档内容
第17讲 圆锥曲线中的阿基米德三角形
（高阶拓展、竞赛适用）
（8 类核心考点精讲精练）
命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的选考内容，设题不定，难度中等或偏难，分值为5-17分
【备考策略】1.理解、掌握圆锥曲线阿基米德三角形的定义
2.理解、掌握圆锥曲线的阿基米德三角形问题及其相关计算
【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会结合公式运算，
需强化训练复习
知识讲解
1. 椭圆中的阿基米德三角形
x2 y2
设 椭 圆 C: + =1(a>b>0)的 弦 为
a2 b2
AB, 过A，B两点做椭圆切线，交于Q点，称△ABQ 为阿基米德三角形, 则有:a2
性质 1: 弦 AB 绕着定点 P(m,0) 转动时, 则其所对顶点 Q 落在直线 x= 上.
m
其中, 当 P 点为左 (右) 焦点时, Q 点位于左 (右) 准线上.
性质 2: 直线 AQ,PQ,BQ 的斜率成等差数列, 即 k =k +k .
PQ AQ BQ
性质 3: 当 P 点为焦点时, PQ⊥AB.
2. 双曲线中的阿基米德三角形
x2 y2
设 双 曲 线 C: − =1(a,b>0) 的 弦 为
a2 b2
AB,过A，B两点做双曲线切线，交于Q点，称△ABQ 为阿基米德三角形, 则有:
a2
性质 1: 弦 AB 绕者定点 P(m,0) 转动时, 则其所对顶点 Q 落在直线 x= 上.
m
其中, 当 P 点为左 (右) 焦点时, Q 点位于左 (右) 准线上.
性质 2: 直线 AQ,PQ,BQ 的斜率成等差数列, 即 k =k +k .
PQ AQ BQ
性质 3: 当 P 点为焦点时, PQ⊥AB.
3. 抛物线中的阿基米德三角形
抛物线的弦为 AB,过A，B两点做抛物线切线，交于Q点，称△ABQ 为阿基米德三角形, 则
有:
（1）阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴
（2）若阿基米德三角形的底边即弦 AB 过抛物线内的定点 C, 则另一顶点 Q 的轨迹为一条直线
（3）若直线 l 与抛物线没有公共点，以 l 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点 (若直线 l 方程
(c bp)
为: ax+by+c=0, 则定点的坐标为 C ,− .
a a
a3
（4）底边为 a 的阿基米德三角形的面积最大值为 .
8p
（5）若阿基米德三角形的底边过焦点, 顶点 Q 的轨迹为准线, 且阿基米德三角形的面积最小值为 p2
（6）在阿基米德三角形中, ∠QFA=∠QFB
（7）|AF|⋅|BF|=|QF| 2 .
（8）抛物线上任取一点 I (不与 A,B 重合), 过 I 作抛物线切线交 QA,QB 于 S,T,连接 AI,BI, 则
△ABI 的面积是 △QST 面积的 2 倍考点一、 阿基米德三角形的认识及简单应用
1．过抛物线 的焦点 作抛物线的弦与抛物线交于 、 两点， 为 的中点，分别过
、 两点作抛物线的切线 、 相交于点 . 又常被称作阿基米德三角形.下面关于 的描述：
① 点必在抛物线的准线上；
② ；
③设 、 ，则 的面积 的最小值为 ；
④ ；
⑤ 平行于 轴.
其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】作出图形，设点 、 ，设直线 的方程为 ，将直线 的方程与抛物
线方程联立，列出韦达定理，求出直线 、 的方程，求出点 的坐标，可判断①的正误；利用直线 、
斜率的关系可判断②的正误；计算出 的面积 的表达式，可判断③的正误；利用直线 、 的
斜率关系可判断④的正误；求出直线 的斜率，可判断⑤的正误.综合可得出结论.
【详解】先证明出抛物线 在其上一点 处的切线方程为 .
证明如下：
由于点 在抛物线 上，则 ，
联立 ，可得 ，即 ， ，
所以，抛物线 在其上一点 处的切线方程为 .
如下图所示：设 、 ，设直线 的方程为 ，
联立 ，消去 得 ，
由韦达定理可得 ， ，
对于命题①，抛物线 在点 处的切线方程为 ，即 ，
同理可知，抛物线 在点 处的切线方程为 ，
联立 ，解得 ，所以点 的横坐标为 ，
即点 在抛物线的准线上，①正确；
对于命题②，直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ， ，
所以， ，②正确；
对于命题④，当 垂直于 轴时，由抛物线的对称性可知，点 为抛物线的准线与 轴的交点，此时
；
当 不与 轴垂直时，直线 的斜率为 ，
直线 的斜率为 ， ，则 .
综上， ，④正确；
对于命题③， ，
，所以，
，
当且仅当 时，等号成立，③错误；
对于命题⑤，当 垂直于 轴时，由抛物线的对称性可知，点 为抛物线的准线与 轴的交点，此时直线
与 轴重合，⑤错误.
故选：B.
【点睛】本题考查抛物线的几何性质，考查了抛物线的焦点弦的几何性质以及韦达定理法的应用，考查计
算能力，属于中等题.
2．阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在物理
学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号．抛物线上任意两点 ， 处的切线交于点 ，称 为
“阿基米德三角形”，当线段 经过抛物线焦点 时， 具有以下特征：（1） 点必在抛物线的准
线上；（2） 为直角三角形，且 ；（3） ．已知过抛物线 焦点的直线 与抛
物线交于 ， 两点，过点 ， 处的切线交于点 ，若点 的横坐标为 ，则直线 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据“阿基米德三角形”的性质直接可得点 的坐标，进而得解.
【详解】抛物线 的焦点 的坐标为 ，准线方程为 ，
由题意知， 为“阿基米德三角形”，可得 点必在抛物线的准线上，
所以点 ，直线 的斜率为 ，
又因为 ，所以直线 的斜率为 ，
所以直线 的方程为 ，即 ,
故选：C．
1．被誉为“数学之神”之称的阿基米德（前287—前212），是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学
家，他最早利用逼近的思想证明了如下结论：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积，等于抛物线
的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三分之二．这个结论就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被称为阿基米德三角形．在平面直角坐标系心中，已知直线l：y＝4与抛物线C： 交于
A，B两点，则弦与拋物线C所围成的封闭图形的面积为 ．
【答案】
【分析】先求出A，B两点的坐标，然后再求出过A，B两点的切线方程，从而可求出直线l与两条切线所
围成的三角形的面积，进而可求出弦与拋物线C所围成的封闭图形的面积
【详解】解：由 ，得 或 ，
不妨设A (4，4)，B (﹣4，4)，
由 得 ，所以过点A，B的切线的斜率分别为
所以在该两点处的抛物线的切线方程分别y＝2x﹣4，y＝﹣2x﹣4，
从而抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积为 ，
故弦与拋物线C所围成的封闭图形的面积为 ．
故答案为：
【点睛】此题考查抛物线的几何性质的应用，考查曲线的切线的求法，属于基础题.
2．（2024高三下·江苏·专题练习）（多选）如图， 为阿基米德三角形.抛物线 上有两
个不同的点A(x ,y ),B(x ,y )，以A，B为切点的抛物线的切线 相交于点P.给出如下结论，其中
1 1 2 2
正确的为（ ）
A．若弦 过焦点，则 为直角三角形且
B．点P的坐标是
C． 的边 所在的直线方程为D． 的边 上的中线与y轴平行（或重合）
【答案】ACD
【分析】设 ，由导数的几何意义得切线斜率，利用焦点弦性质得
，A正确；写出切线方程，联立求出点 坐标，得B错误；用 两点坐标表示出 ，
写出直线 方程，并化简可得C正确；设 为抛物线弦 的中点，立即得D正确.
【详解】由题意设 ，
由 ，得 ，则 ，
所以 ，
若弦 过焦点，显然直线 斜率存在，设 所在直线为 ，联立 ，
得 ，
则 ，
所以 ，
所以 ，故A正确；
以点A为切点的切线方程为 ，以点B为切点的切线方程为 ，
联立消去y得 ，
将 代入 ，
得 ，
所以 ，故B错误；
设N为抛物线弦 的中点，N的横坐标为 ，因此直线 平行于y轴(或与y轴重合)，即平行
于抛物线的对称轴(或与对称轴重合)，故D正确；
设直线 的斜率为 ，故直线 的方程为 ，
化简得 ，故C正确.
故选：ACD.
考点二、 阿基米德三角形之定点 、 定轨迹 问题
1．（2023·山东·模拟预测）已知抛物线 ： ，过直线 ： 上的动点 可作 的两条切线，
记切点为 ，则直线 （ ）
A．斜率为2 B．斜率为 C．恒过点 D．恒过点
【答案】D
【分析】设 ，求导，根据导函数几何意义得到切线方程，设 ，将其代入两切
线方程，得到直线 的方程为 ，得到过定点 .
【详解】设 ，则 ， ，
由于 ，故过点 的切线方程为 ，
即 ，即 ，
同理可得过点 的切线方程为 ，
设 ，过点 的两切线交于点 ，
故 ，整理得 ，
同理 ，整理得 ，
故直线 的方程为 ，
斜率不为定值，AB错误，当 时， ，恒过点 ，C错误，D正确.
故选：D
2．（2024·湖南·三模）已知抛物线 的焦点为F，过F且斜率为2的直线与E交于A，B
两点， .
(1)求E的方程；(2)直线 ，过l上一点P作E的两条切线 ，切点分别为M，N.求证：直线 过定点，并求
出该定点坐标.
【答案】(1)
(2)证明见详解；定点坐标为
【分析】（1）根据已知条件，设直线 的方程为 ，设A(x ,y ),B(x ,y )，联立抛物线方程，
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根据抛物线的弦长求得 ，即得答案；
（2）设直线 的方程为 ， ， ，联立抛物线方程，得到韦达定理，利用导数
的几何意义，设出切线 与 的方程，两者联立，可求出 ，即可证得直线 过定点，并得出该
定点坐标.
【详解】（1）
由已知， ，过F且斜率为2的直线与E交于A，B两点，
设 的方程为 ，A(x ,y ),B(x ,y ),
1 1 2 2
联立 ，得 ，则 ，
则 ，
所以 ，
解得 ，
故抛物线E的方程为： .
（2）设直线 的方程为 ， ， ，
联立 ，得 ，
，即 ，
所以 ， ，令 ，当 时，
可化为 ，则 ，
则在 处的切线 的方程为： ，
即 ，
同理可得切线 的方程为： ，
联立 与 的方程，解得 ，
所以 ，则 ，满足 ，
则直线 的方程为 ，
所以直线 过定点，该定点坐标为 .
【点睛】方法点睛：直线和抛物线的位置关系中，证明直线过定点问题，一般是设出直线方程，利用根与
系数的关系化简，求得参数之间的关系式，再对直线分离参数，求得定点坐标，进而证明直线过定点.
3．（23-24高三上·江西·阶段练习）过点 作 轴的垂线，垂足为 ，且该垂线与抛物线 交于点 ，
，记动点 的轨迹为曲线 .
(1)试问 为何种圆锥曲线？说明你的理由.
(2)圆 是以点 为圆心， 为半径的圆，过点 作圆 的两条切线，这两条切线分别与
相交于点 ， （异于点 ）.当 变化时，是否存在定点 ，使得直线 恒过点 ？若存在，求
的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)椭圆，理由见解析
(2)存在定点 满足题意
【分析】（1）设 ，进而表示出 ， ，结合 即可求得结果.
（2）由直线与圆相切可得 ，设切线 ， 的斜率分别为 ， ，由韦
达定理得 ，设M(x ,y )，N(x ,y )，联立切线与圆的方程可求出点M、点N的坐标，进而求出
1 1 2 2
，由点斜式方程可求出直线 的方程，进而可求得定点.
【详解】（1） 为椭圆.
理由：如图所示，设 ，则 ， ，
则 ， .
因为 ，所以 ，所以 为椭圆.
（2）存在定点 满足题意.
理由：由题可知切线的斜率存在，如图所示，
设切线方程为 ，圆 ，
则 ，整理得 .
设切线 ， 的斜率分别为 ， ，则 ， 是上述方程的两根，由韦达定理得 .
设M(x ,y )，N(x ,y )，
1 1 2 2
由 得 .
因为 ，所以 ， .
同理可得 ， .
因为 ，所以 ， ，所以 ，
所以直线 的方程为 ，
即 ，整理得 .
