2023届高考数学三轮冲刺卷：数列通项的求法
一、选择题（共20小题；）
1. 数列 {a } 的前 n 项积为 n2，那么当 n≥2 时，{a } 的通项公式为 ()
n n
(n+1) 2 n2
A. a =2n−1 B. a =n2 C. a = D. a =
n n n n2 n (n−1) 2
2. 观察数列 2，5，11，20，x，47，⋯，其中 x 等于 ()
A. 28 B. 32 C. 33 D. 27
3. 若 S 是数列 {a } 的前 n 项和，且 S =n2，则 {a } 是 ()
n n n n
A. 等比数列，但不是等差数列 B. 等差数列，但不是等比数列
C. 等差数列，而且也是等比数列 D. 既非等比数列又非等差数列
4. 在数列 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,⋯ 中，第 25 项为 ()
A. 25 B. 6 C. 7 D. 8
5. 已知数列 {a } 满足 a =2，a −a =a a ，那么 a 等于 ()
n 1 n+1 n n+1 n 31
3 2 1 2
A. − B. − C. − D. −
58 59 30 61
6. 下 列 关 于 星 星 的 图 案 构 成 一 个 数 列 ， 则 该 数 列 的 一 个 通 项 公 式 是 ()
n(n−1) n(n+1) n(n+2)
A. a =n2−n+1 B. a = C. a = D. a =
n n 2 n 2 n 2
7. 在项数为 (2n+1) 的等差数列中，所有奇数项的和为 165，所有偶数项的和为 150，则 n 等
于 ()
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
2a
8. 在数列 {a } 中，a =1，a = n (n∈N∗)，则 a = ()
n 1 n+1 a +2 5
n
1 2 1 2
A. B. C. D.
3 5 2 3
9. 已知数列 {a } 的前 n 项和 S 满足：S +S =S ，且 a =1，那么 a = ()
n n n m n+m 1 10
A. 1 B. 9 C. 10 D. 55
n
10. 若数列 {a } 满足 a +3a +32a +⋯+3n−1a = (n∈N )，则 a = ()
n 1 2 3 n 2 + n
1 1 n 1
A. B. C. D.
2×3n−1 2n 3n 3×2n−11
11. 已知 y=f (x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x>0 时，f (x)=x−2，那么不等式 f (x)< 的
2
解集是 ()
5 3
A. {x∣0<x< ¿¿ B. {x∣− <x<0¿¿
2 2
3 5 3 5
C. {x∣− <x<0或0<x< ¿¿ D. {x∣x<− 或0≤x< ¿¿
2 2 2 2
12. 已知 S 是数列 {a } 的前 n 项和，且 S =S +a +3，a +a =23，则 S = ()
n n n+1 n n 4 5 8
A. 72 B. 88 C. 92 D. 98
13. 已知数列 {a } 的前 n 项和 S =n2−9n，第 k 项满足 5<a <8，则 k 等于 ()
n n k
A. 9 B. 8 C. 7 D. 6
( 1)
14. 在数列 {a } 中，a =2，a =a +lg 1+ ，则 a = ()
n 1 n+1 n n n
A. 2+lgn B. 2+(n−1)lgn
C. 2+nlgn D. 1+nlgn
15. 如图，坐标纸上的每个单元格的边长为 1，由下往上有六个点：1,2,3,4,5,6，每个点的横坐标
分别对应数列 {a }(n∈N∗) 的第 1,3,5,7,9,11 项、每个点的纵坐标分别对应数列
n
{a }(n∈N∗) 的第 2,4,6,8,10,12 项，按如此规律下去，则 a +a +a 等于 ()
n 2009 2010 2011
A. 1003 B. 1005 C. 1006 D. 2011
16. 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图中的 1，3，6，10，
⋯，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数，由以上规律，则这些三角形数从小到
大形成一个数列 {a }，那么 a 的值为 ()
