文档内容
第 39 讲 直线与平面、平面与平面垂直
【基础知识全通关】
一、直线和平面垂直的定义与判定
1.直线和平面垂直的定义
如果直线 和平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 与平面 互相垂直，记作
.直线 叫平面 的垂线；平面 叫直线 的垂面；垂线和平面的交点叫垂足.
【点石成金】
(1)定义中“平面 内的任意一条直线”就是指“平面 内的所有直线”，这与“无数条
直线”不同，注意区别.
(2)直线和平面垂直是直线和平面相交的一种特殊形式.
(3)若 ，则 .
2.直线和平面垂直的判定定理
文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．
图形语言：
符号语言：
特征：线线垂直 线面垂直
【点石成金】
(1)判定定理的条件中：“平面内的两条相交直线”是关键性词语，不可忽视.
(2)要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线
和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则无关紧要.
相关的重要结论
①过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；过一点与已知平面垂直的直线有且只有一
条．
②如果两条平行线中的一条与一个平面垂直，那么另一条也与这个平面垂直．
③如果两个平行平面中的一个与一条直线垂直，那么另一个也与这条直线垂直．
二、直线与平面所成的角
1．直线与平面所成角的定义
一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线.过斜线上
斜足外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.平面的一
条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这
个平面所成的角.【点石成金】
(1)直线与平面平行，直线在平面上的射影是一条直线.
(2)直线与平面垂直时射影是点.
(3)斜线上任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上.
2．直线与平面所成的角 的范围：
直线和平面相交
直线和平面平行或直线在平面内， =0°．．
直线和平面所成角的范围是0°≤ ≤90°．
3．求斜线与平面所成角的一般步骤：
(1)确定斜线与平面的交点即斜足；
(2)经过斜线上除斜足外任一点作平面的垂线，确定垂足，进而确定斜线在平面内的射影；
(3)解由垂线、斜线及其射影构成的直角三角形，求出线面角．
三、二面角
1.二面角定义
平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面.从一条直线出发的两个半
平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.
表示方法：棱为 、面分别为 的二面角记作二面角 .有时为了方便，
也可在 内(棱以外的半平面部分)分别取点 ，将这个二面角记作二面角
.如果棱记作 ，那么这个二面角记作二面角 或 .
2.二面角的平面角
(1) 二面角的平面角的定义：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内
分别作垂直于棱的射线，则这两条射线构成的角叫做二面角的平面角.
(2)二面角的平面角 的范围：0°≤ ≤180°．当两个半平面重合时， =0°；当两个半平面
相交时，0°＜ ＜180°；当两个半平面合成一个平面时， =180°．
二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.
(3) 二面角与平面角的对比
角 二面角
图形
定义 从半面内一点出发的两条射线（半直线）所 从空间内二直线出发的两个半平面所组
组成的图形 成的图形
表示 由射线、点（顶点）、射线构成，表示为 由半平面、线（棱）、半平面构成，表
法 ∠AOB
示为二面角
(4) 二面角的平面角的确定方法
方法1：（定义法）在二面角的棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射
线．
如右图，在二面角 的棱 a 上任取一点 O，在平面 内过点 O 作
OA⊥a，在平面 内过点O作BO⊥a，则∠AOB为二面角 的平面角．
方法2：（垂面法）过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面
产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．
如下图（左），已知二面角 ，
过棱上一点O作一平面 ，使 ，且 ， ．
∴ ， ，且 ⊥OA， ⊥OB，
∴∠AOB为二面角 的平面角．
方法3：（垂线法）过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，
利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角，此种方法通常用于求二面角的所有题目，
具体步骤：一找，二证，三求．
如上图（右），已知二面角A-BC-D，求作其平面角．
过点A作AE⊥平面BCD于E，过E在平面BCD中作EF⊥BC于F，连接AF．
∵AE⊥平面BCD，BC 平面BCD，∴AE⊥BC．
又EF⊥BC，AE∩EF=E，
∴BC⊥平面AEF，∴BC⊥AF由垂面法可知，∠AFE为二面角A-BC-D的平面角．
四、平面与平面垂直的定义与判定
1.平面与平面垂直定义
定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直.
