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易错点 12 复数
易错点1.复数的有关概念
(1)定义：一般地，当a与b都是实数时，称a＋bi为复数.复数一般用小写字母z
表示，即 z ＝ a ＋ b i (a，b∈R)，其中a称为z的实部，b 称为z的虚部.
(2)分类：
满足条件(a，b为实数)
a＋bi为实数⇔ b ＝ 0
复数的
a＋bi为虚数⇔ b ≠ 0
分类
a＋bi为纯虚数⇔ a ＝ 0 且 b ≠ 0
(3)复数相等：a＋bi＝c＋di a ＝ c 且 b ＝ d (a，b，c，d∈R).
(4)共轭复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数
⇔
互为共轭复数，复数z的共轭复数用z 表示.
(5)复数的模：向量OZ＝(a，b)的长度称为复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模(或绝对
值)，复数z的模用|z|表示，因此|z|＝ .当 b＝0时，|z|＝＝ | a |.
易错点2.复数的几何意义
复数z＝a＋bi与复平面内的点 Z ( a ， b ) 及平面向量OZ＝(a，b)(a，b∈R)是一一
对应关系.
易错点3.复数的运算
(1)运算法则：设z ＝a＋bi，z ＝c＋di，a，b，c，d∈R.
1 2
(2)几何意义：
复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.
如图给出的平行四边形OZ ZZ 可以直观地反映出复数加、
1 2
减法的几何意义，即OZ＝OZ1＋OZ2，Z1Z2＝OZ2－OZ1.
(3)由复数加、减法的几何意义可得 | | z | － | z ||≤|z ±z |≤ | z | ＋ |
1 2 1 2 1z |.
2
1．已知复数z的共轭复数 满足关系式 ，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．复数 的共轭复数 为（ ）
A． B． C． D．
3．设复数 (其中 为虚数单位)，则 =（ ）
A． B．3 C．5 D．
4．已知 ，若 是纯虚数（ 是虚数单位），则 （ ）
A．－1或1 B．0 C．－1 D．0或1
5．已知复数z的共轭复数为 ，若 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
1．已知 ，且 ，其中a，b为实数，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知 （ 为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
3．若复数z满足 ，则 （ ）
A．1 B．5 C．7 D．25
4．设 ，其中 为实数，则（ ）
A． B． C． D．
5．若 ，则 （ ）A． B． C． D．
一、单选题
1．已知 为复数 的共轭复数，则 （ ）
A． B． C． D．2
2．复数 的虚部是（ ）
A． B． C． D．
3．已知 为虚数单位，则复数 （ ）
A． B．
C． D．
4．已知 （其中 为虚数单位），则复数 （ ）
A． B． C． D．
5．复数 （i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．已知复数z在复平面内对应的点为 ， 是z的共轭复数，则 （ ）
A． B． C． D．
7．已知 （ 为虚数单位），则复数 在复平面上对应的点一定在（ ）
A．实轴上 B．虚轴上
C．第一、三象限的角平分线上 D．第二、四象限的角平分线上
8．在复平面内，复数 对应的点为M，复数 对应的点为N，则向量 的模为
（ ）A． B． C． D．
二、多选题
9．若复数z满足： ，则（ ）
A．z的实部为3 B．z的虚部为1
C． D．z在复平面上对应的点位于第一象限
10．已知复数 满足方程 ，则（ ）
A． 可能为纯虚数 B．该方程共有两个虚根
C． 可能为 D．该方程的各根之和为2
三、解答题
11．已知 ， ， ，求 .
12．设复数 、 满足 .
(1)若 、 满足 ，求 、 ；
(2)若 ，则是否存在常数 ，使得等式 恒成立？若存在，试求出 的值；
若不存在，请说明理由.
