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2023届高考数学三轮冲刺卷：空间几何体
一、选择题（共20小题；）
1. 如图，模块（1）~（5）均由 4 个棱长为 1 的小正方体构成，模块（6）由 15 个棱长为 1 的
小正方体构成，现从模块（1）~（5）中选出三个放到模块（6）上，使得模块（6）成为一个棱
长为 3 的大正方体，则下列选择方案中，能够完成任务的为 ()
A. 模块（1）（2）（5） B. 模块（1）（3）（5）
C. 模块（2）（4）（5） D. 模块（3）（4）（5）
1
2. 如图所示，某几何体的正视图与俯视图均为边长为 4 的正方形，其侧视图中的曲线为 圆周，
4
则该几何体的体积为 ()
32π 16π
A. 16π B. 64−16π C. 64− D. 64−
3 3
3. 把由曲线 y=∣x∣ 和 y=2 围成的图形绕 x 轴旋转 360∘ ，所得旋转体的体积为 ()
8π 10π 6π 32π
A. B. C. D.
3 3 3 3
4. 如 图 ， △ABC 为 正 三 角 形 ， AAʹ∥BBʹ∥CCʹ， CCʹ⊥ 平 面 ABC， 且
3
3AAʹ= BBʹ=CCʹ=AB，则多面体 ABC−AʹBʹCʹ 的正视图（也称主视图）是 ()
2A. B.
C. D.
5. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是 ()
2 1
A. 2 B. 1 C. D.
3 3
6. 正四面体 ABCD 的体积为 1，O 为其中心，正四面体 EFGH 与正四面体 ABCD 关于点 O
对称，则这两个正四面体的公的体积为 ()
1 1 2 3
A. B. C. D.
3 2 3 4
7. 三棱锥 S−ABC 中，SA⊥底面ABC，若 SA=AB=BC=AC=3，则该三棱锥外接球的表
面积为 ()
21π
A. 18π B. C. 21π D. 42π
28. 正方体的内切球和外接球的表面积之比为 ()
A. 3:1 B. 3:4 C. 4:3 D. 1:3
9. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱为 ()
A. 4 B. 2√2 C. √7 D. 2
10. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中，面积等于 √3 的有 ()
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
π
11. 已知三棱锥 S−ABC 中，∠SAB=∠ABC= ，SB=4，SC=2√13，AB=2，BC=6，则
2
三棱锥 S−ABC 的体积是 ()
A. 4 B. 6 C. 4√3 D. 6√3
12. 正四棱锥的侧棱长为 √6，底面边长为 2，则该棱锥的体积为 ()
8
A. 8 B. C. 6 D. 2
3
13. 如图所示是—个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段 AB，CD，EF 和 GH 在原正方
体中不相交的线段的对数为 ()A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
14. 如图所示的几何体，其表面积为 (5+√5)π，下部圆柱的底面直径与该圆柱的高相等，上部圆锥
的母线长为 √5，则该几何体的主视图的面积为 ()
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
15. 在正三棱柱 ABC−A B C 中，若 AB=2，A A =1，则点 A 到平面 A BC 的距离为 ()
1 1 1 1 1
√3 √3 3√3
A. B. C. D. √3
4 2 4
16. 三棱锥 P−ABC 的四个顶点均在同一球面上，其中 △ABC 是正三角形，PA⊥平面ABC，
PA=2AB=6，则该球的体积为 ()
A. 16√3π B. 32√3π C. 48π D. 64√3π
17. 设 A，B，C，D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为
9√3，则三棱锥 D−ABC 体积的最大值为 ()
A. 12√3 B. 18√3 C. 24√3 D. 54√3
18. 如图，OA 是圆锥底面中心 O 到母线的垂线，OA 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相
等的两部分，则母线与轴的夹角的余弦值为 ()1 1 1 1
A. B. C. D.
√32 2 √2 √4 2
2x
19. 一矩形的一边在 x 轴上，另两个顶点在函数 y= (x>0) 的图象上，如图所示，则此矩形
1+x2
绕 x 轴旋转而成的几何体的体积的最大值是 ()
π π π
A. π B. C. D.
3 4 2
20. 若正数 x，y 满足 2x2−xy+2y2=x+ y+1，则 x+ y 的取值范围是 ()
[ 2 ] (1 ]
A. − ,2 B. (0,2] C. ,2 D. (1,2]
3 2
二、填空题（共5小题；）
21. 设地球半径为 R ，在北纬 45∘ 圈上有甲、乙两地，它们的经度差 90∘ ，则甲乙两地的最短纬
线长为 ，甲、乙两地的球面距离为 ．
22. 已知圆锥的顶点为 S，底面圆周上的两点 A，B 满足 △SAB 为等边三角形，且面积为 4√3，
又知圆锥轴截面的面积为 8，则圆锥的表面积为 ．
23. 在直三棱柱 ABC−A B C 内有一个与其各面都相切的球 O ，若 AB⊥BC，AB=3，
1 1 1 1
BC=4，则球 O 的表面积为 ．
1
24. 如图，球 O 的半径为 2，圆 O 是一小圆，O O=√2，A，B 是圆 O 上两点，若
1 1 1
π
∠AO B= ，则 A，B 两点间的球面距离为 ．
1 225. 在正三棱锥 A−BCD 中，底面边长为 6，侧棱长等于 5．则正三棱锥 A−BCD 的体积 V =
；正三棱锥 A−BCD 的外接球的半径 R= ．
三、解答题（共5小题；）
26. 已知地球的半径约为 6371 千米，上海的位置约为东经 121∘ 、北纬 31∘，大连的位置约为东
经 121∘ 、北纬 39∘．若飞机以平均速度 720 千米/小时飞行，则从上海到大连的最短飞行时
间约为多少小时（飞机飞行髙度忽略不计，结果精确到 0.1 小时）?
