文档内容
石景山区 2022-2023 学年第一学期初三期末试卷
数学
第一部分选择题
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 如果 ，那么 的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据比例的性质即可得到结论．
【
详解】解：∵ ，
∴ ．
故选：C．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
2. 如图，在 中， ．若 ， ，则 的长为（ ）
A. 2 B. C. D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】利用锐角三角函数定义列式得出答案．
【详解】解：∵ ， ，∴ ，
∴ ，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了利用正弦三角函数进行计算，掌握正弦三角函数定义是解题关键．
3. 如图，点 在 上，若 ，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接根据圆周角定理即可得出答案．
【详解】解： ，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
4. 如图，在菱形 中，点E在 上， 与对角线 交于点F．若 ， ，则 为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】D【解析】
【分析】由菱形的性质证明 ，可得 ，再利用相似三角形的性质可得答案．
【详解】解：∵菱形 ， ，
∴ ， ，
∴ ，而 ，
∴ ．
故选D．
【点睛】本题考查的是菱形的性质，相似三角形的判定与性质，证明 是解本题的关键．
5. 将抛物线 向上平移2个单位长度，平移后的抛物线的表达式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】解：把抛物线 向上平移2个单位长度，所得直线解析式为： ,
即 ；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
6. 若圆的半径为9，则 的圆心角所对的弧长为（ ）
A. 3 B. 6 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据弧长的计算公式计算即可．【详解】解： .
故选：D．
【点睛】本题考查了求弧长，解题的关键是掌握弧长的公式，在代入圆心角度数时，n的值一定不要带度
数．
7. 若二次函数 的图象与x轴有交点，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】抛物线与 轴有交点，说明 ，由此即可求解．
【详解】解：根据题意得 ，
解得 ．
故选：B．
【点睛】本题考查了抛物线与 轴的交点：对于二次函数 （ ， ， 是常数， ），
决定抛物线与 轴的交点个数： 时，抛物线与 轴有2个交点；
时，抛物线与 轴有1个交点； 时，抛物线与 轴没有交点．
8. 如图，线段 ，点 在线段 上（不与点 重合），以 为边作正方形 ，设
， ，正方形 的面积为 ，则 与 ， 与 满足的函数关系分别为（
）
A. 一次函数关系，二次函数关系 B. 反比例函数关系，二次函数关系
C. 一次函数关系，反比例函数关系 D. 反比例函数关系，一次函数关系【答案】A
【解析】
【分析】通过 ，可得到 与 的函数关系，通过正方形 的面积可得到 与
的函数关系．
【详解】解： ，
，
，
所以 与 是一次函数关系；
，
，
所以 与 是二次函数关系；
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的定义，解题的关键是通过题意准确找出关系式．
第二部分非选择题
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 如图，在 中，D、E分别是边AB、AC的中点，若 的面积是1，则 的面积是______；
【答案】4
【解析】
【分析】据三角形中位线定理得到DE∥BC，DE= BC，得到△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质计算即
可．
【详解】解：∵D、E分别是边AB、AC的中点，
∴DE∥BC，DE= BC，∴△ADE∽△ABC，
∴S ：S =（ ）2= ，
ADE ABC
△ △
的面积是1，
的面积是4
故答案为：4．
【点睛】本题考查的是相似三角形的性质、三角形中位线定理的应用，掌握相似三角形的面积比等于相似
比的平方是解题的关键．
10. 如图，在 中， ，点D在 边上，点E在 边上且 ．只需添加一个条件
即可证明 ，这个条件可以是___________（写出一个即可）．
【答案】
【解析】
【分析】由相似三角形的判定定理可求解．
【详解】解：添加 ，
又∵ ，
∴ ，
故答案为： （答案不唯一）．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是本题的关键．
11. 如图， ， 分别与 相切于A，B两点．若 ， ，则 的长为
___________．【答案】
【解析】
【分析】连接 ，由切线长定理可得 ，从而可得出 ，最后由勾股定
理得出 ．
【详解】解：连接 ，如图，
∵ ， 分别与 相切于A，B两点．且 ，
∴ ， ，
∴ ，
在 中， ， ，
由勾股定理得， ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了切线的性质，切线长定理，直角三角形的性质等知识，熟练运用切线的性质是本题的
关键．
12. 抛物线 的对称轴为直线___________．
【答案】
【解析】【分析】把解析式化为顶点式即可求得答案．
【详解】解： ，
对称轴是直线 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．
13. 在平面直角坐标系 中，若点 ， 在反比例函数 的图象上，则
___________ （填“>”，“=”或“＜”）．
【答案】>
