3.1.1 椭圆的标准方程 -B提高练
一、选择题
1．（2020四川阆中中学）曲线方程 的化简结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】曲线方程 ，所以其几何意义是动点 到点
和点 的距离之和等于 ，符合椭圆的定义. 点 和点 是椭圆的两个焦点.
因此可得椭圆标准方程 ，其中 ，所以 ， ，所以
，所以曲线方程的化简结果为 .故选D项.
x2 y2
2.如果方程 + =1表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是( )
4-m m-3
A.(3,4) B.(7 ) C.( 7) D.(7 )
,+∞ 3, ,4
2 2 2
【答案】D
x2 y2
【解析】因为方程 + =1表示焦点在y轴上的椭圆,所以4-m>0,m-3>0且m-3>4-m,
4-m m-3
7
解得 <m<4.
2
3．（2020全国高二课时练习）“ ”是“方程 表示椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B【解析】若方程表示椭圆，则有 因此 且 ，故“ ”是“方
程 表示椭圆”的必要不充分条件．故选：B
4.（2020·东辽县第一高级中学校高二期中）已知在 中，点 ，点 ，若
，则点C的轨迹方程为（ ）
A． B． （ ）
C． D． （ ）
【答案】B
【解析】设 由两点间斜率公式可得 由斜率与倾斜角关系,结合
可得 ，变形可得 ，当 时,C与A
或B重合,不合题意所以点C的轨迹方程为 （ ）故选:B
5．（多选题）已知P是椭圆 上一点，椭圆的左、右焦点分别为 ，且
，则（ ）
A． 的周长为12 B．C．点P到x轴的距离为 D．
【答案】BCD
【解析】由椭圆方程知 ，所以 ，所以 ，于是 的周长为
，故A选项错误；在 中，由余弦定理可得
，
所以 ，解得 ，故
，故B选项正确；设点 到 轴的距离为 ，
则 ，所以 ，故C选项正确；
，故D选项正确．故选：BCD.
x2
6．（多选题）设P是椭圆C: +y2=1上任意一点,F,F 是椭圆C的左、右焦点,则( )
1 2
2
A.|PF |+|PF |=2 B.-2<|PF |-|PF |<2 C.1≤|PF |·|PF |≤2 D.0≤ ≤1
1 2 ❑√2 1 2 1 2 ⃗PF ·⃗PF
1 2
【答案】ACD
x2 x2
【解析】椭圆C: +y2=1,可得a=❑√2,b=c=1,P是椭圆C: +y2=1上任意一点,F,F 是椭圆C的左、
1 2
2 2
右焦点,所以|PF |+|PF |=2❑√2,A正确;-2≤|PF |-|PF |≤2,所以B错误;
1 2 1 2
设P点坐标为(❑√2cos θ,sin θ),
则|PF |·|PF |=
1 2 ❑√(❑√2cosθ-1)2+sin2θ·❑√(❑√2cosθ+1)2+sin2θ=
=2-cos2θ∈[1,2],所以C
❑√2+cos2θ-2❑√2cosθ·❑√2+cos2θ+2❑√2cosθ=❑√(2+cos2θ)2-8cos2θ
正确;因为 =( cos θ+1,sin θ)·( cos θ-1,sin θ)=2cos2θ-1+sin2θ=cos2θ∈[0,1],所以D正确.
⃗PF ·⃗PF ❑√2 ❑√2
1 2
二、填空题
7．（2020怀仁市高二月考）在平面直角坐标系 中，已知 顶点 和 ，顶
点 在椭圆 上，则 _ _．
【答案】
【解析】由椭圆方程得： ， ， ． 三角形 顶点 和 ，顶点
在椭圆 上， ， 由正弦定理可知
8. （2020·九江市第三中学期中）已知圆 ，定点 ， 是圆 上的一
动点，线段 的垂直平分线交半径 于 点，则 点的轨迹 的方程是_ _．
【答案】
【解析】由已知，得 ，所以 又 ,根
据椭圆的定义，点P的轨迹是 为焦点，以6为实轴长的椭圆，所以 ， ，所以
，所以点P的轨迹方程为： .9.（2020全国高二课时练）如图把椭圆 的长轴AB分成8等分,过每个分点作x轴的垂
线交椭圆的上半部分于P，P，…，P 七个点，F是椭圆的焦点,则|PF|+|P F|+…+|P F|= .
