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易错点 11 平面向量
易错点1：向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量称为向量，用有向线段表示，此时有向线段的
方向就是向量的方向.向量AB的大小称为向量的模(或大小)，记作 | AB |.
(2)零向量：始点和终点相同的向量称为零向量.
(3)单位向量：模等于1 的向量称为单位向量.
(4)平行向量(共线向量)：如果两个非零向量的方向相同或者相反，则称这两个
向量平行.通常规定零向量与任意向量平行.
(5)相等向量：大小相等、方向相同的向量.
(6)相反向量：大小相等、方向相反的向量.
易错点2.向量的线性运算
向量运算 定 义 法则(或几何意义) 运算律
(1)交换律：
a＋b＝ b ＋ a
求两个向量和的
加法 (2)结合律：
运算
(a＋b)＋c＝ a ＋
( b ＋ c )
减去一个向量相
减法 当于加上这个向 a－b＝a＋(－b)
量的相反向量
(1)当λ≠0且a≠0时，λa的模
为 | λ | | a |，而且λa的方向如下： λ(μa)＝ ( λμ ) a ；
求实数λ与向量 ①当λ>0时，与a的方向相 (λ＋μ)a＝ λ a ＋
数乘
a的积的运算 同； μ a ；
②当λ<0时，与a的方向相反. λ(a＋b)＝ λ a ＋ λ b
(2)当λ＝0或a＝0时，λa＝0.
易错点3.共线向量定理
如果存在实数λ，使得b＝λa(a≠0)，则b∥a.
易错点4.向量模的不等式向量a，b的模与a＋b的模之间满足不等式
||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
易错点4.平面向量基本定理
(1)平面向量的基底
平面内不共线的两个向量a与b组成的集合{a，b}，常称为该平面上向量的一
组基底，如果c＝xa＋yb，则称xa＋yb为c在基底{a，b}下的分解式.
(2)平面向量基本定理
如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的
实数对(x，y)，使得c＝xa＋yb.
易错点5.平面向量的坐标
一般地，给定平面内两个相互垂直的单位向量 e ，e ，对于平面内的向量a，如
1 2
果a＝xe ＋ye ，则称 ( x ， y ) 为向量a的坐标，记作a＝(x，y).
1 2
易错点6.平面向量的坐标运算
(1)平面向量线性运算的坐标表示
假设平面上两个向量 a，b 满足 a＝(x ，y )，b＝(x ，y )，则 a±b＝ ( x ± x ，
1 1 2 2 1 2
y ± y )，λa＝ ( λx ， λ y )(λ∈R)，ua±vb＝ ( ux ± v x ， u y ± v y )(u，v∈R).
1 2 1 1 1 2 1 2
(2)向量模的坐标计算公式
如果向量a＝(x，y)，则|a|＝.
(3)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
②设A(x ，y )，B(x ，y )，
1 1 2 2
则AB＝ ( x － x ， y － y )，
2 1 2 1
|AB|＝.
易错点7.向量平行的坐标表示
设a＝(x ，y )，b＝(x ，y )，则a∥b x y ＝ x y .
1 1 2 2 2 1 1 2
⇔
易错点8.平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a＝(x ，y )，b＝(x ，y )，θ为向量a，b的夹角.
1 1 2 2
(1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x x ＋ y y .
1 2 1 2
(2)模：|a|＝＝.
(3)夹角：cos θ＝＝.(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0 x x ＋y y ＝0.
1 2 1 2
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立) |x x ＋y y |≤ ·.
⇔ 1 2 1 2
⇔
1．在 中，点D满足 ，E为 上一点，且 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知点A､B在单位圆上， ，若 ，则 的最小值
是（ ）
A．2 B．3 C． D．4
3．若向量 ， 满足 ， ， ，则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
4．已知平面向量 满足 ，则 在 方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
5．已知平面向量 ，若 与 垂直，则λ＝（ ）
A．-2 B．2 C．-1 D．1
1．已知向量 ，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．已知向量 ， ，若 ，则实数m等于（ ）
A．－ B．
C．－ 或 D．0
3．已知向量 ， 满足 ， ， ，则 （ ）A． B． C． D．
4．已知单位向量 ， 的夹角为60°，则在下列向量中，与 垂直的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知向量 ，则
A． B．2
C．5 D．50
一、单选题
1．已知四边形 ，设E为 的中点， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知向量 ， ，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．已知向量 满足 ，则 ( )
A．4 B．3 C．2 D．0
4．已知非零向量 ， ， 满足 ， ， 的夹角为 ，且 ，则向量 ，
的数量积为（ ）
A．0 B． C． D．
5．设向量 ， ，满足 ， ， 与 的夹角为 ，则 （ ）
A． B． C．4 D．
6．设非零向量 满足 ，则向量 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
7．已知向量 的夹角为 ，且 ，则向量 在向量 方向上
的投影是（ ）
A． B．3 C． D．18．已知 ， ， 是不在同一直线上的三个点， 是平面 内一动点，若
， ，则点 的轨迹一定过 的（ ）
A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心
二、多选题
9．已知向量 ，则下列结论正确的是（ ）.
A． B．
C．向量 的夹角为 D． 在 方向上的投影向量是
10．在 中， ， 分别为 ， 的中点， 为 的中点， 为 所在平
面内的任意一点，则（ ）
A． B．
C． D．
三、解答题
11．记 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，已知 ．
(1)求 ；
(2)记 的面积为 ，求 的最大值．
12．已知向量 ， .
(1)若 ，求 的值；
(2)记 ，在 中，角A、B、C的对边分别是a，b，c，且满足
，求 的取值范围.
