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2023届高考数学三轮冲刺卷：棱锥的表面积与体积
一、选择题（共20小题；）
1. 已知高为 3 的三棱柱 ABC−A B C 的底面是边长为 1 的正三角形，如图所示，则三棱锥
1 1 1
B −ABC 的体积为 ()
1
1 1 √3 √3
A. B. C. D.
4 2 6 4
2. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是 ()
2 1
A. 2 B. 1 C. D.
3 3
3. 如图，一个简单空间几何体的三视图其正视图与侧视图都是边长为 2 的正三角形，其俯视图轮
廓为正方形，其体积是 ()
√3 4√2 4√3 8
A. B. C. D.
6 3 3 3
4. 棱锥的一个平行于底面的截面把棱锥的高分成 1:2（从顶点到截面与从截面到底面）两部分，那
么这个截面把棱锥的侧面分成两部分的面积之比等于 ()
A. 1:9 B. 1:8 C. 1:4 D. 1:3
5. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ()1 3
A. B. 1 C. D. 3
2 2
6. 已知棱长为 1 的正方体被两个平行平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部
分的表面积为 ()
2 9+√3
A. B. 3+√3 C. D. 2√3
3 2
7. 已知正方体 ABCD−A B C D ，点 P 在线段 AC 上，当 ∠BPD 最大时，四棱锥
1 1 1 1 1
P−ABCD 的体积与正方体的体积之比为 ()
1 1 1 1
A. B. C. D.
24 18 9 12
8. 如图，将边长为 √2 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起，使得 AC=1，则三棱锥 A−BCD
的体积为 ()√3 √3 √3 1
A. B. C. D.
6 3 2 3
9. 三棱锥 P−ABC 的底面 △ABC 是边长为 √3 的等边三角形，该三棱锥的所有顶点均在半径
为 2 的球上，则三棱锥 P−ABC 的体积最大值为 ()
2√3−3 3√3 3+2√3 9+6√3
A. B. C. D.
4 4 4 4
10. 已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 5 的球 O 的球面上，且 AB=6，BC=2√5，则棱锥
O−ABCD 的侧面积为 ()
A. 20+8√5 B. 44 C. 20√5 D. 46
11. 如图，E，F 分别为棱长为 1 的正方体的棱 A B ，B C 的中点，点 G，H 分别为面对角
1 1 1 1
线 AC 和棱 A A 上的动点，则下列关于四面体 E−FGH 的体积正确的是 ()
1
A. 该四面体体积有最大值，也有最小值
B. 该四面体体积为定值
C. 该四面体体积只有最小值
D. 该四面体体积只有最大值
12. 正四棱锥的侧棱长为 √6，底面边长为 2，则该棱锥的体积为 ()
8
A. 8 B. C. 6 D. 2
3
13. 如图，四棱锥 P−ABCD 的底面 ABCD 为平行四边形，CE=2EP，若三棱锥 P−EBD 的
V
体积为 V ，三棱锥 P−ABD 的体积为 V ，则 1 的值为 ()
1 2 V
21 1 1 1
A. B. C. D.
2 3 4 6
14. 四面体 ABCD 的四个顶点都在某个球 O 的表面上，△BCD 是边长为 3√3 的等边三角形，
81√3
当 A 在球 O 表面上运动时，四面体 ABCD 所能达到的最大体积为 ，则四面体
4
OBCD 的体积为 ()
81√3 27√3 27√3
A. B. C. 9√3 D.
8 4 2
15. 正三棱柱 ABC−A B C 的底面边长为 2，侧棱长为 √3，D 为 BC 中点，则三棱锥
1 1 1
A−B DC 的体积为 ()
1 1
3 √3
A. 3 B. C. 1 D.
2 2
16. 在外接球半径为 4 的正三棱锥中，体积最大的正三棱锥的高等于 ()
14 13 7 16
A. B. C. D.
3 4 2 3
17. 在三棱锥 P−ABC 中，D 为底面 ABC 的边 AB 上一点，M 为底面 ABC 内一点，且满
3 3
足 ⃗AD= ⃗AB，⃗AM=⃗AD+ ⃗BC，则三棱锥 P−AMD 与三棱锥 P−ABC 的体积比
4 5
V
P−AMD
为 ()
V
P−ABC
9 4 9 9
A. B. C. D.
25 5 16 2018. 一个等腰三角形的周长为 10，四个这样相同等腰三角形底边围成正方形，如图，若这四个三角
形都绕底边旋转，四个顶点能重合在一起，构成一个四棱锥，则围成的四棱锥的体积的最大值
为 ()
500√2 500√2
A. B. C. 5√3 D. 15√2
81 27
19. 已知三棱锥 S−ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，底面 △ABC 是边长为 1 的正三角
形，棱 SC 是球 O 的直径且 SC=2，则此三棱锥的体积为 ()