令 ，得 ，故存在定点 满足题意.
【点睛】求解直线或曲线过定点问题的方法指导
（1）把直线或曲线方程中的变量 ， 当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程
就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于 ， 的方程组，这个方
程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．
（2）由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式 ，则直线必过定点 ；
若得到了直线方程的斜截式 ，则直线必过定点 ．
4．（2023·广东广州·一模）已知抛物线 的焦点 到准线的距离为2，圆 与 轴相切，
且圆心 与抛物线 的焦点重合.
(1)求抛物线 和圆 的方程；
(2)设 为圆 外一点，过点 作圆 的两条切线，分别交抛物线 于两个不同的点
和点 .且 ，证明：点 在一条定曲线上.
【答案】(1)抛物线 的方程为 ，圆 的方程为
(2)证明见解析
【分析】（1）根据抛物线的焦点 到准线的距离可得 的值，即可得抛物线方程；根据圆的性质确定圆
心与半径，即可得圆 的方程；
（2）根据直线与圆相切，切线与抛物线相交联立，结合韦达定理，即可得 所满足的方程.
【详解】（1）解：由题设得 ，
所以抛物线 的方程为 .
因此，抛物线的焦点为 ，即圆 的圆心为
由圆 与 轴相切，所以圆 半径为 ，
所以圆 的方程为 .
（2）证明：由于 ，每条切线都与抛物线有两个不同的交点，则 .故设过点 且与圆 相切的切线方程为 ，即 .
依题意得 ，整理得 ①；
设直线 的斜率分别为 ，则 是方程①的两个实根，
故 ， ②，
由 得 ③，
因为点 ，
则 ④， ⑤
由②，④，⑤三式得：
，
即 ，
则 ，即 ，
所以点 在圆 .
x2 y2
1．（2024·陕西咸阳·模拟预测）椭圆C: + =1(a>b>0)的离心率为 ，上、下顶点与一个焦点围成的
a2 b2
三角形的面积为 ．
(1)求椭圆C的方程：
(2)过点 作椭圆 的两条切线，切点分别为 ， ，求证：直线 过定点．
【答案】(1) ；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据已知条件，求得 ，即可求得椭圆方程；（2）先证明过椭圆上一点的切线方程的形式，再求得过点 的切线方程，从而得到直线 的方程，
即可证明其恒过的顶点.
【详解】（1）根据题意可得： ，又 ，
解得 ，故椭圆 方程为： .
（2）下证过椭圆 上一点 作椭圆的切线，其切线方程为： .
当 且 ， ，求导得： ；
同理可得，当 且 时， ，所以，当 时， ；
根据导数的几何意义可得，过点 的切线的斜率为 ，
故切线方程为： ，即 ，
又 ，故切线方程为： ，即证.
设 坐标为 ，
故可得过点 切线方程为： ，又其过点 ，
则 ；同理可得 ，
故 直线方程为 ，其恒过定点(1,0).
【点睛】关键点点睛：解决第二问的关键是证明过椭圆 上一点 作椭圆的切线，其切线方程为： ，本题利用导数的几何意义求得斜率，是解决问题的关键.
2．（2023·陕西安康·模拟预测）已知椭圆 的焦点分别 分别为 的上､下
顶点，过 且垂直于 的直线与 交于 两点，
(1)求椭圆 的方程；
(2)过直线 上任一点 ，作椭圆 的两条切线，切点为 两点，证明：直线 过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）依题意可得 ，设椭圆的方程为 ，又可得 为线段 的垂直平分线，
表示出直线 的方程，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，利用弦长公式得到方程，求出 ，
即可得解；
（2）设 ，在 点处的切线的方程为 ，联立直线与椭圆方程，消元，由 ，即
可得到点 处的切线方程，同理可得 点处切线方程，从而得到直线 的方程，即可得解.
【详解】（1）设 ，则 ，所以 ， ，
设椭圆的方程为 ，即 ，
，
， 为正三角形，
过 且垂直于 的直线与 交于 两点， 为线段 的垂直平分线，
直线 的斜率为 ，斜率的倒数为 ，
直线 的方程 ，代入椭圆方程 ，
整理化简得到 ，
所以 ， ， ，
，
，所以 ，
故椭圆 的方程为 .（2）设 ，在 点处的切线的方程为 ，
由 ，消去 整理得 ，
则 ，
整理得 ，
解得
故在 点处的切线方程为 ，整理可得 .
当 不存在时，切线方程为 满足上述结论，
设 坐标为 ，同理可得 ，
设 ，则 ，
所以 的直线方程为 ，
所以 ，
由题意 ，解得 ，故直线 过定点 .
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为 、 ；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 （或 ）的一元二次方程，必要时计算 ；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为 、 的形式；
（5）代入韦达定理求解.
3．（2023·云南昆明·模拟预测）椭圆方程 ，平面上有一点 ．定义直线方程
是椭圆 在点 处的极线．已知椭圆方程 ．
(1)若 在椭圆 上，求椭圆 在点 处的极线方程；
(2)若 在椭圆 上，证明：椭圆 在点 处的极线就是过点 的切线；
(3)若过点 分别作椭圆 的两条切线和一条割线，切点为 ， ，割线交椭圆 于 ， 两点，过
点 ， 分别作椭圆 的两条切线，且相交于点 ．证明： ， ， 三点共线．
【答案】(1) 或 ；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）将 代入椭圆方程计算得点 的坐标，再写出极线方程即可；
（2）写出点 处的极线方程，先讨论 的情况，可得 处的极线就是过点 的切线；再讨论 的
情况，将椭圆方程与极线方程联立，消元得关于 的一元二次方程，计算得判别式 ，即可证明；
（3）分别写出过点 ，N的切线方程，从而可得割线 的方程，再写出切点弦 的方程，根据割线
过点 ，代入割线方程计算，从而可得 ， ， 三点共线.
【详解】（1）由题意知，当 时， ，所以 或 ．
由定义可知椭圆 在点 处的极线方程为 ，
所以椭圆 在点 处的极线方程为 ，即
点 处的极线方程为 ，即
（2）因为 在椭圆 上，所以 ，
由定义可知椭圆 在点 处的极线方程为 ，
当 时， ，此时极线方程为 ，所以 处的极线就是过点 的切线．当 时，极线方程为 ．
联立 ，得 ．
．
综上所述，椭圆 在点 处的极线就是过点 的切线；
（3）设点 ， ， ，
由（2）可知，过点 的切线方程为 ，
过点N的切线方程为 ．
因为 ， 都过点 ，所以有 ，
则割线 的方程为 ；
同理可得过点 的两条切线的切点弦 的方程为 ．
又因为割线 过点 ，代入割线方程得 ．
所以 ， ， 三点共线，都在直线 上．
【点睛】方法点睛：解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去 （或 ）建立一元二
次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
考点三、 阿基米德三角形之定值问题
1．（2024·四川成都·模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，过点 作抛物线 的两
条切线，切点分别为 .
(1)求抛物线 的方程；
(2)过点 作两条倾斜角互补的直线 ，直线 交抛物线 于 两点，直线 交抛物线 于 两点，连接 ，设 的斜率分别为 ，问： 是否为定值？若是，
求出定值；若不是，说明理由.
【答案】(1)
(2)是定值0.
【分析】（1）先设点 ，然后求出切线解析式，根据 即可求出结果.
（2）设直线 的方程 ,通过和抛物线联立求出韦达定理，同理求出 和抛物线联立的韦达定
理，然后代入 即可.
【详解】（1）设切点 ，则在点 处切线斜率为 ，
所以以 为切点的切线方程为 .
因为切线过点 ，所以 ，同理 ，
所以 是方程 的两个根，则 .
又因为 ，
所以 ，即 .
又因为 ，所以 ，
所以抛物线 的方程为 .
（2）
由题意， 斜率都存在且不为0，设直线 的方程为 .
联立直线 和抛物线 的方程，得 ，所以 .
设 ，则 ，同理 ，所以
所以 ，
所以 等于定值0.
2．（2023高二下·海南·学业考试）已知椭圆 ： 的离心率为 ，且经过点 ．
(1)求 的方程；
(2)过椭圆 外一动点 作椭圆 的两条切线 ， ，斜率分别为 ， ，若 恒成立，证明：存
在两个定点，使得点 到这两定点的距离之和为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据离心率以及椭圆经过的点，联立 的方程即可求解，
（2）联立直线与椭圆的方程，根据相切得判别式为0，进而得到 ， 为关于 的方程
的两根，利用韦达定理可得 ，进而得点 在椭圆
上运动，由椭圆的定义即可求解.
【详解】（1）设 的半焦距为 ，
则由离心率 ，得 ，所以 ，
因为 经过点 ，所以 ，即 ，
得 ， ．
所以 的方程为 ．
（2）设 ，直线 的方程为 ，即 ，
记 ，则 的方程为 ，
代入椭圆 的方程，消去 ，得 ．
因为直线 ，与椭圆 相切，
所以 ，即 ，
将 代入上式，整理得 ，同理可得 ，
所以 ， 为关于 的方程 的两根，
从而 ，
整理可得 ，所以点 在椭圆 上运动，
所以存在两个定点 ， ，使得 ，为定值．
3．（22-23高三上·湖南长沙·阶段练习）已知F是抛物线C： 的焦点，以F为圆心，2p为
半径的圆F与抛物线C交于A，B两点，且 .
(1)求抛物线C和圆F的方程；
(2)若点P为圆F优弧AB上任意一点，过点P作抛物线C的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，请问
是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】(1)抛物线C的方程为 ，圆F的方程为
(2)是，16
【分析】（1）根据题意可得圆F的方程为 ，联立方程求得A，B的坐标，即可求得结
果；
（2）利用导数求切线PM，PN，即可得直线MN的方程，联立方程利用韦达定理运算整理.
【详解】（1）由题意可得：抛物线C： 的焦点为 ，则圆F的方程为 ，
联立方程 ，消去x得 ，解得 或 （舍去），
将 代入 得A，B的坐标分别为 ， .
故 ，所以 ，
所以抛物线C的方程为 ，圆F的方程为 .
（2）是，理由如下：
设 ，则 ，
因为抛物线的方程为 ，则 ，所以切线PM的方程为 ，即 ，①
同理切线PN的方程为 ，②
则由①②过 ，则 ，
所以直线MN的方程为 ，
联立方程 ，消去y得 ，
则 ， ，
所以
，
又 在圆F上，则 ，即 ，
故 为定值16.
【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤：
(1)由特例得出一个值，此值一般就是定值；
(2)证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；
也可令系数等于零，得出定值；
(3)得出结论．
1．（2023·安徽黄山·二模）已知拋物线 ， 为焦点，若圆 与拋物线
交于 两点，且
(1)求抛物线 的方程；
(2)若点 为圆 上任意一点，且过点 可以作拋物线 的两条切线 ，切点分别为 .求证：
恒为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据圆的弦长求解，可得 ，代入抛物线方程即可求解，
（2）令 ，写出点 处的切线方程，与抛物线联立，利用 得到，同理得到 ，再写出直线 方程，将其与抛物线联立得到韦达定理式，再结
合抛物线定义即可证明.
【详解】（1）由题意可知 ，半径为 ，
由圆的圆心以及抛物线的焦点均在在坐标轴 轴，故由对称性可知： 轴于点 ，
在直角三角形 中， ,
因此 故 ，将其代入抛物线方程中得 ，
故抛物线方程为：
（2）令 ，
抛物线在点 处的切线方程为 ,
与 联立得 ①
由相切 得 ，
代入①得
故在点处的切线方程为 ，即为
同理：点 处的切线方程为 ，
而两切线交于点 ，
所以有 ，则直线 的方程为: ，
由 得 ,所以
于是
，
又点 在圆 上，
所以 ,即 .
【点睛】关键点睛：本题的关键在于设切点，写出切线方程，然后将其与抛物线方程联立，再利用 得
到相关等式，再得到直线 的方程，将其与抛物线联立，得到韦达定理式，最后利用抛物线定义写出线
段长乘积表达式，利用点在圆上进行整体代入即可.
2．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，过点 且斜率为 的直线与抛物线
交于 、 两点，分别过 、 两点作抛物线的切线，两条切线分别与 轴交于 、 两点，直线
与抛物线 交于 、 两点，直线 与抛物线 交于 、 两点， 为线段 的中点， 为线段
的中点．
(1)证明： 为定值；
(2)设直线 的斜率为 ，证明： 为定值．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】
（1）设 ，则 ，写出直线 的方程，将直线 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，
写出抛物线在点 、 处的切线方程，求出点 、 的坐标，可得出直线 的方程，再将直线 的方程
与抛物线的方程联立，可求出|MN|，进而可求出|PQ|，然后结合韦达定理可求得 的值；
（2）求出点 、 的坐标，可求得 的表达式，由此可求出 的值.
