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专题 8.2 空间中的平行和垂直关系
题型一 线面平行、面面平行的判定定理
题型二 补全平行的条件
题型三 线面平行、面面平行的性质定理
题型四 线面垂直、面面垂直的判定定理
题型五 补全垂直的条件
题型六 线面垂直、面面垂直的性质定理
题型七 判断平行，垂直的有关命题
题型八 平行，垂直的综合应用
题型一 线面平行、面面平行的判定定理
例1．（2023春·福建泉州·高一校联考阶段练习）如图，已知四棱锥 中，
， 、 分别是 、 的中点， 底面ABCD，且
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ，求三棱锥 的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）可以通过作辅助线结合中位线得到线线平行证明线面平行或者通过证明面面
平行得到线面平行；
（2）先求三棱锥 的体积，得到三棱锥 的体积，利用几何体的分割可得
答案.
【详解】（1）证法一：连接AC交BO于点 ，连接 ．
，
∴四边形 为平行四边形,∴ 是 的中点；∵ 中， 是 的中点, ；
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 .
证法二： 中， 分别是 的中点， ，
又 平面 ， 平面 , 平面 ，
且 ，
∴四边形 是平行四边形， ，
又 平面 ， 平面 , 平面 ;
， 平面 ,∴平面 平面 ，
∵ 平面 ， 平面 .
（2）连结 ， ，
由 中， ，
得 ， ,
∴ 的面积 ;
又 平面 ， ,
∴三棱锥 的体积为 ;
∵ 是 的中点， ,
∴ .
例2．（2023春·江苏盐城·高三江苏省响水中学校考期中）如图，正三棱柱 的所有棱长都等于2，E，F，G分别为 ， ，AB的中点．
(1)求证：平面 平面BEF；
【答案】(1)证明见解析；
【分析】（1）利用面面平行判定定理即可证得平面 平面BEF；
【详解】（1） ，F分别为 ， 的中点， ，
平面 ， 平面 ， 平面 ，
又F，G分别为 ，AB的中点， ，
又 ， 四边形 为平行四边形，则 ，
平面 ， 平面 ，
平面 ，
又 ，EF， 平面BEF，
平面 平面BEF．
练习1．（2022春·甘肃兰州·高一兰州市第二中学校考期末）如图， 中，
， 是正方形，平面 平面 ，若 、 分别是 、
的中点．
(1)求证： 平面 ；【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）作出辅助线，得到面面平行，从而得到线面平行；
【详解】（1）证明：如图，取 的中点 ，连接 ， ．
， 分别是 和 的中点，
， ．
又 四边形 为正方形，
，从而 ．
平面 ， 平面 ，
平面 ，
同理 平面 ，又 ，
平面 平面 ，
∵ 平面 ，
则 平面 ；
练习2．（2023·安徽安庆·安庆一中校考三模）如图,四棱锥 中, 底面
为 的中点.
(1)若点 在 上, ,证明: 平面 ;
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）取 中点 ,连接 ,根据已知条件证明四边形 是平行四边形,
即可证明;
【详解】（1）如图所示:取 中点 ,连接 ,
因为 ,所以 ,
又 ,所以 ,
因为 ,所以 ,
又因为 为 的中点,所以 且 ,
即有 且 ,
所以四边形 是平行四边形,
所以 ,
又因为 平面 平面 ，
所以 平面 .
练习3．（2023春·黑龙江牡丹江·高一校考阶段练习）如图，已知矩形 所在平面垂
直于直角梯形 所在平面， ， 分别
是 的中点.
(1)设过三点 的平面为 ，求证：平面 平面 ；
(2)求四棱锥 与三棱锥 的体积之比.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先分别证明 平面 ， 平面 ，再根据面面平行的判定定理即可得
证；（2）过 作 ，垂足为 ，先根据面面垂直的性质分别证明 平面 ，
平面 ，再根据锥体的体积公式即可得解.