n 10A. 45 B. 55 C. 65 D. 66
17. 在一个有穷数列每相邻两项之间添加一项，使其等于两相邻项的和，我们把这样的操作叫做该
数列的一次“H扩展”．已知数列 1，2．第一次“H扩展”后得到 1，3，2，第二次“H扩
展”后得到 1，4，3，5，2．那么第 10 次“H扩展”后得到的数列的项数为 ()
A. 1023 B. 1025 C. 513 D. 511
18. 在等差数列 {a } 中，其公差 d≠0，若 S =S ，现有以下四个命题：
n 7 12
① S =0；
19
② S =S ；
10 9
③若 d>0，则 S 有最大值；
n
④若 d>0，则 S 有最小值．
n
则关于这四个命题，正确的是 ()
A. ①②③ B. ①②④ C. ①④ D. ②③
19. 某大学进行自主招生时，需要进行逻辑思维和阅读表达两项能力的测试．学校对参加测试的
200 名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名，其中甲、乙、丙
三位同学的排名情况如下图所示：
下列叙述一定正确的是 ()
A. 甲同学的阅读表达成绩排名比他的逻辑思维成绩排名更靠前
B. 乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前
C. 甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前D. 乙同学的总成绩排名比丙同学的总成绩排名更靠前
20. 如图，点 A ，A ，⋯，A ，⋯ 和 B ，B ，⋯，B ，⋯ 分别在角 O 的两条边上，所有
1 2 n 1 2 n
A B 相互平行，且所有梯形 A B B A 的面积均相等．设 OA =a ．若 a =1，a =2，
n n n n n+1 n+1 n n 1 2
则数列 {a } 的通项公式是 ()
n
n+√3n−2
A. a =√3n−2 B. a =n C. a =2n−1 D. a =
n n n n 2
二、填空题（共5小题；）
21. 若数列 {a } 的前 n 项和为 S =2n−2n+3，则 a +a = ．
n n 3 4
22. 已知数列 {a } 的前 n 项和 S =n2−2n+1，则 a = ．
n n 3
23. 记 S 为数列 {a } 的前 n 项和，若 S =2a +1，则 S = ．
n n n n 6
24. 已知 S 是数列 {a } 的前 n 项和，且 S =n2−11n(n∈N∗)，则 a = ，
n n n 1
S 的最小值为 ．
n
1
25. 已知 S =4−a − (n∈N∗)，则数列 {a } 的通项公式 a = ．
n n 2n−2 n n
三、解答题（共5小题；）
26. 数列 {a } 中，a =1，对所有的 n≥2，都有 a ⋅a ⋅a ⋅⋯⋅a =n2，求数列 {a } 的通项公
n 1 1 2 3 n n
式 a ．
n
27. 求数列 2，0，2，0，2，⋯ 的通项公式．
1 n+1
28. 数列 {a } 满足：a = ，a = a ，记数列 {a } 的前 n 项和为 S ．
n 1 2 n+1 2n n n n
（1）求数列 {a } 的通项公式；
n
（2）求 S ．
n
1 2 n 3
29. 已知数列 {a } 满足： + +⋯+ = (32n−1)，n∈N∗．
n a a a 8
1 2 n
（1）求数列 {a } 的通项公式；
n
a 1 1 1
（2）设 b =log n，求 + +⋯+ ．
n 3 n b b b b b b
1 2 2 3 n n+11 1
30. 已知等比数列 {a } 中，a = ，公比 q= ．
n 1 3 3
1−a
（1）若 S 为 {a } 的前 n 项和，证明：S = n；
n n n 2
（2）设 b =log a +log a +⋯+log a ，求数列 {b } 的通项公式．
n 3 1 3 2 3 n n答案
T n2
1. D 【解析】设数列 {a } 的前 n 项积为 T ，则 T =n2，当 n≥2 时，a = n = ．
n n n n T (n−1) 2
n−1
2. B
3. B
4. C 【解析】答案：C
n(n+1) 6×7
解析：当n=6时，数列有 = =21项，所以第25项是7．
2 2
5. B
1 1
【解析】由已知可得 − =−1，
a a
n+1 n
1 1
设 b = ，则数列 {b } 是以 为首项，
