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易错点 08 立体几何
易错点1：平行和垂直的判定
在立体几何中，点、线、面之间的位置关系，特别是线面、面面的平行和垂直关系，
是高中立体几何的理论基础，是高考命题的热点与重点之一，一般考查形式为小题(位置关
系基本定理判定)或解答题(平行、垂直位置关系的证明)，难度不大。
立体几何中平行与垂直的易错点
易错点1：线面平行的判定定理和性质定理在应用时都是三个条件，但这三个条件易混为
一谈；面面平行的判定定理易把条件错误地记为＂一个平面内的两条相交直线与另一
个平面内的两条相交直线分别平行＂而导致证明过程跨步太大。
易错点2：有关线面平行的证明问题中，对定理的理解不够准确，往往忽视
三个条件中的某一个。
易错点3：线面平行的判定定理和性质定理在应用时都是三个条件，但这三个条件易混为
一谈；面面平行的判定定理易把条件错误地记为＂一个平面内的两条相交直线与另一个
平面内的两条相交直线分别平行＂而导致证明过程跨步太大；
易错点2：异面直线所成的角
1.求异面直线所成角的思路是：通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线，
进而利用平面几何知识求解，整个求解过程可概括为：一找二证三求。
2.求异面直线所成角的步骤：
①选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊位
置斩点。
②求相交直线所成的角，通常是在相应的三角形中进行计算。 ③因为异面直线所成的角
的范围是0°＜θ≤90°，所以在三角形中求的角为钝角时，应取它的补角作为异面直
线所成的角。
3.“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何
体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。
4.利用向量，设而不找，对于规则几何体中求异面直线所成的角也是常用的方法之一。
易错点3：直线与平面所成的角
1.传统几何方法：
①转化为求斜线与它在平面内的射影所成的角，通过直角三角形求解。
②利用三面角定理（即最小角定理）
cosθ=cosθ ⋅cosθ
求
θ
。
1 2 1
2.向量方法：设⃗n
为平面α 的法向量，直线a与平面α 所成的角为θ，则
π π
{
θ=¿ −¿⃗a,⃗n>,<⃗a,⃗n>∈(0, ]¿¿¿¿
2 2
易错点4：二面角
用向量求二面角大小的基本步骤
1.建立坐标系，写出点与所需向量的坐标；
⃗n
β
⃗n
2.求出平面α 的法向量 1，平面 的法向量 23.进行向量运算求出法向量的夹角 ；
4.通过图形特征或已知要求，确定二面角是锐角或钝角，得出问题的结果：
→ → → →
当二面角为锐角时cosθ=| cos ⟨n ,n ⟩| ，为钝角时cosθ=−| cos ⟨n ,n ⟩|
1 2 1 2
1．已知 是两条不同的直线， 是平面，且 ，则（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】D
【详解】依题意 ，
A选项，若 ，则可能 ，所以A选项错误.
B选项，若 ，则 与 可能相交、异面、平行，所以B选项错误.
C选项，若 ，则可能 ，所以C选项错误.
D选项，由于 ，所以平面 内存在直线 ，满足 ，
若 ，则 ，则 ，所以D选项正确.
故选：D
2．已知直三棱柱 各棱长均相等，点D，E分别是棱 ， 的中点，则异
面直线AD与BE所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设直三棱柱的棱长为1，则 ，
点D，E分别是棱 ， 的中点，
， ，
，所以 ．
所以异面直线AD与BE所成角的余弦值为 ．
故选：A．
3．如图，正方体 中， 是 的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线 与直线 垂直，直线 平面
B．直线 与直线 平行，直线 平面
C．直线 与直线 异面，直线 平面
D．直线 与直线 相交，直线 平面
【答案】A
【详解】连接 ；由正方体的性质可知 ， 是 的中点，
所以直线 与直线 垂直；
由正方体的性质可知 ，所以平面 平面 ，
又 平面 ，所以直线 平面 ，故A正确；以 为原点，建立如图坐标系，设正方体棱长为1，
显然直线 与直线 不平行，故B不正确；
直线 与直线 异面正确， ， ，所以直线 与平面
不垂直，故C不正确；
直线 与直线 异面，不相交，故D不正确；
故选：A.
