文档内容
第17讲 圆锥曲线中的阿基米德三角形
（高阶拓展、竞赛适用）
（8 类核心考点精讲精练）
命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的选考内容，设题不定，难度中等或偏难，分值为5-17分
【备考策略】1.理解、掌握圆锥曲线阿基米德三角形的定义
2.理解、掌握圆锥曲线的阿基米德三角形问题及其相关计算
【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会结合公式运算，
需强化训练复习
知识讲解
1. 椭圆中的阿基米德三角形
x2 y2
设 椭 圆 C: + =1(a>b>0)的 弦 为
a2 b2
AB, 过A，B两点做椭圆切线，交于Q点，称△ABQ 为阿基米德三角形, 则有:a2
性质 1: 弦 AB 绕着定点 P(m,0) 转动时, 则其所对顶点 Q 落在直线 x= 上.
m
其中, 当 P 点为左 (右) 焦点时, Q 点位于左 (右) 准线上.
性质 2: 直线 AQ,PQ,BQ 的斜率成等差数列, 即 k =k +k .
PQ AQ BQ
性质 3: 当 P 点为焦点时, PQ⊥AB.
2. 双曲线中的阿基米德三角形
x2 y2
设 双 曲 线 C: − =1(a,b>0) 的 弦 为
a2 b2
AB,过A，B两点做双曲线切线，交于Q点，称△ABQ 为阿基米德三角形, 则有:
a2
性质 1: 弦 AB 绕者定点 P(m,0) 转动时, 则其所对顶点 Q 落在直线 x= 上.
m
其中, 当 P 点为左 (右) 焦点时, Q 点位于左 (右) 准线上.
性质 2: 直线 AQ,PQ,BQ 的斜率成等差数列, 即 k =k +k .
PQ AQ BQ
性质 3: 当 P 点为焦点时, PQ⊥AB.
3. 抛物线中的阿基米德三角形
抛物线的弦为 AB,过A，B两点做抛物线切线，交于Q点，称△ABQ 为阿基米德三角形, 则
有:
（1）阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴
（2）若阿基米德三角形的底边即弦 AB 过抛物线内的定点 C, 则另一顶点 Q 的轨迹为一条直线
（3）若直线 l 与抛物线没有公共点，以 l 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点 (若直线 l 方程
(c bp)
为: ax+by+c=0, 则定点的坐标为 C ,− .
a a
a3
（4）底边为 a 的阿基米德三角形的面积最大值为 .
8p
（5）若阿基米德三角形的底边过焦点, 顶点 Q 的轨迹为准线, 且阿基米德三角形的面积最小值为 p2
（6）在阿基米德三角形中, ∠QFA=∠QFB
（7）|AF|⋅|BF|=|QF| 2 .
（8）抛物线上任取一点 I (不与 A,B 重合), 过 I 作抛物线切线交 QA,QB 于 S,T,连接 AI,BI, 则
△ABI 的面积是 △QST 面积的 2 倍考点一、 阿基米德三角形的认识及简单应用
1．过抛物线 的焦点 作抛物线的弦与抛物线交于 、 两点， 为 的中点，分别过
、 两点作抛物线的切线 、 相交于点 . 又常被称作阿基米德三角形.下面关于 的描述：
① 点必在抛物线的准线上；
② ；
③设 、 ，则 的面积 的最小值为 ；
④ ；
⑤ 平行于 轴.