√2 √3 √2 √2
A. B. C. D.
6 6 3 2
20. 已知边长为 1 的正方体内接于半球体，即正方体的顶点中，有四点在球面上，另外四点在半球
体的底面圆内，则半球体的体积为 ()
16π √6π
A. B. √6π C. D. 4√6π
3 2
二、填空题（共5小题；）
21. 侧棱长为 2 的正三棱锥，若其底面周长为 9，则该正三棱锥的体积是 ．
22. 如图，正方体 ABCD−A B C D 的棱长为 2，点 P 在正方形 ABCD 的边界及其内部运
1 1 1 1
动．平面区域 W 由所有满足 A P≤√5 的点 P 组成，则 W 的面积是 ；
1
四面体 P−A BC 的体积的最大值是 ．
123. 将一块边长为 6cm 的正方形纸片，先按如图1所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形，
然后将剩余部分沿虚线折叠并拼成一个正四棱锥模型（底面是正方形，从顶点向底面作垂线，
垂足是底面中心的四棱锥），将该四棱锥如图 2放置，若其正视图为正三角形，则其体积为
cm3．
24. 一个六棱锥的体积为 2√3，其底面是边长为 2 的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧
面积为 ．
25. 在正三棱锥 A−BCD 中，底面边长为 6，侧棱长等于 5．则正三棱锥 A−BCD 的体积 V =
；正三棱锥 A−BCD 的外接球的半径 R= ．
三、解答题（共5小题；）
26. 已知正三棱锥 O−ABC 的底面边长为 1，且它的侧棱与底面所成的角为 60∘，求这个三棱锥
的体积和表面积．
27. 如图，在多面体 ABCDEF 中，已知四边形 ABCD 是边长为 4 的正方形，EF∥AB，
EF=2，EF 上任意一点到平面 ABCD 的距离均为 3，求该多面体的体积．
28. 如图，求证三棱柱 ABC−A B C 可分割为三个体积相等的三棱锥．
1 1 129. 如图，已知 ABCD−A B C D 是棱长为 a 的正方体，E 为 A A 的中点，F 为 CC
1 1 1 1 1 1
上一点，求三棱锥 A −D EF 的体积．
1 1
30. 已知四棱锥 P−ABCD 中，PA 垂直于直角梯形 ABCD 所在的平面，BA⊥AD，
BC∥AD，M 是 PC 的中点，且 AB=AD=AP=2，BC=4．
（1）求证：DM∥平面PAB；
（2）求三棱锥 M−PBD 的体积．答案
1 1 √3 √3
1. D 【解析】设三棱锥 B
1
−ABC 的高为 ℎ，则 V
三棱锥B 1 −ABC
=
3
S
△ABC
ℎ =
3
×
4
×3=
4
．
2. D
3. C
4. B
5. C
6. B 【解析】由三视图可得，该几何体为如图所示的正方体 ABCD−A B C D 截去三棱锥
1 1 1 1
D −ACD 和三棱锥 B−A B C 后的剩余部分．
1 1 1 1
其表面为六个腰长为 1 的等腰直角三角形和两个边长为 √2 的等边三角形，
1 √3
所以其表面积为 6× ×12+2× ×(√2) 2=3+√3．
2 4
7. C
8. A 【解析】如图所示，图 1 中，连接 AC 与 BD 相交于点 O，
AC⊥BD，
1
则 OA=OC= AC=1，
2
图 2 中，△OAC 是等边三角形，OA⊥BD，OC⊥BD，OA∩OC=O，OA⊂平面OAC，
OC⊂平面OAC，
所以 BD⊥平面OAC，1 1 √3 √3
所以三棱锥 A−BCD 的体积 = ×S ×BD= × ×12×2= ．
3 △OAC 3 4 6
9. C
10. B
【解析】由题意可知四棱锥 O−ABCD 的侧棱长为 5．
因为侧面中底面边长为 6 和 2√5，它们的斜高为 4 和 2√5，
所以棱锥 O−ABCD 的侧面积为 S=4×6+2√5×2√5=44．
11. D 【解析】因为 E，F 分别为棱长为 1 的正方体的棱 A B ，B C 的中点，
1 1 1 1
所以 EF∥A C ，
