文档内容
7.1 空间几何中的平行与垂直（精讲）
一．直线与平面平行
1.直线与平面平行的定义：直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行.
2.判定定理与性质定理
直线与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
如果平面外一条直线与此平面内的一条直
判定
线平行，那么该直线与此平面平行 ⇒a∥α
定理
(简记为“线线平行⇒线面平行”)一条直线与一个平面平行，如果过该直线
性质
的平面与此平面相交，那么该直线与交线 ⇒l∥b
定理
平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)
二．平面与平面平行
1.平面与平面平行的定义：没有公共点的两个平面叫做平行平面.
2.判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
判定 如果一个平面内的两条相交直线与另一 a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，
定理 个平面平行，那么这两个平面平行 a∥α，b∥α⇒α∥β
两个平面平行，则其中一个平面内的直
性质 α∥β，a⊂α⇒a∥β
线平行于另一个平面
性质 两个平面平行，如果另一个平面与这两 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝
定理 个平面相交，那么两条交线平行 b⇒a∥b
三．三种平行关系的转化
四．直线与平面垂直
1.直线和平面垂直的定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互
相垂直.
2.判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示如果一条直线与一个平面内的两条
判定
相交直线垂直，那么该直线与此平 ⇒l⊥α
定理
面垂直
性质
垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b
定理
五．平面与平面垂直
1.平面与平面垂直的定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
2.判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
如果一个平面过另一个平面的垂
判定定理 ⇒α⊥β
线，那么这两个平面垂直
两个平面垂直，如果一个平面内有
性质定理 一直线垂直于这两个平面的交线， ⇒l⊥α
那么这条直线与另一个平面垂直
六．三种垂直关系的转化
一．判断或证明线面平行的常用方法
（1）利用线面平行的定义(无公共点).
（2）利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)→线线垂直
①空间直线平行关系的传递性法；
②三角形中位线法；
③平行四边形法；
④线段成比例法．
⑤线面平行的性质定理
（3）利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β).
（4）线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行).
二．证明面面平行的常用方法
1.面面平行的定义，即证两个平面没有公共点(不常用)；2.面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
3.利用垂直于同一条直线的两个平面平行(客观题常用)；
4.如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行(客观题常用)；
5.利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化进行证明．
三．平行关系中的三个重要结论
1.垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.
2.平行于同一平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
3.垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.
四．必背常用结论
1．两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．
2．夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．
3．经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
4．两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．
5．同一条直线与两个平行平面所成角相等．
6．如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．
7． 垂直于同一条直线的两个平面平行
8． 如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，那么这两个平面互相平行．
五．证明线面垂直常用的方法
1.判定定理：线面垂直→线线垂直
2.垂直于平面的传递性
3.面面垂直的性质.
4.线面垂直的定义
六．三个重要结论
1.若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.
2.若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).
3垂直于同一条直线的两个平面平行.
考法一 线面平行【例1-1】（2023浙江省）如图，正三棱柱 中，点 为 的中点，求证： 平面
【例1-2】（2023·四川遂宁·统考模拟预测）如图，在四棱锥 中，底面 是梯形， ，，
， 为棱 的中点.，证明： 平面
【例1-3】（2023·海南）如图，在四棱锥 中， ， ，M是棱 上一
点，若 ，求证： 平面
【例1-4】（2023·福建）如图，正方形ABCD与平面BDEF交于BD， 平面ABCD，且，求证： 平面AEC
【例1-5】（2023·安徽）如图， 中， ， 是正方形，平面 平面 ，
若 、 分别是 、 的中点．求证： 平面 ；
【例1-6】（2023·湖南长沙）如图所示的在多面体中， ，平面 平面 ，平面
平面 ，点 分别是 中点，证明： 平面【一隅三反】
1．（2023春·贵州）如图，在正方体 中，E，F分别是棱 ，AB的中点，求证： 平
面
2．（2023·河南开封·校考模拟预测）已知直棱柱 的底面 为菱形，点 为 的中点，
证明： 平面
3．（2023春·山东滨州）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形， ，AB=2CD，设平面
PAD与平面PBC的交线为l，PA，PB的中点分别为E，F，证明： 平面DEF．4．（2023·云南）已知点 ， 分别是正方形 的边 ， 的中点.现将四边形 沿 折起，
如图所示.若点 ， 分别是 ， 的中点，求证： 平面 .