表示方法：平面 与 垂直，记作 .
画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.如图：
2.平面与平面垂直的判定定理
文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.
符号语言：
图形语言：
特征：线面垂直 面面垂直
【点石成金】
平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直.通
常我们将其记为“线面垂直，则面面垂直”.因此，处理面面垂直问题转化为处理线面垂直
问题，进一步转化为处理线线垂直问题.以后证明平面与平面垂直，只要在一个平面内找到
两条相交直线和另一个平面内的一条直线垂直即可.
五、直线与平面垂直的性质
1.基本性质
文字语言：一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线.
符号语言：
图形语言：
2.性质定理
文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行.符号语言：
图形语言：
3．直线与平面垂直的其他性质
（1）若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．
（2）若 于 ， ，则 ．
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行．
（4）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面．
【点石成金】
线面垂直关系是线线垂直、面面垂直关系的枢纽，通过线面垂直可以实现线线垂直和面面
垂直关系的相互转化．
六、平面与平面垂直的性质
1．性质定理
文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
符号语言：
图形语言：
【点石成金】
面面垂直的性质定理是作线面垂直的依据和方法，在解决二面角问题中作二面角的平面角
经常用到．这种线面垂直与面面垂直间的相互转化，是我们立体几何中求解（证）问题的
重要思想方法．
2．平面与平面垂直性质定理的推论
如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一
个平面内．
七、垂直关系的综合转化
线线垂直、线面垂直、面面垂直是相互联系的，能够相互转化，转化的纽带是对应的定
义、判定定理和性质定理，具体的转化关系如下图所示：在解决问题时，可以从条件入手，分析已有的垂直关系，早从结论探求所需的关系，从而
架起条件与结论的桥梁．
垂直间的关系可按下面的口诀记忆：
线面垂直的关键，定义来证最常见，
判定定理也常用，它的意义要记清．
平面之内两直线，两线交于一个点，
面外还有一条线，垂直两线是条件．
面面垂直要证好，原有图中去寻找，
若是这样还不好，辅助线面是个宝．
先作交线的垂线，面面转为线和面，
再证一步线和线，面面垂直即可见．
借助辅助线和面，加的时候不能乱，
以某性质为基础，不能主观凭臆断，
判断线和面垂直，线垂面中两交线．
两线垂直同一面，相互平行共伸展，
两面垂直同一线，一面平行另一面．
要让面和面垂直，面过另面一垂线，
面面垂直成直角，线面垂直记心间．
【考点研习一点通】
考点01直线和平面垂直的定义
例1．下列命题中正确的个数是( )
①如果直线 与平面 内的无数条直线垂直，则 ；
②如果直线 与平面 内的一条直线垂直，则 ；
③如果直线 不垂直于 ，则 内没有与 垂直的直线；
④如果直线 不垂直于 ，则 内也可以有无数条直线与 垂直．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】当直线 与平面 平行或在平面 内时，在平面 内都有直线与直线 垂直，故
在平面 内存在一组平行线（无数条）与 垂直，因此①②③均错，④正确．
【总结】“无数条直线”只说明直线的条数有无穷多，而“任意条直线”除能说明直线无
穷多条外，还说明直线的位置关系是任意的，是不受限制的．解题时一定要加以区别．
【变式1-1】下列命题中正确的个数是( )①如果直线 与平面 内的无数条直线垂直，则 ；
②如果直线 与平面 内的一条直线垂直，则 ；
③如果直线 不垂直于 ，则 内没有与 垂直的直线；
④如果直线 不垂直于 ，则 内也可以有无数条直线与 垂直．