【解析】
【分析】根据反比例函数的性质，当 ，在每个象限内，y随x的增大而减小，进行判断即可．
【详解】解：∵ ，在每个象限内，y随x的增大而减小，
∴ ，
∴ ．
故答案为：>．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握函数的性质是解决问题的关键．
14. 如图，线段 ， 分别表示甲、乙建筑物的高， 于点B， 于点D，两座建
筑物间的距离 为 ．若甲建筑物的高 为 ，在点A处测得点C的仰角 为 ，则乙建筑物
的高 为___________m．【答案】55
【解析】
【分析】过点A作 于点E，可得 再求出 ，从而可求出结
论．
【详解】解：过点A作 于点E，如图，
可得，四边形 是矩形，
∴
∵
∴
∴
故答案为：55
【点睛】本题考查了直角三角形中三角函数的应用，考查了特殊角的三角函数值，本题中求得 的长是
解题的关键．
15. 如图，点A，B，C在 上， ．若点D为 上一点（不与点A，C重合），则
的度数为___________．【答案】 或
【解析】
【分析】分两种情况：当点D在优弧 上时，当点D在劣弧 上时，根据圆内接四边形的性质，即可
得出答案．
【详解】解：
分两种情况：
当点D在优弧 上时，根据圆内接四边形的性质，可知 ，
当点D在劣弧 上时， ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，正确理解题意是解题的关键．
16. 如图，在平面直角坐标系 中，二次函数 的图象与x轴交于 ，B
两点，对称轴是直线 ，下面四个结论中，
①
②当 时，y随x的增大而增大
③点B的坐标为
④若点 ， 在函数的图象上，则
所有正确结论的序号是___________．【答案】①④
【解析】
【分析】根据二次函数图象的性质即可判断．
【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，
∴ ，故①正确；
由图象可得，当 时，y随x的增大而增大，故②错误；
∵二次函数 的图象与x轴交于 ，B两点，对称轴是直线 ，
∴点B的坐标为 ，故③错误；
∵点 ， 在函数的图象上，
∴
∴ ，故④正确
∴正确的结论是①④
故答案为：①④
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象性质．
三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22题6分，第23题5分，第24-26题，每
题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】根据实数的混合运算，特殊角的三角函数值，二次根式的混合运算计算即可．
【详解】解：．
【点睛】本题考查实数的混合运算，特殊角的三角函数值，二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键．
18. 如图，A是直线 上一点， ，过点B作 于点D，过点C作 于点
E．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）分别证明 ，即可得出结论；
（2）先由勾股定理求出 ，再结合相似三角形的性质得出比例式，再代入相关数值即可得出结论．
【小问1详解】
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
在 和 中，
∴
【小问2详解】
在 中， ，
由勾股定理得， ，
∵ ，
∴ ，
∴
∴
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，证明 是解答本题的关键．
19. 已知：如图1，P为 上一点．
求作：直线 ，使得 与 相切．
作法：如图2，①连接 ；
②以点P为圆心， 长为半径作弧，与 的一个交点为A，作射线 ；
③以点A为圆心， 长为半径作圆，交射线 于点Q（不与点O重合）；
④作直线 ．
直线 就是所求作的直线．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接 ．
由作法可知 ，
∴点P在以 为直径的 上．
∴ ___________°（___________）（填推理的依据）．
∴ ．
又∵ 是 的半径，
∴ 是 的切线（___________）（填推理的依据）．
【答案】（1）见解析 （2）90，直径所对的圆周角是直角；过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切
线
【解析】
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）利用圆周角定理解决问题即可．
【小问1详解】
如图，
【小问2详解】证明：连接 ．
由作法可知 ，
∴点P在以 为直径的 上．
∴ （直径所对的圆周角是直角）．（填推理的依据）
∴ ．
又∵ 是 的半径，
∴ 是 的切线（过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线）（填推理的依据）．
故答案为：90，直径所对的圆周角是直角；过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线
【点睛】本题主要考查了复杂作图，圆周角定理，切线的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解
决问题．
20. 《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中第九卷《勾
股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一
尺，问径几何？”
用现代的语言表述如下，请解答：
如图， 是 的直径，弦 于点E， 寸， 寸，求直径 的长．
【答案】直径 的长为26寸
【解析】【分析】连接 ，由直径 与弦 垂直，根据垂径定理得到E为 的中点，由 的长求出
的长，设 寸，则 寸， 寸，由勾股定理得出方程，解方程求出半径，即
可得出直径 的长．
【详解】解：连接 ，
∵弦 ， 为圆O的直径，
∴E为 的中点，
