易错点15概率（解析版）_2.2025数学总复习_赠品通用版（老高考）复习资料_专项复习_备战2023年高考数学考试易错题（全国通用）_383

易错点 15 概率 易错点1.事件、频率和概率概念理解错误 1.事件的关系 定义 表示法 图示 一般地，如果事件A发生时，事 包含 件B一定发生，则称“A包含于 记作A B(或B A) 关系 B”(或“B包含A”) ⊆ ⊇ 给定事件A，B，若事件A与B不 互斥 若A∩B＝∅，则A与 能同时发生，则称A与B互斥， 事件 B互斥 记作AB＝∅(或A∩B＝∅) 给定样本空间Ω与事件A，则由 若A∩B＝∅，且 对立 Ω中所有 不属于 A 的样本点组成 A∪B＝Ω，则A与B 事件 的事件称为A的对立事件，记作 对立 A 2.事件的运算 定义 表示法 图示 给定事件A，B，由所有A中的 并事件 样本点与B中的样本点组成的事 记作 A ＋ B (或 A ∪ B ) 件称为A与B的和(或并) 给定事件A，B，由A与B中的 交事件 公共样本点组成的事件称为A与 记作AB(或 A ∩ B ) B的积(或交) 3.用频率估计概率 一般地，如果在 n次重复进行的试验中，事件 A发生的频率为，其中，m是n 次重复试验事件 A发生的次数，则当 n很大时，可以认为事件 A发生的概率 P(A)的估计值为. 易错点2.古典概型公式理解错误 1.古典概型 一般地，如果随机试验的样本空间所包含的样本点个数是有限的(简称为有限性)，而且可以认为每个只包含一个样本点的事件(即基本事件)发生的可能性大 小都相等(简称为等可能性)，则称这样的随机试验为古典概率模型，简称为古 典概型. 2.古典概型的概率公式 古典概型中，假设样本空间含有 n个样本点，如果事件C包含有m个样本点， 则P(C)＝. 3.概率的性质 性质1：对任意的事件A，都有0≤P(A)≤1； 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0； 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝ P ( A ) ＋ P ( B ) ； 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么 P(B)＝1－P(A)，P(A)＝ 1 － P ( B ) ； 性质5：如果A B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件 A，因为 ∅⊆A Ω，所以0≤P(A)≤1. ⊆ 性质 6：设 A，B 是一个随机试验中的两个事件，有 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－ ⊆ P(A∩B). 易错点3.条件概率和全概率公式理解错误 1.相互独立事件 一般地，当P(AB)＝ P ( A ) P ( B ) 时，就称事件A与B相互独立(简称独立).如果事件 A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也相互独立. 2.条件概率 (1)概念：一般地，当事件 B发生的概率 大于 0 ( 即 P ( B )>0 ) 时 ，已知事件B发生 的条件下事件A发生的概率，称为条件概率，记作P(A|B)，而且P(A|B)＝. (2)两个公式 ①利用古典概型，P(B|A)＝； ②概率的乘法公式：P(AB)＝ P ( A ) P ( B | A ) . 3.全概率公式 一般地，如果样本空间为Ω，A，B为事件，则BA与BA是互斥的，且B＝BΩ＝ B(A＋A)＝BA＋BA，从而 P(B)＝P(BA＋BA)＝P(BA)＋P(BA)，当 P(A)>0 且 P(A)>0时，有P(B)＝ P ( A ) P ( B | A ) ＋ P ( A )P(B| A ) . | z |. 21．甲、乙、丙、丁4名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有A，B，C三个小区可 供选择，每个志愿者只能选其中一个小区去服务．则甲不在A小区、乙不在B小区服务的 概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，4名志愿者到三个小区服务的试验的基本事件有 种，它们等可能， 甲不在A小区、乙不在B小区服务，甲、乙各有2种选法，丙、丁各有3种选法， 甲不在A小区、乙不在B小区服务的事件 含有的基本事件有 种， 所以甲不在A小区、乙不在B小区服务的概率 . 故选：B 2．我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算 经》、《孙子算经》、《缉古算经》，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的 重要文献．这5部专著中3部产生于汉、魏晋、南北朝时期．某中学拟从这5部专著中选 择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著均是汉、魏晋、南北朝时期 专著的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，基本事件总 数 ， 设A={所选2部专著均是汉、魏晋、南北朝时期专著} 则 ∴ 故选：A． 3．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙 去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有获得冠军.”