其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
2．阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在物理
学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号．抛物线上任意两点 ， 处的切线交于点 ，称 为
“阿基米德三角形”，当线段 经过抛物线焦点 时， 具有以下特征：（1） 点必在抛物线的准
线上；（2） 为直角三角形，且 ；（3） ．已知过抛物线 焦点的直线 与抛
物线交于 ， 两点，过点 ， 处的切线交于点 ，若点 的横坐标为 ，则直线 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
1．被誉为“数学之神”之称的阿基米德（前287—前212），是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学
家，他最早利用逼近的思想证明了如下结论：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积，等于抛物线
的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三分之二．这个结论就是著名的阿基米德定理，其
中的三角形被称为阿基米德三角形．在平面直角坐标系心中，已知直线l：y＝4与抛物线C： 交于
A，B两点，则弦与拋物线C所围成的封闭图形的面积为 ．
2．（2024高三下·江苏·专题练习）（多选）如图， 为阿基米德三角形.抛物线 上有两
个不同的点A(x ,y ),B(x ,y )，以A，B为切点的抛物线的切线 相交于点P.给出如下结论，其中
1 1 2 2
正确的为（ ）A．若弦 过焦点，则 为直角三角形且
B．点P的坐标是
C． 的边 所在的直线方程为
D． 的边 上的中线与y轴平行（或重合）
考点二、 阿基米德三角形之定点 、 定轨迹 问题
1．（2023·山东·模拟预测）已知抛物线 ： ，过直线 ： 上的动点 可作 的两条切线，
记切点为 ，则直线 （ ）
A．斜率为2 B．斜率为 C．恒过点 D．恒过点
2．（2024·湖南·三模）已知抛物线 的焦点为F，过F且斜率为2的直线与E交于A，B
两点， .
(1)求E的方程；
(2)直线 ，过l上一点P作E的两条切线 ，切点分别为M，N.求证：直线 过定点，并求
出该定点坐标.
3．（23-24高三上·江西·阶段练习）过点 作 轴的垂线，垂足为 ，且该垂线与抛物线 交于点 ，
，记动点 的轨迹为曲线 .
(1)试问 为何种圆锥曲线？说明你的理由.
(2)圆 是以点 为圆心， 为半径的圆，过点 作圆 的两条切线，这两条切线分别与
相交于点 ， （异于点 ）.当 变化时，是否存在定点 ，使得直线 恒过点 ？若存在，求
的坐标；若不存在，请说明理由.
4．（2023·广东广州·一模）已知抛物线 的焦点 到准线的距离为2，圆 与 轴相切，且圆心 与抛物线 的焦点重合.
(1)求抛物线 和圆 的方程；
(2)设 为圆 外一点，过点 作圆 的两条切线，分别交抛物线 于两个不同的点
和点 .且 ，证明：点 在一条定曲线上.
x2 y2
1．（2024·陕西咸阳·模拟预测）椭圆C: + =1(a>b>0)的离心率为 ，上、下顶点与一个焦点围成的
a2 b2
三角形的面积为 ．
(1)求椭圆C的方程：
(2)过点 作椭圆 的两条切线，切点分别为 ， ，求证：直线 过定点．
2．（2023·陕西安康·模拟预测）已知椭圆 的焦点分别 分别为 的上､下
顶点，过 且垂直于 的直线与 交于 两点，
(1)求椭圆 的方程；
(2)过直线 上任一点 ，作椭圆 的两条切线，切点为 两点，证明：直线 过定点.
3．（2023·云南昆明·模拟预测）椭圆方程 ，平面上有一点 ．定义直线方程
是椭圆 在点 处的极线．已知椭圆方程 ．
(1)若 在椭圆 上，求椭圆 在点 处的极线方程；
(2)若 在椭圆 上，证明：椭圆 在点 处的极线就是过点 的切线；
(3)若过点 分别作椭圆 的两条切线和一条割线，切点为 ， ，割线交椭圆 于 ， 两点，过
点 ， 分别作椭圆 的两条切线，且相交于点 ．证明： ， ， 三点共线．
考点三、 阿基米德三角形之定值问题
1．（2024·四川成都·模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，过点 作抛物线 的两
条切线，切点分别为 .(1)求抛物线 的方程；
(2)过点 作两条倾斜角互补的直线 ，直线 交抛物线 于 两点，直线 交抛物线 于 两点，
连接 ，设 的斜率分别为 ，问： 是否为定值？若是，
求出定值；若不是，说明理由.
2．（2023高二下·海南·学业考试）已知椭圆 ： 的离心率为 ，且经过点 ．
(1)求 的方程；
(2)过椭圆 外一动点 作椭圆 的两条切线 ， ，斜率分别为 ， ，若 恒成立，证明：存
在两个定点，使得点 到这两定点的距离之和为定值．
3．（22-23高三上·湖南长沙·阶段练习）已知F是抛物线C： 的焦点，以F为圆心，2p为
半径的圆F与抛物线C交于A，B两点，且 .
