文档内容
3.1.1椭圆及其标准方程 导学案
1.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程．
2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．
3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．
重点：椭圆的定义及椭圆的标准方程
难点：运用标准方程解决相关问题
1．椭圆的定义
把平面内与两个定点F ，F 的距离的和等于______________的点的轨迹叫做椭圆，这_______
1 2
叫做椭圆的焦点，______________叫做椭圆的焦距，焦距的____称为半焦距．
思考：(1)椭圆定义中将“大于|FF|”改为“等于|FF|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？
1 2 1 2
(2)椭圆定义中将“大于|FF|”改为“小于|FF|”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？
1 2 1 2
2.椭圆的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准
方程
图形
焦点
F (-c,0),F (c,0) F (0,-c),F (0,c)
1 2 1 2
坐标
a,b,c的 2 2 2
关系 b =a -c
1. a=6,c=1的椭圆的标准方程是( )
x2 y2 y2 x2 x2 y2 x2 y2 y2 x2
A. + =1 B. + =1 C. + =1 D. + =1或 + =1
36 35 36 35 36 1 36 35 36 35
x2
2. 椭圆 +y2=1上一点P到一个焦点的距离为2,则点P到另一个焦点的距离为( )
25
A.5 B.6 C.7 D.8
3. 椭圆4x2+9y2=1的焦点坐标是( )A.(± ,0) B.(0,± ) C.( √5 ) D.( 5 )
√5 √5 ± ,0 ± ,0
6 36
一、 情境导学
椭圆是圆锥曲线的一种具有丰富的几何性质，在科研生产和人类生活中具有广泛的应用，
那么椭圆到底有怎样的几何性质，我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的几
何性质奠定基础。
探究
取一条定长的细线，把它的两端都固定在图板的同一点套上铅笔拉紧绳子，移动笔尖，这时笔
尖（动点）画出的轨迹是一个圆。如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点
F ,F ，
1 2
套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？
在这一过程中，移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？
观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？
一般地，如果椭圆的焦点为F 和F ，焦距为2c，而且椭圆上的动点P满足，
1 2
=2 其中 > >0. 以 所在直线为 轴，线段的垂直平分线为 轴，
|PF |+|PF | a a c F F x y
1 2 1 2
建立平面直角坐标系，如图所示，此时,椭圆的焦点分别为F （-c,0）和F （ c,0）
1 2椭圆的标准方程
=2 . ①
√(x+c) 2+ y2+√(x-c) 2+ y2 a
为了化简方程①，我们将其左边一个根式移到右边，得得
√(x+c) 2+ y2=2a-√(x-c) 2+ y2.②
对方程②两边平方，得
=
(x+c) 2+ y2 4a2 -4a√(x-c) 2+ y2+(x-c) 2+ y2
整理，得 = ③
a2-cx a√(x-c) 2+ y2
对方程③两边平方，得
a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2
整理得 ④
(a2-c2)x2+a2y2= a2(a2-c2)
将方程④两边同除以 ，得
a2(a2-c2)
x2 y2 ⑤
+ =1
a2 a2-c2
由椭圆的定义可知2a>2c>0 ，即a>c>0，所以a2-c2>0.
观察图，你能从中找出表示 ， 的线段吗？
a，c √a2-c2
由图可知， = ， =c
|PF |=|PF | a |OF |=|OF | , |PO|=√a2-c2
1 2 1 2
令 ,那么方程⑤就是
b=|PO|=√a2-c2；x2 y2
( > >0) ⑥
+ =1 a b
a2 b2
称焦点在x轴上的椭圆方程.
设椭圆 ，焦距为2 ，而且椭圆上的动点P满足 =2
的焦点为F 和F c |PF |+|PF | a,
1 2 1 2
其中a>c>0. 以F F 所在直线为y轴，线段的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
1 2
此时：
（1）椭圆焦点的坐标分别是什么？
（2）能否通过x2 y2 ( > >0) 来得到此时椭圆方程的形式？
+ =1 a b
a2 b2
y2 x2 ( > >0),称焦点在 轴上的椭圆方程.
+ =1 a b y
a2 b2
二、 典例解析
例1求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别为F(－4,0)，F(4,0)，并且椭圆上一点P与两焦点的距离的和等于10；
1 2
(2)焦点坐标分别为(0，－2)，(0,2)，经过点(4,3)；
(3)经过两点(2，－)，.
用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤
(1)定位置：根据条件判断椭圆的焦点是在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能．
(2)设方程：根据上述判断设方程＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0)或整式形式mx2＋ny2＝1(m＞0，n
＞0，m≠n)．
(3)找关系：根据已知条件建立关于a，b，c(或m，n)的方程组．
(4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，写出标准形式即为所求．跟踪训练1．求与椭圆＋＝1有相同焦点，且过点(3，)的
椭圆的标准方程．
例 2 (1)已知 P 是椭圆＋＝1 上一动点，O 为坐标原点，则线段 OP 中点 Q 的轨迹方程为
______________．
(2)如图所示，圆C：(x＋1)2＋y2＝25及点A(1,0)，Q为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于点M，
求点M的轨迹方程．
典例解析
1．与椭圆有关的轨迹方程的求法常用方法有：直接法、定义法和代入法，本例(1)所用方法为代入
法，例(2)所用方法为定义法．
2．对定义法求轨迹方程的认识
如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写
出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法．定义法在我们后续要学习的圆锥曲线的问题中被广
泛使用，是一种重要的解题方法．
3．代入法(相关点法)
若所求轨迹上的动点P(x，y)与另一个已知曲线C：F(x，y)＝0上的动点Q(x，y)存在着某种联
1 1
系，可以把点Q的坐标用点P的坐标表示出来，然后代入已知曲线C的方程 F(x，y)＝0，化简即
得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做代入法(又称相关点法)．
跟踪训练2．已知x轴上一定点A(1,0)，Q为椭圆＋y2＝1上任一点，求线段AQ中点M的轨迹方程．
1．椭圆＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
2．已知椭圆4x2＋ky2＝4的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k的值
是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
3．若方程＋＝1表示椭圆，则实数m满足的条件是________．
4．设F ，F 分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，设椭圆C上一点到两焦点F ，F 的距
1 2 1 2
离和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标．
2 2
5.如图所示,在圆C:(x+1) +y =25内有一点A(1,0).Q为圆C上任意一点,线段AQ的垂直平分线与C,Q
的连线交于点M,当点Q在圆C上运动时,求点M的轨迹方程.参考答案：
知识梳理
1. 常数(大于|F F |) ;两个定点 ;两焦点间的距离 ;一半
1 2
思考： [提示] (1)点的轨迹是线段FF. (2)当距离之和小于|FF|时，动点的轨迹不存在．
1 2 1 2
小试牛刀： 解析: (1) 易得为D选项.
