文档内容
哈三中 2024—2025 学年度上学期高三学年十月月考
数学试卷
考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间
为120分钟.
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚.
2.选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整，
字迹清楚.
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、
试题卷上答题无效.
4.保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀.
第I卷（选择题，共58分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. 设集合 ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
2. 已知 是关于 的方程 的一个根，则 （ ）
A. 20 B. 22 C. 30 D. 32
3. 已知 ， ， ，则 的最小值为（ ）
A. 2 B. C. D. 4
4. 数列 中，若 ， ， ，则数列 的前
项和 （ ）
A. B. C. D.
5. 在 中， 为 中点， ， ，若
，则 （ ）
A. B. C. D.
6. 在三棱柱 中，点 在棱 上，且 ，点 为
中点，点 在棱 上，若 平面 ，则 （ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
7. 已知偶函数 定义域为 ，且 ，当 时，
，则函数 在区间 上所有零点的和为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知平面向量 ， ， ，满足 ，且 ，
，则 的最小值为（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 对于函数 ，下列说法正确的是（ ）
A. 函数 最大值为
B. 是函数 图象的一个对称中心
C. 是函数 图象的一个对称轴
D. 将函数 的图象向右平移 个单位，即可得到函数 的图象
10. 在正方形 中， ， 为 中点，将 沿直线 翻折至
位置，使得二面角 为直二面角，若 为线段 的中点，则下列
结论中正确的是（ ）
A. 若点 在线段 上，则 的最小值为
B. 三棱锥 的体积为
C. 异面直线 、 所成的角为
D. 三棱锥 外接球的表面积为11. 已知函数 ，则下列结论中正确的是（ ）
A. 函数 有两个零点
B. 恒成立
C. 若方程 有两个不等实根，则 的范围是
D. 直线 与函数 图象有两个交点
第II卷（非选择题，共92分）
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上.
12. 等差数列 中， 是其前 项和.若 ， ，则
______.
13. 在 中， ， 的平分线与 交于点 ，且 ，
，则 的面积为______.
14. 已知三棱锥 中， 平面 ， ， ，
， ， 、 分别为该三棱锥 内切球和外接球上的动点，则
线段 的长度的最小值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在三棱柱 中， ， ， ，
， 为 中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
16. 已知函数 .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）设函数 ，若 在 恒成立，求实数 的取值
范围.17. 已知在锐角 中， ， ， 分别为内角 ， ， 的对边，
.
（1）求 ；
（2）若 ， 为 中点， ，求 ；
（3）若 ，求 内切圆半径的取值范围.
18. 某汽车销售公司为了提升公司的业绩，将最近一段时间内每日的汽车销售情况进行了统计，如图所示.
（1）求 的值，并求该公司这段时间内每日汽车销售量的第60百分位数；
（2）以频率估计概率，若在这段时间内随机选择4天，设每日汽车销售量在 内的天数为
，在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，求 的分布列及数学期望；
（3）为增加销售量，公司规定顾客每购买一辆汽车可以进行一次抽奖活动，规则如下：在三棱锥
中， 、 均是边长为2的正三角形， ，现从写有数字
1~8的八个标签中
随机选择两个分别贴在 、 两个顶点，记顶点 、 上的数字分别为 和 ，
若 为侧棱 上一个动点，满足 ，当“二面角 大于 ”即为
中奖，求中奖的概率.
19. 如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， ， 是 中
点， 平面 ， .
（1）求四棱锥 体积 最大值；
（2）设 ， 为线段 上的动点.
①求平面 与平面 的夹角余弦值的取值范围；
②四棱锥 外接球记为球 ，当 为线段 中点时，求平面
截球 所得的截面面积.