(1)求抛物线C和圆F的方程；
(2)若点P为圆F优弧AB上任意一点，过点P作抛物线C的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，请问
是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
1．（2023·安徽黄山·二模）已知拋物线 ， 为焦点，若圆 与拋物线
交于 两点，且
(1)求抛物线 的方程；
(2)若点 为圆 上任意一点，且过点 可以作拋物线 的两条切线 ，切点分别为 .求证：
恒为定值.
2．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，过点 且斜率为 的直线与抛物线
交于 、 两点，分别过 、 两点作抛物线的切线，两条切线分别与 轴交于 、 两点，直线
与抛物线 交于 、 两点，直线 与抛物线 交于 、 两点， 为线段 的中点， 为线段
的中点．
(1)证明： 为定值；
(2)设直线 的斜率为 ，证明： 为定值．
3．（2023·河南·一模）已知点 在抛物线 上，且到抛物线 的焦点 的距离为2.(1)求抛物线 的标准方程；
(2)过点 向抛物线 作两条切线 ，切点分别为 ，若直线 与直线 交于点 ，且
点 到直线 ､直线 的距离分别为 .求证： 为定值.
考点 四 、 阿基米德三角形之面积问题
1．（2021高三·全国·竞赛）过椭圆 上一点M作圆 的两条切线，点A､B为切点过A､B
的直线l与x轴､y轴分别交于点P､Q两点，则 面积的最小值为 .
2．（2024·河北秦皇岛·二模）已知抛物线 ： 的焦点为 ，点 是 轴下方的一点，过点 作 的
两条切线 ，且 分别交 轴于 两点.
(1)求证： ， ， ， 四点共圆；
(2)过点 作 轴的垂线 ，两直线 分别交 于 两点，求 的面积的最小值.
3．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ， 为坐标原点，
在椭圆 上仅存在 个点 ，使得 为直角三角形，且 面积的最大值为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)已知点 是椭圆 上一动点，且点 在 轴的左侧，过点 作 的两条切线，切点分别为 、 .求
的取值范围.
1．（21-22高二上·福建龙岩·期中）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的
两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆
的蒙日圆方程为 ，椭圆 的离心率为 ， 为蒙日圆上一个动
点，过点 作椭圆 的两条切线，与蒙日圆分别交于 、 两点，则 面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·内蒙古包头·一模）已知抛物线 的焦点为F，且F与圆 上点的距离的最大值为8．
(1)求抛物线M的方程；
(2)若点Q在C上，QA，QB为M的两条切线，A，B是切点（A在B的上方），求 面积的最小值．
3．（23-24高三下·重庆·期中）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 的焦点 与椭圆
的一个焦点重合， 是抛物线 上位于 轴两侧不对称的两动点，且 ．
(1)求证：直线 恒过一定点 ，并求出该点坐标；
(2)若点 为 轴上一定点，且 ；
（ⅰ）求出 点坐标；
（ⅱ）过点 作平行于 轴的直线 ，在 上任取一点 作抛物线 的两条切线，切点为 ， ，求
面积的最小值．
考点 五 、 阿基米德三角形之切线垂直
1．（2023·全国·高三专题练习）抛物级 的焦点 到直线 的距离为2.
（1）求抛物线的方程；
（2）设直线 交抛物线于 ， 两点，分别过 ， 两点作抛物线的两条切线，
两切线的交点为 ，求证： .
1．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线 的方程为 ，过点 作抛物线 的两条切线，切点分别
为 .
（1）若点 坐标为 ，求切线 的方程；
（2）若点 是抛物线 的准线上的任意一点，求证：切线 和 互相垂直.
2．（2024·广东汕头·三模）已知双曲线 ： 的渐近线方程为 ，过点
的直线 交双曲线 于 ， 两点，且当 轴时， .
(1)求 的方程；
(2)记双曲线 的左右顶点分别为 ， ，直线 ， 的斜率分别为 ， ，求 的值.(3)探究圆 ： 上是否存在点 ，使得过 作双曲线的两条切线 ， 互相垂直.