又∵ 寸，
∴ 寸，
设 寸，则 寸， 寸，
由勾股定理得： ，
即 ，
解得： ，
∴ 寸，
即直径 的长为26寸．
【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理；解答此类题常常利用垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，弦心距及圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．
21. 在平面直角坐标系 中，二次函数 的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左
侧），顶点为C．
（1）直接写出点B，点C的坐标；
（2）画出这个二次函数的图象；
（3）若点 ， 在此二次函数的图象上，则m的值为___________．
【答案】（1）点 ，点
（2）见解析 （3）4
【解析】
【分析】（1）根据题目中的函数解析式，可以求得该函数与x轴、y轴的交点，将题目中的函数解析式化
为顶点式即可直接写出该函数的顶点坐标；
（2）根据（1）中求得的各点的坐标，可以画出该函数的图象；
（3）判断出直线 轴，且点 ， 关于直线 对称，根据对称性可得结论．
【小问1详解】
∵二次函数 ，
∴当 时， ；当 时， ；该函数的顶点坐标是 ，
∵二次函数 的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），顶点为C，
∴点A的坐标为 ，点 ，点 ；
【小问2详解】
如图所示．【小问3详解】
∵点 ，
∴直线 轴，
∴点 ， 关于直线 对称，
∴ ，解得 ，
故答案为：4
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的
性质和数形结合的思想解答．
22. 如图，在 中， ， ， ，求 的长．
【答案】 的长为4
【解析】
【分析】过 作 于 ，在Rt 和Rt 中，根据角度和三角函数值可将 用
表示出来，再根据 ，即可求得 的长，最后利用三角函数即可求得 的长．
【详解】解：如图所示：过 作 于 ，，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
∴ 的长为4．
【点睛】本题考查了锐角三角函数、勾股定理，解本题的关键在熟练掌握正切的定义．
23. 在平面直角坐标系 中，反比例函数 的图象经过点 ，一次函数
的图象与y轴交于点B．（1）求反比例函数的表达式并直接写出点 的坐标；
（2）当 时，对于 的每一个值，都有 ，直接写出 的取值范围．
【答案】（1）反比例函数的表达式为 ；
（2）
【解析】
【分析】（1）待定系数法求解析式，对于直线 令 ，得 ，求得点 的坐标；
（2）令 中， ，解得： ，结合函数图象即可求解．
【小问1详解】
解：依题意，把点 ，代入
得 ，
∴反比例函数的表达式为 ；
由 的图象与y轴交于点B，
令 ，得 ，
∴ ；
【小问2详解】
解：如图，令 中， ，解得： ，
当直线 经过点 时，
解得： ，根据函数图象可知，当 时，
当 时，对于 的每一个值，都有 ，
∴
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，待定系数法求解析式，数形结合是解题的关键．
24. 为了在校运动会的推铅球项目中取得更好的成绩，小石积极训练，铅球被推出后的飞行路线可以看作
是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，从铅球出手（点A处）到落地的过程中，铅球的竖
直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系 ．
小石进行了两次训练．
（1）第一次训练时，铅球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
水平距离
0 1 2 3 4 5 6 7 8竖直高度
1.6 2.1 2.4 2.5 2.4 2.1 1.6 0.9 0
根据上述数据，求出满足的函数关系 ，并直接写出小石此次训练的成绩（铅球落
地点的水平距离）；
（2）第二次训练时，小石推出的铅球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系
．记小石第一次训练的成绩为 ，第二次训练的成绩为 ，则
___________ （填“>”，“=”或“＜”）．
【答案】（1） ；小石此次训练的成绩 m
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据表格中的数据找到顶点坐标，即可得出 、 的值，训练高度的最大值；将表格中除
顶点坐标之外的一组数据代入函数关系式即可求出 的值即可得出函数解析式；
（2）设着陆点的纵坐标为 ，分别代入第一次和第二次的函数关系式，求出铅球落地点 的水平距离
和 ，然后进行比较即可．
【小问1详解】
解：根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为： ，
， ，
即该运动员竖直高度的最大值为 ，
根据表格中的数据可知，当 时， ，代入 得：
，
解得： ，
函数关系式为： ，由表格数据可知：第一次训练时的水平距离为8m；
【小问2详解】
解：根据表格可知，第一次训练时的水平距离 ，
第二次训练时，当 时， ，解得
，（舍 ）
水平距离 ，
，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，得出 和 是解题的关键．
25. 如图， 是 的直径，C，D是 上的点且 ，过点D作 交 的延长线于
点E．
（1）求证： 是 的切线；
（2）连接 ，若 ， ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）如图：连接 .根据圆周角定理可得 ，再根据等腰三角形的性质可得，进而得到 可得 ，再由平行的性质可得 ，最后
由切线的性质即可证明结论；
（2）连接 ，根据直径所对圆周角是直角，利用三角函数可以求出 ，再利用 得到
解题即可．
【小问1详解】
证明：如图，连接 .