【详解】（1）证明：设 ，则 ，易知抛物线 的焦点为F(1,0)，
设直线 的方程为 ，设点A(x ,y )、B(x ,y )，
1 1 2 2
联立 可得 ， ，由韦达定理可得 ， ，
接下来证明抛物线 在点 处的切线方程为 ，
联立 可得 ，即 ，即 ，
所以，直线 与抛物线 只有唯一的公共点，
所以， 的方程为 ，同理可知，直线 的方程为 ，
在直线 的方程中，令 ，可得 ，即点 ，同理可得点 ，
所以，直线 的方程为 ，即 ，
设点 、 ，联立 可得 ，
则 ，由韦达定理可得 ， ，
所以， ，
同理可得 ，
所以，
.
故 为定值 .
（2）解：设点 ，则 ，所以， ，
即点 ，同理可得点 ，所以， ，
所以， .
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
3．（2023·河南·一模）已知点 在抛物线 上，且到抛物线 的焦点 的距离为2.
(1)求抛物线 的标准方程；
(2)过点 向抛物线 作两条切线 ，切点分别为 ，若直线 与直线 交于点 ，且
点 到直线 ､直线 的距离分别为 .求证： 为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意可得 ，求出 ，即可得解；
（2）方法一：设 ，求导，再根据导数的几何意义分别求出抛物线在点 处和在点
处的切线方程，再根据两条切线均过点 ，从而可求得切点坐标，在证明 平分 ，即可得
出结论.
方法二：设切点为 ，求导，再根据导数的几何意义求出切线方程，联立方程，根据 求出切点
坐标，从而可得直线 ､直线 的方程，再结合点到直线的距离公式即可得证.
【详解】（1）因为 ，由题意可得 ，
解得 ，所以抛物线 的标准方程为 ；（2）方法一：设 ，由 ，得 ，
所以抛物线在点 处的切线方程为 ，
在点 处的切线方程为 ，
因为两条切线均过点 ，所以 ，
所以点 的坐标均满足 ，
所以 ，即 ，解得 或 ，
不妨设 ，则 ，
易知 ，所以 ，
所以 ，
，
所以 ，所以 ，所以 平分 ，
所以点 到直线 的距离 等于点 到直线 的距离 ，
所以 ，为定值，得证.
方法二：设切点为 ，由 ，得 ，
所以过点 的抛物线的切线方程为 ，
联立方程 ，消去 并整理得 ，
则 ，解得 或 ，
不妨设 ，则 ，
所以直线 的方程为 ，易知 ，所以直线 的方程为 ，
由 ，得 ，即 ，
易得直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
所以点 到直线 的距离 ，
点 到直线 的距离 ，
所以 ，则 ，为定值，得证.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是根据两切线过同一点求出切点，再证明 平分 ，或者分
别求出直线 ､直线 的方程，结合点到直线的距离公式计算.
考点 四 、 阿基米德三角形之面积问题
1．（2021高三·全国·竞赛）过椭圆 上一点M作圆 的两条切线，点A､B为切点过A､B
的直线l与x轴､y轴分别交于点P､Q两点，则 面积的最小值为 .
【答案】
【详解】解析：设 ，则l的方程为 ，
，
，当且仅当 时等号成立，
故答案为： .
2．（2024·河北秦皇岛·二模）已知抛物线 ： 的焦点为 ，点 是 轴下方的一点，过点 作 的
两条切线 ，且 分别交 轴于 两点.
(1)求证： ， ， ， 四点共圆；(2)过点 作 轴的垂线 ，两直线 分别交 于 两点，求 的面积的最小值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）在取定点P(x ,y )后，考虑过该点的切线斜率 满足的二次方程，然后证明一个垂直关系，
0 0
即可得到共圆；
（2）从斜率 满足的二次方程出发，可以对 的斜率 使用韦达定理，并可以使用 表示 的
面积，二者结合后可将 的面积表示成函数形式，再使用不等式 证明 ，最后
给出取到等号的例子 即可.
【详解】（1）
设P(x ,y )，若过点 且斜率为 的直线 与抛物线 相切，则联立后得到的关于
0 0
的方程 只有一个实数根.
此即关于 的二次方程 的判别式等于零，即 ，得
.
另一方面，该直线与 轴交于点 ，而该点与 的连线的斜率为
.
所以，过点 作抛物线的切线后，该切线与 轴的交点到焦点 和点 的连线互相垂直.
这就说明 ，从而 ，所以 ， ， ， 四点共圆.
（2）由 的定义知其方程为 ，设 的斜率分别为 ，则根据第1小问的解析，知 都是关于
的方程 即 的根.
故 ， .由于 均过点P(x ,y )，故其方程分别为 和 .
0 0
在 中令 ，得 ，从而得到 ，同理
.
所以 .
由 ，可设 ，则 ，进而得到
.
所以
（这里使用了不等式 ）
.
另一方面，当 时， 的斜率分别是 ，可求得 ， .
从而此时 ，故 .
综上， 的面积的最小值是 .
3．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ， 为坐标原点，
在椭圆 上仅存在 个点 ，使得 为直角三角形，且 面积的最大值为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)已知点 是椭圆 上一动点，且点 在 轴的左侧，过点 作 的两条切线，切点分别为 、 .求
的取值范围.【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分析可知，当 时，存在两个点 ，使得 为直角三角形，
设点 ，利用平面向量数量积的坐标运算可得出 ，再利用 面积的最大值可得出 、
的值，可得出 的值，由此可得出椭圆的方程；
（2）证明出抛物线 在点A(x ,y )处的切线方程为 ，可得出抛物线在点 处的切线方
1 1
程，联立两切线方程，求出点 的坐标为 ，设 ，其中 ，利用二
次函数的基本性质可求得 的取值范围.
【详解】（1）解：当 轴时，存在两个点 ，使得 为直角三角形，
当 轴时，存在两个点 ，使得 为直角三角形，
当 时，由题意可知，存在两个点 ，使得 为直角三角形，
设点 ，其中 ，则 ，可得 ，
且 ， ，
则 ，可得 ，
由题意可知， ，则 ，
当点 为椭圆短轴的顶点时， 到 轴的距离最大，此时， 的面积取最大值，
即 ，则 ，故 ，
因此，椭圆的方程为 .
（2）解：设点A(x ,y )、B(x ,y )，先证明出抛物线 在点 处的切线方程为 ，
1 1 2 2联立 可得 ，即 ，解得 ，
所以，抛物线 在点 处的切线方程为 ，
同理可知，抛物线 在点 处的切线方程为 ，
联立 可得 ，
所以， ，则 ，即点 ，
因为点 在 轴左侧，则 ，即 ，
因为点 在椭圆 上，则 ，
设 ，其中 ，则 ， ，
所以，
，
因为 ，则 ，则 ，
所以， ，
因此， 的取值范围是 .
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
1．（21-22高二上·福建龙岩·期中）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的
两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆
的蒙日圆方程为 ，椭圆 的离心率为 ， 为蒙日圆上一个动
点，过点 作椭圆 的两条切线，与蒙日圆分别交于 、 两点，则 面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用椭圆的离心率可得 ，分析可知 为圆 的一条直径，利用勾股定理得出
，再利用基本不等式可得出 面积的最大值.
【详解】因为 ，所以， ，所以，蒙日圆的方程为 ，
由已知条件可得 ，则 为圆 的一条直径，则 ，
所以， ，当且仅当 时，等号成立.
故选：A.
2．（2022·内蒙古包头·一模）已知抛物线 的焦点为F，且F与圆 上
点的距离的最大值为8．
(1)求抛物线M的方程；
(2)若点Q在C上，QA，QB为M的两条切线，A，B是切点（A在B的上方），求 面积的最小值．
【答案】(1)
(2)16
【分析】（1）根据条件确定F与圆 上点的距离的最大值为 ，从而求得 ，
可得答案;
（2）设点 ， ，联立方程，根据根与系数的关系式，求出弦长 ，再利用导数表示出QA，QB的方程，进而表示出点Q的坐标，求出点Q到直线AB的距离，从而表示出 ，结合二次函
数的知识可求得答案.
【详解】（1）由题意知 ， ，圆C的半径为 ，所以 ，
即 ，解得 ，所以抛物线M的方程为 ．
（2）设 ， ，
直线AB的方程为 ，联立方程组 ，
消去x，得 ，
则 ， ， ．
所以 ，
因为 ，所以 或 ，则 或 ，
所以切线QA的斜率为 ，其方程为 ，即 ，
同理切线QB的斜率为 ，其方程为 ．
联立方程组 ,解得 ,即点Q的坐标为 ，
因为点Q在圆C上，所以 ，且 ， ，
即 ， ．满足判别式的条件．
点Q到直线AB的距离为 ，所以 ，
又由 ，得 ，
令 ，则 ，且 ，
因为 在区间 上单调递增，所以当 时，t取得最小值4，此时 ，所以 面积的最小值为16．
【点睛】本题考查了抛物线方程的求法以及和直线的位置关系中的三角形面积问题，综合性较强，解答时
要有清晰的解答思路，即明确问题的解决是要一步步向表示出三角形QAB的面积靠拢，难点在于繁杂的计
算，要十分细心.
3．（23-24高三下·重庆·期中）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 的焦点 与椭圆
的一个焦点重合， 是抛物线 上位于 轴两侧不对称的两动点，且 ．
(1)求证：直线 恒过一定点 ，并求出该点坐标；
(2)若点 为 轴上一定点，且 ；
（ⅰ）求出 点坐标；
（ⅱ）过点 作平行于 轴的直线 ，在 上任取一点 作抛物线 的两条切线，切点为 ， ，求
面积的最小值．
【答案】(1)证明见解析，定点为 ；
(2)（ⅰ） 点坐标为 ，（ⅱ） .
【分析】（1）根据题意求出抛物线方程，设直线方程，联立直线与抛物线方程，利用根与系数的关系，
结合 ，求解即可；
（2）（ⅰ）由题意可知 ，联立方程，即可求出 点坐标；（ⅱ）先求直线 过定点，利用
三角形面积公式及二次函数最值问题即可求解.
【详解】（1）证明：由题意知F(0,1)，所以 ，所以抛物线 ，
设A(x ,y )，B(x ,y )，由条件可设直线 方程 ，
1 1 2 2
联立 ，得 ，
则 ， ，
由 ，得 ，因为 ， ，
所以 ，解得 或 ，
因为 是抛物线 上位于 轴两侧不对称的两动点，所以 ，
所以 ，又 ，所以 ，
所以直线 方程 ，
所以直线 恒过一定点 ，且定点坐标为 ；
（2）（ⅰ）由小问（1）可知直线 方程 ， ， ，设 轴上的定点 ，由 ，
得 为 的角平分线，即直线 与直线 关于 轴对称，
则 ，即 ，
所以 ，化简可得 ，
因为 位于 轴两侧不对称，所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 点坐标为 .
（ⅱ）设 ， ， ， ， ，
对 求导得， ，
则抛物线在 的切线方程为 ，
同理抛物线在 的切线方程为 ，
又切线过 ，所以 ， ，
所以直线 的方程为 ，即 ，
整理得 ，所以直线 过定点 ，
点 到 的距离 ，
联立方程 ，得 ，
， ， ，
所以弦长 ，所以 的面积 ，
所以当 时，即 时，
的面积的最小值为 .
【点睛】关键点点睛：本题求解答关键有两个：一是把角相等转化为斜率和为零；二是利用弦长公式得出
三角形的底，利用点线距得出三角形的高，结合面积公式得出面积表达式.
考点 五 、 阿基米德三角形之切线垂直
1．（2023·全国·高三专题练习）抛物级 的焦点 到直线 的距离为2.
（1）求抛物线的方程；
（2）设直线 交抛物线于 ， 两点，分别过 ， 两点作抛物线的两条切线，
两切线的交点为 ，求证： .
【答案】（1） ；（2）证明见解析
【分析】（1）利用抛物线的定义求出 即可得出结论；（2）联立直线和抛物线的方程，得出韦达定理，
设切线 的斜率为 ，切线 的斜率为 ，点 坐标为 ，利用已知条件对函数 求导得
出切线的斜率，写出切线方程，求出两切线的交点坐标，利用 ，即可得出结论.
