文档内容
专题 8.1 空间几何体的表面积和体
积
题型一 空间几何体的结构特征
题型二 斜二测画法
题型三 最短路径
题型四 空间几何体的表面积
题型五 空间几何体的体积
题型六 截面问题
题型一 空间几何体的结构特征
例1．（2023·上海·上海市七宝中学校考模拟预测）《九章算术》中，将四个面都是直角三
角形的四面体称为“鳖臑”，在长方体 中，鳖臑的个数为（ ）
A． B． C． D．
例2．（2023·全国·高一专题练习）下列关于空间几何体结构特征的描述错误的是（ ）
A．棱柱的侧棱互相平行
B．以直角三角形的一边为轴旋转一周得到的几何体不一定是圆锥
C．正三棱锥的各个面都是正三角形
D．棱台各侧棱所在直线会交于一点
练习1．（2023·全国·高一专题练习）一个几何体由六个面组成，其中两个面是互相平行且
相似的四边形，其余各面都是全等的等腰梯形，则这个几何体是（ ）
A．三棱柱 B．三棱台 C．四棱柱 D．四棱台
练习2．（2023·全国·高三专题练习）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．以三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥
B．棱台的侧面都是等腰梯形
C．底面半径为r，母线长为2r的圆锥的轴截面为等边三角形
D．棱柱的侧棱长都相等，但侧棱不一定都垂直于底面
练习3．（2023·全国·高三专题练习）下列说法正确的是（ ）A．等边三角形绕其一条边旋转一周所得的几何体是圆锥
B．球体的截面都是圆面
C．正四棱台的侧面展开图是一个等腰梯形
D．正三棱锥的四个面都是等边三角形
练习4．（2023春·甘肃·高三校联考期中）（多选）下列命题正确的是（ ）
A．圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线
B．两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C．以直角梯形的一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的
旋转体是圆台
D．用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形
练习5．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）某儿童玩具的实物图如
图1所示，从中抽象出的几何模型如图2所示，由OA，OB，OC，OD四条等长的线段组
成，其结构特点是能使它任意抛至水平面后，总有一条线段所在的直线竖直向上，则
=（ ）
A． B． C． D．
题型二 斜二测画法
例3．（2023春·河南·高三洛阳市第三中学校联考阶段练习）如图， 是 的直
观图，则 是（ ）
A．正三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．以上都有可能例4．（2023·全国·高三专题练习）某几何体底面的四边形OABC直观图为如图矩形
，其中k=1+ √
2
2 ∈ [1
2
, 1
2
1]， |
|E
D
B
B
1
1
|
| ，则该几何体底面对角线AC的实际长度为（ ）
A．6 B． C． D．
练习6．（2023春·全国·高三专题练习）如图等腰梯形 ， ， ，
， ，那么该梯形直观图的面积是______.
练习7．（2023·全国·高三专题练习）如图， 是 的直观图，其中
， ，那么 是一个（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．无法确定
练习8．（2023·全国·高一专题练习）已知在如图所示的等腰梯形 中，
， ，用斜二测画法画出该梯形的直观图，则该梯形的直观图的面积
为__________.练习9．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，矩形 是水平放置的一个平面图形
的直观图，其中 ， ，则原图形是（ ）
A．面积为 的矩形 B．面积为 的矩形
C．面积为 的菱形 D．面积为 的菱形
练习10．（2023春·河南周口·高三校考期末）如图，一个水平放置的平面图形的直观图是
边长为2的正方形，则原图形的周长是（ ）
A．16 B．12 C． D．
题型三 最短路径
例5．（2023·全国·高三专题练习）如图，圆锥的底面圆直径AB为2，母线长SA为4，若
小虫P从点A开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA的中点C，则小虫爬行的最短距离为（ ）
A． B． C． D．
例6．（2023·全国·高一专题练习）如图，正三棱锥 中，
，点 分别为 的中点，一只蚂蚁从点 出
发，沿三棱锥侧面爬行到点 ，求：(1)该三棱锥的体积与表面积；
(2)蚂蚁爬行的最短路线长.
练习11．（2023·安徽铜陵·统考三模）如图是一座山的示意图，山大致呈圆锥形，山脚呈
圆形，半径为2km，山高为 ， 是山坡 上一点，且 .现要建设一条从
到 的环山观光公路，这条公路从 出发后先上坡，后下坡，当公路长度最短时，下坡路
段长为______.