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ .
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∵ 为 的半径，
∴ 是 的切线．
【小问2详解】解：如图，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是直径，
∴
∴ ，
∵ ，
∴ ，
【点睛】本题主要考查了切线的判定与性质、圆周角定理，解决本题掌握切线的判定与性质和圆周角定理
是解答本题的关键．
26. 在平面直角坐标系 中，点 在抛物线 上，抛物线与x轴有两个交点
， ，其中 ．
（1）当 时，求抛物线的表达式及顶点坐标；
（2）点 在抛物线上，若 ，求 的取值范围．
【答案】（1） ，（2）
【解析】
【分析】（1）直接将 ， 代入抛物线解析式求解即可；
（2）利用二次函数的图象和性质求解即可；
【小问1详解】
解：当 ，将点 代入得：
，
解得： ，
故抛物线的解析式为： ，顶点坐标为 ；
【小问2详解】
解：∵ ， 是抛物线 与x轴的两个交点， ，
∴ ，
∵点 在抛物线上，∴ 在抛物线上
∵点 在抛物线上，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，又∵ 时，y随x增大而增大， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质的运用，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
27. 如图，四边形 是正方形，以点A为中心，将线段 顺时针旋转 ，得到线段
，连接 ， ．
（1）求 的度数；
（2）过点B作 于点F，连接 ，依题意补全图形，用等式表示线段 与 的数量关系，
并证明．
【答案】（1）
（2） ，见详解
【解析】
【分析】（1）求出 的度数，即可求出 ；
（2）依题意补全图形，连接BD，证 即可求出 与 的数量关系．
【小问1详解】
解：在正方形ABCD中，AB=AD=BC， ，
，， ，
【小问2详解】
解： ，
理由：根据题意补全图形，连接BD，
，
，
由（1）知 ，
，
，
在 中， ，
，
又 ，
，
，
，
，
，【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质等
知识，连接BD，证 是解本题的关键．
28. 在平面直角坐标系 中，图形 上任意两点间的距离若有最大值，将这个最大值记为 ．对于点
和图形 给出如下定义：点 是图形 上任意一点，若 两点间的距离有最小值，且最小值恰好
为 ，则称点 为图形 的“关联点”．（1）如图1，图形 是矩形 ，其中点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，则
___________．在点 ， ， ， 中，矩形 的“关联点”是
___________；
（2）如图2，图形 是中心在原点的正方形 ，其中 点的坐标为 ．若直线 上存在
点 ，使点 为正方形 的“关联点”，求 的取值范围；
（3）已知点 ， ．图形 是以 为圆心，1为半径的 ，若线段 上存在点
，使点 为 的“关联点”，直接写出 的取值范围．
【答案】（1）5；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由点 可得， ，再根据题意将点 到矩形 的最
短距离算出来，若大小等于 ，则符合题意，即可求解；（2）先求出正方形 上任意两点之间的最大距离为 ，再根据直线 在
坐标轴内平移，找出直线上关联点 到正方形 距离等于 时的临界点时 的值即可求出答案；
（3）根据题意可知图形 上任意两点之间的最大距离为2，再根据画出图形，找到临界值即可求出 的取
值范围．
【小问1详解】
解：由题意得，
，
，
到矩形 的最小距离为：1， ，不符合题意；
到矩形 的最小距离为： ，符合题意；
到矩形 的最小距离为：1， ，不符合题意；
到矩形 的最小距离为： ，符合题意，
的
故 是矩形 “关联点”；
【小问2详解】
解：根据题意可得，正方形 上任意两点之间的最大距离为 ，
根据题意画出临界点如图所示：当直线经过点 时， 为最大值，当直线经过 时， 为最小值，
，
，
当直线经过点 时， ，解得 ，当直线经过 时， ，解得 ，
所以 取值范围为： ；
【小问3详解】
解： 图形 是以 为圆心，1为半径的 ，
图形 上任意两点间的距离的最大值为2，
画出图如图所示：当 时，此时 取得最小值，且 ，
由勾股定理可得： ，
的最小值为 ，
当 到 是如图所示位置时， 的值最大，此时 ，
，
的最大值为4，
故 的取值范围为： ．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中 的新定义题型，读懂题意结合所学知识是解本题的关键．
