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宣城市 ２０２３—２０２４学年度第二学期期末调研测试
高一数学参考答案
一、选择题：
题 号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８
答 案 Ｃ Ｄ Ｂ Ａ Ａ Ｃ Ｂ Ｄ
二、多选题：
题 号 ９ １０ １１
答 案 ＡＣ ＢＣ ＡＣＤ
三、填空题：
２槡２１ ４槡３
１２６０ １３ １４
７ ３
四、解答题：
２π 槡３
１５（１）因为ｃ＝２ｂｃｏｓＢ，则由正弦定理可得ｓｉｎＣ＝２ｓｉｎＢｃｏｓＢ，所以ｓｉｎ２Ｂ＝ｓｉｎ ＝ ，
３ ２
２π ( π) ( ２π)
又Ｃ＝ ，所以Ｂ∈ ０， ，２Ｂ∈ ０， ，
３ ３ ３
π π
故２Ｂ＝ ，解得Ｂ＝ ；……………………………………………………………… ５分
３ ６
π
（２）由（１）可得Ａ＝ ，即ａ＝ｂ，
６
则Ｓ ＝
１
ａｂｓｉｎＣ＝
１
ａ２×
槡３
＝
３槡３
，解得ａ＝槡３，……………………………… ８分
△ＡＢＣ ２ ２ ２ ４
则由余弦定理可得ＢＣ边上的中线ＡＤ长度为：
ＡＤ＝槡ｂ２＋
(ａ)２
－２×ｂ×
ａ
×ｃｏｓ
２π
＝槡３＋
３
＋槡３×
槡３
＝
槡２１
…………… １３分
２ ２ ３ ４ ２ ２
（其它解法可根据情况适当给分）
１６（１）因为｜ａ→｜＝２，｜ｂ→｜＝３，（ａ→ ＋ｂ→）·ｂ→ ＝８，
所以（ａ→ ＋ｂ→）·ｂ→ ＝ａ→·ｂ→ ＋ｂ→２＝ａ→·ｂ→ ＋９＝８，ａ→·ｂ→ ＝－１，
则 ａ→ ＋ｂ→ ＝槡（ａ→ ＋ｂ→）２＝槡ａ→２＋２ａ→·ｂ→ ＋ｂ→２＝槡４－２＋９＝槡１１…………… ５分
（２）因为ｋａ→ －２ｂ→与ａ→ ＋２ｂ→垂直，
所以（ｋａ→ －２ｂ→）·（ａ→ ＋２ｂ→）＝ｋａ→２＋（２ｋ－２）·ａ→·ｂ→ －４ｂ→２＝４ｋ－（２ｋ－２）－３６＝
２ｋ－３４＝０，解得ｋ＝１７ …………………………………………………………… １０分
（３）因为ｋａ→ －ｂ→与４ａ→ －ｋｂ→反向，
所以存在λ＜０，使得ｋａ→ －ｂ→ ＝λ（４ａ→ －ｋｂ→）＝４λａ→ －λｋｂ→，
宣城市高一数学参考答案第１页（共３页）
{#{QQABSYCEggggAIJAAQgCUQFYCgOQkBEACQgOhFAMoAAAAAFABAA=}#}{ｋ＝－２ {ｋ＝２
{ｋ＝４λ
因为ａ→，ｂ→不共线，所以 ，解得 １或 １（舍去），
－１＝－λｋ λ＝－ λ＝
２ ２
所以ｋ＝－２ ……………………………………………………………………… １５分
１７（１）由题可知ＰＡ⊥ＰＥ，ＰＥ＝ＤＥ＝１，ＢＥ＝槡ＥＣ２＋ＢＣ２＝槡５，
π
因为ＡＰ＝ＡＢ，∠ＰＡＢ＝ ，所以△ＰＡＢ为等边三角形，所以ＰＢ＝２，
３
所以ＰＢ２＋ＰＥ２＝５＝ＢＥ２，所以ＰＢ⊥ＰＥ
因为ＰＢ∩ＰＡ＝Ｐ，ＰＢ，ＰＡ平面ＰＡＢ，所以ＰＥ⊥平面ＰＡＢ
又ＰＥ平面ＰＢＥ，所以平面ＰＢＥ⊥平面ＰＡＢ…………………………………… ５分
（２）由（１）得ＰＥ⊥平面ＰＡＢ，所以Ｖ ＝Ｖ ，
Ｐ－ＡＢＥ Ｅ－ＰＡＢ
１ π
由三角形面积公式得Ｓ ＝ ＰＡ×ＰＢ×ｓｉｎ ＝槡３，
△ＰＡＢ ２ ３
１ １ 槡３
故Ｖ ＝Ｖ ＝ ×Ｓ ×ＰＥ＝ ×槡３×１＝ ………………………… １０分
Ｐ－ＡＢＥ Ｅ－ＰＡＢ ３ △ＰＡＢ ３ ３
１ １
由（１）得ＰＥ⊥ＰＢ，ＰＥ⊥ＰＡ，ＰＡ＝ＰＢ＝２，所以Ｓ ＝Ｓ ＝ ＰＢ×ＰＥ＝ ×２×１＝１，
△ＰＡＥ △ＰＢＥ ２ ２
１ π
由三角形面积公式得Ｓ ＝ ＰＡ×ＰＢ×ｓｉｎ ＝槡３，Ｓ ＝２，
△ＰＡＢ ２ ３ △ＥＡＢ
故三棱锥Ｅ－ＰＡＢ的表面积为Ｓ＝Ｓ ＋Ｓ ＋Ｓ ＋Ｓ ＝１＋１＋２＋槡３＝４＋槡３
△ＰＡＥ △ＰＥＢ △ＥＡＢ △ＰＡＢ
…………………………………………………………………………………… １５分
１８（１）由０００５×２０×２＋０００７５×２０＋００２×２０＋ａ×２０＋０００２５×２０＝１，
可得ａ＝００１ ……………………………………………………………………… ５分