n a n 2
n
公差为 −1 的等差数列．
1 59
所以 b = +(31−1)×(−1)=− ，
31 2 2
2
所以 a =− ．
31 59
6. C 【解析】从图中可观察星星的构成规律，第 n 个星星图案中第一行有一个星星，后面每行比
上一行多一个星星，一共有 n 行，第 n 行有 n 个星星，所以第 n 个图案中一共有星星的个数为
n(n+1)
．
2
(2n+1)(a +a )
7. B 【解析】S +S =315= 1 2n+1 =(2n+1)a ，S −S =15=a +nd=a ，
奇 偶 2 n+1 奇 偶 1 n+1
所以 (2n+1)×15=315，所以 n=10．
2a 1 1 1
8. A 【解析】由 a = n ，得 = + ，
n+1 a +2 a a 2
n n+1 n
又因为 a =1，
1
{1 } 1
所以数列 是以 1 为首项，以 为公差的等差数列，
a 2
n
1 1 n+1
则
=1+ (n−1)=
，
a 2 2
n
2
所以 a = ．
n n+1
2 1
所以 a = = ．
5 6 3
9. A 【解析】由题意可推得 S +S =S ，所以 S −S =S =a =1，即 a =1，所以 a =1．
n 1 n+1 n+1 n 1 1 n+1 10
10. An
【解析】因为 a +3a +32a +⋯+3n−1a = ，⋯⋯ ①
1 2 3 n 2
n−1
所以 a +3a +32a +⋯+3n−2a = ，⋯⋯ ②
1 2 3 n−1 2
n n−1 1 1
由① − ②可知，3n−1a = − ，所以 a = × ．
n 2 2 n 2 3n−1
11. D
12. C
13. B 【解析】当 n≥2 时，a =S −S =(n2−9n)−[(n−1) 2−9(n−1)]=2n−10；
n n n−1
当 n=1 时，a =S =−8，满足上式．
1 1
所以 a =2n−10(n∈N∗)．
n
由 5<a <8 得 5<2k−10<8，解得 7.5<k<9．
k
又 k∈N∗，因此 k=8．
14. A 【解析】方法一：
n+1
因为 a −a =lg ，
n+1 n n
所以当 n≥2 时，
a =(a −a )+(a −a )+⋯+(a −a )+a
n n n−1 n−1 n−2 2 1 1
¿ =lg
( n
⋅
n−1
⋅⋯⋅
3
⋅
2)
+2
n−1 n−2 2 1
¿ ¿
因为 a =2=lg1+2，
1
所以 a =lgn+2．
n
方法二：
因为 a =a +lg(n+1)−lgn，
n+1 n
所以 a −lg(n+1)=a −lgn，
n+1 n
所以数列 {a −lgn} 是常数列，即 a −lgn=a −lg1=2，
n n 1
则 a =2+lgn．
n
15. B
【解析】提示：这个数列的规律是奇数项为：1,−1,2,−2,3,−3；偶数项为：1,2,3,4．
16. B
17. B 【解析】设第 n 次“H扩展”后得到的数列的项数为 a ，
n
则第 n+1 次“H扩展”后得到的数列的项数为 a =2a −1，
n+1 n
所以 a −1=2(a −1)，
n+1 n
a −1
所以 n+1 =2，
a −1
n
又 a −1=3−1=2，
1
所以 {a −1} 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，
n所以 a −1=2⋅2n−1 ，
n
所以 a =2n+1，
n
所以 a =210+1=1025．
10
18. B 【解析】由 S = d n2+ ( a − d) n 和 S =S ⇒S =0，可知①②④都对．
n 2 1 2 m n m+n
19. C
20. A
1 S
【解析】设 S =S ，S =S，由题意可得， = 0 ，得 S=3S ，所以
△OA 1 B 1 0 A n B n B n+1 A n+1 22 S +S 0
0
a2 S +(n−2)S 3n−5 a2 a2 a2 1 4 3n−5
n−1= 0 = ，所以 1 ⋅ 2⋯ n−1= ⋅ ⋯ ，所以 a =√3n−2．
a2 S +(n−1)S 3n−2 a2 a2 a2 4 7 3n−2 n
n 0 2 3 n
21. 8
22. 3
【解析】因为 S =9−6+1=4，S =4−4+1=1，
3 2
所以 a =S −S =4−1=3．
3 3 2
23. −63
24. −10，−30
n
25.
