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专题 8.2 空间中的平行和垂直关系
题型一 线面平行、面面平行的判定定理
题型二 补全平行的条件
题型三 线面平行、面面平行的性质定理
题型四 线面垂直、面面垂直的判定定理
题型五 补全垂直的条件
题型六 线面垂直、面面垂直的性质定理
题型七 判断平行，垂直的有关命题
题型八 平行，垂直的综合应用
题型一 线面平行、面面平行的判定定理
例1．（2023春·福建泉州·高一校联考阶段练习）如图，已知四棱锥 中，
， 、 分别是 、 的中点， 底面ABCD，且
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ，求三棱锥 的体积．
例2．（2023春·江苏盐城·高三江苏省响水中学校考期中）如图，正三棱柱 的
所有棱长都等于2，E，F，G分别为 ， ，AB的中点．(1)求证：平面 平面BEF；
练习1．（2022春·甘肃兰州·高一兰州市第二中学校考期末）如图， 中，
， 是正方形，平面 平面 ，若 、 分别是 、
的中点．
(1)求证： 平面 ；
练习2．（2023·安徽安庆·安庆一中校考三模）如图,四棱锥 中, 底面
为 的中点.
(1)若点 在 上, ,证明: 平面 ;
练习3．（2023春·黑龙江牡丹江·高一校考阶段练习）如图，已知矩形 所在平面垂
直于直角梯形 所在平面， ， 分别
是 的中点.(1)设过三点 的平面为 ，求证：平面 平面 ；
(2)求四棱锥 与三棱锥 的体积之比.
练习4．（2023·四川·校联考模拟预测）如图，在四棱锥 中， 平面 ，
四边形 为矩形， 为棱 的中点， 与 交于点 为 的重心.
(1)求证： 平面 ；
练习5．（2023·全国·高三专题练习）已知点 ， 分别是正方形 的边 ， 的
中点.现将四边形 沿 折起，如图所示.若点 ， 分别是 ， 的中点，求证：
平面 .
题型二 补全平行的条件
例3．（2023·全国·高三专题练习）如图，四棱锥 的底面 为平行四边形，
分别为 的中点.(1)证明：AF 平面 ；
(2)在线段 上是否存在一点 ，使得 平面 ，并给出必要的证明.
例4．（2023·贵州毕节·统考模拟预测）三棱柱 中，四边形 是菱形，
，平面 平面 ， 是等腰三角形， ， ，
与 交于点M， ， 的中点分别为N，O，如图所示.
(1)在平面 内找一点D，使 平面 ，并加以证明；
练习6．（2023·浙江·校联考三模）如图，三棱台 中， ， ，
为线段 上靠近 的三等分点.
(1)线段 上是否存在点 ，使得 平面 ，若不存在，请说明理由；若存在，请
求出 的值；练习7．（2023春·黑龙江牡丹江·高三牡丹江市第三高级中学校考期中）如图所示，三棱
柱 ，底面是边长为2的正三角形，侧棱 底面 ，点 分别是棱
上的点，点 是线段 上的动点， ．
(1)当点M在何位置时， 平面 ?
练习8．（2022秋·安徽合肥·高二校考学业考试）如图，四棱锥 中， 平面
， ，点 在线段 上， .
(1)求证： 平面 ；
(2)若 为 的中点，试在 上确定一点 ，使得平面 平面 ，并说明理由.
练习9．（2023春·福建厦门·高三厦门一中校考期中）如图，已知P是平行四边形
所在平面外一点，M、N分别是 的三等分点（M靠近B，N靠近C）；
(1)求证： 平面 ．
(2)在 上确定一点Q，使平面 平面 ．
练习10．（2021秋·河南·高三校联考开学考试）如图，在三棱锥 中， 底面
， .点 分别为棱 的中点， 是线段 的中点，， .
(1)证明：平面 平面 ；
(2)已知点 在 上，且平面 平面 ，求线段 的长.
