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专题 8.1 空间几何体的表面积和体
积
题型一 空间几何体的结构特征
题型二 斜二测画法
题型三 最短路径
题型四 空间几何体的表面积
题型五 空间几何体的体积
题型六 截面问题
题型一 空间几何体的结构特征
例1．（2023·上海·上海市七宝中学校考模拟预测）《九章算术》中，将四个面都是直角三
角形的四面体称为“鳖臑”，在长方体 中，鳖臑的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】每个顶点对应 个鳖臑，所以 个顶点对应 个鳖臑．但每个鳖臑都重复一次，
再除 ，即可得解.
【详解】在正方体 中，当顶点为 时，三棱锥 、 、
、
、 、 均为鳖臑．
所以 个顶点为8×6=48个．但每个鳖臑都重复一次，
所以，鳖臑的个数为 个.
故选：B．
例2．（2023·全国·高一专题练习）下列关于空间几何体结构特征的描述错误的是（ ）
A．棱柱的侧棱互相平行
B．以直角三角形的一边为轴旋转一周得到的几何体不一定是圆锥C．正三棱锥的各个面都是正三角形
D．棱台各侧棱所在直线会交于一点
【答案】C
【分析】根据相应几何体的定义和性质判断即可.
【详解】根据棱柱的性质可知A正确；
当以直角三角形的斜边所在直线为旋转轴时，所得几何体为两个圆锥的组合体，故B正确；
正三棱锥的底面是正三角形，其余侧面是全等的等腰三角形，故C错误；
棱台是用平行于底面的平面截棱锥而得，故侧棱所在直线必交于一点，D正确.
故选：C
练习1．（2023·全国·高一专题练习）一个几何体由六个面组成，其中两个面是互相平行且
相似的四边形，其余各面都是全等的等腰梯形，则这个几何体是（ ）
A．三棱柱 B．三棱台 C．四棱柱 D．四棱台
【答案】D
【分析】根据条件，分别对题目中四个选项分析推理.
【详解】不妨假定两个平行的面是上下底面，并且必须是6个面，显然三棱柱和三棱台不
满足要求，
四棱柱要求各侧面均为平行四边形，上下两个平面为全等的四边形，不满足要求，
四棱台上下两个底面相互平行，其余各面都是梯形，故满足条件的几何体是四棱台.
故选：D.
练习2．（2023·全国·高三专题练习）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．以三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥
B．棱台的侧面都是等腰梯形
C．底面半径为r，母线长为2r的圆锥的轴截面为等边三角形
D．棱柱的侧棱长都相等，但侧棱不一定都垂直于底面
【答案】CD
【分析】根据圆锥、棱台、棱柱的定义及结构特征逐一判断即可.
【详解】圆锥是以直角三角形的某一条直角边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体，
当绕斜边旋转时，不是棱锥，故A错误；
棱台的侧面都是梯形，但棱台的侧棱不一定都相等，故B错误；
圆锥的轴截面是等腰三角形，其腰长为2r，又底面半径为r，故等腰三角形的底边为2r，
即该圆锥的轴截面为等边三角形，故C正确；
棱柱的侧面都为平行四边形，所以侧棱都相等，棱柱包含直棱柱与斜棱柱，
故侧棱不一定都垂直于底面，故D正确.
故选：CD.
练习3．（2023·全国·高三专题练习）下列说法正确的是（ ）A．等边三角形绕其一条边旋转一周所得的几何体是圆锥
B．球体的截面都是圆面
C．正四棱台的侧面展开图是一个等腰梯形
D．正三棱锥的四个面都是等边三角形
【答案】B
【分析】根据几何体的特征依次判断每个选项得到答案.
【详解】对选项A：等边三角形绕其一条边旋转一周所得的几何体是两个圆锥的组合体，
错误；
对选项B：球体的截面都是圆面，正确；
对选项C：正四棱台的侧面是一个等腰梯形，侧面展开图不是，错误；
对选项D：正三棱锥的侧面可能不是等边三角形，错误.