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式1-2】设直线 与平面 相交但不垂直，则下列说法中正确的是（ ）
A．在平面 内有且只有一条直线与直线 垂直
B．过直线 有且只有一个平面与平面 垂直
C．与直线 垂直的直线不可能与平面 平行
D．与直线 平行的平面不可能与 垂直
考点02直线与平面垂直的判定
例2．如图，已知空间四边形 ABDC的边BC=AC，AD=BD，作BE⊥CD，E为垂
足，作AH⊥BE于H，求证：AH⊥平面BCD．
【点拨】要证AH⊥平面BCD，只需利用直线和平面垂直的判定定理，证 AH垂直平
面BCD中两条相交直线即可．
【解析】
证明：取AB中点F，连CF，DF，
∵BC=AC，∴CF⊥AB．
又∵AD=BD，∴DF⊥AB，
∴AB⊥平面CDF，∴AB⊥CD．
又BE⊥CD，且AB∩BE=B，
根据直线与平面垂直的判定定理，直线CD⊥平面ABE．
∴CD⊥AH．
而AH⊥BE，CD∩BE=E，∴AH⊥平面BCD．
【总结】本题主要考查线面垂直的判定，关键是找到平面BCD内与AH垂直的两条相交直
线，要证线面垂直，需证线线垂直；要证线线垂直，需证线面垂直，即通过判定定理实现
线线垂直与线面垂直的互相转化．
【变式2-1】如图，已知直三棱柱ABC—ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=2，AA=4，D是
1 1 1 1
棱AA 上的任一点，M，N分别为AB，BC 的中点．
1 1
（1）求证：MN∥平面DCC ；
1
（2）试确定点D的位置，使得DC ⊥平面DBC．
1考点03直线和平面所成的角
例3．如图，三棱锥A-SBC中，∠BSC=90°，∠ASB=∠ASC=60°，SA=SB=SC。
求直线AS与平面SBC所成的角。
【点拨】确定AS在平面SBC上的射影是关键，即找过点A的平面SBC的垂线。因为
∠ASB=∠ASC=60°，SA=SB=SC，所以△ASB与△ASC都是等边三角形。
因此，AB=AC。
【解析】
取BC的中点D，连接AD，SD，则AD⊥BC。
设SA=a，则在Rt△SBC中， ， 。
在Rt△ADC中， ，则AD2+SD2=SA2，所以AD⊥SD。
又BC∩SD=D，所以AD⊥平面SBC。因此，∠ASD即为直线AS与平面SBC所成的角。
在Rt△ASD中， ，所以∠ASD=45°，即直线AS与平面SBC所成的角为
45°。
【总结】求直线与平面所成的角的步骤：作角，即作出或找到斜线与它的射影所成的角；
证角，即证明所作的角即为所求；求角，求角或角的三角函数值。其中作角是关键，而确
定斜线在平面内的射影是作角的突破口。
考点04二面角
例 4．已知 Rt△ABC，斜边 BC ，点 ，AO⊥ ，O 为垂足，∠ABO=30°，
∠ACO=45°，求二面角A-BC-O的大小。
【答案】60°
【解析】 如图所示，在平面 内，过O作OD⊥BC，垂足为D，连接AD。
设OC=a，∵AO⊥ ，BC ，∴AO⊥BC。
又∵AO∩OD=O，∴BC⊥平面AOD。
而AD 平面AOD，
∴AD⊥BC，∴∠ADO是二面角A-BC-O的平面角。
由AO⊥ ，OB ，OC 知AO⊥OB，AO⊥OC。
又∠ABO=30°，∠ACO=45°，∴AO=a， ，AB=2a。
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，
∴ ，∴ 。
在Rt△AOD中， 。
∴∠ADO=60°，即二面角A-BC-O的大小是60°。
【总结】本题是用垂线法作二面角的平面角，求二面角的平面角关键是找出（或作出）平
面角，再把平面角放到三角形中求解。
【变式4-1】 如图，在五面体ABCDEF中，四边形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，
BC∥AD，CD=1， ，∠BAD=∠CDA=45°。
（1）求异面直线CE与AF所成角的余弦值；
（2）证明：CD⊥平面ABF；
（3）求二面角B—EF—A的正切值。
考点05平面与平面垂直的判定
例5．如图，在四棱锥P—ABCD中，PA=PB=PD=AB=BC=CD= DA=DB=2，E为PC的中
点．
（1）求证：PA∥平面BDE；
（2）求证：平面PBC⊥平面PDC．
【点拨】
（1）连接AC交BD于O，连接EO，PO，证明PA∥EO，利用直线与平面平行的判定定理