题型三 线面平行、面面平行的性质定理
例5．（2023春·高二课时练习）如图，矩形ADFE和梯形ABCD所在平面互相垂直，
AB∥CD，∠ABC＝∠ADB＝90°，CD＝1，BC＝2，DF＝1．
(1)求证：BE∥平面DCF；
例6．（2023春·福建泉州·高三校联考阶段练习）（多选）如图，在四面体 中，截
面 是正方形，则下列判断正确的是（ ）
A． B． 平面
C． D．点B，D到平面 的距离不相等．练习11．（2023·北京海淀·校考三模）如图，在四棱锥 中，底面 是边长为
的正方形，侧面 为等腰直角三角形，且 ，点 为棱 上的点，平面
与棱 交于点 ．
(1)求证： ；
练习12．（2023·重庆万州·统考模拟预测）如图1所示，在四边形 中， ，
为 上一点， ， ，将四边形 沿 折起，使得
，得到如图2所示的四棱锥．
(1)若平面 平面 ，证明： ；
练习13．（2023·全国·高三专题练习）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为平行四边形．设平
面PAD与平面PBC的交线为l，M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点．
(1)求证：平面MNQ∥平面PAD；
(2)求证：BC∥l．练习14．（2023·全国·高三专题练习）如图，矩形 平面
，平面 与棱 交于点G．求证： ；
练习15．（2023·全国·高三专题练习）如图，四棱锥 ， ，
， ，平面 平面 ，平面 平面 .若点 为线段
中点，求证： ；
题型四 线面垂直、面面垂直的判定定理
例7．（2023春·浙江杭州·高三杭师大附中校考期中）如图，在四棱锥 中，底面
是平行四边形， ， ．
(1)求证：平面 平面ABC；
例8．（2023春·山东临沂·高三校考阶段练习）如图，AB是 的直径，C是圆周上异于
A，B的点，P是平面ABC外一点，且(1)求证：平面 平面ABC；
练习16．（浙江省北斗星盟2023届高三下学期5月联考数学试题）已知四棱锥
中，底面 为平行四边形， ，平面 平面 .
(1)若 为 的中点，证明： 平面 ；
练习17．（2023春·广西柳州·高三柳州地区高中校考期中）如图，在四棱锥 中，
， ， ， ， ， ， .
(1)证明： 平面 ；
练习18．（2023·江苏盐城·盐城中学校考三模）如图，该几何体是由等高的半个圆柱和
个圆柱拼接而成，点 为弧 的中点，且 ， ， ， 四点共面.(1)证明：平面 平面 ；
练习19．（2023·全国·高三对口高考）如图1所示，E，F分别是矩形ABCD的边AB，CD
的中点，G是EF上的一点，将 ， 分别沿AB，CD翻折成 ， ，
并连接 ，使得平面 平面ABCD， ，且 ．连接 ，如图
2．
(1)证明：平面 平面 ；
练习20．（2023·江西·江西师大附中校考三模）已知四棱锥 的底面是正方形，
， 是棱 上任一点．
(1)求证：平面 平面 ；
题型五 补全垂直的条件
例9．（2023春·山东青岛·高三青岛二中校考期中）如图，在四棱锥 中，
面 ， ， ， ， ， 为线段 上的点．(1)证明： 面 ；
(2)若 满足 面 ，求 的值．
例10．（2021秋·陕西渭南·高二校考阶段练习）如图，在四棱锥 中，底面
是菱形， ， ， 为 的中点．
(1)求证： ；
(2)若 为 边的中点，能否在棱 上找到一点 ，使 ？请证明你的结论．
练习21．（2023·全国·高三专题练习）如图，在直三棱柱 中， ，
．
(1)试在平面 内确定一点H，使得 平面 ，并写出证明过程；练习22．（2022秋·青海海东·高二校考期中）如图，四棱柱 中，底面
ABCD是菱形， ， 平面ABCD，E为 中点， ．
(1)求证： 平面 ；
(2)在 上是否存在点M，满足 平面 ?若存在，求出AM长，若不存在，说明
理由．
练习23．（2022春·辽宁葫芦岛·高三统考期末）如图，在四棱锥 中，底面
是矩形， ， ，已知 ，且 平面 ， ，
．
(1)在线段FG上确定一点M使得平面 平面PFG，并说明理由；
练习24．（2020秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第六中学校校考期中）如图，在四棱锥
中，底面 是菱形， ，侧面 为正三角形，且平面
平面 ．
(1)求证： ．
(2)若 为 中点，试在 上找一点 ，使平面 平面 ．练习25．（2023·全国·高三专题练习）已知四棱锥P－ABCD中， PBC为正三角形，底面
ABCD为直角梯形， ， ， ， △ ．
(1)设F为BC中点，问：在线段AD上是否存在这样的点E，使得平面PAD⊥平面PEF成
立．若存在，求出AE的长；若不存在，请说明理由；
题型六 线面垂直、面面垂直的性质定理
例11．（2022春·福建·高二统考学业考试）如图，在三棱锥 中，侧面 底面
，且 的面积为6．
(1)求三棱锥 的体积；
(2)若 ，且 为锐角，求证： 平面 ．
例12．（2023·四川·校联考模拟预测）如图，直角梯形 中， ，
， ， ，将 沿 翻折至 的位置，使得
.