故选：B
练习4．（2023春·甘肃·高三校联考期中）（多选）下列命题正确的是（ ）
A．圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线
B．两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C．以直角梯形的一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的
旋转体是圆台
D．用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形
【答案】AC
【分析】根据圆锥母线的定义可判断A，根据棱台的定义可判断B，根据圆台的定义可判
断C，根据平面与圆柱底面的位置关可判断D.
【详解】对于A，根据圆锥的母线的定义，可知A正确；
对于B，把梯形的腰延长后有可能不交于一点，
此时得到几何体就不是棱台，故B错误；
对于C，根据圆台的定义，可知C正确；
对于D，当平面不与圆柱的底面平行且不垂直于底面时，
得到的截面不是圆和矩形，故D错误.
故选：AC
练习5．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）某儿童玩具的实物图如
图1所示，从中抽象出的几何模型如图2所示，由OA，OB，OC，OD四条等长的线段组
成，其结构特点是能使它任意抛至水平面后，总有一条线段所在的直线竖直向上，则
=（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用正四面体的外接球相关性质，解三角形即可.
【详解】如图，连接AB，AC，AD、BC，CD，BD，得到正四面体ABCD，则点O为正四
面体ABCD外接球的球心，延长AO交底面BCD于G，则G为 的中心.
设 ，外接球的半径为R，连接BG，
在正三角形中，易得 ，则 ，
故在 中有： ，
解得 ，则 ，所以 ，
故选：A.
题型二 斜二测画法
例3．（2023春·河南·高三洛阳市第三中学校联考阶段练习）如图， 是 的直
观图，则 是（ ）
A．正三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．以上都有可能
【答案】C
【分析】根据斜二测画法的规则，化简 的直观图 ，结合图形，即可求解.
【详解】因为 ，则线段 与 轴必相交，令交点为 ，如图（1）所以，
在直角坐标系 中，点 在 轴上，可得 ，点C在y轴上，可得 ，
如图（2）所示，因此点 必在线段 的延长线上，所以 ，
所以 是钝角三角形．
故选：C．
例4．（2023·全国·高三专题练习）某几何体底面的四边形OABC直观图为如图矩形
，其中k=1+ √
2
2 ∈ [1
2
, 1
2
1]， |
|E
D
B
B
1
1
|
| ，则该几何体底面对角线AC的实际长度为（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】B
【分析】通过直观图与原图的关系得出A、C两点的坐标，即可得出答案.
【详解】根据四边形OABC直观图将其还有为平面图形如图：
根据直观图与原图的关系可得：
， ， ，
则点 ， ，，
故选：B.
练习6．（2023春·全国·高三专题练习）如图等腰梯形 ， ， ，
， ，那么该梯形直观图的面积是______.
【答案】
【分析】根据斜二测画法的性质结合梯形面积公式即可求解.
【详解】由题意可知等腰梯形 的高 ,
由斜二测画法的规则可知：该梯形直观图中的高为 ，
的长度在直观图中与原图保持一致，故直观图的面积为
故答案为：
练习7．（2023·全国·高三专题练习）如图， 是 的直观图，其中
， ，那么 是一个（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．无法确定
【答案】A
【分析】将直观图还原，分析几何图形的形状.【详解】
如图，将直观图还原，则 ， ，所以 ，即 是正
三角形.
故选：A.
练习8．（2023·全国·高一专题练习）已知在如图所示的等腰梯形 中，
， ，用斜二测画法画出该梯形的直观图，则该梯形的直观图的面积
为__________.
【答案】 /
【分析】如图所示，过 作 ，垂足分别为 ，求出 ，即得解.
【详解】解：如图所示，过 作 ，垂足分别为 .
依题意， ，所以 ，
可知等腰梯形 的面积为 ，
根据斜二测画法规则知，其直观图的面积为原图形面积的 ，
所以该梯形的直观图的面积为 .
故答案为： .