考点 六 、 阿基米德三角形之角度问题
1．（2024·安徽·模拟预测）已知椭圆 的一条准线 的方程为 ，点 分别为椭
圆 的左、右顶点，长轴长与焦距之差为2．
(1)求 的标准方程；
(2)过 上任一点作 的两条切线，切点分别为 ，当四边形 的面积最大时，求 的正切值．
2．（2023高三·全国·专题练习）已知 ， 分别是椭圆 的上、下焦点，直线 过点 且
垂直于椭圆长轴，动直线 垂直 于点 ，线段 的垂直平分线交 于点 ，点 的轨迹为 .
(1)求轨迹 的方程；
(2)若动点 在直线 上运动，且过点 作轨迹 的两条切线 、 ，切点为A、B，试猜想
与 的大小关系，并证明你的结论的正确性.
1．（2024·全国·二模）如图，过点 的动直线 交抛物线 于 两点.
(1)若 ，求 的方程；
(2)当直线 变动时，若 不过坐标原点 ，过点 分别作（1）中 的切线，且两条切线相交于点 ，问：
是否存在唯一的直线 ，使得 ？并说明理由.
考点 七 、 阿基米德三角形之点坐标问题1．（2023·浙江金华·模拟预测）已知抛物线 ，圆 是 上异于原点的一点.
(1)设 是 上的一点，求 的最小值；
(2)过点 作 的两条切线分别交 于 两点（异于 ）.若 ，求点 的坐标.
1．（2024·云南大理·模拟预测）已知点 ，点 是圆 上一动点，动点 满足
，线段 的中垂线与直线 交于点 .
(1)求点 的轨迹 的标准方程；
(2)已知点 在直线 上，过点 作曲线 的两条切线，切点分别为 ，若四边形 的面积
，求 的最大值，并求出此时 点的坐标.
2．（23-24高三下·辽宁·阶段练习）已知双曲线 （ ， ）的离心率为 ，且经过点
.
(1)求 的方程；
(2)过原点 的直线与 交于 ， 两点（异于点 ），记直线 和直线 的斜率分别为 ， ，
证明： 的值为定值；
(3)过双曲线 上不同的两点 ， 分别作双曲线 的切线，若两条切线相交于点 ，且 ，
求 的最大值.
考点 八 、 阿基米德三角形之参数问题
1．（2024·四川内江·三模）已知抛物线E的准线方程为： ，过焦点 的直线与抛物线 交于A、B两
点，分别过A、B两点作抛物线 的切线，两条切线分别与 轴交于C、D两点，直线CF与抛物线 交于
M、N两点，直线DF与抛物线 交于P、Q两点.(1)求抛物线 的标准方程；
(2)是否存在实数 ，使得 恒成立，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理
由．
1．（2024·四川成都·模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，过点 作抛物线 的两条
切线，切点分别为 ， .
(1)求抛物线 的方程；
(2)过点 作两条倾斜角互补的直线 ， 交抛物线 于 两点， 交抛物线 于 两点，连接
，设 的斜率分别为 ，求 的值；
(3)设 ，求 的值.
1．（2023高三·全国·专题练习）从直线 上的任意一点 作圆 的两条切线，切点为
，则弦 长度的最小值为 ．
2．（2024·四川成都·模拟预测）已知抛物线 ，弦 过其焦点，分别过弦的端点 的两条切线交
于点 ，点 到直线 距离的最小值是（ ）
A． B． C．1 D．2
3．（2024·吉林白山·二模）阿基米德三角形由伟大的古希腊数学家阿基米德提出，有着很多重要的应用，
如在化学中作为一种稳定的几何构型，在平面设计中用于装饰灯等.在圆倠曲线中，称圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形.已知抛物线 的焦点为 ，顶点为 ，斜
率为 的直线 过点 且与抛物线 交于 两点，若 为阿基米德三角形，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2024·云南昆明·一模）已知抛物线C： （ ）的焦点为F，直线 与C交于A，B两
点， ．
(1)求C的方程；
(2)过A，B作C的两条切线交于点P，设D，E分别是线段PA，PB上的点，且直线DE与C相切，求证：
．
5．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知椭圆 的离心率为 ，依次连接四个顶点得到的
图形的面积为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)过直线 上一点 作椭圆 的两条切线，切点分别为 ，求证：直线 过定点.