2n−1
【解析】因为
1
S =4−a − ⋯⋯①,
n n 2n−2
所以
1
a =1,S =4−a − ⋯⋯②,
1 n+1 n+1 2n−1
②−①，得
1
2a =a + (n∈N∗).
n+1 n 2n−1
所以
2n+1a =2na +2,
n+1 n
n
{2na } 是以 2 为首项，2 为公差的等差数列，求得 a = ．
n n 2n−1
26. ∵ a ⋅a ⋅a ⋅⋯⋅a =n2 ⋯①，
1 2 3 n
∴ a ⋅a ⋅a ⋅⋯⋅a =(n−1) 2 ⋯②，
1 2 3 n−1n2
两式相除得 a = ，n≥2，
n (n−1) 2
{
n2
, n≥2
当 n=1 时，a =1，所以 a = (n−1) 2 ，n∈N∗．
1 n
1, n=1
27. 可以将数列分成奇、偶项写出，也可以将数列中的两种数看成：2=1+1，0=1−1，故它的通项公
{2,n是奇数,
式可以写成 a = 或 a =1−(−1) n ．
n 0,n是偶数. n
a 1 a
28. （1） 由已知得 n+1 = ⋅ n，
n+1 2 n
{a }
所以数列 n 为等比数列，
n
a
n=
1
⋅
(1) n−1
，
n 2 2
(1) n
即 a =n ．
n 2
1 (1) 2 (1) n
（2） S =1⋅ +2⋅ +⋯+n⋅ ,⋯⋯①
n 2 2 2
1 (1) 2 (1) 3 (1) n+1
所以 S =1⋅ +2⋅ +⋯+n⋅ .⋯⋯②
2 n 2 2 2
(1) n−1 (1) n
①−② 整理得到 S =2− −n ．
n 2 2
1 3
29. （1） = (32−1)=3，当 n≥2 时，
a 8
1
n ( 1 2 n ) ( 1 2 n−1)
= + +⋯+ − + +⋯+
a a a a a a a
n 1 2 n 1 2 n−1
¿
=32n−1.
n n
当 n=1， =32n−1 也成立，所以 a = ．
a n 32n−1
n
a 1 1 1( 1 1 )
（2） b =log n=−(2n−1)．所以 = = − ．
n 3 n b b (2n−1)(2n+1) 2 2n−1 2n+1
n n+1
1 1 1 1[ 1 1 1 1 1 )
+ +⋯+ = 1− + − +⋯+ −
b b b b b b 2 3 3 5 2n−1 2n+1
1 2 2 3 n n+1
n
¿ = .
2n+1
1( 1 ) 1
1− 1−
1 (1) n−1 1 3 3n 3n
30. （1） 由题知 a = × = ，S = = ，
n 3 3 3n n 1 2
1−
31−a
所以 S = n．
n 2
n(n+1)
（2） b =log a +log a +⋯+log a =−(1+2+⋯+n)=− ．
n 3 1 3 2 3 n 2
n(n+1)
所以 {b } 的通项公式为 b =− ．
n n 2