练习9．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，矩形 是水平放置的一个平面图形
的直观图，其中 ， ，则原图形是（ ）A．面积为 的矩形 B．面积为 的矩形
C．面积为 的菱形 D．面积为 的菱形
【答案】C
【分析】根据题意利用斜二测画法判断原图形的形状，即可求出其面积.
【详解】 ，所以 ，
故在原图中， ，
，
所以四边形 为菱形(如图所示)， ，
则原图形面积为 .
故选：C.
练习10．（2023春·河南周口·高三校考期末）如图，一个水平放置的平面图形的直观图是
边长为2的正方形，则原图形的周长是（ ）
A．16 B．12 C． D．
【答案】A
【分析】根据斜二测画法分析运算.
【详解】在直观图中， ，
可得原图形是平行四边形，其底边长2，高为 ，
则另一边长为 ，所以原图形的周长为 ．
故选：A.题型三 最短路径
例5．（2023·全国·高三专题练习）如图，圆锥的底面圆直径AB为2，母线长SA为4，若
小虫P从点A开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA的中点C，则小虫爬行的最短距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将锥体侧面展开为扇形，先求出所得扇形圆心角，再根据两点间线段距离最短，
求最短路径.
【详解】由题意，底面圆的直径AB＝2，故底面周长等于2π.
设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°，
根据底面周长等于展开后扇形的弧长得2π＝ ，解得n＝90，
所以展开图中∠PSC＝90°，故PC＝2 ，
所以小虫爬行的最短距离为2 .
故选：A
例6．（2023·全国·高一专题练习）如图，正三棱锥 中，
，点 分别为 的中点，一只蚂蚁从点 出
发，沿三棱锥侧面爬行到点 ，求：
(1)该三棱锥的体积与表面积；
(2)蚂蚁爬行的最短路线长.【答案】(1)体积为 ，表面积为 ；
(2) .
【分析】（1）将△ 当作底面，将 当作三棱锥的高，由三棱锥体积公式即可求得三
棱锥的体积；再由求出各个面的面积，由面积公式可得三棱锥的表面积；
（2）将△ 与 延 展开，使得两个三角形在同一个平面上，连接 ，再由余
弦定理即可求得最短值.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，即 ，
又 ，VB、VC在面VBC内，得 面 ，
，
（2）如下图：连接 ，线段 的长度即蚂蚁爬行的最短路线长，
△ 中， ，
由余弦定理可得： ，
即 .
练习11．（2023·安徽铜陵·统考三模）如图是一座山的示意图，山大致呈圆锥形，山脚呈
圆形，半径为2km，山高为 ， 是山坡 上一点，且 .现要建设一条从
到 的环山观光公路，这条公路从 出发后先上坡，后下坡，当公路长度最短时，下坡路
段长为______.【答案】
【分析】利用圆锥的侧面展开图，利用两点间的距离，结合图象，求最小值.
【详解】由题意，半径为2km，山高为 ，则母线 ,
底面圆周长 ，所以展开图的圆心角 ，
如图，是圆锥侧面展开图，结合题意， ,
由点 向 引垂线，垂足为点 ，此时 为点 和线段 上的点连线的最小值，即点
为公路的最高点， 段即为下坡路段，
则 ，即 ，得
下坡路段长度为 .
故答案为：
练习12．（2023·全国·高三专题练习）如图，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为 ，
一只小虫从圆锥的底面圆上的点 出发，绕圆锥爬行一周后回到点 处，若该小虫爬行的
最短路程为 ，则这个圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作出圆锥侧面展开图，根据最短路程和母线长，利用余弦定理可求得侧面展开图扇形的圆心角，结合扇形弧长公式和勾股定理可求得圆锥底面半径和高，代入圆锥体积公
式即可.
【详解】设圆锥的顶点为 ，以母线 为轴可作出圆锥侧面展开图如下图所示，
小虫爬行的最短路程为 ， ，又 ，
， ，
设圆锥底面半径为 ，高为 ，则 ，解得： ， ，
圆锥体积 .
故选：A.