6．（23-24高三下·浙江杭州·开学考试）已知抛物线 的焦点为 .设 （其中 ，
）为拋物线 上一点.过 作抛物线 的两条切线 ， ， ， 为切点.射线
交抛物线 于另一点 .
(1)若 ，求直线 的方程；
(2)求四边形 面积的最小值.
7．（2024·陕西·二模）在平面直角坐标系 中，椭圆 的右焦点为 ，
右准线 与 轴交于点 .点 是右准线 上的一个动点（异于点 ），过点 作椭圆 的两条
切线，切点分别为 .已知 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)设直线 的斜率分别为 ，直线 的斜率为 ，证明： .
8．（2022高三·全国·专题练习）设椭圆 的中心在原点，焦点 在 轴上，垂直 轴的直线与椭圆相交于
、 两点，当 的周长取最大值 时， ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)过圆 上任意一点 作椭圆 的两条切线 、 ，直线 、 与圆 的另一交点分别为 、,
①证明： ；
②求 面积的最大值．
9．（2022·全国·模拟预测）已知抛物线 的焦点为F，P为抛物线上一动点，点P到F的
最小距离为1．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)过点 向C作两条切线AM，AN，切点分别为M，N，直线AF与直线MN交于点Q，求证：点Q
到直线FM的距离等于到直线FN的距离．
10．（23-24高二下·上海·阶段练习）设抛物线 的焦点为F,Q为 上一点．已知点 的纵
坐标为 ，且点 到焦点 的距离是 ．点 为圆 上的点，过点 作拋物线 的两条切线
，切点分别为 ，记两切线 的斜率分别为 ．
(1)求抛物线 的方程；
(2)若点 的坐标为 ，求 值；
(3)设直线 与 轴分别交于点 ，求 的取值范围．
11．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）椭圆 的离心率为 ，短轴长为2，点
为椭圆的右顶点． ，过点 作 的两条切线分别与椭圆交于 两点（不
同于点 ）．
(1)求椭圆 的方程；
(2)当 变化时，直线 的斜率乘积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；
(3)给定一个 ，椭圆上的点到直线 的距离的最大值为 ，当 变化时，求 的最大值，并求出此时 的值．
12．（23-24高三上·河南·开学考试）已知抛物线 的焦点为 ，以 为圆心作半径为1的
圆，过 且倾斜角为 的直线与抛物线 交于 两点，且 ．
(1)求 的方程；(2)设 为坐标原点， 为 上一点，过 作圆 的两条切线，分别交 于另外两点 ，直线 分别交
轴正半轴、 轴正半轴于 两点，求 面积的最小值．
13．（23-24高三上·云南保山·期末）已知椭圆 ： （ ），且椭圆 的长轴长为4，离心
率为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 作椭圆 的两条切线，切点分别为 ， ，现过点 的直线 分别交椭圆于 ， 两点，且
直线 交线段 于点 ，试判断 与 的大小，并说明理由.
14．（2024·广东广州·二模）已知点 是抛物线 的焦点， 的两条切线交于点 是
切点．
(1)若 ，求直线 的方程；
(2)若点 在直线 上，记 的面积为 的面积为 ，求 的最小值；
(3)证明： ．
15．（2024·云南·模拟预测）已知椭圆 的离心率为 ，上､下顶点与其中一个焦点围
成的三角形面积为 ，过点 作椭圆 的两条切线，切点为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)求 所在直线的方程；
(3)过点 作直线 交椭圆 于 两点，交直线 于点 ，求 的值.
16．（2022·重庆沙坪坝·模拟预测）已知抛物线 ： 的焦点为 ，过点 引圆 ：
的一条切线，切点为 ， .
(1)求抛物线 的方程；
(2)过圆M上一点A引抛物线C的两条切线，切点分别为P，Q，是否存在点A使得 的面积为 ？
若存在，求点A的个数；否则，请说明理由.
17．（22-23高三下·山西晋城·阶段练习）已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，点 是直
线 上一动点，直线 与直线 交于点 ， .
