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2023届高考数学三轮冲刺卷：正弦定理
一、选择题（共20小题；）
π
1. 已知 △ABC 中，a=2√3，b=2√2，B= ，那么满足条件的 △ABC ()
4
A. 有一个解 B. 有两个解 C. 不能确定 D. 无解
3
2. 如图所示，在 △≝¿ 中，M 在线段 DF 上，DE=3，DM=EM=2，sinF= ，则边 EF
5
的长为 ()
49 15√7 15 5√7
A. B. C. D.
16 16 4 4
3. △ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．若 c=√2，b=√6，B=120∘，则 a 等于
()
A. √6 B. 2 C. √3 D. √2
π
4. 在 △ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．若 a=√2，b=√3，A= ，则角 B=
4
()
π π π 5π π 2π
A. B. C. 或 D. 或
6 3 6 6 3 3
π
5. 设 △ABC 的内角 A，B，C 所对边分别为 a，b，c 若 a=3，b=√3，A= ，则 B= ()
3
π 5π π 5π 2π
A. B. C. 或 D.
6 6 6 6 3
π
6. 在 △ABC 中，∠A＝ ，BC＝3，AB＝√6，则 ∠C＝ ()
3
π π 2π π π 3π
A. B. 或 C. D. 或
3 3 3 4 4 4
7. 在 △ABC 中，已知 b=40，c=20，C=60∘，则此三角形的解的情况是 ()
A. 有一解 B. 有两解
C. 无解 D. 有解但解的个数不确定
8. 已知 △ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 a=4，b=5，A=45∘，则满
足条件的三角形有 ()
A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 无法确定2sin2B−sin2A
9. 在 △ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若 3a=2b，则
sin2A
的值为 ()
1 1 7
A. − B. C. 1 D.
9 3 2
10. 根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是 ()
A. a=8，b=16，∠A=30∘，有两解
B. b=18，c=20，∠B=60∘，有唯一解
C. a=5，b=2，∠A=90∘，无解
D. a=30，b=25，∠A=150∘，有唯一解
a b c
11. 在 △ABC 中，若 = = ，则 △ABC 是 ()
cosA cosB cosC
A. 直角三角形 B. 等边三角形
C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形
12. 在 △ABC 中，若 a=2，b=2√3，A=30∘，则 B= ()
A. 60∘ B. 60∘ 或 120∘ C. 30∘ D. 30∘ 或 150∘
5
13. 在 △ABC 中，已知 a=4，b= ，5cos(B+C)+3=0，则角 B 的大小为 ()
2
π π π 5π
A. B. C. D.
6 4 3 6
14. 在 △ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 bsin2A+√2asinB=0，
c
b=√2c，则 的值为 ()
a
√3 √5 √7
A. 1 B. C. D.
3 5 7
15. 在 △ABC 中，a=80，b=100，A=30∘，则 B 的解的个数是 ()
A. 无解 B. 两个解 C. 一个解 D. 不确定
16. 设锐角三角形 ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a=2，B=2A，则 b
的取值范围为 ()
A. (0,4) B. (2,2√3) C. (2√2,2√3) D. (2√2,4)
17. 已知 △ABC 中，a=5，b=3，C=120∘，则 sinA 的值为 ()
5√3 5√3 3√3 3√3
A. B. − C. D. −
14 14 14 14
18. 已知 △ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a=1，a+b+c=3，且
√3
csin AcosB+asinBcosC= a，则 △ABC 的面积为 ()
2√3 3√3 3√3 2√3 √3
A. 或 B. C. D.
4 4 3 3 4
19. 海上 A，B 两个小岛相距 10 海里，从 A 岛望 C 岛和 B 岛成 60∘ 的视角，从 B 岛望
C 岛和 A 岛成 75∘ 的视角，则 B，C 间的距离是 ()
10√6
A. 10√3 海里 B. 海里 C. 5√2 海里 D. 5√6 海里
3
π
20. 在 △ABC 中，∠ABC= ,AB=√2,BC=3，则 sin∠BAC= ()