练习13．（2023·四川资阳·统考三模）如图，在正三棱柱ABC-ABC 中， ，
1 1 1
D在AC上，E是AB的中点，则 的最小值是（ ）
1 1
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将平面ABC与平面AAC翻折到同一平面上，连接AE，记 ，再根
1 1
据余弦定理可得 ，进而求得 ，再根据两角和的余弦公式可得
，进而由余弦定理可得 即可.
【详解】如图，将平面ABC与平面AAC翻折到同一平面上，连接AE，记 ，
1 1
由题意可知 ， ，
则 ， ，从而 ，故 .
因为E是AB的中点，所以 ，
1
由余弦定理可得 ，
因为D在AC上，所以 ，
1
则 ，故 的最小值是 .
故选：C
练习14．（2023春·安徽·高三安徽师范大学附属中学校考阶段练习）如图，在长方体
中， ， ， ，若P为线段 上的动点，则 的最小值为
______.
【答案】
【分析】将 置于同一平面内，利用两点之间线段最短即可求得 的最
小值.
【详解】 分别在面 与面 内移动，
将面 以 为轴旋转至面 所在平面，
得到 ，则 即为 的最小值
又在长方体 中， ， ， ，
则 ， ，
则 ，则故答案为：
练习15．（2023·全国·高三专题练习）长方体ABCD－ABC D 中，宽、长、高分别为3、
1 1 1 1
4、5，现有一个小虫从A出发沿长方体表面爬行到C 来获取食物，则其路程的最小值为
1
________．
【答案】
【分析】把长方体含AC 的面作展开图，有三种情形如图所示，求解即可.
1
【详解】把长方体含AC 的面作展开图，有三种情形如图所示：
1
利用勾股定理可得AC 的长分别为 、 、 .
1
由此可见图(2)是最短路线，其路程的最小值为 .
故答案为： .
题型四 空间几何体的表面积
例7．（2023·江西·统考模拟预测）已知某圆锥的底面半径为2，其体积与半径为1的球的
体积相等，则该圆锥的母线长为（ ）
A．1 B．2 C． D．5
【答案】C
【分析】设圆锥的高为 ，根据圆锥及球的体积公式求出 ，再由勾股定理计算可得.
【详解】设圆锥的高为 ，则 ，解得 ，
所以母线长为 .
故选：C
例8．（2023春·福建厦门·高三厦门一中校考期中）已知圆锥PO，其轴截面（过圆锥旋转
轴的截面）是底边长为6m，顶角为 的等腰三角形，该圆锥的侧面积为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】运用圆锥侧面积公式计算即可.
【详解】如图所示，
设圆锥的半径为r，母线为l，
由题意知， ，
在 中， ，
所以 ，
所以圆锥侧面积为 .
故选：B.
练习16．（2023·安徽安庆·安庆一中校考三模）陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是
在山西夏县发现的新石器时代遗址.如图所示的是一个陀螺立体结构图.已知，底面圆的直径
，圆柱体部分的高 ，圆锥体部分的高 ，则这个陀螺的表面积
（单位： ）是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据圆柱与圆锥的表面积公式求解.
【详解】由题意可得圆锥体的母线长为 ，
所以圆锥体的侧面积为 ，圆柱体的侧面积为 ，
圆柱的底面面积为 ，
所以此陀螺的表面积为 ，
故选：C.
练习17．（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考二模）（多选）一个圆柱和一个圆锥的底面直径
和它们的高都与一个球的直径2R相等，则下列结论正确的是（ ）
A．圆柱的侧面积为
B．圆锥的侧面积为
C．圆柱的侧面积与球的表面积相等
D．圆柱､圆锥､球的体积之比为
【答案】CD
【详解】根据圆柱，圆锥，球体的侧面积，表面积，和体积公式依次判断选项即可.
【点睛】对选项A，圆柱的侧面积为 ，故A错误；
对选项B，圆锥的母线为 ，
圆锥的侧面积为 ，故B错误.
对选项C，球的表面积为 ，故C正确.