【详解】（1）∵G是BP的中点，∴ ，
又∵ ，∴ ，
又∵ ，∴四边形AEPG是矩形，∴ ，
∵ 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ，
∵ 分别是BC，BP的中点，∴ ，
∵ 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ，
∵ ，且 平面 ，
∴平面 平面 ；
（2）过 作 ，垂足为 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，
， 平面 ，
所以 平面 ，
∴ ，
∵因为平面 平面 ，平面 平面 ，
， 平面 ，
∴ 平面 ，即 是三棱锥 的高，
∵ ，
∴由勾股定理得 ，
，
∴ ，
∴ ，
∴四棱锥 与三棱锥 的体积之比 .练习4．（2023·四川·校联考模拟预测）如图，在四棱锥 中， 平面 ，
四边形 为矩形， 为棱 的中点， 与 交于点 为 的重心.
(1)求证： 平面 ；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）根据线线平行和线面平行的证法和线面平行的判定即可求解；
【详解】（1）证明：延长 交 于点 ，连接 ，
则 为 的中点，
因为 为 的中点，
所以 ，
又 ，
所以 ，
因为 为 的重心，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
又 平面 平面 ，
所以 平面 .
练习5．（2023·全国·高三专题练习）已知点 ， 分别是正方形 的边 ， 的
中点.现将四边形 沿 折起，如图所示.若点 ， 分别是 ， 的中点，求证：
平面 .【答案】证明见解析.
【分析】连接 ，设点 为 的中点，连接 ， ，则可证 和 ，从
而证得 平面 和 平面 ，则平面 平面 ，即可证 平
面 .
【详解】证明：如图，连接 ，设点 为 的中点，连接 ， ，
在 中，因为点 为 的中点，点 为 的中点，
所以 .
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
同理可证得 ，
又因为 ， 分别为正方形 的边 ， 的中点，
故 ，所以 .
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
又因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以平面 平面 .
又因为 平面 ，所以 平面 .
题型二 补全平行的条件
例3．（2023·全国·高三专题练习）如图，四棱锥 的底面 为平行四边形，
分别为 的中点.(1)证明：AF 平面 ；
(2)在线段 上是否存在一点 ，使得 平面 ，并给出必要的证明.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，证明见解析
【分析】（1）取 中点 ，证明四边形 为平行四边形即可；
（2）设 ，取 中点 ，先证明 平面 ，即可证明点 在线段
靠近 端的三等分点时符合题意.
【详解】（1）证明：取 中点 ，连接 ，在 中， 为 的中点，
.
为 的中点， ，
即四边形 为平行四边形， .
平面 平面 平面 .
（2）设 ，取 中点 ，连接 ，则在 中，
分别是 的中点，
平面 平面 ，
平面 .
与 相似，且相似比为 ，
为 的三等分点.
在 点位置时满足 平面 .
即点 在线段 靠近 端的三等分点时符合题意.例4．（2023·贵州毕节·统考模拟预测）三棱柱 中，四边形 是菱形，
，平面 平面 ， 是等腰三角形， ， ，
与 交于点M， ， 的中点分别为N，O，如图所示.
(1)在平面 内找一点D，使 平面 ，并加以证明；
【答案】(1) 为 的中点，证明见解析；
【分析】（1）取 的中点 ，利用线面平行的判定推理作答.
【详解】（1）连接 ，取 的中点为 ，连接 ，则 平面 .
在三棱柱 中，四边形 是平行四边形，即 为 的中点，
而 为 的中点，于是 ， 平面 平面 ，
所以 平面 .练习6．（2023·浙江·校联考三模）如图，三棱台 中， ， ，
为线段 上靠近 的三等分点.
(1)线段 上是否存在点 ，使得 平面 ，若不存在，请说明理由；若存在，请
求出 的值；
【答案】(1)存在，
【分析】（1）取 的靠近点 的三等分点 ，连接 、 、 ，证明出平面
平面 ，利用面面平行的性质可得出 平面 ，由此可得出结论；
【详解】（1）取 的靠近点 的三等分点 ，连接 、 、 ，
则 ，
又因为 ，所以，四边形 为平行四边形，则 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以， 平面 ，
因为 ，所以， ，
因为 平面 ， 平面 ，所以， 平面 ，
因为 ， 、 平面 ，所以，平面 平面 ，
因为 平面 ，故 平面 ，
因此，线段 上是否存在点 ，且当 时， 平面 .
