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专题 12.6 添加辅助线构造全等【七大题型】
【人教版】
【题型1 连接两点构造全等】..................................................................................................................................1
【题型2 作平行线构造全等】..................................................................................................................................2
【题型3 作垂线构造全等】......................................................................................................................................3
【题型4 倍长中线构造全等】..................................................................................................................................4
【题型5 截长补短构造全等】..................................................................................................................................5
【题型6 补全图形构造全等】..................................................................................................................................7
【题型7 旋转构造全等】..........................................................................................................................................8
【题型1 连接两点构造全等】
【例1】（23-24八年级·湖南衡阳·期末）D是等边三角形内一点，DB=DA，BP=AB，
∠DBP=∠DBC，则∠BPD的度数为______．
【变式1-1】（23-24八年级·江苏盐城·期中）如图，已知AB=CD，AC交BD于点O，且AC=BD.试用两
种方法证明∠ABO=∠DCO．【变式 1-2】（23-24八年级·广东佛山·期末）如图，AB=AE，BC=ED，AF垂直平分CD，求证：
∠B=∠E．
【变式1-3】（23-24八年级·辽宁辽阳·期中） 如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG垂直平分BC，
DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
证明(1)BE=CF； (2)若AB=5，AC=3，求AE、BE的长．
【题型2 作平行线构造全等】
【例2】（23-24八年级·安徽合肥·期末） P为等边 ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA
＝CQ，连PQ交AC边于D． △
（1）证明：PD＝DQ．
（2）如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB＝6，求DE的长．【变式2-1】（23-24八年级·福建龙岩·阶段练习）如图所示：△ABC是等边三角形，D、E分别是AB及
AC延长线上的一点，且BD=CE，连接DE交BC于点M．
求让：MD=ME
【变式2-2】（23-24八年级·贵州黔西·期末）如图， ABC是边长为4的等边三角形，点P在AB上，过点
P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC至点Q，使CQ＝PA△，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（ ）
A．1 B．1.8 C．2 D．2.5
【变式2-3】（23-24八年级·江苏盐城·阶段练习）已知在等腰 ABC中，AB=AC，在射线CA上截取线段
CE，在射线AB上截取线段BD，连接DE，DE所在直线交直线△BC与点M．请探究：
(1)如图（1），当点E在线段AC上，点D在AB延长线上时，若BD=CE，请判断线段MD和线段ME的数
量关系，并证明你的结论．
(2)如图（2），当点E在CA的延长线上，点D在AB的延长线上时，若BD=CE，则（1）中的结论还成立
吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由；
(3)如图（3），当点E在CA的延长线上，点D在线段AB上（点D不与A，B重合），DE所在直线与直线
BC交于点M，若CE＝2BD，请直接写出线段MD与线段ME的数量关系．【题型3 作垂线构造全等】
【例3】（23-24八年级·湖北武汉·期末）如图，OC平分∠MON，A、B分别为OM、ON上的点，且BO＞
AO，AC＝BC，求证：∠OAC+∠OBC＝180°．
【变式3-1】（23-24八年级·全国·专题练习）如图，D是CB延长线上一点，且BD=BC，E是AB上一点，
DE=AC，求证：∠BAC=∠BED.
【变式3-2】（23-24八年级·全国·专题练习）如图，在ΔABC中，∠ACB=90°，∠ABD=∠CBE=90°，
BA=BD，BC=BE，延长CB交DE于F.求证：EF=DF.
【变式3-3】（23-24八年级·江西抚州·期中）如图，阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．
已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE． 求证：AB=CD．
分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形请用二种不同的方法证明．
【题型4 倍长中线构造全等】
【例4】（23-24八年级·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，已知AP//BC，点E是DC的中点，且
AD+BC=AB，求证：AE⊥BE．
【变式4-1】（23-24八年级·甘肃张掖·阶段练习）已知三角形的两边长分别是2和4，设第三边上的中线长
为x，则x的取值范围是 ．
【变式4-2】（23-24八年级·北京房山·期末）如图，在△ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC，延长CB到
点E，使BE=BD，连接AE．
（1）依题意补全图形；
（2）试判断AE与CD的数量关系，并进行证明．
【变式4-3】（23-24八年级·江西宜春·阶段练习）阅读理解：（1）如图1，在△ABC中，若AB=10，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如
下方法：延长AD到点E，使得AD=DE，再连接BE，把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形
三边关系即可判断中线AD的取值范围是______．
（2）解决问题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于
点F，连接EF，求证：BE+CF>EF．
（3）问题拓展：如图3，在△ABC中，D是BC边上的中点，延长DA至E，使得AC=BE，求证：
∠CAD=∠BED．
【题型5 截长补短构造全等】
【例5】（23-24八年级·湖北咸宁·期中）如图，四边形ABCD是正方形，E是边BC的中点，
∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．
(1)求证：AE=EF；
CF
(2)连接AC，则 的值为__________；
AC
(3)连接AF，设AF与CD交于点H，连接EH，探究BE，EH，DH之间的关系．
【变式5-1】（23-24八年级·湖北十堰·期末）如图，△ABC中，∠B=2∠A，∠ACB的平分线CD交AB于点
D，已知AC=16，BC=9，则BD的长为（ ）A．6 B．7 C．8 D．9
【变式5-2】（23-24八年级·江西景德镇·期末）如图，在 ABC中，∠A=100°，AB=AC，BE是∠ABC的平
分线，求证：AE+BE=BC． △
【变式5-3】（23-24八年级·四川南充·期末）(1)阅读理解：
问题：如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠A+∠C=180°．求证：DA=DC．
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．
方法1：在BC上截取BM=BA，连接DM，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长BA到点N，使得BN=BC，连接DN，得到全等三角形，进而解决问题．
结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．
(2)问题解决：如图2，在(1)的条件下，连接AC，当∠DAC=60°时，探究线段AB，BC，BD之间的数
量关系，并说明理由；
(3)问题拓展：如图3，在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，DA=DC，过点D作DE⊥BC，垂足为
点E，请写出线段AB、CE、BC之间的数量关系并说明理由．
【题型6 补全图形构造全等】
【例6】（23-24八年级·山东泰安·期末）已知，如图ΔABC中，AB=AC，∠A=90°，∠ACB的平分线
CD交AB于点E，∠BDC=90°，
求证：CE=2BD.【变式6-1】（23-24八年级·福建漳州·期末）求证：在直角三角形中，若一个锐角等于30°，则它所对的直
角边等于斜边的一半．要求：
(1)根据给出的线段AB及∠B，以线段AB为直角边，在给出的图形上用尺规作出Rt△ABC的斜边AC，使
得∠A=30°，保留作图痕迹，不写作法；
(2)根据（1）中所作的图形，写出已知、求证和证明过程．
【变式6-2】（23-24八年级·江苏苏州·期中）如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交
BC于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接
BG．
（1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由；
（2）判断△BEG的形状，并说明理由．
【变式6-3】（23-24·北京海淀·八年级期末）在△ABC中，AB=AC，将线段AC绕着点C逆时针旋转得到
线段CD，旋转角为α，且0∘<α<180∘，连接AD、BD．
（1）如图1，当∠BAC=100°，α=60∘时，∠CBD 的大小为_________；
（2）如图2，当∠BAC=100°，α=20∘时，求∠CBD的大小；
（3）已知∠BAC的大小为m（60∘