对乙说：“你当然不会 是最差的.”若在此对话的基础上5人名次的情况是等可能的，则最终丙和丁获得前两名的 概率为（ ） A． B． C． D．【答案】A 【详解】解：根据题意，当甲同学为第5名时，乙同学可能是第2，3，4名，故有 种， 当甲同学不是第5名时，甲、乙同学可能是第2，3，4名，故有 种， 故满足回答者的所有情况共 种. 其中，最终丙和丁获得前两名的情况有两类， 当甲同学为第5名，丙和丁获得前两名时有 种； 当甲同学不是第5名，丙和丁获得前两名时，有 种， 所以，最终丙和丁获得前两名的情况有 种， 所以，最终丙和丁获得前两名的概率为 故选：A 4．现有甲､乙､丙､丁四个人到九嶷山､阳明山､云冰山､舜皇山4处景点旅游，每人只去一处 景点，设事件 为“4个人去的景点各不相同”，事件 为“只有甲去了九嶷山”，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，4人去4个不同的景点，总事件数为 ， 事件 的情况数为 ，则事件 发生的概率为 ， 事件 与事件 的交事件 为“甲去了九嶷山，另外三人去了另外三个不同的景点” 事件 的情况数为 ，则事件 发生的概率为 ， 即 . 故选：C. 5．从装有 个红球和 个蓝球的袋中( ， 均不小于2)，每次不放回地随机摸出一球.记 “第一次摸球时摸到红球”为 ，“第一次摸球时摸到蓝球”为 ；“第二次摸球时摸到 红球”为 ，“第二次摸球时摸到蓝球”为 ，则下列说法错误的是（ ） A． B． C． D．【答案】D 【详解】由题意可知， ， ， ， ， 从而 ，故AC正确； 又因为 ， ， 故 ，故B正确； ， 故 ，故D错误. 故选：D. 1．从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有 种不同的取法， 若两数不互质，不同的取法有： ，共7种， 故所求概率 . 故选：D.2．某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、 乙、丙比赛获胜的概率分别为 ，且 ．记该棋手连胜两盘的概率为 p，则（ ） A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大 C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大 【答案】D 【详解】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘， 记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为 ， 则此时连胜两盘的概率为 则 ； 记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为p ， 乙 则p (1 p )p p  p p (1 p ) p (p  p )2p p p 乙 1 2 3 1 2 3 2 1 3 1 2 3 记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为p 丙 则p (1 p )p p  p p (1 p ) p (p  p )2p p p 丙 1 3 2 1 3 2 3 1 2 1 2 3 则p  p  p (p  p )2p p p p (p  p )2p p p p  p p 0 甲 乙 1 2 3 1 2 3 2 1 3 1 2 3 1 2 3 p  p  p (p  p )2p p p p (p  p )2p p p p p p 0 乙 丙 2 1 3 1 2 3 3 1 2 1 2 3 2 3 1 即p  p ，p  p ， 甲 乙 乙 丙 p 则该棋手在第二盘与丙比赛， 最大.选项D判断正确；选项BC判断错误； p 与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A判断错误. 故选：D 3．现有5位老师，若每人随机进入两间教室中的任意一间听课，则恰好全都进入同一间教 室的概率是（ ） 2 1 1 1 A． B． C． D． 25 16 25 32 【答案】B 【详解】5位老师，每人随机进入两间教室中的任意一间听课，共有25 32种方法， 2 1 其中恰好全都进入同一间教室，共有2种方法，所以P  . 32 16 故选：B 4．一个口袋中有大小、形状完全相同的4个红球，3个蓝球，3个白球，现从袋中随机抽 取3个球．事件甲：3个球的颜色互不相同；事件乙：恰有2个红球；事件丙：至多有1个蓝球；事件丁：3个球颜色均相同．则下列结论正确的是（ ） A．事件甲与事件丁为对立事件 B．事件乙的概率是事件丁的6倍 C．事件丙和事件丁相互独立 D．事件甲与事件丙相互独立 【答案】B 【详解】事件甲与事件丁为互斥事件，但事件取得的3个球为2个红球，1个白球发生时， 事件甲与事件丁都不发生，所以事件甲与事件丁不对立，A项错误；事件甲的概率 C1C1C1 3 C2C1 3 C1C2C3 49 P  4 3 3  ，事件乙的概率P  4 6  ，事件丙的概率P  3 7 7  ，事件 1 C3 10 2 C3 10 3 C3 60 10 10 10 3 P 10 丁的概率 P  C 4 3C 3 3C 3 3  1 ， P 2  1 6，故B项正确；事件丙和事件丁同时发生的 4 C3 20 4 20 10 C3 C3 1 概率P  4 3  PP ，故C项错误；因为事件甲与事件丙同时发生的事件为甲事件， 5 C3 24 3 4 10 且P 1，所以事件甲与事件丙不相互独立，故D项错误． 