证明PA∥平面BDE．
（2）在△PAC中，推出∠APC=90°，求出PC，然后证明BE⊥DE，BE⊥PC，得到BE⊥面
PDC，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面PBC⊥平面PDC．【证明】（1）连接AC交BD于O，连接EO，PO
∵四边形ABCD是菱形，∴O是AC中点，
又E为PC中点，∴PA∥EO
又EO 面BDE，PA 面BDE，∴PA∥平面BDE
（2）在△PAC中，易得
∴∠APC=90°，∴
∴在△PDC中可求得 ，同理在△PBC中可求得
∴在△BDE中可得∠BED=90°，即BE⊥DE
又PB=BC，E为PC中点，∴BE⊥PC
BE⊥面PDC，又BE 面PBC
∴平面PBC⊥平面PDC
【考点易错】
1. 如 图 ， 已 知 ⊥ 平 面 ABC ， ∥ ， AB=AC=3 ，
，点E和F分别为BC和 的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面 ；
（Ⅱ）求证：平面 平面 ；
（Ⅲ）求直线 与平面 所成角的大小．
2.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，
PA=AB=BC，E是PC的中点．
（1）证明：AE⊥CD；
（2）证明：PD⊥平面ABE．3.如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥
平面ACE。
（1）求三棱锥D—AEC的体积；
（2）设M在线段AB上，且满足AM=2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面
DAE。
4．如图，在底面是正方形的四棱锥P—ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于点E，F是
PC中点，G为AC上一点。
（1）求证：BD⊥FG；
（2）确定点G在线段AC上的位置，使FG∥平面PBD，并说明理由；
（3）当二面角B—PC—D的大小为 时，求PC与底面ABCD所成角的正切
值。5．如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，
∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．
（1）证明：AE⊥CD；
（2）证明：PD⊥平面ABE．
6.如图，三角形ABCD中， ，ABED是边长为1的正方形，平面
ABED⊥底面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点。
（1）求证：GF∥底面ABC；
（2）求证：AC⊥平面EBC；
（3）求几何体ADEBC的体积V。
7.如图，四边形 ABCD 为矩形，四边形 ADEF 为梯形，AD∥FE，∠AFE=60°，且平面
ABCD⊥平面ADEF， ，点G为AC的中点。（1）求证：EG∥平面ABF；
（2）求三棱锥B—AEG的体积；
（3）试判断平面BAE与平面DCE是否垂直？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由。
【巩固提升】
1．下列表述正确的个数为（ ）
①若直线a∥平面 ，直线a⊥b，则b⊥ ；
②若直线a 平面 ，b ，且a⊥b，则a⊥ ；
③若直线a平行于平面 内的两条直线，则a∥ ；
④若直线a垂直于平面 内两条直线，则a⊥ ．
A．0 B．1 C．2 D．3
2．经过平面 外一条直线的平面中，与平面 垂直的平面（ ）
A．有且只有一个 B．一定有无数多个
C．有1个或无数多个 D．不一定存在
3．对于两条不相交的空间直线a与b，必存在平面 ，使得（ ）
A． ， B． ，b∥
C．a⊥ ，b⊥ D．a ，b⊥
4． ， ， 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）
1 2 3
A． ⊥ ， ⊥ ∥
1 2 2 3 1 3
B． ⊥ ， ∥ ⊥
1 2 2 3 1 3
C． ∥ ∥ ， ， 共面
1 2 3 1 2 3
D． ， ， 共点 ， ， 共面
1 2 3 1 2 3
5．设有直线m、n与平面 、 ，则下列命题中正确的是（ ）
A．若m∥n，m ，n ，则 ∥
B．若m⊥ ，m⊥n，n ，则 ∥C．若m∥n，n⊥ ，m ，则 ⊥