4
√10 √10 3√10 √5
A. B. C. D.
10 5 10 5
二、填空题（共5小题；）
π 1
21. 在 △ABC 中，若 b=5，∠B= ，sinA= ，则 a= ．
4 3
22. 判断正误．
在 △ABC 中，已知 a，b，A，则能求出唯一的角 B．
23. 如图所示，在一岸边选定两点 A，B，望对岸标记物 C，测得 ∠CAB=30∘，∠CBA=75∘，
AB=120m，则 BC 为 m．
24. 我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设 △ABC 三
个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，面积为 S，则“三斜求积”公式为
S=
√ 1[
a2c2−
(a2+c2−b2
)
2]
．若 a2sinC=4sinA，(a+c) 2=12+b2，则用“三斜求积”公
4 2
式求得 △ABC 的面积为 ．
√3
25. 已知 △ABC 的三个内角 A，B，C 的对应边分别为 a，b，c，且 S = a2．则使得
△ABC 12
sin2B+sin2C=msinBsinC 成立的实数 m 的最大值是 ．
三、解答题（共5小题；）
26. 半径 R 为 1 的圆内接三角形 ABC 的面积 S =1，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，
△ABC
c，求 abc 的值．
27. 已知 a，b，c 分别为 △ABC 三个内角 A，B，C 的对边，acosC+√3asinC−b−c=0．（1）求 A；
（2）若 a=2，△ABC 的面积为 √3，求 b，c．
28. 在锐角 △ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 2asinB=√3b．
（1）求角 A 的大小；
（2）若 a=6，b+c=8，求 △ABC 的面积．
29. 在 △ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，√3bsinC=ccosB+c．
（1）求角 B；
1 1
（2）若 b2=ac，求 + 的值．
tanA tanC
30. 已 知 △ABC 的 内 角 A， B， C 的 对 边 分 别 为 a， b， c， 若 c=2a，
1
bsinB−asin A= asinC．
2
（1）求 sinB 的值；
( π)
（2）求 sin 2B+ 的值．
3答案
π
1. B 【解析】由题可知：a=2√3，b=2√2，B= ，
4
√2
asinB=2√3⋅ =√6，由 √6b，B 为锐角，
π
所以 B= ．
6
3 √6
BC AB =
6. C 【解析】由正弦定理 = ，即 π sinC，
sin A sinC sin
3√2
所以 sinC＝ ．
2
π 3π
所以 C= （C＝ 时，三角形内角和大于 π，不合题意舍去）．
4 4
b c
7. C 【解析】由正弦定理得 = ，
sinB sinC
√3
40×
所以 bsinC 2 ．
sinB= = =√3>1
c 20
所以角 B 不存在，即满足条件的三角形不存在．
8. C 【解析】如图所示．
因为 5⋅sin A=5⋅sin45∘<4<5，所以 △ABC 有两解．
a sinA 2 sin2A 4
9. D 【解析】因为 3a=2b，所以由正弦定理得 = = ．所以 = ，
b sinB 3 sin2B 9
2sin2B−sin2A 7
= ．
sin2A 2
10. D
a b
【解析】对于 A，由 = 得 sinB=1，所以 ∠B=90∘，有唯一解．
sinA sinB
csinB 20sin60∘ 5√3
对于 B，由正弦定理，sinC= = = <1，所以 ∠C 有解．
b 18 9
又由于 c=20>18=b，且 ∠B=60∘，所以 ∠C 有两解，其中一解为锐角且大于 60∘，另一解为钝
角．
对于 C，△ABC 为直角三角形，∠A=90∘，且 a>b，可知有唯一解．
对于 D，△ABC 为钝角三角形，∠A=150∘，且 a>b，可知有唯一解．
11. B 【解析】由正弦定理及题意得
2Rsin A 2RsinB 2RsinC
= = ，
cosA cosB cosC
即 tanA=tanB=tanC，
所以 A=B=C．a b bsin A 2√3sin30∘ √3
12. B 【解析】由 = ，得 sinB= = = ．
sinA sinB a 2 2
因为 b>a，
所以 B>A，
所以 B=60∘ 或 B=120∘．
3
13. A 【解析】由 5cos(B+C)+3=0，得 cosA= ，
5
4
所以 sinA= ．
5
5 4
×
由正弦定理，得 bsin A 2 5 1，
sinB= = =
a 4 2
又因为 bb，a>c，故 2a>b+c，与 a=1，b+c=2 矛盾．
3
π
所以 A= ，
3
由余弦定理得 a2=b2+c2−2bccosA=(b+c) 2−3bc=1，
所以 bc=1，
1 1 √3 √3
所以 S= bcsin A= ×1× = ．
2 2 2 4
19. D 【解析】根据题意，画出示意图．
在 △ABC 中，A=60∘，B=75∘，AB=10，
所以 C=45∘．
AB BC
由正弦定理可得 = ，
sinC sin A
10 BC
=
即 √2 √3，
2 2
所以 BC=5√6（海里）．
20. C
【解析】由余弦定理得：
π
AC2=AB2+BC2−2AB⋅BC⋅cos∠ABC=(√2) 2+32−2⋅√2⋅3⋅cos =5，∴AC=√5．
4
3 √5 √5
BC AC = =
又由正弦定理可得： = ，即 sin∠BAC sin∠ABC π ．
sin∠BAC sin∠ABC sin
4
3
∴sin∠BAC= √10．
10
5√2
21.
31
5×
a b bsin A 3 5√2
【解析】根据正弦定理 = ，得 a= = = ．
sinA sinB sinB √2 3
2
22. ×
23. 60(√6−√2)
【解析】由题意知，∠ACB=180∘−30∘−75∘=75∘，
由正弦定理，
AB
BC = ⋅sin∠CAB
sin∠ACB
120 1
¿ = ×
√6+√2 2
4
¿ ¿
24. √3
【解析】据正弦定理：由 a2sinC=4sin A，可得：ac=4，
由于 (a+c) 2=12+b2，可得：a2+c2−b2=4，
√ 1[ (a2+c2−b2 ) 2] √1
可得：S= a2c2− = ×(16−4)=√3．
4 2 4
25. 4
【解析】因为 sin2B+sin2C=msinBsinC，
所以 b2+c2=bcm，
b2+c2
所以 m= ，
bc
√3 1
因为 S = a2= bcsinA，
△ABC 12 2
6bcsin A
所以
a2=
，
√3
b2+c2−a2 m a2 m
所以 cosA= = − = −√3sinA，
2bc 2 2bc 2
( π)
所以 m=2cosA+2√3sin A=4sin A+ ，
6
( π) π
所以当 sin A+ =1 即 A= 时，m 取得最大值 4．
6 3
1 c
26. 由扩充的正弦定理及三角形面积公式，得 ab⋅ =1．所以 abc=4．
2 2R
27. （1） 由 acosC+√3asinC−b−c=0，及正弦定理得
sin AcosC+√3sin AsinC−sinB−sinC=0,因为 B=π−A−C，所以
√3sin AsinC−cosAsinC−sinC=0.
由于 sinC≠0，所以
( π) 1
sin A− = .
6 2
π
又 00，
所以 √3sinB−cosB=1，
( π) 1 π π 5π π π
所以 sin B− = ，−