【详解】（1）由题意知： ，
则焦点 到直线 的距离为： ，
所以抛物线的方程为： ；
（2）证明：
把直线 代入 消 得： ，
又 ，利用韦达定理得 ，
由题意设切线 的斜率为 ，切线 的斜率为 ，点 坐标为 ，
由（1）可得： ，
则 ，
所以 ，
则切线 的方程为： ，切线 的方程为： ，
则 ，
利用韦达定理化简整理得： ，
把 代入 整理得：
，
则 ，
，
则
【点睛】本题主要考查了利用定义求抛物线的方程，直线与抛物线应用.做这道题的时候要注意，利用韦达
定理，得出两根的关系，设出两切线的交点，认真计算.属于中档题.
1．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线 的方程为 ，过点 作抛物线 的两条切线，切点分别
为 .
（1）若点 坐标为 ，求切线 的方程；
（2）若点 是抛物线 的准线上的任意一点，求证：切线 和 互相垂直.
【答案】（1） 和 ；（2）证明见解析.
【解析】（1）设过点 的切线方程为 ，与抛物线的方程联立，由根的判别式为零求得切线的斜率，由此可求得切线的方程．
（2）设点 坐标为 ，切线斜率为 ，过点 的切线方程为 ，与抛物线的方程联立，由
根的判别式为零求得切线的斜率间的关系，根据直线垂直的条件可证得切线 和 互相垂直.
【详解】解：（1）由题意，开口向上的抛物线的切线斜率存在，设切线斜率为 ，
点 坐标为 ，过点 的切线方程为 ，
联立方程 ，消去 ，得 ，
由 ，解得 ，
所以切线 的方程分别为 和 ，
即切线方程分别为 和 ；
（2）设点 坐标为 ，切线斜率为 ，过点 的切线方程为 ，
联立方程 ，消去 ，得 ，
由 ，得 ，记关于 的一元二次方程 的两根为 ，
则 分别为切线 的斜率，由根与系数的关系知 ，
所以切线 和 互相垂直.
【点睛】方法点睛：求抛物线的切线方程的方法：
方法一：将抛物线转化为二次函数，然后利用导数求解切线方程，这在开口朝上的抛物线中经常用到。
方法二：设切线的方程，与抛物线的方程联立，采用判别式法求解．
2．（2024·广东汕头·三模）已知双曲线 ： 的渐近线方程为 ，过点
的直线 交双曲线 于 ， 两点，且当 轴时， .
(1)求 的方程；
(2)记双曲线 的左右顶点分别为 ， ，直线 ， 的斜率分别为 ， ，求 的值.
(3)探究圆 ： 上是否存在点 ，使得过 作双曲线的两条切线 ， 互相垂直.
【答案】(1) ；
(2) ；
(3)存在.
【分析】（1）根据给定条件，求出 即可得 的方程.
（2）设出直线 的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理，结合斜率坐标公式求解即得.（3）设出双曲线的两条切线方程，与双曲线方程联立，结合判别式求出两条切线交点的轨迹方程，再判
断与圆 的位置关系即可得解.
【详解】（1）由对称性知，双曲线 过点 ，则 ，解得 ，
所以双曲线 的方程为 .
（2）由（1）得 ，设 ，
显然直线 不垂直于y轴，设直线 的方程为 ，
由 消去x得 ，
显然 ， ，
则 ，即 ，
所以 .
（3）圆 上存在点 ，使得过 作双曲线的两条切线互相垂直.
若双曲线的两条切线有交点，则两条切线的斜率存在且不为0，
设双曲线的两条切线分别为 ，
将 代入 消去 得： ，
由 得 ，解得 ，
因此 ，设两条切线的交点坐标为 ，
则 ，即有 ，且 ，
即 ，
于是 是方程 的两根，而 ，则 ，即 ，从而两条切线们交点的轨迹为圆 ，
而 的圆心为 ，半径为1，圆 的圆心 ，半径为3，
显然 ，满足 ，即圆 与圆 相交，
所以圆 上存在点 ，使得过 作双曲线的两条切线互相垂直.
【点睛】方法点睛：①引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上述变
量表示，最后把得到的式子化简，得到定值；②特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变
量无关．
考点 六 、 阿基米德三角形之角度问题
1．（2024·安徽·模拟预测）已知椭圆 的一条准线 的方程为 ，点 分别为椭
圆 的左、右顶点，长轴长与焦距之差为2．
(1)求 的标准方程；
(2)过 上任一点作 的两条切线，切点分别为 ，当四边形 的面积最大时，求 的正切值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）构造关于 的方程组，解出即可；
（2）画出草图，分类讨论，当 位于点 处时，切线与 轴垂直，不合题意，设切线 的方程为
，与椭圆联立，由 得 ， 在 上，知道
，得到 ，同理得切线 的方程为 ，进而得到直线 的方程为
，再与椭圆联立，借助韦达定理，后将四边形面积表示出来 ，即
，借助对勾函数单调性求最值，再借助和角正切
公式计算即可.
【详解】（1）由题意得， 解得 所以 ，所以 的标准方程为 ．
（2）如图，取 上任意一点M(4,t)，设 ，
当 位于点 处时，切线与 轴垂直，不合题意，故 ．
设切线 的方程为 ①，
联立
整理得 ，
由 ，得 ．
因为 在 上，所以 ，
故 ，
代入①式，整理得 ，同理得切线 的方程为 ．
因为两条切线都经过M(4,t)，所以 ，
所以直线 的方程为 ．
联立 整理得 ，
所以 ②．显然 与 异号．
由题意知 ，所以 ．
设 ，则 ，
将②式代入并整理，得 ．因为 ，所以易知 在 上单调递增，所以当 时， 有最小值，即 有最大值，
为36．所以当 时，四边形 的面积最大，最大面积为6．
此时直线 的方程为 ，故直线 与 轴垂直．
设 与 的交点为 ，显然 是椭圆的右焦点，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
2．（2023高三·全国·专题练习）已知 ， 分别是椭圆 的上、下焦点，直线 过点 且
垂直于椭圆长轴，动直线 垂直 于点 ，线段 的垂直平分线交 于点 ，点 的轨迹为 .
(1)求轨迹 的方程；
(2)若动点 在直线 上运动，且过点 作轨迹 的两条切线 、 ，切点为A、B，试猜想
与 的大小关系，并证明你的结论的正确性.
【答案】(1)
(2)猜想 ，证明见解析
【分析】（1）由椭圆 ，可得 ， 的坐标，从而可得动点 到定直线 与定点
的距离相等，由此可得轨迹 的方程；
（2）猜想 ，先求切线AP、BP的方程，联立可得P的坐标，进一步可得 、 、 的
坐标，利用向量的夹角公式，可得 ，从而可得结论.
【详解】（1）解： ， ，
椭圆半焦距长为 ， ， ，
，
动点 到定直线 与定点 的距离相等，
动点 的轨迹是以定直线 为准线，定点 为焦点的抛物线，轨迹 的方程是 ；
（2）解：猜想
证明如下：由（1）可设 ，
，
，则 ，
切线 的方程为：
同理，切线 的方程为：
联立方程组可解得 的坐标为 ，
在抛物线外，
， ，
同理
1．（2024·全国·二模）如图，过点 的动直线 交抛物线 于 两点.
(1)若 ，求 的方程；
(2)当直线 变动时，若 不过坐标原点 ，过点 分别作（1）中 的切线，且两条切线相交于点 ，问：
是否存在唯一的直线 ，使得 ？并说明理由.
【答案】(1) ；(2)存在，理由见解析.
【分析】（1）求出直线 的方程，与抛物线方程联立，结合向量垂直的坐标表示求出抛物线方程.
（2）设直线 的方程，并与抛物线方程联立，再求出切线方程并联立求出点 ，由已知结合斜率建立方程，
利用导数探讨方程有唯一实根即可.
【详解】（1）由 ，得直线 的斜率为 ，方程为 ，即 ，
由 消去 得： ，设 ，
则 ，由 ，得 ，解得 ，
所以抛物线 的方程是 .
（2）由（1）知，抛物线 的方程是 ，
直线 不垂直于 轴，设直线 ，显然 ，
由 消去 并整理得 ， ，
则 ，
设抛物线 在 处的切线方程为 ，由 消去 得：
，由 ，得 ，
于是抛物线 在 处的切线方程为 ，
同理抛物线 在 处的切线方程为 ，设点 ，
由 ， ，得 ， ，
即点 ，于是直线 的斜率分别为 ，
若存在直线 ，使得 ，则 ，
设直线 的倾斜角分别为 ，则 ，由 ，得 或 ，因此 ，
即 ，则 ，
，
整理得 ，
化简得 ，令 ，
求导得 ，显然 ，
即 恒成立，则函数 在R上单调递增，而 ，
因此存在唯一 ，使得
所以存在唯一的直线 ，使得 .
【点睛】结论点睛：抛物线 在点 处的切线斜率 ；抛物线 在点
处的切线斜率 .
考点 七 、 阿基米德三角形之点坐标问题
1．（2023·浙江金华·模拟预测）已知抛物线 ，圆 是 上异于原点的一点.
(1)设 是 上的一点，求 的最小值；
(2)过点 作 的两条切线分别交 于 两点（异于 ）.若 ，求点 的坐标.
【答案】(1)(2) 或
【分析】（1）根据圆的几何性质，结合两点间距离公式、配方法进行求解即可；
（2）根据圆的切线性质，结合等腰三角形的性质、一元二次方程根与系数关系、点到直线距离公式进行
求解即可.
【详解】（1）设 ，圆心 ，半径为 ，
，
所以当 时， 有最小值 ，
所以 的最小值 ；
（2）由题设，切线斜率一定存在，设切线的斜率为 ，
所以切线的方程为： ，
由圆的切线性质可知：
，
设 ，
， 是方程 的两个不相等实根，
因此 ，即 ，且 ，
所以由圆的切线性质知： ，
，
所以 的坐标为 或 .
【点睛】关键点点睛：根据圆的切线长定理、一元二次方程根与系数关系是解题的关键.1．（2024·云南大理·模拟预测）已知点 ，点 是圆 上一动点，动点 满足
，线段 的中垂线与直线 交于点 .
(1)求点 的轨迹 的标准方程；
(2)已知点 在直线 上，过点 作曲线 的两条切线，切点分别为 ，若四边形 的面积
，求 的最大值，并求出此时 点的坐标.
【答案】(1)
(2)最大值为 ， 点的坐标为 .
【分析】（1）连接 ， ，确定 ，计算 ，确定轨迹为椭圆，排除特殊点
得到答案.
（2）确定切线方程，得到 ，得到直线 的方程为 ，计算 ，计算
面积得到 ，得到 ，换元，根据函数的单调性计算最值即可.
【详解】（1）如图所示：连接 ， ，
， 为线段 的中点， 是线段 的垂直平分线，故 ，
因为点 在直线 上，所以 .
由椭圆的定义可知， 点轨迹是以 为焦点，以4为长轴长的椭圆，
即 ，解得 ，
当 点坐标为 时， 与 重合，不符合题意，
故 的标准方程为 ；
（2）设 ，当 时， ， ，
设切点为 ，则切线方程为 ，
又 ，整理得到切线方程为 ，
同理可得 时成立，
曲线 点M(x ,y )处的切线 的方程为 ，
1 1
又因为切线 过 ，所以 .
同理可得 ，故直线 的方程为 .
所以 .
设点 到直线 的距离分别为 ，
因为直线 的方程为 ，所以 .
又因为 在直线 的两侧，
故 ，
由于点 的坐标满足方程 ，即有： ，
两式相减得： ，
故可得： ，所以 ，
令 ，则 ，
令 ，函数在 上单调递增，
故可知 的最小值为4，当且仅当 时，等号成立，此时 ，
故 ，其最大值为 ，此时 点的坐标为 .
【点睛】关键点点睛：本题考查了椭圆的轨迹方程，面积问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综
合应用能力，其中，利用换元法结合函数的单调性计算最值是解题的关键，此方法是常考的数学方法，需
要熟练掌握.
2．（23-24高三下·辽宁·阶段练习）已知双曲线 （ ， ）的离心率为 ，且经过点
.