3 故选：B． 5．在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4．连续抛掷这个 正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“两次记录 的数字之和为奇数”，事件B为“第一次记录的数字为奇数”，事件C为“第二次记录的 数字为偶数”，则下列结论正确的是（ ） A．事件B与事件C是对立事件 B．事件A与事件B不是相互独立事件 1 1 C．PAPBPC D．PABC 8 8 【答案】C 【详解】对于A，事件B与事件C是相互独立事件，但不是对立事件，故A错误； 1 1 1 对于B，对于事件 与事件 ，PA ,PB ,PAB ,事件 与事件 是相互独 A B 2 2 4 A B 立事件,故B错误； 对于C，连续抛掷这个正四面体木块两次，记录的结果一共有4416种， 其中，事件A发生，则两次朝下的点数为一奇一偶，有22228种，所以 8 1 PA  ， 16 2 2 1 因为抛掷正四面体向下的数字为奇数和偶数的方法种数相同，所以PB  ， 4 2 2 1 PC  ， 4 21 3 1 所以PAPBPC   ，故C正确； 2 8 对于D，事件ABC表示第一次记录的数字为奇数，第二次记录的数字为偶数，故 22 1 PABC  ，故D错误. 44 4 故选：C． 一、单选题 1．在中国农历中，一年有24个节气，“立春”居首.北京2022年冬奥会开幕正逢立春，开 幕式上“二十四节气”的倒计时让全世界领略了中华智慧.墩墩同学要从24个节气中随机 选取4个介绍给外国的朋友，则这4个节气中含有“立春”的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】从24个节气中选择4个节气，共有 种情况， 这四个节气中含有“立春”的情况有 种情况， 故这4个节气中含有“立春”的概率为 . 故选：B 2．从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数和次品件数，则 下列每对事件互斥但不对立的是（ ） A．“至少有1件次品”与“全是次品” B．“恰好有1件次品”与“恰好有2件次品” C．“至少有1件次品”与“全是正品” D．“至少有1件正品”与“至少有1件次品” 【答案】B 【详解】从一堆产品中任取2件，基本事件为“全是正品”，“一件正品，一件次品”， “全是次品”，共3种情况， 其中AD不互斥，C是对立事件，只有B互斥但不对立． 故选：B． 3．天河英才秋季运动会三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”，现将三张分别印 有“琮琮”“ 宸宸”“莲莲”这三个图案的卡片（卡片的形状､大小和质地完全相同）放入盒子中.若从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的 概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设三张卡片“琮琮”“ 宸宸”“莲莲”依次记为 , 若从盒子中依次有放回 地取出两张卡片，则基本事件为： 共9种， 则其中一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的基本事件为： 共2种， 所有所求概率为 故选：C. 4．在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混 入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔， 让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔.记事件 表示“第k只飞出 笼的是苍蝇”， ，则 为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题得 ， ， 则 ，故A，B，D错误. 故选：C. 5．足球运动是目前全球体育界最具影响力的项目之一，深受青少年喜爱．有甲，乙，丙， 丁四个人相互之间进行传球训练，从甲开始传球，甲等可能地把球传给乙，丙，丁中的任 何一个人，以此类推，则经过三次传球后乙只接到一次球的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，根据第一次传给乙第二次传给甲或丙或丁第三次传给丙丁或甲丁或甲丙， 第一次传给丙或丁第二次传给乙第三次传给甲或丙或丁，第一次传给丙或丁第二次传给甲 丁或甲丙第三次传给乙分别求出概率，再求和可得答案. . 故选：D 6．现将除颜色外其他完全相同的6个红球和6个白球平均放入A、B两个封闭的盒子中，甲从盒子A中，乙从盒子B中各随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，且将取出的2 个球全部放入盒子A中；若2个球异色，则乙胜，且将取出的2个球全部放入盒子B中． 按上述规则重复两次后，盒子A中恰有8个球的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若两次取球后，盒子A中恰有8个球，则两次取球均为甲胜，即两次取球均为同 色． 