对选项D，圆柱的体积 ，
圆锥的体积 ，球的体积 ，
所以圆柱､圆锥､球的体积之比为 ，故D正确.
故选：CD
练习18．（河北省2023届高三模拟（六）数学试题）柷（zhù），是一种古代打击乐器，
迄今已有四千多年的历史，柷的上方形状犹如四方形木斗，上宽下窄，下方有一底座，用
椎（木棒）撞击其内壁发声，表示乐曲将开始.如图，某柷（含底座）高 ，上口正方
形边长 ，下口正方形边长 ，底座可近似地看作是底面边长比下口边长长 ，
高为 的正四棱柱，则该柷（含底座）的侧面积约为（ ）（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先求出正四棱台的侧棱长，即可求出斜高，再根据侧面积公式计算可得.
【详解】如图正四棱台中，连接 ， ，过点 、 分别作 、 ，
交 于点 、 ，
依题意 ， ， ，
则 ，所以 ，
所以正四棱台的斜高为 ，
所以正四棱台的侧面积 ，
又正四棱柱的侧面积 ，
所以该柷（含底座）的侧面积约为 ；
故选：B
练习19．（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）“阿基米德多面体”也称为半
正多面体（semi-regularsolid），是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现
了数学的对称美.如图，它是由正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截
去八个三棱锥得到.已知 ，若该半正多面体的表面积为 ，体积为 ，则 为
（ ）A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】根据表面积公式计算表面积，把多面体积转化为正方体体积去掉8个三棱锥体积
求解，最后求比值即可.
【详解】如图，该半正多面体的表面由6个正方形和8个正三角形构成，
则其表面积 ，
该半正多面体的体积可以由正方体截去8个三棱锥的体积计算，
.
故选:A.
练习20．（2023·安徽合肥·合肥一中校考模拟预测）（多选）已知半径为R的球与圆台的
上下底面和侧面都相切.若圆台上下底面半径分别为r 和r，母线长为l，球的表面积与体
1 2
积分别为S 和V，圆台的表面积与体积分别为S 和V.则下列说法正确的是（ ）
1 1 2 2
A． B．
C． D． 的最大值为
【答案】ABC
【分析】根据题意结合圆台与球的表面积、体积公式逐项分析判断.
【详解】由切线长定理易得 ，A正确；
由勾股定理知 ，解得 ，B正确；因为 ，
，
所以 正确；
因为 ，当且仅当 时，等号成立，
这与圆台的定义矛盾，故D错误.
故选：ABC.
题型五 空间几何体的体积
例9．（2023·山东烟台·统考二模）乐高积木是由丹麦的克里斯琴森发明的一种塑料积木，
由它可以拼插出变化无穷的造型，组件多为组合体．某乐高拼插组件为底面边长为 、
高为 的正四棱柱，中间挖去以底面正方形中心为底面圆的圆心、直径为 、高为
的圆柱，则该组件的体积为（ ）．（单位： ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用正四棱柱和圆柱的体积公式即可求出结果.
【详解】因为正四棱柱的底面边长为 、高为 ，所以正四棱柱的体积为
，
又挖去的圆柱的直径为 、高为 ，所以圆柱的 ，
故所求几何体的体积为 .
故选：D.
例10．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考二模）在 中， ， ，
，将 绕边AB旋转一周，所得到几何体的体积为_________.
【答案】
【分析】 绕直线AB旋转一周 ，所得几何体是底面是以BC为半径的圆，高为AB的
圆锥，由此根据圆锥的体积公式能求出其体积.
【详解】因为在直角三角形 中， ， ， ，
所以 绕直线AB旋转一周所得几何体是底面是以BC为半径的圆，高为AB的圆锥，
示意图如下图所示：所以 绕直线AB旋转一周所得几何体的体积为 .