1 1
又 A C ∥AC，
1 1
故点 G 到 EF 的距离为定值，
则 △EFG 面积为定值，
当点 H 与点 A 重合时，为平面构不成四面体，故只能无限接近点 A，
当点 H 与点 A
1
重合时，ℎ 有最大值，体积有最值，
所以四面体体积有最大值，无最小值．
12. B
13. B 【解析】设点 E 到平面 PBD 的距离为 ℎ，点 C 到平面 PBD 的距离为 ℎ，
1 2
由 CE=2EP 得 ℎ :ℎ =1:3，
1 2
因为点 A 到平面 PBD 的距离与点 C 到平面 PBD 的距离相等，
1
所以三棱锥 P−ABD 的体积 V =V = S ⋅ℎ，
2 A−PBD 3 △PBD 2
1
又三棱锥 P−EBD 的体积 V =V = S ⋅ℎ，
1 E−PBD 3 △PBD 1
V ℎ 1
则
1= 1=
，故选B．
V ℎ 3
2 2
14. C 【解析】四面体 ABCD 达到最大体积时，AO⊥平面BCD，设此时的高为 ℎ，
1 √3 81√3
则 × ×(3√3) 2 ℎ = ，
3 4 4
2
所以 ℎ =9，设球的半径为 R，则 R2= (√3 ×3√3 ) +(9−R) 2 ，
3
所以 R=5，1 √3
所以四面体 OBCD 的体积为 × ×(3√3) 2 ×(9−5)=9√3．
3 4
15. C
√3
【解析】如图，在正三角形 ABC 中，D 为 BC 中点，则有 AD= ，AB=√3，
2
1
S = ×2×√3=√3．
△DB 1 C 1 2
又因为 平面BB C C⊥平面ABC，平面BB C C∩平面ABC=BC，AD⊥BC，
1 1 1 1
AD⊂平面ABC，所以 AD⊥平面BB C C，即 AD 为三棱锥 A−B DC 的高．
1 1 1 1
1 1
所以 V = S ⋅AD= ×√3×√3=1．
三棱锥A−B 1 DC 1 3 △DB 1 C 1 3
16. D 【解析】如图，设正三棱锥 A−BCD 的外接球的球心为 O，连接 AO 并延长交底面 BCD
于 E，则 AE⊥平面BCD，连接 DE 并延长交 BC 于 F，则 DF⊥BC．设正三棱锥的底面边
长为 a，高为 ℎ，
√3
由题易得 OE= ℎ−4，DE= a，
3
则在直角三角形 OED 中，OD2=OE2+DE2，
2
即 42=(ℎ−4) 2+ (√3 a ) ，
3
1
整理得 8ℎ−ℎ 2= a2 ，
3
1
因为
a2>0，
3
所以 8ℎ−ℎ 2>0，
所以 0< ℎ <8．
又因为正三棱锥的体积1 √3 √3 √3
V = × a2 ℎ = (8ℎ−ℎ 2) ℎ = (8ℎ 2−ℎ 3)，
3 4 4 4
√3
所以 Vʹ= (16ℎ−3ℎ 2)，
4
16
所以 Vʹ=0，解得 ℎ = 或 ℎ =0（舍去），
3
所以函数 V = √3 (8ℎ 2−ℎ 3) 在 ( 0, 16) 上单调递增，在 (16 ,8 ) 上单调递减，
4 3 3
16
所以当 ℎ = 时，V 取得最大值．
3
17. D 【解析】如图，
3
由 ⃗AM=⃗AD+ ⃗BC 知，DM∥BC，
5
所以 ∠MDA=∠CBA，
S DM⋅AD 9
所以 △AMD= = ．
S BC⋅AB 20
△ABC
因为三棱锥 P−ABC 与三棱锥 P−AMD 同高，
V S 9
所以
P−AMD= △AMD=
．
V S 20
P−ABC △ABC
18. A 【解析】四棱锥如图，
设底面正方形边长的一半为 x，
则有 AO=√(5−x) 2−x2−x2=√−x2−10x+25，
4 4
V = ⋅x2 ⋅√−x2−10x+25= √−x6−10x5+25x4 ．
3 3设 y=−x6−10x5+25x4，
则 yʹ=−6x5−50x4+100x3=2x3(−3x2−25x+50)=2x3(x+10)(−3x+5)，
5
由 yʹ=0，可得 x=−10（舍）或 x= ，
3
500√2
所以 V = ．
max 81
19. A
20. C
3√3
21.
4
π 4
22. ，
4 3
8√6
23.