若第一次取球甲、乙都取到红球，概率为 ， 则第一次取球后盒子A中有4个红球和3个白球，盒子B中有2个红球和3个白球， 第二次取同色球分为取到红球或取到白球，概率为 ， 故第一次取球甲、乙都取到红球且两次取球后， 盒子A有8个球的概率为 ， 同理，第一次取球甲、乙都取到白球且两次取球后， 盒子A中有8个球的概率为 ，所以两次取球后， 盒子A中恰有8个球的概率是 ． 故选:A． 7．在二项式 的展开式，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重 新排成一列，有理项中恰有两项相邻的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】展开式通项为 ， 由题意 ． 所以当 时 为整数，相应的项为有理项， 因为二项式展开式中共有9项，其中有3项是有理项，6项是无理项， 所求恰有两项有理项相邻的概率为 ． 故选：B．8．为加快新冠病毒检测效率，检测机构采取“ 合 检测法”，即将 个人的拭子样本合 并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个 人再做检测．现对来自重点管控区的 人进行核酸检测，若有 人感染病毒，则随机将其 平均分成 组后这两名感染患者在同一组的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若有 人感染病毒，随机这 人平均分成 组， 则这两名感染患者在同一组的分组方法数为 ， 因此，所求概率为 . 故选：C. 二、多选题 9．从甲袋中摸出一个红球的概率是 ，从乙袋中摸出一个红球的概率是 ，从两袋各摸出 一个球，下列结论正确的是（ ） A．2个球都是红球的概率为 B．2个球不都是红球的概率为 C．至少有1个红球的概率为 D．2个球中恰有1个红球的概率为 【答案】ACD 【详解】设“从甲袋中摸出一个红球”为事件 ，从“乙袋中摸出一个红球”为事件 ， 则 ， ， 对于A选项，2个球都是红球为 ，其概率为 ，故A选项正确， 对于B选项，“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件，其概率为 ， 故B选项错误，对于C选项，2个球至少有一个红球的概率为 ，故C选项正确， 对于D选项，2个球中恰有1个红球的概率为 ，故D选项正确． 故选：ACD． 10．甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑 球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以 ， 和 表示由甲口袋取出的球是 红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以B表示由乙口袋取出的球是红 球的事件，则下列结论中正确的是（ ） A． ， ， 是两两互斥的事件 B．事件 与事件B相互独立 C． D． 【答案】AC 【详解】由题意得可知 ， ， 是两两互斥的事件，故A正确； ， ， ，故C正确； 由 事件 与事件B不独立，故B、D错误； 故选：AC 三、解答题 11．台湾是中国固有领土，台海局势牵动每个人的心．某次海军对抗演习中，红方飞行员 甲负责攻击蓝方舰队．假设甲距离蓝方舰队100海里，且未被发现，若此时发射导弹，命 中蓝方战舰概率是0.2，并可安全返回．若甲继续飞行进入到蓝方方圆50海里的范围内， 有0.5的概率被敌方发现，若被发现将失去攻击机会，且此时自身被击落的概率是0.6．若 没被发现，则发射导弹击中蓝方战舰概率是0.8，并可安全返回．命中战舰红方得10分， 蓝方不得分；击落战机蓝方得6分，红方不得分．(1)从期望角度分析，甲是否应继续飞行进入到蓝方方圆50海里的范围内？ (2)若甲在返回途中发现敌方两架轰炸机，此时甲弹舱中还剩6枚导弹，每枚导弹命中轰炸 机概率均为0.5． （i）若甲同时向每架轰炸机各发射三枚导弹，求恰有一架轰炸机被命中的概率； （ii）若甲随机向一架轰炸机发射一枚导弹，若命中，则向另一架轰炸机发射一枚导弹，若 不命中，则继续向该轰炸机发射一枚导弹，直到两架轰炸机均被命中或导弹用完为止，求 最终剩余导弹数量 的分布列． 【答案】（1） 由题可知，若不进入 50 海里，甲相对得分的期望为 0.2 × 10 = 2， 若进入 50 海里，甲相对得分的期望为 0.5 × 0.8 × 10 + 0.5 × 0.6 × (−6) = 2.2， 所以甲应继续飞行进入到蓝方方圆50海里的范围内； （2） （i）因为每枚导弹命中轰炸机概率均为0.5， 所以一架轰炸机被命中的概率为 ， 所以恰有一架轰炸机被命中的概率为 ； （ii）由题可知 的可能取值为 0,1,2,3,4， 因为 ， ， ， ， . 所以 的分布列为： 0 1 2 3 4 0.1875 0.125 0.1875 0.25 0.25 . 12．我国出现了新冠疫情后，医护人员一直在探索治疗新冠的有效药，并对确诊患者进行 积极救治.现有6位症状相同的确诊患者，分成 两组， 组3人，服用甲种中药， 组 3人，服用乙种中药.服药一个疗程后， 组中每人康复的概率都为 ， 组3人康复的概 率分别为 .(1)设事件 表示 组中恰好有1人康复，事件 表示 组中恰好有1人康复，求 ； (2)求 组康复人数比 组康复人数多的概率. 【答案】（1） 解：依题意有， ， ， 又事件 与 相互独立， 则 ； （2） 解：设A组中服用甲种中药康复的人数为 ，则 ， ， ， ， 设 组中服用乙种中药康复的人数为 ，则 的可能取值为 ， ， ， A组康复人数比B组康复人数多的概率