D．若m⊥n，n⊥ ，m ，则 ⊥
6．在三棱柱ABC—AB C 中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点 D是侧面BB C C的中
1 1 1 1 1
心，则AD与平面BB C C所成角的大小是（ ）
1 1
A．30° B．45° C．60° D．90°
7．三棱锥S—ABC中，∠SBA=∠SCA=90°，△ABC是斜边AB=a的等腰直角三角形，则以
下结论中：
①异面直线SB与AC所成的角为90°；②直线SB⊥平面ABC；
③平面SBC⊥平面SAC；④点C到平面SAB的距离是 ．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，正四面体ABCD的顶点A，B，C分别在两两垂直的三条射线Ox，Oy，
Oz上，则在下列命题中，错误的为（ ）
A．O—ABC是正三棱锥 B．直线OB∥平面ACD
C．直线AD与OB所成的角是45° D．二面角D—OB—A为45°
9．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现
在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B、C、D三点重合，重合后的点
记为H，那么，在这个空间图形中必有（ ）
A．AG⊥△EFH所在平面 B．AH⊥△EFH所在平面
C．HF⊥△AEF所在平面 D．HG⊥△AEF所在平面
10．已知m、 是直线， 、 是平面，给出下列命题：
①若 垂直于 内两条相交直线，则 ；
②若 平行于 ，则 平行于 内的所有直线；
③若 ， ，且 ，则 ；
④若 ，且 ，则 ；
⑤若 ， ，且 ，则 ．
其中正确的命题的序号是________．11．如图，二面角 的大小是60°，线AB ，B∈ ，AB与 所成的角为30°，
则AB与平面 所成的角的正弦值是________．
12．已知矩形ABCD的边AB=a，BC=3，PA⊥平面ABCD，若BC边上有且只有一点M，使
PM⊥DM，则a的值为________．
13．如图，在圆锥 PO 中，已知 ，⊙O 的直径 AB=2，点 C 在 上，且
∠CAB=30°，D为AC的中点．
（1）证明：AC⊥平面POD；
（2）求直线OC和平面PAC所成角的正弦值．
14．某高速公路收费站入口处的安全标识墩如下图（1）所示．墩的上半部分是正四棱锥P
—EFGH，下半部分是长方体ABCD—EFGH．图（2）、图（3）分别是该标识墩的正
（主）视图和俯视图．
（1）请画出该安全标识墩的侧（左）视图；
（2）求该安全标识墩的体积；
（3）证明：直线BD⊥平面PEG．
15．如图，在三棱台DEF—ABC中，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点．
（Ⅰ）求证：BD∥平面FGH；
（Ⅱ）若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF=DE，∠BAC=45°，求平面FGH与平面ACFD所成
F
的角（锐角）的大小． D
E
O
G
C
A
H
B16．如图，已知四棱台ABCD—A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，
AA1=6，且A1A⊥底面ABCD，点P、Q分别在棱DD1，BC上，BQ=4．
（1）若 ，证明：PQ∥平面ABBA；
1 1
（2）若P是DD的中点，证明：AB⊥平面PBC．
1 1
17．如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AB=1，点F是PB的中点，点E在
边BC上移动．
（1）点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；
（2）证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF．18．如图，在底面是正方形的四棱锥P—ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于点E，F
是PC中点，G为AC上一动点．
（1）求证：BD⊥FG；
（2）确定点G在线段AC上的位置，使FG∥平面PBD，并说明理由．
（3）如果PA=AB=2，求三棱锥B—CDF的体积．