练习12．（2023·全国·高三专题练习）如图，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为 ，
一只小虫从圆锥的底面圆上的点 出发，绕圆锥爬行一周后回到点 处，若该小虫爬行的
最短路程为 ，则这个圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
练习13．（2023·四川资阳·统考三模）如图，在正三棱柱ABC-ABC 中， ，
1 1 1
D在AC上，E是AB的中点，则 的最小值是（ ）
1 1A． B． C． D．
练习14．（2023春·安徽·高三安徽师范大学附属中学校考阶段练习）如图，在长方体
中， ， ， ，若P为线段 上的动点，则 的最小值为
______.
练习15．（2023·全国·高三专题练习）长方体ABCD－ABC D 中，宽、长、高分别为3、
1 1 1 1
4、5，现有一个小虫从A出发沿长方体表面爬行到C 来获取食物，则其路程的最小值为
1
________．
题型四 空间几何体的表面积
例7．（2023·江西·统考模拟预测）已知某圆锥的底面半径为2，其体积与半径为1的球的
体积相等，则该圆锥的母线长为（ ）
A．1 B．2 C． D．5
例8．（2023春·福建厦门·高三厦门一中校考期中）已知圆锥PO，其轴截面（过圆锥旋转
轴的截面）是底边长为6m，顶角为 的等腰三角形，该圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
练习16．（2023·安徽安庆·安庆一中校考三模）陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是
在山西夏县发现的新石器时代遗址.如图所示的是一个陀螺立体结构图.已知，底面圆的直径，圆柱体部分的高 ，圆锥体部分的高 ，则这个陀螺的表面积
（单位： ）是（ ）
A． B．
C． D．
练习17．（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考二模）（多选）一个圆柱和一个圆锥的底面直径
和它们的高都与一个球的直径2R相等，则下列结论正确的是（ ）
A．圆柱的侧面积为
B．圆锥的侧面积为
C．圆柱的侧面积与球的表面积相等
D．圆柱､圆锥､球的体积之比为
练习18．（河北省2023届高三模拟（六）数学试题）柷（zhù），是一种古代打击乐器，
迄今已有四千多年的历史，柷的上方形状犹如四方形木斗，上宽下窄，下方有一底座，用
椎（木棒）撞击其内壁发声，表示乐曲将开始.如图，某柷（含底座）高 ，上口正方
形边长 ，下口正方形边长 ，底座可近似地看作是底面边长比下口边长长 ，
高为 的正四棱柱，则该柷（含底座）的侧面积约为（ ）（ ）
A． B． C． D．练习19．（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）“阿基米德多面体”也称为半
正多面体（semi-regularsolid），是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现
了数学的对称美.如图，它是由正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截
去八个三棱锥得到.已知 ，若该半正多面体的表面积为 ，体积为 ，则 为
（ ）
A． B． C．2 D．
练习20．（2023·安徽合肥·合肥一中校考模拟预测）（多选）已知半径为R的球与圆台的
上下底面和侧面都相切.若圆台上下底面半径分别为r 和r，母线长为l，球的表面积与体
1 2
积分别为S 和V，圆台的表面积与体积分别为S 和V.则下列说法正确的是（ ）
1 1 2 2
A． B．
C． D． 的最大值为
题型五 空间几何体的体积
例9．（2023·山东烟台·统考二模）乐高积木是由丹麦的克里斯琴森发明的一种塑料积木，
由它可以拼插出变化无穷的造型，组件多为组合体．某乐高拼插组件为底面边长为 、
高为 的正四棱柱，中间挖去以底面正方形中心为底面圆的圆心、直径为 、高为
的圆柱，则该组件的体积为（ ）．（单位： ）
A． B． C． D．
例10．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考二模）在 中， ， ，
，将 绕边AB旋转一周，所得到几何体的体积为_________.
练习21．（2023·北京海淀·校考三模）公元前344年，先秦法家代表人物商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，开创了秦朝统一度量衡的先河.如图，升体是长方体，手柄近似空
心的圆柱.已知铜方升总长是 ，内口长 ，宽 ，高 （忽略壁的厚度，取
圆周率 ），若手柄的底面半径为 ，体积为 ，则铜方升的容积约为（小数
点后保留一位有效数字）（ ）
A． B． C． D．
练习22．（2023·湖北·统考模拟预测）如图是某烘焙店家烘焙蛋糕时所用的圆台状模具，
它的高为8cm，下底部直径为12cm，上面开口圆的直径为20cm，现用此模具烘焙一个跟
模具完全一样的儿童蛋糕，若蛋糕膨胀成型后的体积会变为原来液态状态下体积的2倍
（模具不发生变化），若用直径为10cm的圆柱形容量器取液态原料（不考虑损耗），则
圆柱中需要注入液态原料的高度约为（ ）（单位：cm）
A．2.26 B．10.45 C．4.12 D．4.61
练习23．（2023·广东佛山·校考模拟预测）如图，某圆柱体的高为 ， 是该圆柱体
的轴截面.已知从点 出发沿着圆柱体的侧面到点 的路径中，最短路径的长度为 ，则
该圆柱体的体积是（ ）
A．3 B． C． D．
练习24．（2023·福建福州·福州三中校考模拟预测）如图是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若扇形的两个圆弧所在圆的半径分别是1和3，且 ，则该圆台的
体积为（ ）
A． B． C． D．
练习25．（2023春·四川广安·高二四川省广安友谊中学校考阶段练习）如图，用一边长为
的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为 的
鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离
为______.
题型六 截面问题
例11．（2023·江西·统考模拟预测）已知在长方体 中， ，
点 ， ， 分别在棱 ， 和 上，且 ， ， ，则平
面 截长方体所得的截面形状为（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
例12．（2023·河北唐山·统考二模）正方体 的棱长为2， ， 分别为棱
， 的中点，过 ， ， 做该正方体的截面，则截面形状为______，周长为
______．
练习26．（2022·全国·高三专题练习）作出平面 与四棱锥 的截面，截面多
边形的边数为______．练习27．（2023·全国·高三专题练习）（多选）用一个平面去截正方体，则截面可能是（
）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．正方形 D．正六边形
练习28．（2023春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考期中）正方体 的棱长
为2，P为 中点，过A，P， 三点的平面截正方体为两部分，则截面图形的面积为
（ ）
A． B． C． D．
练习29．（2023春·江苏盐城·高三江苏省响水中学校考期中）如图，在正方体
中， 的中点为Q，过A，Q， 三点的截面是（ ）
A．三角形 B．矩形 C．菱形 D．梯形
练习30．（2023·全国·高一专题练习）如图，正方体 的棱长为2，E是侧
棱 的中点，则平面 截正方体 所得的截面图形的周长是________.