(1)求 的方程；
(2)过原点 的直线与 交于 ， 两点（异于点 ），记直线 和直线 的斜率分别为 ， ，
证明： 的值为定值；
(3)过双曲线 上不同的两点 ， 分别作双曲线 的切线，若两条切线相交于点 ，且 ，
求 的最大值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据离心率及过点坐标得到方程组，求出 、 ，即可得解；
（2）设 ，（ 且 ），则 ，利用斜率公式及 计算可得；
（3）设 ， 两点处的切线方程为 ， ，依题意 ，联立直线与双曲线方程，
由 得到 ，同理可得 ，再由 满足两直线方程，求出 点轨迹方程，即
可得解.【详解】（1）依题意可得 ，解得 ，所以双曲线方程为 ；
（2）根据对称性，不妨设 在双曲线的右支，
设 ，（ 且 ），则 ， ，
所以 ，为定值.
（3）依题意可得 ， 两点处的切线的斜率都存在且不为 ，
设 ， 两点处的切线方程为 ， ，依题意 ，
由 ，消元整理得 ，
则 且 ，整理得到 ，
同理可得 ，
又点 在两切线上，所以 ，所以 ，
，
所以 、 为关于 的方程 的两根，
即 的两根，
所以 ，即 ，
所以点 的轨迹方程为 ，所以 .【点睛】关键点点睛：本题第三问利用整体思想、设而不求，计算出动点 的轨迹方程.
考点 八 、 阿基米德三角形之参数问题
1．（2024·四川内江·三模）已知抛物线E的准线方程为： ，过焦点 的直线与抛物线 交于A、B两
点，分别过A、B两点作抛物线 的切线，两条切线分别与 轴交于C、D两点，直线CF与抛物线 交于
M、N两点，直线DF与抛物线 交于P、Q两点.
(1)求抛物线 的标准方程；
(2)是否存在实数 ，使得 恒成立，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理
由．
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）利用抛物线的准线求标准方程即可；
（2）设直线 方程与 坐标，根据抛物线的切线方程可求得 坐标，再含参表示直线 ，联
立抛物线方程结合弦长公式可求|MN|,|PQ|，根据焦点弦的性质计算 即可.
【详解】（1）因为抛物线E的准线方程为： ，设 ，则 ，所以 ，
故抛物线 的标准方程为 ；
（2）设 ，联立抛物线有 ，
下面先求抛物线 在点 处的切线方程，
当 时，设该切线方程为 ，
与抛物线方程联立有 ，
则 ，
又 ，
即 ，则 ，
则 ，
当 时，切线方程为x=0，满足上式，
所以抛物线 在点 处的切线方程为 ，
所以抛物线E在 处的切线方程为 ，
在B处的切线方程为 ，所以 ，
则 ，
直线 分别与抛物线方程联立有 ，
设 ，则 ，
由弦长公式知 ，
同理有 ，
又 ，所以 ，则 ,
即 ，
所以存在实数 ，使得 恒成立.
【点睛】思路点睛：设A、B坐标利用切线方程可含参表示C、D坐标，结合点斜式可表示直线 ，再
根据弦长公式计算|MN|,|PQ|，计算其倒数和是否为定值即可.
1．（2024·四川成都·模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，过点 作抛物线 的两条
切线，切点分别为 ， .
(1)求抛物线 的方程；
(2)过点 作两条倾斜角互补的直线 ， 交抛物线 于 两点， 交抛物线 于 两点，连接
，设 的斜率分别为 ，求 的值；
(3)设 ，求 的值.
【答案】(1)
(2)0
(3)1
【分析】（1）利用导数的几何意义可求出 ， ，结合抛物线的定义进行求解即可；
（2）设 方程为 ，联立 和抛物线方程，由根与系数的关系可求出 ，同理可得
，表示出 代入化简即可得出答案；
（3）联立直线与抛物线，利用弦长公式求出 和 ，即可证明点 共圆，即可
求出 的值.
【详解】（1）设切点 ，
因为 ，所以 ， ，
以点 为切点的切线的斜率为 ，
以点 为切点的切线的方程为 ，∵切线过点 ，所以 ，
∴ ，同理， ，
所以 为方程 的两根，
∴ ， ，
，
∴ ， ，∵
∴ ，∴抛物线方程为 .
（2）设 方程为 ，联立 和抛物线方程，得
∴ ， ，
解得： ，
设 ， ， ，
∴ ，同理， .
∴ .
∴ .
（3） ，
∴ ，
由（2）可得， ，
同理 ，
∴ ，∴点 共圆，
，【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
1．（2023高三·全国·专题练习）从直线 上的任意一点 作圆 的两条切线，切点为
，则弦 长度的最小值为 ．
【答案】
【详解】设 ，易知 的极线方程为 ，即 可得弦 必过 ，
易得圆 上，过 的最短的弦长为 ．
2．（2024·四川成都·模拟预测）已知抛物线 ，弦 过其焦点，分别过弦的端点 的两条切线交
于点 ，点 到直线 距离的最小值是（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】设 ，设出过点过 处的切线方程与抛物线联立，由 ，得出其斜率，化简点
过 处的切线方程，同理得出点过 处的切线方程,根据题意得出点 的坐标，结合点到直线的距离公式可
得出答案.
【详解】设 ，设过 处的切线方程是 ，
联立 ， 得 ，
由题意 ，即 ，
则在 处的切线方程为 ，
同理， 处的切线方程为 ，
设交点 的坐标为 ，点 在两条切线上，
所以 ， ，则直线 的方程是 .
又 过其焦点 ，易知交点 的轨迹是 ，所以 ， ： ，所以交点 到直线 的距离是 ，
所以当 时距离最小值为2.
故选：D
3．（2024·吉林白山·二模）阿基米德三角形由伟大的古希腊数学家阿基米德提出，有着很多重要的应用，
如在化学中作为一种稳定的几何构型，在平面设计中用于装饰灯等.在圆倠曲线中，称圆锥曲线的弦与过弦
的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形.已知抛物线 的焦点为 ，顶点为 ，斜
率为 的直线 过点 且与抛物线 交于 两点，若 为阿基米德三角形，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出直线 的方程，联立抛物线方程，得到 两点坐标，求出过点 的切线方程，联立后
得到 ，得到答案.
【详解】依题意， ，设直线 ，联立 ，
则 ，解得 或 ，不妨设 ，
设直线 方程为 ，联立 得，
， ，
，
解得 ，
故直线 的斜率 ，故直线 ，
同理可得直线 的斜率 ，故直线 ，
联立 ，解得 ，
即 ，则 .
故选：C.
4．（2024·云南昆明·一模）已知抛物线C： （ ）的焦点为F，直线 与C交于A，B两
点， ．(1)求C的方程；
(2)过A，B作C的两条切线交于点P，设D，E分别是线段PA，PB上的点，且直线DE与C相切，求证：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设A(x ,y )，B(x ,y ) ，直线方程联立抛物线方程，利用韦达定理表示
1 1 2 2
，结合抛物线的定义即可求解；
（2）利用导数的几何意义求出直线PA、PB方程，进而求得 ，设 ，求得 、
，结合弦长公式表示 与 ，即证 ，由
（1），化简计算即可证明.
【详解】（1）设A(x ,y )，B(x ,y )， ，
1 1 2 2
联立 ，得 ，
则 ， ， ，
则 ，故 ，
所以C的方程为 ．
（2）由（1）知 ，因为抛物线C： ，则 ，
则 ， ，则直线PA方程为 ，即 ，
同理直线PB方程为 ．
联立 ，得 ，
则 ，将 代入得 ，
两式相加得 ，
即 ，所以点 ．
设直线DE与抛物线相切于点 ，则直线DE方程为 ．
设 ， ，联立 ，两式作比 ，即 ，同理 ，
因为 ，
同理 ，
故要证 ，
即证 ，
即证 ，
即证 ，
即证 ，
即证 ，
由（1）知 ，又 ，故 ，上式成立，
故 ．
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
5．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知椭圆 的离心率为 ，依次连接四个顶点得到的
图形的面积为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)过直线 上一点 作椭圆 的两条切线，切点分别为 ，求证：直线 过定点.
【答案】(1) ；
(2)证明见解析.【分析】（1）根据离心率和四边形面积得到方程组，求出 ，得到椭圆方程；
（2）设 ， ， ，设过点 且与椭圆相切的直线方程，联立椭圆方程，得到两根
之和，两根之积，根据 结合 求出 ，求出以 为切点的椭圆 的切线方程为
，同理得到以 为切点的椭圆 的切线方程，得到直线 的方程为 ，直线
过定点 .
【详解】（1）由题可得 ，即 ， ，得 ①，
依次连接四个顶点得到的图形的面积为 ，即 ，即 ②，
由①②可得 ，
椭圆 的方程为： .
（2）设 ， ， ，
由题知，直线 上一点 作椭圆 的两条切线斜率存在，
设过点 且与椭圆相切的直线方程为： ，
联立方程 得 ，
，
整理得 ，即 ，
在椭圆上， ，即 ， ，
，即 ，
，解得 ，过点 且与椭圆相切的直线方程为： ，
，即 ，
整理可得以 为切点的椭圆 的切线方程为 ，
同理，以 为切点的椭圆 的切线方程为 ，
又两切线均过点 ，故 ，且 ，
整理化简得 ，且 ，
点 ， 均在直线 上，
直线 的方程为 ，直线 过定点 .
【点睛】结论点睛：过圆 上一点 的切线方程为：
，
过圆 外一点 的切点弦方程为： .
过椭圆 上一点 的切线方程为 ，
过双曲线 上一点 的切线方程为 .
6．（23-24高三下·浙江杭州·开学考试）已知抛物线 的焦点为 .设 （其中 ，
）为拋物线 上一点.过 作抛物线 的两条切线 ， ， ， 为切点.射线
交抛物线 于另一点 .
(1)若 ，求直线 的方程；
(2)求四边形 面积的最小值.
【答案】(1)
(2)16
【分析】（1）利用导数求切线方程，由点坐标同时满足切线方程得直线AB的方程；
（2）设直线 的方程，表示出弦长 ，再求A、B到直线 的距离，表示出四边形 面积，利
用韦达定理化简，由基本不等式求最小值.
【详解】（1）设A(x ,y )，B(x ,y )，由题得 ，
1 1 2 2
抛物线 ，即 ，则 ，所以抛物线在点A(x ,y )处切线的斜率为 ，
1 1
则切线 的方程为 ，整理得 ，
同理， 的方程为 ，
又 在 上，有 ，
所以直线 方程为 .
（2）设 ， ， ，
联立 ，消去 整理得 ，
，
，
设点 到直线 的距离为 ，
则
，
联立 ，得 ，
， （其中 ），
，又 ， 代入上式得，
，
当且仅当 ，即 时， 取最小值，
所以四边形 面积的最小值为16.
【点睛】方法点睛：求解直线与抛物线的问题时，通常把两个方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，
然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必
考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
7．（2024·陕西·二模）在平面直角坐标系 中，椭圆 的右焦点为 ，
右准线 与 轴交于点 .点 是右准线 上的一个动点（异于点 ），过点 作椭圆 的两条
切线，切点分别为 .已知 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)设直线 的斜率分别为 ，直线 的斜率为 ，证明： .
【答案】(1) ；
(2)证明见解析.
【分析】（1）先利用题给条件求得 的值，进而得到椭圆 的标准方程；
（2）利用设而不求的方法求得 的值，进而证得 .
【详解】（1）由题意可知， ，且 ，
解之得 ，
所以 ，即椭圆 的标准方程为 ；
（2）设 ，所作切线斜率为 ，则切线方程为 ，与椭圆 的方程联立，
消去 ，整理得 ，
则 ，
整理得 ，
所以 ，又因为 ，所以 .