（２）由（１）知样本数据中数学考试成绩９０分以下学生所占比例为０１＋０１＋０１５＝０３５，
１１０分以下学生所占比例为０３５＋０４＝０７５，
０５－０３５
因此，中位数一定位于［９０，１１０）内，所以中位数＝９０＋ ＝９７５，
００２
根据率分布直方图，设平均数为 —ｘ，
则
—ｘ＝４０×０１＋６０×０１＋８０×０１５＋１００×０４＋１２０×０２＋１４０×００５＝９３（分）；
据此可以估计该校高一上学期期末数学考试成绩的中位数约为９７５分，平均数约为
９３分 ……………………………………………………………………………… １０分
（３）由题意［５０，７０）分数段的人数为１００×０１＝１０，［７０，９０）分数段的人数为１００×０１５＝
１５，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取５名学生，则需在［５０，７０）分数段内抽取
２人，分别记为Ａ，Ａ，［７０，９０）分数段内抽取３人，分别记为Ｂ，Ｂ，Ｂ
１ ２ １ ２ ３
设“从这５名学生中任取２人，至少有１人成绩在［５０，７０）内”为事件Ａ，
则样本空间 Ω＝｛ＡＡ，ＡＢ，ＡＢ，ＡＢ，ＡＢ，ＡＢ，ＡＢ，ＢＢ，ＢＢ，ＢＢ｝，共包含
１ ２ １ １ １ ２ １ ３ ２ １ ２ ２ ２ ３ １ ２ １ ３ ２ ３
７
１０个样本点，而事件Ａ包含７个样本点，所以Ｐ（Ａ）＝ ，故抽取的这２名学生至少有
１０
７
１人成绩在［５０，７０）内的概率为 ……………………………………………… １７分
１０
宣城市高一数学参考答案第２页（共３页）
{#{QQABSYCEggggAIJAAQgCUQFYCgOQkBEACQgOhFAMoAAAAAFABAA=}#}１９（１）因为ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，而ＡＤ平面ＡＢＣＤ，所以ＰＡ⊥ＡＤ，又ＡＤ⊥ＰＢ，ＰＢ∩ＰＡ＝Ｐ，
ＰＢ，ＰＡ平面ＰＡＢ，所以ＡＤ⊥平面ＰＡＢ，而ＡＢ平面ＰＡＢ，所以ＡＤ⊥ＡＢ
因为ＢＣ２＋ＡＢ２＝ＡＣ２，所以ＢＣ⊥ＡＢ，根据平面知识可知ＡＤ∥ＢＣ，再由前面推导知，
→ →
可知ＢＣ⊥平面ＰＡＢ，所以ＢＣ⊥ＰＢ，所以向量ＣＰ在向量ＤＡ上的投影向量的模即为向量
→ → →
ＣＢ的模长１（或由上述推导知ＣＰ和ＤＡ的夹角是∠ＰＣＢ。在Ｒｔ△ＰＢＣ中，ＰＢ＝槡７，
ＢＣ １
ＢＣ＝１，ＰＣ＝２槡２，ｃｏｓ∠ＰＣＢ＝ ＝ ，
ＰＣ ２槡２
→ → →
故向量ＣＰ在ＤＡ上的投影向量的模为｜ＣＰ｜ｃｏｓ∠ＰＣＢ＝１）………………………… ５分
（２）“当ＡＤ⊥ＰＢ，且ＡＤ＝１时”，则四边形 ＡＢＣＤ是长方形，可将四棱锥 Ｐ－ＡＢＣＤ补成一
个长、宽、高分别为槡３、１、２的长方体，则该长方体的外接球即为四棱锥 Ｐ－ＡＢＣＤ的外
接球，所以四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ有外接球，且该外接球半径为槡２，表面积Ｓ＝８π；………
…………………………………………………………………………………… １０分
（３）如图所示，过点Ｄ作ＤＥ⊥ＡＣ于Ｅ，再过点Ｅ作ＥＦ⊥ＣＰ于点Ｆ，连接ＤＦ，因为ＰＡ⊥平
面ＡＢＣＤ，所以平面ＰＡＣ⊥平面ＡＢＣＤ，而平面ＰＡＣ∩平面ＡＢＣＤ＝ＡＣ，
所以ＤＥ⊥平面ＰＡＣ，所以ＤＥ⊥ＣＰ，又ＥＦ⊥ＣＰ，所以ＣＰ⊥平面ＤＥＦ，
根据二面角的定义可知，∠ＤＦＥ即为二面角Ａ－ＣＰ－Ｄ的平面角，
槡３
因为ＡＤ⊥ＤＣ，ＡＤ＝槡３，ＡＣ＝２，则ＣＤ＝１，在Ｒｔ△ＡＣＤ中由等面积法可得，ＤＥ＝ ，
２
１ 槡２
所以在Ｒｔ△ＤＥＣ中，ＣＥ＝ ，而△ＥＦＣ为等腰直角三角形，所以ＥＦ＝ ，
２ ４
ＤＥ
故ｔａｎ∠ＤＦＥ＝ ＝槡６…………………………………………………………… １７分
ＥＦ
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{#{QQABSYCEggggAIJAAQgCUQFYCgOQkBEACQgOhFAMoAAAAAFABAA=}#}