(1)求证：平面 平面 ；
(2)若 ， 分别为 ， 的中点，求三棱锥 的体积.练习26．（2023·河南安阳·统考三模）如图所示，在直角三角形 中， ，
， ， ，将 沿 折起到 的位置，使平面
平面 ，点 满足 .
(1)证明： ；
练习27．（2023·广西·校联考模拟预测）如图，在多面体ABCDE中，平面 平面
ABC， 平面ABC， 和 均为正三角形， ，点M为线段
CD上一点．
(1)求证： ；
练习28．（2023·全国·校联考二模）如图，在四棱锥 中， 且 ，
其中 为等腰直角三角形， ，且平面 平面
.(1)求 的长；
练习29．（2023春·吉林长春·高三长春市第二中学校考期中）如图，在直三棱柱
中， .
(1)求证： ；
练习30．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考模拟预测）如图，在三棱台ABC—
中， ，平面 平面 .
(1)证明： 平面 ；
题型七 判断平行，垂直的有关命题
例13．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知 、 、 为空间中三条不同的直线，
、 、 为空间中三个不同的平面，则下列说法中正确的是（ ）
A．若 ， ， ，则
B．若 ， ， ，若 ，则
C．若 ， 、 分别与 、 所成的角相等，则
D．若m//α，m//β， ，则
例14．（2023·全国·校联考二模）（多选）已知 为不同的直线， 为不同的平面，
则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则B．若 ，则
C．若 ，则 至少有一条与直线 垂直
D．若 ，则
练习31．（2023·重庆·统考模拟预测）已知l，m，n表示不同的直线， ， ， 表示不
同的平面，则下列四个命题正确的是（ ）
A．若 ，且 ，则 B．若 ， ， ，则
C．若 ，且 ，则 D．若 ， ， ，则
练习32．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）两个平面 与 相交但不垂直，
直线 在平面 内，则在平面 内（ ）
A．一定存在直线与 平行，也一定存在直线与 垂直；
B．一定存在直线与 平行，不一定存在直线与 垂直；
C．不一定存在直线与 平行，一定存在直线与 垂直；
D．不一定存在直线与 平行，也不一定存在直线与 垂直
练习33．（2023·北京·首都师范大学附属中学校考模拟预测）设m，n为两条不同的直线，
， 为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若 ， ，则
B．若 ， ， ，则
C．若 ， ， ，则
D．若 ， ， ，则
练习34．（2023·四川·校考模拟预测）已知a，b是不同的两条直线， ， 是不同的两个
平面，现有以下四个命题：
① ；② ；③ ；④ ．
其中，正确的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
练习35．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）（多选）已知l，m，n为
空间中三条不同的直线， ， ， 为空间中三个不同的平面，则下列说法中正确的有（ ）
A．若 ， ， ，则
B．若 ，l，m分别与 ， 所成的角相等，则
C．若 ， ， ，若 ，则
D．若 ， ， ，则
题型八 平行，垂直的综合应用
例15．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥 中，已知底面 是菱形，
且对角线 与 相交于点 .
(1)若 ，求证：平面 平面 ；
(2)设点 为 的中点，在棱 上是否存在点 ，使得 平面 ？请说明理由.
例16．（2023春·陕西榆林·高二绥德中学校考阶段练习）如图，在四棱锥 中，底
面ABCD是矩形， 底面ABCD， ，点M是SD的中点， 且交SC于
点N.
(1)求证： ∥平面ACM；
(2)求证：平面 平面AMN.练习36．（2023·山东潍坊·三模）如图， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面的圆心， 为底
面直径， 为底面圆 的内接正三角形，且边长为 ，点 在母线 上，且
.
(1)求证：直线 平面 ；
(2)求证：平面 平面 ；
练习37．（2023春·河南·高三洛阳市第三中学校联考阶段练习）在如图所示的几何体中，
平面 平面ABCD， ，E，F分别为棱PA，PC的中点．
(1)求证： 平面ABCD；
(2)若 ，求证：平面 平面PBC．
练习38．（2023·全国·模拟预测）（多选）在正四面体 中， ， ， 分别是
， ， 的中点，则（ ）
A． //平面
B．
C．平面 平面
D．平面 平面
练习39．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥 中，底面ABCD为矩形，
平面PAB， ， ，N为PC的中点．(1)若M为AB的中点，求证： 平面ADP．
(2)求证：平面 平面 ．
练习40．（2022·高三课时练习）（多选）如图AB为圆O的直径，点C在圆周上（异于
A，B点），直线PA垂直于圆所在的平面，点M为线段PB的中点，则以下四个命题正确
的是（ ）
A．PB⊥AC B．OC⊥平面PAB
C．MO∥平面PAC D．平面PAC⊥平面PBC