8．（2022高三·全国·专题练习）设椭圆 的中心在原点，焦点 在 轴上，垂直 轴的直线与椭圆相交于
、 两点，当 的周长取最大值 时， ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)过圆 上任意一点 作椭圆 的两条切线 、 ，直线 、 与圆 的另一交点分别为 、
,
①证明： ；
②求 面积的最大值．
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②
【分析】（1）不妨设焦点 为椭圆的左焦点， 为椭圆的右焦点， 与 的交点为 ，进而由椭圆的定
义， ，再根据 ，当 点与 点重合时，等号成立得
，进而 ， ，再解方程即可得答案；
（2）①设 ， ，则 ，先讨论切线斜率都存在的情况，设切线的方程为： ，
进而结合直线与椭圆的位置关系，韦达定理可得 ，进而证明 ；再讨论有一条切线的斜率不
存在时的情况即可得答案；
②由①可得 ，故 过圆心即原点 ，进而得当 时，所求面积最大.【详解】（1）解：根据题意，设椭圆的标准方程为 ，
如图，不妨设焦点 为椭圆的左焦点， 为椭圆的右焦点， 与 的交点为 ，
所以，由椭圆定义 ，
因为在 中， ，且当 点与 点重合时 ，等号成立，
所以， ，当 点与 点重合时，等号成立，
所以 ，
所以， 的周长取最大值时，直线过椭圆的另一焦点，且最大值为 ，
所以把 代入椭圆的方程可得 ，
因为 ，所以， ，
因为 的周长最大值为 ，所以 ，解得 ， ，
所以，椭圆 的方程为 ．
（2）解：①设 ， ，则 ．
当切线的斜率都存在时，设切线的方程为： ，
代入椭圆的方程可得： ，
所以，△ ，化为 ．
所以，当 时，设直线 、 的斜率分别为 ，
所以， ，故 ．
当 时，有一条切线的斜率不存在，
点 可以为 或 或 或 ，
此时，两条切线为 和 ，或 和 ，或 和 或 和 ，满足 ；
综上可得： ．②由①可得： ，
所以， 为 的直径，因此 过圆心即原点 ．
所以，当 时， 面积取得最大值 ．
9．（2022·全国·模拟预测）已知抛物线 的焦点为F，P为抛物线上一动点，点P到F的
最小距离为1．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)过点 向C作两条切线AM，AN，切点分别为M，N，直线AF与直线MN交于点Q，求证：点Q
到直线FM的距离等于到直线FN的距离．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用抛物线的定义求得 ，即可得抛物线的标准方程；
（2）解法一，利用导数的几何意义，求出过点A的抛物线的切线方程，进而求出点M，N的坐标，再利用
向量的夹角公式求出 ，得到点Q位于 的平分线上，即可得证；
解法二，利用导数的几何意义，设出切线方程，与抛物线方程联立，利用 ，并求切点坐标以及 和
直线方程，以及交点 的坐标，利用点到直线的距离即可证明.
【详解】（1）设点P的坐标为 ，由抛物线定义可知，
故 ，得 ，所以抛物线C的标准方程为 ．
（2）解法一 ，设 ， ，由 ，得 ，
所以抛物线在点M处的切线方程为 ，
在点N处的切线方程为 ．
因为两条切线均过点 ，所以 ，
所以点M，N的坐标满足 ，
所以 ，即 ，解得 或 ，
不妨设 ， ，则 ， ．就易知 ，所以 ， ， ，
所以 ， ，
所以 ，所以 ．
因为FQ平分 ，所以点Q到直线FM的距离等于到直线FN的距离．
解法二 设切点为 ，由 ，得 ，
所以过点 的抛物线的切线方程为 ，
联立，得 ，消去y并整理得 ，
则 ，解得 或 ，
不妨设 ， ，则 ， ，
所以直线MN的方程为 ，易知 ，所以直线AF的方程为 ，
由 ，得 ，即 ．
易得直线FM的方程为 ，直线FN的方程为 ，
所以点Q到直线FM的距离 ，
点Q到直线FN的距离 ，所以 ，得证．
10．（23-24高二下·上海·阶段练习）设抛物线 的焦点为F,Q为 上一点．已知点 的纵
坐标为 ，且点 到焦点 的距离是 ．点 为圆 上的点，过点 作拋物线 的两条切线
，切点分别为 ，记两切线 的斜率分别为 ．(1)求抛物线 的方程；
(2)若点 的坐标为 ，求 值；
(3)设直线 与 轴分别交于点 ，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用点在抛物线上及抛物线的定义即可求解；
（2）利用直线的点斜式方程设出切线方程，切线方程与抛物线的方程联立，利用切线与抛物线的位置关
系即可求解；
（3）利用直线的点斜式方程设直线 线方程，切线方程与抛物线的方程联立，利用切线与抛物线的位置
关系，求出直线 ，同理即可得出 ,进而求出直线 的方程，利用两点间的距离公式及点 在圆上即
可求解.
【详解】（1）将 代入 中，得 ，所以 ，
由题意可知， ，
因为点 到焦点 的距离是 ，
所以 ,解得 ，
故抛物线 的方程为 .
（2）设切线方程为 ，由 ，消去 ，得 ，
因为切线与抛物线 有一个交点，
所以 ，得 ，
所以 .
（3）设 ，设直线 的方程为 ，
，消去 ，得 ，
因为直线 与抛物线 有一个交点，
，解得 ，
所以直线 的方程为 ，令 ，则 ， ，
同理直线 的方程为 ,令 ，则 ， ，
设 代入 ，得 ，则直线 的方程为 ，
由 ，消去 ，得 ，
所以 ，
所以 ， ，
所以
又 在圆 上，
所以 ，即 ，
故 .
综上可知， 的取值范围为 .11．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）椭圆 的离心率为 ，短轴长为2，点
为椭圆的右顶点． ，过点 作 的两条切线分别与椭圆交于 两点（不
同于点 ）．
(1)求椭圆 的方程；
(2)当 变化时，直线 的斜率乘积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；
(3)给定一个 ，椭圆上的点到直线 的距离的最大值为 ，当 变化时，求 的最大值，并求出此时 的值．
【答案】(1) ；
(2)为定值1；
(3)当 时， 的最大值为 ．
【分析】（1）根据离心率和短轴长，即可求
（2）根据点到直线的距离公式可得 为方程 的两个根，即可利用韦达定理求解，
（3）联立直线与椭圆方程得韦达定理，即可由点斜式求解直线方程 ，令
，得直线 过定点 ，即可根据点点距离，结合二次函数的性质求解 有最大值
根据两直线垂直即可分类讨论求解.
【详解】（1）由题意可得 ， 且 ，解得
故 的方程为
（2）点 ，设直线 的斜率分别为 ，
则直线 的方程为 ，
由直线 与圆 相切知，圆心 到直线 的距离 ，
整理得 ，
同理
则 为方程 的两个根，
所以 ，即直线 的斜率乘积为定值1．（3）设A(x ,y ),B(x ,y )，由
1 1 2 2
得 ，
则 ，进一步可求得 ，
同理得 ，
直线 的斜率 ，
则直线 的方程为 ，
令 ，则 ，
所以直线 过定点 （可让 无限趋近于0，猜得如果直线 过定点，定点一定在 轴上）．
设椭圆上任意一点M(x,y)，点 到点 的距离 ．
当 时， 有最大值
取 ，则直线 的斜率为 ，
要使 最大，则此时由直线 和直线 垂直，
可得直线 的斜率 ，解得 ．
取 ，则直线 的斜率为 ，此时由直线 和直线 垂直可得直线 的斜率
，解得 ，舍去．
所以椭圆上存在点 ，当 时， 的最大值为 ．
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定点问题的两种解法
（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有
关系，找到定点.
（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.
12．（23-24高三上·河南·开学考试）已知抛物线 的焦点为 ，以 为圆心作半径为1的
圆，过 且倾斜角为 的直线与抛物线 交于 两点，且 ．
(1)求 的方程；
(2)设 为坐标原点， 为 上一点，过 作圆 的两条切线，分别交 于另外两点 ，直线 分别交
轴正半轴、 轴正半轴于 两点，求 面积的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用定义可得 ，联立直线与抛物线，结合韦达定理求解即
可；
（2）设点 ， ， ，分别求出 ， ， 的直线方程，进而可得
的面积公式，再利用与圆相切的条件，用 表示 并得到 的取值范围，再利用导数求面积的最小值即可.【详解】（1）由题意可知 ，直线 的方程为 ，
联立 消去 得 ，
设点 ， ，则 ，
所以 ，即 ，解得 ，
所以 的方程为 .
（2）由（1）知圆 ，设点 ， ， ，显然 ，
则直线 的方程为 ，
直线 的方程为 ，
直线 的方程为 ，由 的方程可得 ， ，
则 的面积为 ，所以 ．
因为 与圆 相切，所以点 到直线 的距离为 ，
整理得 ，同理可得 ，
所以 是方程 的两根，
所以 ， ，解得 ，
的面积化为 ，
设 ，则 ，
令 ，得 ，
所以 在 单调递减，在 单调递增，
故 面积的最小值为 ．
【点睛】解决直线与圆锥曲线相交（过定点、定值）问题的常用步骤：
（1）得出直线方程，设交点为 ， ；
（2）联立直线与曲线方程，得到关于 或 的一元二次方程；
（3）写出韦达定理；
（4）将所求问题或题中关系转化为 ， 形式；
（5）代入韦达定理求解.
13．（23-24高三上·云南保山·期末）已知椭圆 ： （ ），且椭圆 的长轴长为4，离心
率为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 作椭圆 的两条切线，切点分别为 ， ，现过点 的直线 分别交椭圆于 ， 两点，且直线 交线段 于点 ，试判断 与 的大小，并说明理由.
【答案】(1)
(2) ，理由见解析
【分析】（1） 根据题意 ，离心率 ，从而可求解.
（2）先求出切线 的方程为 ，切线 的方差为 ，从而可求出直线AB的方程
，设出直线 的方程 ，然后分别与直线AB方程，椭圆方程联立，再利用根与系数
关系分别求出 ， ， ，从而可求解.
【详解】（1）由题意可知： ，所以 ，又由 ，所以 ，所以 ；
故椭圆 的方程为 .
（2）如图，令 ， ， ， ，
由题知切线 的斜率 存在，且设过 点的切线方程为 ，
联立方程得 ，解得： ，
由于只有一个切点，所以 ，解得 ，
又因为 ，所以切线 的方程为 ，
同理可得切线 的方程为 ，
又点 是切线 ， 的公共点，所以 故而 所在的直线为 ，
由题意可知，直线 的斜率存在，不妨设为 ，则 ，
所以直线 的方程为 ，
联立方程： 解得： ，
联立方程： 消除 得： ，
所以 ， ，
又有 ， ， ，
，
所以 .
【点睛】关键点点睛：求解切线方程时根据椭圆与直线方程联立，求解判别式 即可得到切线 方程：
，切线 方程： ，从而可求出直线AB方程： ，然后设出直线 方程：
，再与直线AB，椭圆方程联立，然后利用根与系数关系从而求出 ， ， ，从而
可求解.
14．（2024·广东广州·二模）已知点 是抛物线 的焦点， 的两条切线交于点 是
切点．
(1)若 ，求直线 的方程；
(2)若点 在直线 上，记 的面积为 的面积为 ，求 的最小值；
(3)证明： ．
【答案】(1) ；(2)16；
(3)证明见解析.
【分析】（1）由题得 坐标，设出切线方程，与抛物线方程联立 可得参数的值，进而求解 坐标，
即可得 方程；
（2）求得抛物线在点 处的切线方程，化简得 ，由点 在直线 上可得 纵
坐标的和、积关系，进而利用两点间距离公式结合点到直线距离公式，表示出 ，化简结合配方法可
求得最小值；
（3）利用两点间距离公式结合抛物线定义可得 ，利用两角差的正切公式求得
，即 ，即可证得结论．
【详解】（1）由题知 ，抛物线 ，
切线斜率不为0，设切线为 ，
与 联立，得 ，
，解得 或3，
时， ，则 ，切点为 ；
时， ，则 ，切点为 ，
故直线 方程为 ，即 ．
（2）F(1,0)，设A(x ,y ),B(x ,y )，
1 1 2 2
由题意易知抛物线的切线不与 轴垂直，设切线为 ，
与 联立，得 ， ，则 ，
即 ，
故抛物线在点 处的切线方程为 ，
在点 处的切线方程为 ，
联立可得 ，
又 在直线 上，故 ，即 ①，
点 到 的距离为 ，，
故 ，
同理可得 ，
故
，
将①式代入可得：
，
令 ，则 ，
则
，
故当 时， 有最小值为 ．
（3）由（2）知 ，
则，
由抛物线定义可得
，
故 ，即 ．
，
，
，
，则 ，
又 与 范围均为(0,π)，
故 ，
结合 ，可得 ．
【点睛】方法点睛：在圆锥曲线中涉及到三角形面积的求解时，常常有三种求解三角形面积的方法：
（1）常规面积公式： 底 高；
（2）正弦面积公式： ；
（3）铅锤水平面面积公式：过 轴上的定点： （ 为 轴上定长）
过 轴上的定点 （ 为 轴上定长）
15．（2024·云南·模拟预测）已知椭圆 的离心率为 ，上､下顶点与其中一个焦点围
成的三角形面积为 ，过点 作椭圆 的两条切线，切点为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)求 所在直线的方程；
(3)过点 作直线 交椭圆 于 两点，交直线 于点 ，求 的值.