4．平行六面体 中， ，则
与底面 所成的线面角的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：如图所示，连接 ， 相交于点 ，连接 ．
平行六面体 中 ，且 ，
不妨令
， ， 都是等边三角形．
是等边三角形．
， ， ， 平面平面 ， 平面 ，
平面 平面 ，
是 与底面 所成角．
因为 ， ，所以 ．
如图建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ，
其中 的坐标计算如下，过 作 交 于点 ，
因为 ， ，所以 ，
所以 ， ，
因为
所以 ，所以 ，
显然平面 的法向量为 ，
设 与底面 所成的角为 ，则故选：A
5．已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列结论一定成立的是（
）
A．若m⊥n，m⊥α，则n∥α B．若m∥α，α∥β，则m∥β
C．若m⊥α，α⊥β，则m∥β D．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β
【答案】D
【详解】A选项，m⊥n，m⊥α，则可能 ，故A错误；
B选项， ， ，则可能 ，故B错误；
C选项， ， ，则可能 ，也可能 ，故C错误；
D选项，因为 ， ，所以 或 ，当 时，因为 ，所以由面面垂
直的判定定理知 ，当 时，存在 且 ，所以 ，所以可得 ，
故D正确.
故选：D.
1．在长方体 中，已知 与平面 和平面 所成的角均为 ，
则（ ）
A． B．AB与平面 所成的角为
C． D． 与平面 所成的角为
【答案】D
【详解】如图所示：不妨设 ，依题以及长方体的结构特征可知， 与平面 所成
角为 ， 与平面 所成角为 ，所以 ，即 ，
，解得 ．
对于A， ， ， ，A错误；
对于B，过 作 于 ，易知 平面 ，所以 与平面 所成角为
，因为 ，所以 ，B错误；
对于C， ， ， ，C错误；
对于D， 与平面 所成角为 ， ，而
，所以 ．D正确．
故选：D．
2．南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该
水库水位为海拔 时，相应水面的面积为 ；水位为海拔 时，相应水面
的面积为 ，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔
上升到 时，增加的水量约为（ ）（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】依题意可知棱台的高为 (m)，所以增加的水量即为棱台的体
积 ．
棱台上底面积 ，下底面积 ，
∴．
故选：C．
3．已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为 和 ，其顶点都在同一球面上，
则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径 ，所以 ，即
，设球心到上下底面的距离分别为 ，球的半径为 ，所以 ，
，故 或 ，即 或
，解得 符合题意，所以球的表面积为 ．
故选：A．
4．如图，已知正三棱柱 ，E，F分别是棱 上的点．记 与
所成的角为 ， 与平面 所成的角为 ，二面角 的平面角为 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【详解】如图所示，过点 作 于 ，过 作 于 ，连接 ，
则 ， ， ，
， ， ，
所以 ，
故选：A．
5．如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱
柱的底面是顶角为 ，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（ ）
A．23 B．24 C．26 D．27
【答案】D
【详解】该几何体由直三棱柱 及直三棱柱 组成，作 于
M，如图，
因为 ，所以 ，
因为重叠后的底面为正方形，所以 ,
在直棱柱 中， 平面BHC，则 ,
由 可得 平面 ，
设重叠后的EG与 交点为则
则该几何体的体积为 .
故选：D.
一、单选题
1．已知正三棱锥 的三条侧棱两两垂直，且侧棱长为 ，则此三棱锥的外接球的
表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意，正三棱锥 的三条侧棱两两垂直，且侧棱长为 ，
此三棱锥 可补形为一个棱长为 的正方体，
三棱锥 的外接球与补成的棱长为 的正方体的外接球为同一个球，
设正方体的外接球的半径为 ，可得 ，即 ，
所以此三棱锥的外接球的表面积为 .故选：C.
2．设 ， 是不同的直线， ， ， 是不同的平面，则下面说法正确的是（ ）
A．若 ， ，则
B．若 ， ，则
C．若 ， ，则
D．若 ， ，则
【答案】C
【详解】A：由 ， ，则 或 相交，错误；
B：由 ， ，则 或 或 相交，错误；
C：由 ，则存在直线 且 ，而 则 ，根据面面垂直的判定易知
，正确；
D：由 ， ，则 或 ，错误.
故选：C
3．足球起源于中国古代的蹴鞠游戏.“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、
内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，如图所示.已知某“鞠”
的表面上有四个点 ，满足 面ABC， ，若 ，则该
“鞠”的体积的最小值为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【详解】取 中点为 ,过 作 ,且 ,因为 平面ABC,所以
平面 .由于 ,故 ,进而可知 ,所以 是球心,
为球的半径.
由 ,又 ,当且仅当
,等号成立,故此时 ,所以球半径
,故 ,体积最小值为
故选:C
4．在三棱柱 中，D，E分别为 ､ 的中点，若 ， ，
则 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】如图所示，取点 的中点 ，可得 ，
所以异面直线 与 所成的角，即为直线 与 所成的角，
在 中，可得 ，
由余弦定理可得 .