(1)求抛物线 的方程；(2)过点 作抛物线 的两条切线 ，切点为 ，且 ，求 面积的取值范围.
18．（2023·江西南昌·三模）已知椭圆 经过点 ，且离心率为 ， 为椭圆
的左焦点，点 为直线 上的一点，过点 作椭圆 的两条切线，切点分别为 ， ，连接 ，
， ．
(1)证明：直线 经过定点 ；
(2)若记 、 的面积分别为 和 ，当 取最大值时，求直线 的方程．
参考结论： 为椭圆 上一点，则过点 的椭圆的切线方程为 ．
19．（2024·甘肃兰州·一模）已知圆 过点 ， 和 ，且圆 与 轴交于点 ，点 是
抛物线 的焦点.
(1)求圆 和抛物线 的方程；
(2)过点 作直线 与抛物线交于不同的两点 ， ，过点 ， 分别作抛物线 的切线，两条切线交于点
，试判断直线 与圆 的另一个交点 是否为定点，如果是，求出 点的坐标；如果不是，说明理由．
20．（23-24高三下·重庆大足·阶段练习）已知直线 与抛物线 ： 交于 ， 两点．
是线段 的中点，点 在直线 上，且 垂直于 轴．
(1)求证： 的中点在 上；
(2)设点 在抛物线 ： 上， ， 是 的两条切线， ， 是切点．若 ，且
位于 轴两侧，求证： ．
21．（2024高三·全国·专题练习）左、右焦点分别为 的椭圆 经过点 ，
为椭圆上一点， 的重心为 ，内心为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)若 为直线 上一点，过点 作椭圆 的两条切线 为切点，问直线 是否过定
点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
22．（2024·安徽·二模）已知点 在椭圆 ： 的外部，过点 作 的两条切线，切点分别为 ，
．
(1)①若点 坐标为 ，求证：直线 的方程为 ；②若点 的坐标为 ，求证：直
线 的方程为 ；
(2)若点 在圆 上，求 面积的最大值．23．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知动圆 与圆 ： 和圆 ： 都内切，
记动圆圆心 的轨迹为 .
(1)求 的方程；
(2)已知圆锥曲线具有如下性质：若圆锥曲线的方程为 ，则曲线上一点
处的切线方程为： .试运用该性质解决以下
问题：点 为直线 上一点（ 不在 轴上），过点 作 的两条切线 ， ，切点分别为 ， .
（ⅰ）证明： ；
（ⅱ）点 关于 轴的对称点为 ，直线 交 轴于点 ，直线 交曲线 于 ， 两点.记 ，
的面积分别为 ， ，求 的取值范围.
24．（23-24高二下·河北石家庄·阶段练习）由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆
的“特征三角形”．如果椭圆 的“特征三角形”为 ，椭圆 的“特征三角形”为 ，若 ，则
称椭圆 与 “相似”，并将 与 的相似比称为椭圆 与 的相似比．已知椭圆 ： 与椭
圆 ： 相似．
(1)求椭圆 的离心率；
(2)若椭圆 与椭圆 的相似比为 ，设 为 上异于其左、右顶点 ， 的一点．
①当 时，过 分别作椭圆 的两条切线 ， ，切点分别为 ， ，设直线 ， 的斜率
为 ， ，证明： 为定值；
②当 时，若直线 与 交于 ， 两点，直线 与 交于 ， 两点，求 的值．
25．（2024·全国·模拟预测）已知动圆 过点(0,1)，且与直线 相切于点 ，设动点 的轨迹为曲线
.
(1)求曲线 的方程；
(2)过点 作曲线的两条切线 分别与曲线 相切于点 ，与 轴分别交于 两点.记 ，
， 的面积分别为 、 、 ．
（i）证明：四边形 为平行四边形；
（ii）证明： 成等比数列.1．（全国·统考高考真题）已知曲线C：y= ，D为直线y= 上的动点，过D作C的两条切线，切点分
别为A，B.
（1）证明：直线AB过定点：
（2）若以E(0， )为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.
2．（辽宁·高考真题）如图，抛物线
（I） ；
（II）