【答案】(1)
(2)
(3)2
【分析】（1）由题意可得 ，解方程求出 ，即可得出答案.
（2）先证明过椭圆上一点的切线方程的形式，再求得过点 的切线方程，从而得到直线 的方程.
（3）令 ，设直线 的方程为： ，联立椭圆 的方程 ，求出
，再令 ，解方程组 ，解得 ，表示出 ，将
代入化简即可得出答案.
【详解】（1）由题意可知： ①又 ，所以 ②，
由①②及 ，所以 ，
所以椭圆 的方程为： .
（2）先证：过椭圆 上一点A(x ,y )的切线方程为 ，
1 1
证明如下：当过椭圆上一点A(x ,y )的切线斜率存在时，
1 1
设切线方程为 ，
则 可得： ，
因为直线与椭圆相切，所以 ，
化简可得： ，
所以 ，代入 可得：
，
于是 ，
故切线方程为： ，即 ，
又 ，故切线 的方程为： ，
当过椭圆上一点A(x ,y )的切线斜率不存在时，切线方程为 ，满足题意.
1 1
所以过椭圆 上一点A(x ,y )的切线方程为 ，
1 1
故切线 的方程为： ，
同理：切线 的方程为： ，又因为过点 ，
所以 ， ，
所以： ，故直线 的方程为 .
（3）由题意可知直线 的斜率存在，且 ，设直线 的方程为： ，联立椭圆 的方程 ，
得 ，
令 ，
所以 .
令 ，解方程组 得 .
又
，
所以 .
【点睛】
关键点睛：解决第二问的关键是证明过椭圆 上一点A(x ,y )作椭圆的切线，其切线方程为：
1 1
，本题利用导数的几何意义求得斜率，是解决问题的关键.
16．（2022·重庆沙坪坝·模拟预测）已知抛物线 ： 的焦点为 ，过点 引圆 ：
的一条切线，切点为 ， .
(1)求抛物线 的方程；
(2)过圆M上一点A引抛物线C的两条切线，切点分别为P，Q，是否存在点A使得 的面积为 ？
若存在，求点A的个数；否则，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，点A的个数为2，理由见解析
【分析】（1）由题意可求出 ，过点M作 轴，根据勾股定理可知 ，即可求出参数p，进而得到抛物线方程；
（2）设 ， ， ，求出切点弦PQ的方程，联立抛物线方程，根据弦长公式求出
，在利用点到直线距离公式求出点 到直线PQ的距离d，由 的面积为 列出方程，
得出A点的轨迹方程 ，联立圆的方程得 ，方程的根的个数即为点A的个
数.
【详解】（1）解：如图
已知抛物线 ： 的焦点为 ，
圆 ： 的圆心 ，半径 ，
则 ，
过点M作 轴，则 ， ，
在 中，满足 ，
即 ，解得 ，
所以抛物线 的方程为 .
（2）存在点A使得 的面积为 ，点A的个数为2，理由如下：设 ， ， ，
由（1）可知抛物线 的方程为 ，
则 切点弦PQ的方程为 ，斜率 ，
联立 ，得 ，
所以 ， ，
，
点 到直线PQ的距离 ，
，
所以 ，
即点A的轨迹为抛物线 往左平移 个单位长度，
因为点A在圆M上，联立 ，得 ，
显然 是一个根，因式分解得 ，
令 ， ，则 ，
若 ，由于 ，则 恒成立，所以 为增函数，
， ，
根据零点存在定理函数 在 上存在一个零点，
所以存在两个点A使得 的面积为 .
【点睛】本题考查了抛物线切点弦方程及弦长公式，高次方程的因式分解问题，构造函数并利用导函数求
出函数的单调性，根据零点存在定理求出方程的根，此题的关键点在于，根据 的面积为 ，求出
点A的轨迹方程，利用其轨迹方程和圆M有几个交点即可得到点A的个数.
17．（22-23高三下·山西晋城·阶段练习）已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，点 是直
线 上一动点，直线 与直线 交于点 ， .
(1)求抛物线 的方程；
(2)过点 作抛物线 的两条切线 ，切点为 ，且 ，求 面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）计算 ， ，根据距离公式计算得到 ，得到抛物线方程.
（2）求导得到导函数，计算切线方程得到 的直线方程为 ，联立方程，根据韦达定理得
到根与系数的关系，根据向量运算得到 ，再计算 ，得到范围.
【详解】（1）直线 ，当 时， ，即 ， ，
则 ，解得 或 （舍去），
故抛物线 的方程为 .
（2）设 ， ， ， ， ，
的直线方程为： ，整理得到 ，
同理可得： 方程为 ，故 ，故 的直线方程为 ，
，整理得到 ， ，
，
，解得 ，
设 到 的距离为 ，
，
，故 ，
【点睛】关键点睛：本题考查了切线方程，抛物线方程，抛物线中的面积问题，意在考查学生的计算能力，
转化能力和综合应用能力，其中利用韦达定理得到根与系数的关系，利用设而不求的思想解决问题是解题
的关键，需要熟练掌握.
18．（2023·江西南昌·三模）已知椭圆 经过点 ，且离心率为 ， 为椭圆
的左焦点，点 为直线 上的一点，过点 作椭圆 的两条切线，切点分别为 ， ，连接 ，
， ．
(1)证明：直线 经过定点 ；
(2)若记 、 的面积分别为 和 ，当 取最大值时，求直线 的方程．
参考结论： 为椭圆 上一点，则过点 的椭圆的切线方程为 ．
【答案】(1)证明见解析
(2) 或
【分析】（1）由题求出椭圆的标准方程，根据参考结论得两条切线的方程，由点P为两切线的交点，得
直线AB的方程，可求出直线所过定点；
（2）由直线AB所过定点设直线方程，与椭圆联立，计算面积之差，利用基本不等式求出最值，及取最值
时直线的方程.
【详解】（1）由题意可得 ，即 ， ，故椭圆 的方程为 ，
设 ， ， ，
由参考结论知过点 在 处的椭圆 的切线方程为 ，
同理，过点 在 处的椭圆 的切线方程为 ，
点 在直线 ， 上， ，
直线 的方程为 ，即 ，
可得 ，则直线 过定点 ；
（2）由（1）知， ， ，
设直线 的方程为 ，联立 ，
得 ，故 ， ，
为 ，
，
当且仅当 ，即 时取等号，此时直线 的方程为 ，
即 或 ．
【点睛】思路点睛：第二问思路设直线 的方程为 与椭圆方程联立，利用韦达定理代入
，然后利用基本不等式求出结果，考查了学生的思维能力、运算能力.19．（2024·甘肃兰州·一模）已知圆 过点 ， 和 ，且圆 与 轴交于点 ，点 是
抛物线 的焦点.
(1)求圆 和抛物线 的方程；
(2)过点 作直线 与抛物线交于不同的两点 ， ，过点 ， 分别作抛物线 的切线，两条切线交于点
，试判断直线 与圆 的另一个交点 是否为定点，如果是，求出 点的坐标；如果不是，说明理由．
【答案】(1)圆 ： ，抛物线 ：
(2)是定点，
【分析】（1）依题意可知圆心在直线 上，设圆心为 ，半径为 ，再由圆过点 ，即可得
到 ， ，从而求出圆的方程，再令 求出 点坐标，即可求出抛物线方程；
（2）设直线 的方程为 A(x ,y )，B(x ,y )，过 ， 点的抛物线的切线的斜率分别为
1 1 2 2
、 ，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，利用导数的几何意义表示出过 、 点的切线方
程，再联立即可求出 点坐标，即可得到直线 的方程，最后与圆的方程联立求出交点坐标.
【详解】（1）因为圆 过点 和 ，
所以圆心在直线 上，设圆心为 ，半径为 ，
又圆过点 ，所以 ， ，
则圆 的方程为 ，
令 ，解得 ，所以F(0,1)，则 ，所以 ，
所以抛物线 的方程为 .
（2）依题意直线 的斜率必存在，不妨设为 ，则直线 的方程为 ，
即 ，由 整理得 ，
其中 ，解得 或 ，则 ， ，
设A(x ,y )，B(x ,y )，过 ， 点的抛物线的切线的斜率分别为 、 ，
1 1 2 2
又 ，所以 ，则 、 ，
所以过 点的切线方程为 ，即 ，
同理可得过 点的切线方程为 ，由 ，解得 ，即 ，
所以点 在直线 上，而点 也在直线 上，
所以直线 与圆 的另一个交点 就是直线 与圆 的交点，
由 ，解得 或 ，
所以直线 与圆 的另一个交点为定点 .
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为(x ,y )、(x ,y )；
1 1 2 2
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 （或 ）的一元二次方程，必要时计算 ；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为 、 的形式；
（5）代入韦达定理求解.
20．（23-24高三下·重庆大足·阶段练习）已知直线 与抛物线 ： 交于 ， 两点．
是线段 的中点，点 在直线 上，且 垂直于 轴．
(1)求证： 的中点在 上；
(2)设点 在抛物线 ： 上， ， 是 的两条切线， ， 是切点．若 ，且
位于 轴两侧，求证： ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）设 ，联立 ，利用韦达定理求出点 ，点 ，进而可得其中点
坐标，代入抛物线方程验证即可；（2）设出直线 的方程，与抛物线联立，求出 点坐标，设点 在抛物线 上，求出过该点的切
线方程，代入点 ， 可得直线 的方程，与抛物线联立，利用韦达定理计算出 ，
同样计算出 即可证明.
【详解】（1）设 ，
联立 ，消去 得 ，
则 ，
所以
所以 ，则 ，
所以 的中点坐标为 ，满足 ，
故 的中点在 上；
（2）由（1）得 ，设直线 的方程为 ，即 ，
联立 ，消去 得 ，解得 或 ，
又 位于 轴两侧，故 ，
设点 在抛物线 上，又对于 ： 有 ，所以
则 在点 处的切线方程为 ，
整理得 ，设 ， ，
则 在 与 处的切线方程分别为 与 ，又两条切线都过点
，
则 ， ，
则直线 的方程为 ，即 ，又 ，则点 在直线 上.
由（1）知 ，而 ，
则 .
而
.
联立 ，消去 得 ，
则 ， ，
则 .
所以 .
【点睛】方法点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与
系数的关系；
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用焦半
径公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
21．（2024高三·全国·专题练习）左、右焦点分别为 的椭圆 经过点 ，
为椭圆上一点， 的重心为 ，内心为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)若 为直线 上一点，过点 作椭圆 的两条切线 为切点，问直线 是否过定
点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．【答案】(1)
(2)过定点，
【分析】（1）设点 的坐标为 ，根据重心性质和 可得 ，结合三角形面积公式求解
可得；
（2）设切线方程为 ，根据切线过点 可求得 的方程，由直线系方程即可确
定所过定点.
【详解】（1）因为椭圆 焦点在 轴上，且过点 ，
所以 ，
设 内切圆的半径为 ，点 的坐标为 ，
则 重心 的坐标为 ，
因为 ，所以 ．
由 面积可得 ，
即 ，结合 ，解得 ，
即所求的椭圆方程为则椭圆方程为 ．
（2）设 ，
则切线 的方程分别为 ，
因为点 在两条切线上，所以 ，
故直线 的方程为 ．
又因为点 为直线 上，所以 ，即直线 的方程可化为 ，
整理得 ，
由 解得 ，
因此，直线 过定点 ．
22．（2024·安徽·二模）已知点 在椭圆 ： 的外部，过点 作 的两条切线，切点分别为 ，
．
(1)①若点 坐标为 ，求证：直线 的方程为 ；②若点 的坐标为 ，求证：直
线 的方程为 ；
(2)若点 在圆 上，求 面积的最大值．
【答案】(1)①证明见解析，②证明见解析
(2)
【分析】（1）①设 方程 ，联立椭圆方程，结合判别式化简可得 ，继而结合直
线方程化简，即可证明结论；②根据方程思想，结合额两点确定一条直线，即可即可证明结论；
（2）确定直线 的方程 ，联立椭圆方程，可得根与系数的关系式，即可求得弦长|AB|，再
求出P到直线 的距离的表达式，即可求得 面积的表达式，利用导数求最值，即可得答案.