故选：C.5．已知在菱形 中， ，把 沿 折起到 位置，若二面
角 大小为 ，则四面体 的外接球体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设 的外接圆圆心为 ， 的外接圆圆心为 ，
过这两点分别作平面 、平面 的垂线，交于点O，则O就是外接球的球心；
取 中点E，连接 ，
因为 ， ，
所以 ，
因为 和 是正三角形，
所以 ，
由 得 ，
所以 由 ，即球半径为 ，所以球体积为 ．
故选：C.
6．如图，在直三棱柱 中， 面 ， ，则直线 与
直线 夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】连接 交 于 ，若 是 的中点，连接 ，
由 为直棱柱，各侧面四边形为矩形，易知： 是 的中点，
所以 ，故直线 与直线 夹角，即为 与 的夹角 或补角，
若 ，则 ， ，
面 ， 面 ，则 ，
而 ，又 ， 面 ，故 面 ，
又 面 ，所以 .
所以 ， ，在△ 中 .
故选：C
7．四面体 中， ，则二面角 的平面角
的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】过点A作 交 于点M，过点M作 交 于点N，如图，
则 是二面角 的平面角，设 ，则 ，
在 和 中，由余弦定理，
，
所以 ，
故选：C
8．如图，三棱锥 中，平面 平面ABC， ， ，．三棱锥 的四个顶点都在球O的球面上，则球心O到平面ABC的距离为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：因为 ， ， ，
所以 ，即 ， ，即 ，
又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 为直角三角形，所以 外接圆的圆心在斜边 的中点，
所以三棱锥 外接球的即为下图长方体的外接球，
所以三棱锥 外接球的球心 在 的中点，
所以球心 到平面 的距离为 ；
故选：B
二、多选题
9．已知 ， 是两个不重合的平面， ， 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是
A．若 ， ， ，则B．若 ， ，则
C．若 ， ，则
D．若 ， ，则 与 所成的角和 与 所成的角相等
【答案】BCD
【详解】解：对于A．若 ， ， ，则 或 与 平行或， 与 相交
不垂直，故A错误；
对于B： ， 设过 的平面 与 交于 ，则 ，又 ， ， ，
B正确；
对于C： ， 内的所有直线都与 平行，且 ， ， C正确；
对于D：根据线面角的定义，可得若 ， ，则 与 所成的角和 与 所成的角
相等，故D正确．
故选：BCD．
10．在正四面体A－BCD中， ，点O为 的重心，过点O的截面平行于AB和
CD，分别交BC，BD，AD，AC于E，F，G，H，则 （ ）
A．四边形EFGH的周长为8
B．四边形EFGH的面积为2
C．直线AB和平面EFGH的距离为
D．直线AC与平面EFGH所成的角为
【答案】BCD
【详解】O为 的垂心，连AO延长与CD交于M点，则
∴ ，∴ ， ， ，∴ ，
∴周长为6，A错．，则 ，B对．
将四面体补成一个长方体，则正方体边长为 ，∴
P，Q分别为AB，CD中点，PQ⊥平面EFGH，
∴A到平面EFGH距离 ，C对
AC与PQ夹角为 ，则AC与平面EFGH的夹角为 ，D对
故选：BCD
三、解答题
11．如图，三棱柱 中，点 在平面 内的射影 在 上， ，
.
(1)证明: ；
(2)若 ，求二面角 的余弦值.
【答案】（1）∵ 点 在平面 内的射影 在 上，∴ 平面 ，又 平面 ，
∴ ，∵ ， ， 平面 ，∴ 平面
， 平面 ，∴ ，∵ ，四边形 为平行四
边形，∴ 四边形 为菱形，故 ，又 ， 平面 ，
∴ 平面 ， 平面 ，∴ ；
（2）以C为坐标原点，以 为x轴， 轴， 轴的正方向建立空间直角坐标系，
则 ， ， ∴
，设平面 的法向量 ，则
，取 ，则 ，又因为平面 的法向量为
，故 ，所以二面角 的余弦值为 .
12．如图，在以P，A，B，C，D为顶点的五面体中，四边形ABCD为等腰梯形， ∥
， ，平面 平面 ， ．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)若二面角 的余弦值为 ，求直线PD与平面PBC所成角的正弦值．
【答案】
（1）
（1）因为平面 平面 ，平面 平面 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，又因为 平面 ，所以平面 平面 ．（2）
过 作 ， ，垂足分别为 ， ，连接 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，
又 ，且 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，即 即为二面角 的平面角，
不妨设 ，则可知 ，且 ， ，
因为 ，所以 ，所以 ，
过 作 平面 ，以 为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
所以 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，则 ， ，所以 ，
设直线PD与平面PBC所成角为 ，则 ，
直线PD与平面PBC所成角的正弦值为