1 2 7 1 2 7
【答案】35
【解析】由已知得 ，如图， 是椭圆的右焦点，由椭圆的对称性知 ，
， ，又 ，∴
．故答案为35．
10．（2020·宁夏银川一中期中）已知椭圆C的焦点为 ， ，过 的直线与C交于
A，B两点.若 ， ，则椭圆C的方程为 .
【答案】
【解析】设 ，则 ， ，由椭圆定义知
，所以 ，所以 ，故点为椭圆的上（下）顶点，设 ，由 ，得 ，点 在椭圆上，故
，解得 ，又由 ，可得 ，故椭圆方程为 .
三、解答题
x2 y2
11.（2020全国高二课时练）（2020全国高二课时练）已知椭圆M与椭圆N: + =1有相同的焦
16 12
点,且椭圆M过点( 2❑√5).
-1,
5
(1)求椭圆M的标准方程;
(2)设椭圆M的左、右焦点分别为F,F,点P在椭圆M上,且△PFF 的面积为1,求点P的坐标.
1 2 1 2
【解析】 (1)由题意,知椭圆N的焦点为(-2,0),(2,0),设椭圆M的方程为x2 y2 =1(a>b>0),
+
a2 b2
{
a2-b2=4,
则 化简并整理得5b4+11b2-16=0,
1 4
+ =1,
a2 5b2
16
故b2=1或b2=- (舍),a2=5,
5
x2
故椭圆M的标准方程为 +y2=1.
5
1 1
(2)由(1)知F(-2,0),F(2,0),设P(x,y),则△PFF 的面积为 ×4×|y |=1,得y=± .
1 2 0 0 1 2 0 0
2 2
又x2
0+ y2
=1,所以
x2=
15,x
0
=±❑√15,
5 0 0 4 2
所以点P有4个,它们的坐标分别为(❑√15 1) ( ❑√15 1) (❑√15 1) ( ❑√15 1).
, , - , , ,- , - ,-
2 2 2 2 2 2 2 2x2 y2 (4 1)
12．如图,椭圆C: + =1(a>b>0)经过点M , ,且点M到椭圆的两焦点的距离之和为2❑√2.
a2 b2 3 3
(1)求椭圆C的标准方程;
1
(2)若R,S是椭圆C上的两个点,线段RS的中垂线l的斜率为 且直线l与RS交于点P,O为坐标原点,
2
求证:P,O,M三点共线.
【解析】(1)∵点M到椭圆的两焦点的距离之和为2❑√2,
∴2a=2 ,解得a= .又椭圆C经过点M(4 1),
❑√2 ❑√2 ,
3 3
(4) 2 (1) 2
∴ =1,解得b2=1.
3 3
+
a2 b2
x2
∴椭圆C的标准方程为 +y2=1.
2
1
(2)∵线段RS的中垂线l的斜率为 ,
2
∴直线RS的斜率为-2,
∴可设直线RS的方程为y=-2x+m.
{y=-2x+m,
联立 得9x2-8mx+2m2-2=0.
x2
+ y2=1,
2
设点R(x,y),S(x,y),P(x,y),
1 1 2 2 0 0
8m 8m 2m
∴x+x = ,y+y =-2x+m-2x+m=-2(x+x )+2m=-2· +2m= ,
1 2 1 2 1 2 1 2
9 9 9
x +x 4m y + y m
则x= 1 2= ,y= 1 2= .
0 0
2 9 2 9
∵y 1,∴y=1x,
0= 0 0
x 4 4
01
∴点P在直线y= x上,
4
又点O(0,0),M(4 1)也在直线y=1x上,
,
3 3 4
∴P,O,M三点共线.