【详解】（1）①当 斜率存在时， ，设 方程为：
与 ： 联立整理得： ，
由已知得： ，
化简得：
因为 ，则 ，
即 ，所以 ，
方程为： ，即 ，则 ，故直线 的方程为
当 斜率不存在时， ，直线 的方程为 或 满足上式.；
所以直线 的方程为 ；
②由①知，设 点坐标为(x ,y )，则直线 的方程为 ，
2 2
由点 的坐标为 ，则 ， ，
则A(x ,y )，B(x ,y )两点都在直线 上，
1 1 2 2
由于两点确定一条直线，故直线 的方程为 ；
（2）由（1）知直线 的方程为 ，由题意知 ，
与 ： 联立整理得：
因为 ，所以
因为A(x ,y )，B(x ,y )，则 ， ，
1 1 2 2
所以 ，
点 到直线 的距离为： ，
所以 面积 ，
当 时，令 ，所以 ，故 在 单调递增，所以 的最大值为 ，
由对称性可知当 时， 的最大值也为 ，
故 面积的最大值为 .
【点睛】难点点睛：本题考查了椭圆的切线问题以及椭圆中的三角形的面积最值问题，综合强，难度较大，
解答的难点在于计算量大，计算复杂，并且基本都是字母参数的运算，一不小心就会出错.
23．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知动圆 与圆 ： 和圆 ： 都内切，
记动圆圆心 的轨迹为 .
(1)求 的方程；
(2)已知圆锥曲线具有如下性质：若圆锥曲线的方程为 ，则曲线上一点
处的切线方程为： .试运用该性质解决以下
问题：点 为直线 上一点（ 不在 轴上），过点 作 的两条切线 ， ，切点分别为 ， .
（ⅰ）证明： ；
（ⅱ）点 关于 轴的对称点为 ，直线 交 轴于点 ，直线 交曲线 于 ， 两点.记 ，
的面积分别为 ， ，求 的取值范围.
【答案】(1) ；
(2)（i）证明见解析；（ii） .
【分析】（1）根据椭圆的几何定义求解动点的轨迹方程；
（2）（i）根据题意中的性质求解出两条切线方程，代入点 坐标后，得出直线 的方程，从而算出斜
率，再去判断与另一直线是否垂直；
（ii）联立直线 的方程与椭圆 的方程，由韦达定理得出 ，进而求解出直线 与 轴的
交点 的坐标，再用垂直关系又去设出直线 的方程与椭圆 的方程联立，再用坐标去表示出 ，
最后可由基本不等式得出结果.
【详解】（1）设动圆 的半径为 ，由题意得圆 和圆 的半径分别为7，1，
因为 与 ， 都内切，
所以 ， ，
所以 ，
又 ， ，故 ，
所以点 的轨迹是以 ， 为焦点的椭圆，设 的方程为： ，
则 ， ，所以 ，
故 的方程为：
（2）
（i）证明：设 ， ， ，
由题意中的性质可得，切线 方程为 ，
切线 方程为 ，
因为两条切线都经过点 ，所以 ， ，
故直线 的方程为： ，可得直线 的斜率为：
而直线 的斜率为： ，
因为 ，所以 ;
（ii）由直线 的方程为： ，可改设直线 的方程为： ，
联立 ，整理得 ，由韦达定理得 ，
又 ，所以直线 的方程为 ，
令 得，
，
所以直线 经过定点 ，又 ，
再由 ，可设直线 的方程为： ，
再联立 ，整理得 ，
设 ， ，则由韦达定理得 ，
因为 ，所以
，
所以 ，当且仅当 时，即 时取等号.
又因为 ，所以
【点睛】方法点睛：
（1）利用两圆相内切的几何关系来推导出椭圆的几何定义，从而求出轨迹方程；
（2）利用曲线上某点的切线方程去推导出切点弦方程.
24．（23-24高二下·河北石家庄·阶段练习）由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆
的“特征三角形”．如果椭圆 的“特征三角形”为 ，椭圆 的“特征三角形”为 ，若 ，则称椭圆 与 “相似”，并将 与 的相似比称为椭圆 与 的相似比．已知椭圆 ： 与椭
圆 ： 相似．
(1)求椭圆 的离心率；
(2)若椭圆 与椭圆 的相似比为 ，设 为 上异于其左、右顶点 ， 的一点．
①当 时，过 分别作椭圆 的两条切线 ， ，切点分别为 ， ，设直线 ， 的斜率
为 ， ，证明： 为定值；
②当 时，若直线 与 交于 ， 两点，直线 与 交于 ， 两点，求 的值．
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②
【分析】（1）首先得到 、 的长轴长、短轴长、焦距、依题意可得 ，从而得到 ，
再由离心率公式计算可得；
（2）①设 ，则直线 的方程为 ，进而与椭圆 联立方程，并结合判别式得
，同理得到 ，进而得 ，再根据
即可求得答案；
②由题知椭圆 的标准方程为 ，进而结合点 在椭圆 上得 ，故设直线 的斜
率为 ，则直线 的斜率为 ，进而得其对应的方程，再与椭圆 联立方程并结合韦达定理，弦长公
式得 、 ，进而得 ．
【详解】（1）对于椭圆 ： ，则长轴长为 ，短轴长为 ，焦距为 ，
椭圆 ： 的长轴长为 ，短轴长为 ，焦距为 ，
依题意可得 ，所以 ，
则椭圆 的离心率 .（2）①由相似比可知， ，解得 ，所以椭圆 ： ，
设 ，则直线 的方程为 ，即 ，
记 ，则 的方程为 ，
将其代入椭圆 的方程，消去 ，得 ，
因为直线 与椭圆 有且只有一个公共点，
所以 ，即 ，
将 代入上式，整理得 ，
同理可得 ，
所以 为关于 的方程 的两根，
所以 ．
又点 在椭圆 上，
所以 ，
所以 ，为定值．
②由相似比可知， ，解得 ，所以椭圆 ： ，
其左、右顶点分别为 ， ，恰好为椭圆 的左、右焦点，设 ，易知直线 、 的斜率均存在且不为 ，
所以 ，
因为 在椭圆 上，所以 ，即 ，
所以 ．
设直线 的斜率为 ，则直线 的斜率为 ，
所以直线 的方程为 ．
由 ，得 ，
设 ， ，则 ， ，
所以
，
同理可得 ，
所以 ．【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为 、 ；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 （或 ）的一元二次方程，必要时计算 ；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为 、 的形式；
（5）代入韦达定理求解.
25．（2024·全国·模拟预测）已知动圆 过点(0,1)，且与直线 相切于点 ，设动点 的轨迹为曲线
.
(1)求曲线 的方程；
(2)过点 作曲线的两条切线 分别与曲线 相切于点 ，与 轴分别交于 两点.记 ，
， 的面积分别为 、 、 ．
（i）证明：四边形 为平行四边形；
（ii）证明： 成等比数列.
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【分析】（1）设出圆心 ，利用条件建立方程，再化简即可得出结果；
（2）（ⅰ）设出两条切线方程，从而求出 的坐标，再利用向量的加法法则即可得出证明；
（ⅱ）利用（ⅰ）中条件，找出边角间的关系，再利用面积公式即可求出结果.
【详解】（1）设圆心 ，由题意得： ，
化简整理得： ，所以曲线 的方程为： ．
（2）（ⅰ）设 ， ，因为 ，所以 ，
∴直线 的方程为： ，即 ，令 ，得到 ，
同理可得直线 的方程为： ，令 ，得到 ，
∴ ， ，联立 ，消 解得 ，
所以 ，
又 ，∴ ，所以四边形 为平行四边形；
（ⅱ）由（ⅰ）知直线 的方程为 ，又 ，所以 ，即
，
同理可知直线 的方程为 ，又因为 在直线 ， 上，
设 ，则有 ，
所以直线 的方程为： ，故直线 过点 ，
∵四边形 为平行四边形，∴ ， ，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴
，
即 ，
故 成等比数列．
【点睛】关键点点睛：（2）中的第（ⅰ）问，关键在于利用向量来证明，从而将问题转化成求出点的坐
标，将几何问题代数化；第（ⅱ）问的关键在于求出直线 恒过定点，再利用几何关系，求出相似比.
1．（全国·统考高考真题）已知曲线C：y= ，D为直线y= 上的动点，过D作C的两条切线，切点分
别为A，B.（1）证明：直线AB过定点：
（2）若以E(0， )为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.
【答案】(1)见详解；(2) 3或 .
【分析】（1）可设 ， ， 然后求出A，B两点处的切线方程，比如 ：
，又因为 也有类似的形式，从而求出带参数直线 方程，最后求出它所过的定点.
（2）由(1)得带参数的直线 方程和抛物线方程联立，再通过 为线段 的中点， 得出 的值，
从而求出 坐标和 的值， 分别为点 到直线 的距离，则 ，结合
弦长公式和韦达定理代入求解即可.
【详解】(1)证明：设 , ,则 ．
又因为 ，所以 .则切线DA的斜率为 ，
故 ，整理得 .
设 ，同理得 .
, 都满足直线方程 .
于是直线 过点 ，而两个不同的点确定一条直线，所以直线 方程为 .即
，
当 时等式恒成立．所以直线 恒过定点 .
（2）
[方法一]【最优解：利用公共边结合韦达定理求面积】
设 的中点为G， ,则 ， ，
．
由 ，得 ，
将 代入上式并整理得 ，
因为 ，所以 或 ．由（1）知 ，所以 轴，
则 （设
）．
当 时， ，即 ；
当 时， ，
即 ， ．
综上，四边形 的面积为3或 ．
[方法二]【利用弦长公式结合面积公式求面积】
设 ，由（1）知抛物线的焦点F的坐标为 ，准线方程为 ．由抛物线的定义，
得 ．
线段 的中点为 ．
当 时， 轴， ，
；
当 时， ，由 ，得 ，即 ．
所以 ，直线 的方程为 ．
根据对称性考虑点 和直线 的方程 即可．
E到直线 的距离为 ，
D到直线 的距离为 ．
所以 ．
综上，四边形 的面积为3或 ．
[方法三]【结合抛物线的光学性质求面积】图5中，由抛物线的光学性质易得 ，又 ，所以 ．
因为 ， ，所以 ，
所以 ．
同理 ，所以 ，即点D为 中点．
图6中已去掉坐标系和抛物线，并延长 于点H．
因为 ，所以 ．
又因为G，D分别为 的中点，所以 ，
故 为平行四边形，从而 ．
因为 且 ，所以I为 的中点，
从而 ． ．
当直线 平行于准线时，易得 ．
综上，四边形 的面积为3或 ．
[方法四]【结合弦长公式和向量的运算求面积】
由（1）得直线 的方程为 .
由 ，可得 ，
于是
.
设 分别为点 到直线 的距离，则 .因此，四边形ADBE的面积 .
设M为线段AB的中点，则 ，
由于 ，而 ， 与向量 平行，所以 ，解得 或 .
当 时， ；当 时
因此，四边形 的面积为3或 .
【整体点评】(2)方法一：利用公共边将一个三角形的面积分割为两个三角形的面积进行计算是一种常用且
有效的方法；
方法二：面积公式是计算三角形面积的最基本方法；
方法三：平稳的光学性质和相似、全等三角形的应用要求几何技巧比较高，计算量较少；
方法四：弦长公式结合向量体现了数学知识的综合运用.
2．（辽宁·高考真题）如图，抛物线
（I） ；
（II）
【答案】（I）p=2（II）
【详解】（I） ，该抛物线上任意一点的切线斜率为
，即
故切线MA的方程为 ，又因为点
，代入抛物线得
联立解得p=2（II）设 ，由N为线段AB的中点可得
，切线MA,MB的方程为
， ，两式联立求得交点M的坐标
由 ，再由
可得 ，经检验当A,B重合于坐标原点是方程也满足，因此AB中点N的轨迹方程为
第一小题主要是要求学生把题目所给的抛物线方程转化成二次函数，从而想到切线的斜率即为该点的导数
值，求得切点坐标，写出切线方程，进而求得p的值．
第二小题主要是寻找点M与点N的关系，通过设出各点的坐标，充分利用点在曲线上及他们之间的关系，
代入建立 间的关系，最后运用点M在已知曲线上求得x与y的关系．本题在求解过程中注意整
体消参的方法．最后不要漏掉对特殊点即原点的考虑．
【考点定位】本题考查抛物线的性质，导数的意义，曲线的方程，整体代入消参求动点的轨迹．