(2)设椭圆的左、右焦点分别为F ,F ,若|PF |=2,结合椭圆定义|PF |+|PF |=10,可得|PF |=8.
1 2 1 2 1 2
x2 y2
+ 1 1 1 1 5
(3)∵椭圆的标准方程为 1 1 =1,∴a2= ,b2= ,∴c2=a2-b2= - = ,且焦点在x轴上,
4 9 4 9 36
4 9
∴焦点坐标为( √5 ).
± ,0
6
x2 y2
+ 1 1
(3)∵椭圆的标准方程为 1 1 =1,∴a2= ,b2= ,
4 9
4 9
∴c2=a2-b2=1 1 5 ,且焦点在x轴上,∴焦点坐标为( √5 ).
- = ± ,0
4 9 36 6
学习过程
例1[解] (1)因为椭圆的焦点在x轴上，且c＝4,2a＝10，所以a＝5，
b＝＝＝3，所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
法一：由椭圆的定义知2a＝＋＝12，解得a＝6.又c＝2，所以b＝＝4.
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
法二：因为所求椭圆过点(4,3)，所以＋＝1.
又c2＝a2－b2＝4，可解得a2＝36，b2＝32.
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(3)法一：若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
由已知条件得解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
由已知条件得解得
则a2＜b2，与a＞b＞0矛盾，舍去．
综上可知，所求椭圆的标准方程为＋＝1.
法二：设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)．分别将两点的坐标(2，－)，代入椭圆
的一般方程，得
解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
跟踪训练1． [解] 法一：因为所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，所以其焦点在x轴上，
且c2＝25－9＝16.
设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
因为c2＝16，且c2＝a2－b2，
故a2－b2＝16 ①.
又点(3，)在所求椭圆上，所以＋＝1，
即＋＝1 ②.
由①②得a2＝36，b2＝20，
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
法二：由题意可设所求椭圆的标准方程为＋＝1.
又椭圆过点(3，)，将x＝3，y＝代入方程得＋＝1，解得λ＝11或λ＝－21(舍去)．故所求椭圆的标
准方程为＋＝1.
例2 [思路探究] (1)点Q为OP的中点⇒点Q与点P的坐标关系⇒代入法求解．
(2)由垂直平分线的性质和椭圆的定义进行求解．
(1)x2＋＝1
[设Q(x，y)，P(x，y)，由点Q是线段OP的中点知x＝2x，y＝2y，
0 0 0 0
又＋＝1，所以＋＝1，即x2＋＝1.]
(2)[解] 由垂直平分线的性质可知|MQ|＝|MA|，
∴|CM|＋|MA|＝|CM|＋|MQ|＝|CQ|，
∴|CM|＋|MA|＝5.
∴点M的轨迹为椭圆，其中2a＝5，焦点为C(－1,0)，A(1,0)，∴a＝，c＝1 ，
∴b2＝a2－c2＝－1＝.∴所求点M的轨迹方程为＋＝1，即＋＝1.
跟踪训练2． [解] 设中点M的坐标为(x，y)，点Q的坐标为(x，y)．
0 0
利用中点坐标公式，得∴
∵Q(x，y)在椭圆＋y2＝1上，∴＋y＝1.
0 0
将x＝2x－1，y＝2y代入上式，得＋(2y)2＝1.
0 0
故所求AQ的中点M的轨迹方程是＋4y2＝1.
达标检测
1．D [根据椭圆的定义知，P到另一个焦点的距离为
2a－2＝2×5－2＝8.]
2．B [椭圆方程可化为x2＋＝1，由题意知
解得k＝2.]
3．[由方程＋＝1表示椭圆，得解得m＞且m≠1.]
4． [解] ∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为4，
∴2a＝4，a2＝4，∵点是椭圆上的一点，
∴＋＝1，∴b2＝3，∴c2＝1，
∴椭圆C的方程为＋＝1.
焦点坐标分别为(－1,0)，(1,0)．
5.
解:如图所示,连接MA.由题意知点M在线段CQ上,
从而有|CQ|=|MQ|+|CM|.
又点M在AQ的垂直平分线上,
则|MA|=|MQ|,
故|MA|+|MC|=|CQ|=5>|AC|=2.
又A(1,0),C(-1,0),
故点M的轨迹是以(1,0),(-1,0)为焦点的椭圆,
且2a=5,c=1,
5 25 21
故a= ,b2=a2-c2= -1= .
2 4 4x2 y2
+
故点M的轨迹方程为25 21=1.
4 4