故答案为: ．
练习21．（2023·北京海淀·校考三模）公元前344年，先秦法家代表人物商鞅督造一种标
准量器——商鞅铜方升，开创了秦朝统一度量衡的先河.如图，升体是长方体，手柄近似空
心的圆柱.已知铜方升总长是 ，内口长 ，宽 ，高 （忽略壁的厚度，取
圆周率 ），若手柄的底面半径为 ，体积为 ，则铜方升的容积约为（小数
点后保留一位有效数字）（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由手柄的体积求出手柄的长度，即可得到长方体的内口长，再根据长方体的体积
公式计算可得.
【详解】依题意手柄的底面半径为 ，体积为 ，则手柄的底面积为 ，
所以手柄的长度为 ，
所以长方体的内口长 ，
所以升体的容积为 ，
即铜方升的容积约为 .
故选：A
练习22．（2023·湖北·统考模拟预测）如图是某烘焙店家烘焙蛋糕时所用的圆台状模具，
它的高为8cm，下底部直径为12cm，上面开口圆的直径为20cm，现用此模具烘焙一个跟
模具完全一样的儿童蛋糕，若蛋糕膨胀成型后的体积会变为原来液态状态下体积的2倍
（模具不发生变化），若用直径为10cm的圆柱形容量器取液态原料（不考虑损耗），则
圆柱中需要注入液态原料的高度约为（ ）（单位：cm）A．2.26 B．10.45 C．4.12 D．4.61
【答案】B
【分析】根据圆台的体积公式可得蛋糕体积，然后由圆柱体积公式可得.
【详解】圆台状蛋糕膨胀成型后的体积为 ，
圆柱的体积为 ，
故圆柱制作液态蛋糕原料高度约为 .
故选：B.
练习23．（2023·广东佛山·校考模拟预测）如图，某圆柱体的高为 ， 是该圆柱体
的轴截面.已知从点 出发沿着圆柱体的侧面到点 的路径中，最短路径的长度为 ，则
该圆柱体的体积是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据圆柱侧面展开图，先求出圆柱底面半径，再根据体积公式求圆柱体的体积.
【详解】
设圆柱体底面圆的半径为 ，将侧面展开后四边形 为矩形，
则依题意得： ，
所以 ，即 ，所以该圆柱体的体积为： ，
故选：D.
练习24．（2023·福建福州·福州三中校考模拟预测）如图是一个圆台的侧面展开图（扇形
的一部分），若扇形的两个圆弧所在圆的半径分别是1和3，且 ，则该圆台的
体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，求出圆台的上下底面圆的半径，再求出圆台的高并结合圆台的体
积公式求解作答.
【详解】设圆台上底面圆半径为 ，下底面圆半径为 ，依题意， ，且
，解得 ，
而圆台的母线长 ，因此圆台的高 ，
所以圆台的体积 .
故选：C
练习25．（2023春·四川广安·高二四川省广安友谊中学校考阶段练习）如图，用一边长为
的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为 的
鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离
为______.
【答案】 /【分析】先求得球的半径，画出组合体截面的图像，通过构造直角三角形来求得蛋中心(球
心)与蛋巢底面的距离.
【详解】根据球的体积公式，有 .
题目所给图中，虚线的小正方形的边长为 ，其一半为 ，四个等腰直角三角形斜边上
的高为 .
画出截面图形如下图所示，其中 ，
故 .
所以鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离为 .
故答案为：
题型六 截面问题
例11．（2023·江西·统考模拟预测）已知在长方体 中， ，
点 ， ， 分别在棱 ， 和 上，且 ， ， ，则平
面 截长方体所得的截面形状为（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【答案】C
【分析】连接 并延长交 的延长线于点 ，连接 并延长交 于点 ，
过点 作 交 于点 ，连接 ，即可得到截面图形，从而得解.
【详解】如图连接 并延长交 的延长线于点 ，连接 并延长交 于点 ，
过点 作 交 于点 ，连接 ，
则五边形 即为平面 截该长方体所得的截面多边形.
其中因为 ， ， ，
所以 ，则 ，所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，则 ，
显然 ，则 ，所以 .