3
√3
【解析】因为正四棱锥的正视图是正三角形，正视图的底面边长为 a，高为 a，
2
所以正四棱锥的斜高为 a，
因为图1得出：因为将一张边长为 6cm 的纸片按如图1所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形，
√2 a
所以 ×6=a+ ，a=2√2，
2 2
1 √3 8√6
所以正四棱锥的体积是 a2× a= cm3 ．
3 2 3
24. 12
【解析】因为一个六棱锥的体积为 2√3，其底面是边长为 2 的正六边形，侧棱长都相等，
1 √3
所以棱锥是正六棱锥，设棱锥的高为 ℎ，则 ×6× ×22 ⋅ℎ =2√3，
3 4
所以 ℎ =1，
棱锥的斜高为： √ ℎ 2+ (√3 ×2 ) 2 =√1+3=2，
2
1
该六棱锥的侧面积为：6× ×2×2=12．
325√13
25. 3√39，
26
【解析】如图所示，在正三棱锥 A−BCD 中，A 在平面 BCD 内的投影 E 为等边 △BCD 的中
心．
2
底面边长为 6，则 ED= FD=2√3，
3
1 1 1
在 Rt△AED 中，利用勾股定理得到 AE=√13，V = Sℎ = × ×6×6sin60∘×√13=3√39．
3 3 2
如图所示，正三棱锥 A−BCD 的外接球的球心在 AE 上，设为 O，
OE=√13−R，ED=2√3，OD=R，
利用勾股定理得到 R2=(√13−R) 2+(2√3) 2 ，
25√13
所以 R= ．
26
√3 √3+√39
26. V = ，S= ．
12 4
27. 如图，连接 EB，EC，AC．1
V = ×42×3=16．
四棱锥E−ABCD 3
因为 AB=2EF，EF∥AB，
所以 S =2S ．
△EAB △BEF
所以 V
三棱锥F−EBC
= V
三棱锥C−EFB
1
= V
2 三棱锥C−ABE
1
= V
2 三棱锥E−ABC
1 1
= × V
2 2 四棱锥E−ABCD
= 4.
所以多面体的体积 V =V +V =16+4=20．
四棱锥E−ABCD 三棱锥F−EBC
28. 由祖暅原理可知底面积和高分别相等的两个三棱锥的体积相等．
所以 V =V ．
A −ABC B−B A C
1 1 1
又 S =S ，
△BB C △BC C
1 1 1
所以 V =V ，且 V =V （它们是同一三棱锥），
A −BB C A −BCC B−B A C A −BB C
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
所以 V =V =V ．
A −ABC B−B A C A −BCC
1 1 1 1 1 1
故三棱柱 ABC−A B C 可分割为三个体积相等的三棱锥，它们是三棱锥 A −ABC，三棱锥
1 1 1 1
B−A B C ，三棱锥 A −BCC ．
1 1 1 1 1
29. 由 V =V ，
三棱锥A −D EF 三棱锥F−A D E
1 1 1 1
1 1
因为 S = EA ⋅A D = a2 ，
△A 1 D 1 E 2 1 1 1 4
又三棱锥 F−A D E 的高为 CD=a，
1 1
1 1 1
所以 V = ×a× a2= a3 ，
三棱锥F−A 1 D 1 E 3 4 12
1
所以 V = a3 ．
三棱锥A 1 −D 1 EF 12
1
30. （1） 取 PB 中点 N，连接 AN，MN，则 MN∥BC，MN= BC，
21
因为 AD∥BC，AD= BC，
2
所以 MN∥AD，MN=AD，
所以四边形 MNAD 是平行四边形．
所以 DM∥AN．
因为 DM⊄平面PAB，AN⊂平面PAB，
所以 DM∥平面PAB．
（2） 法一：
1
S = BC⋅AB=4，
ΔBCD 2
1 8
V = S ⋅PA= ，
P−BCD 3 ΔBCD 3
1 1 1 8 4
V = V = V = × = ．
M−PBD 2 C−PBD 2 P−BCD 2 3 3
法二：
因为 PA⊥平面ABCD，
所以 PA⊥BC，
又 BC⊥AB，AB∩PA=A，
所以 BC⊥平面PAB，
又 AN⊂平面PAB，
所以 BC⊥AN，
因为 AB=AP，
所以 AN⊥PB，而 BC∩PB=B，
所以 AN⊥平面PBC．
因为 DM∥AN，
所以 DM⊥平面PBC，
在直角三角形 PAB 中，PB=2√2，AN=√2，BC=4，
1 1 1
由 BC⊥平面PAB 得到 BC⊥PB，S = S = ⋅ ⋅PB⋅BC=2√2．
ΔPBM 2 ΔPBC 2 2
又由（1）得 DM=AN=√2，
1 1 4
V =V = S ⋅DM= ×2√2×√2= ．
M−PBD D−PBM 3 ΔPBM 3 3