27. 用斜二测画法作出宽为 3cm，长为 4cm 的矩形的直观图．
28. 如图所示，在四棱锥 PABCD 中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD=AD，E 是 PB 的
1
中点，F 是 DC 上的点，且 DF= AB，PH 为 △PAD 中 AD 边上的高．求证：
2
（1）PH⊥平面ABCD．
（2）EF⊥平面PAB．
29. 如图，在三棱锥 P−ABC 中，PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥AC，PA=AC=2，AB=1，M
为 PC 的中点．
（1）求证：平面PCB⊥平面MAB；
（2）求三棱锥 P−ABC 的表面积．30. 底面边长为 2 的正三棱锥 P−ABC，其表面展开图是三角形 P P P ，如图，求 △P P P
1 2 3 1 2 3
的各边长及此三棱锥的体积 V．答案
1. A 【解析】A先将（5）放入（6）中的空缺，然后上面可放入（1）（2），其余选项可以验证不
合题意．
2. B
3. D 【解析】曲线 y=∣x∣ 和 y=2 围成图中阴影部分的平面图形，其旋转体为一个圆柱
（底面半径为 2 、高为 4 ） 挖去两个相同的共顶点的圆锥 （底面半径为 2 、高为 2 ），所以所
得旋转体的体积为
V =π⋅22 ⋅4−2⋅ (1 ⋅π⋅22 ⋅2 ) = 32π .
3 3
4. D
5. D
6. B
7. C 【解析】由于 AB=BC=AC=3，则 △ABC 是边长为 3 的等边三角形，
3
2r= =2√3
由正弦定理知，△ABC 的外接圆半径 r 满足： π ，
sin
3
由于 SA⊥底面ABC，所以该三棱锥的外接球半径 R 满足 2R=√S A2+(2r) 2=√21，
所以三棱锥 S−ABC 的外接球的表面积为 4πR2=π×(2R) 2=21π．
8. D 【解析】正方体的棱长是内切球的直径，正方体的对角线是外接球的直径，设棱长是 a．
a √3a
a=2r ，r = ，√3a=2r ，r = ，
内切球 内切球 2 外接球 外接球 2
所以 r :r =1:√3．
内切球 外接球
所以正方体的内切球和外接球的表面积之比为 1:3．
9. B
10. C
π
11. C 【解析】由 SB=4，AB=2，且 ∠SAB= ，得 SA=2√3；
2
π
又由 AB=2，BC=6，且 ∠ABC= ，得 AC=2√10．
2π
因为 SA2+AC2=SC2，从而知 ∠SAC= ，即 SA⊥AC，
2
又 AB∩AC=A，所以 SA⊥平面ABC．
1
又由于 S = ×2×6=6，
△ABC 2
1 1
从而 V = S ⋅SA= ×6×2√3=4√3．
S−ABC 3 △ABC 3
12. B
13. C
14. B
15. B
【解析】利用等体积代换法：由 V =V ，可求点 A 到平面 A BC 的距离．
A −ABC A−A BC 1
1 1
16. B
17. B
18. D 【解析】设圆锥的高为 ℎ，底面半径为 r，上部分是由共底的两个圆锥构成的，设其体积为
V ，过 A 向轴作垂线，垂足为 C，如图，
1
则 OA=rcosθ，CA=OAcosθ=rcos2θ，
1 1 1
从而 V = π(AC) 2 ℎ = πr2 ℎcos4θ，V = πr2 ℎ =2V ．
1 3 3 3 1
1
得到
cosθ=
．
√4 2
19. A 【解析】旋转后所得几何体为圆柱，如图所示．
设矩形的一条边所在直线为 y=a(a>0)，C(x ,y )，D(x ,y )．
1 1 2 2
2x
联立 y=a 与 y= (x>0) 得，ax2−2x+a=0，
1+x2
2
由此可得 x +x = ，x x =1．
1 2 a 1 2
2
所以 ∣x −x ∣= √1−a2 ，
1 2 a2
即圆柱的高为 √1−a2 ，圆柱的底面半径为 a，
a
2
a2+(1−a2)
所以其体积为 πa2× √1−a2=2π√a2−a4=2π√a2(1−a2)≤2π⋅ =π，
a 2
√2
当且仅当 a2=1−a2，即 a= 时，其体积有最大值 π．
2
20. D
5
【解析】设 x+ y=u，则 2(x+ y) 2−5xy=x+ y+1，则 2u2−u−1=5xy≤ u2 ，
4
2
即 3u2−4u−4≤0，解得 − ≤u≤2．
3
1
又注意到 xy>0，得 2u2−u−1>0，解得 u>1 或 u<− ，故得 1