故选：C
例12．（2023·河北唐山·统考二模）正方体 的棱长为2， ， 分别为棱
， 的中点，过 ， ， 做该正方体的截面，则截面形状为______，周长为
______．
【答案】 五边形
【分析】根据点、线、面的位置关系及平面性质作出截面图形，再利用三角形相似等知识
点则可求出相关线段长，即可求出周长.
【详解】连接EF并延长交DC的延长线于N，连接 交 于Q，连接QF，
延长FE交DA的延长线于M，连接 交 于P，连接EP，顺次连接 ，
则五边形 即为平面 截正方体 的截面多边形，如图：
由题意，正方体 的棱长为2，则 ， ，
则 为等腰直角三角形，则 ，根据 ∽ 得， ，
则 ，则 ， ，同理可得 ， ，而 ，则五边形 的周长为
.
故答案为：五边形， .
练习26．（2022·全国·高三专题练习）作出平面 与四棱锥 的截面，截面多
边形的边数为______．
【答案】5
【分析】通过作图，利用相交线法找到截面即可.
【详解】如下图所示，
延长 的延长线于 ，连接 的延长线于 ，连接
于 ，连接 ，则五边形 即为所求.所以截面多边形的边数为
五.
故答案为：5
练习27．（2023·全国·高三专题练习）（多选）用一个平面去截正方体，则截面可能是（
）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．正方形 D．正六边形
【答案】BCD
【分析】作出对应的截面，分析截面的形状，可得出合适的选项.【详解】对于A选项，一个平面与正方体共点的 个面相交，截面为三角形，此三角形不
可能是直角三角形，
如图，截面为 ，点 为正方体的顶点，
在三棱锥 中， 、 、 两两垂直，
若 为直角三角形，不妨令 ，则 ，
而 ， ， ，
因此 ，矛盾，A错误；
对于B选项，当截面为下图所示的 时，截面为等边三角形，B对；
对于C选项，当截面与正方形的底面平行时，截面为正方形，如下图所示：
对于D选项，一个平面与正方体的 个面相交，截面为六边形，此六边形可能是正六边形，
如图， 、 、 、 、 、 为正方体所在棱的中点，顺次连接得正六边形，设正方体棱长为 ，有 ， ，
中， ，则 ，
同理 ，即六边形 为正六边形，D正
确.
故选：BCD.
练习28．（2023春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考期中）正方体 的棱长
为2，P为 中点，过A，P， 三点的平面截正方体为两部分，则截面图形的面积为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】取 中点 ，连接 ，得到截面为四边形 ，再根据梯形的面积
公式即可求解.
【详解】
如图，截面为四边形 ，
取 中点 ，连接 ，则 ，且 .
因为 ,且 ，所以四边形 是平行四边形，
则 ， ，
所以 ，且 ，又
所以截面为等腰梯形 ，且上底长为 ，下底长为 ，腰长为 ，
所以截面的面积为 .
故选：C
练习29．（2023春·江苏盐城·高三江苏省响水中学校考期中）如图，在正方体中， 的中点为Q，过A，Q， 三点的截面是（ ）
A．三角形 B．矩形 C．菱形 D．梯形
【答案】D
【分析】取 的中点P，连接PQ、 、 、 和 ，确定 ，
，得到答案.
【详解】如图所示，取 的中点P，连接PQ、 、 、 和 ，
， 分别是 ， 的中点，故 ，且 ，
，故 ， ，故 四点共面，
故四边形 是过A，Q， 三点的截面，且四边形 是梯形．
故选：D．
练习30．（2023·全国·高一专题练习）如图，正方体 的棱长为2，E是侧
棱 的中点，则平面 截正方体 所得的截面图形的周长是________.
【答案】【分析】 为 中点，则截面图形为梯形 ，利用勾股定理求各边的长，可得周长.
【详解】 为 中点，连接 ，
正方体中， ， ，则四边形 为平行四边形，
有 ， ，
为 中点， 是 的中点，则 ，得 ，
则平面 截正方体 所得的截面图形为梯形 ，
其中 ， ， ，
则梯形 的周长为 即所得的截面图形的周长是
故答案为：