5．（2023·全国·模拟预测）如图，在三棱柱 中，侧面 是矩形， ，
， 分别为棱 的中点， 为线段 的中点，证明： 平面
6．（2023·全国·高三对口高考）已知正方形 和正方形 ，如图所示， 、 分别是对角线 、
上的点，且 ．求证： 平面 ．考法二 面面平行
【例2】（2023·甘肃定西·统考模拟预测）如图，在四棱锥 中，底面ABCD是菱形，AC与BD交于
点O，点E，F分别是棱PA，PB的中点，连接OE，OF，EF，求证：平面 平面PCD
【一隅三反】
1．（2023·上海）如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形， ， ，
， 分别为棱 中点，求证：平面 平面
2．（2023·海南海口·校联考一模）如图所示的多面体由正四棱柱 与正四棱锥 组
合而成， 与 交于点 ， ， ， ，证明：平面 平面3．（2023·全国·高三专题练习）在如图所示的多面体中， 形 为矩形，求证：平面
平面
考法三 平行中的动点
【例3】（2023·河南·校联考模拟预测）如图，在矩形 中，点 在边 上，且满足
，将 沿 向上翻折，使点 到点 的位置，构成四棱锥 ，若点 在
线段 上，且 平面 ，试确定点 的位置
【一隅三反】
1．（2023·全国·模拟预测）如图，在四棱锥 中， ， ， 底面 ， 为
棱 上的点， ， ，若 平面 ，求证：点 为 的中点2．（2023·安徽淮南·统考二模）如图，在四棱锥 中，底面ABCD是梯形， ，
，E是棱PA上一点， ，当 平面EBD，求实数λ的值
3．（2023·北京通州·统考模拟预测）如图，在三棱柱 中，四边形 是正方形，
， 为 的中点，D为棱 上一点， 平面 ，求证：D为 中点
考法四 线面垂直
【3-1】（2023·北京·统考高考真题）如图，在三棱锥 中， 平面 ，，求证： 平面PAB；
【例3-2】（2023·河南·校联考模拟预测）如图，在三棱柱 中， 在平面ABC的射影恰为等边
三角形ABC的中心，且 ， ，证明： 平面
【例3-3】（2022·全国·高三专题练习）在平行四边形 中 过 点作 的垂线交
的延长线于点 ， .连接 交 于点 ，如图1，将 沿 折起，使得点 到达点
的位置.如图2.证明：直线 平面 .【一隅三反】
1．（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边
形，PA⊥平面ABCD， ，点M在棱PD上，且 ， ，求证：CD⊥平
面PAD
2．（2023·广东广州·统考三模）如图，在几何体 中，矩形 所在平面与平面 互相垂直，
且 ， ， ，求证： 平面
3．（2023广西）如图，四棱锥 中，平面 平面 ， 为 的中点， 为 的中点，
且 ， ， ．证明： 平面考法五 面面垂直
【例5】（2023·河南·校联考模拟预测）在四棱锥 中， ， ， ， ，
为等边三角形， ，证明：平面 平面PBC
【一隅三反】
1．（2023春·广东佛山·高三佛山市第四中学校考开学考试）如图，在四棱锥 中，底面 是
平行四边形， 平面 ， ， ，求证：平面 平面2．（2023春·江苏·高三江苏省前黄高级中学校联考阶段练习）在三棱柱 中， 侧面
， 为棱 的中点，三角形 为等边三角形， ， ，求证：面 面
3（2023·全国·高三对口高考）如图，四棱锥 的底面是矩形， 平面 ，E、F分别是 、
的中点，又二面角 大小为 .
(1)求证： 平面 ；
(2)求证：平面 平面 ；
考法六 线线垂直
【例6-1】（2023·山东）如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形， ，
，侧面 平面 ，求证： .【例6-2】（2023春·北京朝阳）如图，已知四棱锥 底面 是正方形， ， 、 是
的 ， 中点， 为线段 上一个动点，平面 交直线 于点 ．
(1)若 ，平面 平面 ，求证： ；
(2)若 ， ，求证： ；
(3)直线 是否可能与平面 平行?若可能，请证明；若不可能，请说明理由．
【一隅三反】
1．（2023·湖南郴州）在三棱锥 中，已知 为正三角形，求证：2．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）如图，在三棱锥 中， ， ，
为 的中点，证明：
3．（2023春·安徽）在四面体 中，点H为 的垂心，且 平面 ．
(1)若 ，求证： ；
(2)若 ，证明： ．