练习7．（2023春·黑龙江牡丹江·高三牡丹江市第三高级中学校考期中）如图所示，三棱柱 ，底面是边长为2的正三角形，侧棱 底面 ，点 分别是棱
上的点，点 是线段 上的动点， ．
(1)当点M在何位置时， 平面 ?
【答案】(1)点 为 的中点
【分析】（1）分别取 的中点为 ，连接 ．可推得四边形 为平行
四边形， ．进而根据线面平行的判定定理，得出线面平行；
【详解】（1）
如图1所示，分别取 的中点为 ，连接 ．
因为 分别是 的中点，
所以 ，且 .
又因为 ，
所以 ，所以 .
又 ，所以 .
所以四边形 为平行四边形，
所以 ．
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
所以，当点 为 的中点时，有 平面 .
练习8．（2022秋·安徽合肥·高二校考学业考试）如图，四棱锥 中， 平面
， ，点 在线段 上， .(1)求证： 平面 ；
(2)若 为 的中点，试在 上确定一点 ，使得平面 平面 ，并说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)当 为 的中点时平面 平面 ，证明见解析
【分析】（1）由线面垂直得到 ，再说明 ，即可得证；
（2）当 为 的中点时平面 平面 ，由 可得 平面 ，根据中位
线的性质得到 ，即可得到 平面 ，从而得证.
【详解】（1）证明： 平面 ， 平面 ， ，
， ， ，
又 ， 平面 ， 平面 ， 平面 ；
（2）解：当 为 的中点时平面 平面 ，
证明：因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 为 的中点， 为 的中点，所以 ，
平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 ， 平面 ， 平面 ，
所以平面 平面 .
练习9．（2023春·福建厦门·高三厦门一中校考期中）如图，已知P是平行四边形
所在平面外一点，M、N分别是 的三等分点（M靠近B，N靠近C）；(1)求证： 平面 ．
(2)在 上确定一点Q，使平面 平面 ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）过点 作 ，交 于点 ，连接 ，证得证得四边形 为平
行四边形，得到 ，结合线面平行的判定定理，即可求解；
（2）取 取一点 ，使得 ，证得 ，得到 平面 ，结合（1）
中 平面 ，利用面面平行的判定定理，证得平面 平面 ．
【详解】（1）证明：过点 作 ，交 于点 ，连接 ，
因为 为 的三等分点，可得 ，
又因为 为 的三等分点，可得 ，
因为 且 ，所以 且 ，
所以四边形 为平行四边形，所以 ，
又由 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
（2）证明：取 取一点 ，使得 ，即点 为 上靠近点 的三等点，
在 中，因为 分别为 的三等分点，可得 ，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ；
又由（1）知 平面 ，且 ， 平面 ，
所以平面 平面 ，
即当点 为 上靠近点 的三等点时，能使得平面 平面 ．
练习10．（2021秋·河南·高三校联考开学考试）如图，在三棱锥 中， 底面， .点 分别为棱 的中点， 是线段 的中点，
， .
(1)证明：平面 平面 ；
(2)已知点 在 上，且平面 平面 ，求线段 的长.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由三角形中位线性质可证得 ，结合线面垂直的性质和 可
证得 ， ，由线面垂直的判定可得 平面 ，根据面面垂直的判定
可得结论；
（2）由面面平行和线面平行的性质可证得 ，由此可知 为 中点，由此可得结
果.
（1）
分别为 中点， ，又 ， ；
平面 ， 平面 ， ，又 ， ；
， 平面 ， 平面 ，
又 平面 ， 平面 平面 .
（2）
平面 平面 ， 平面 ， 平面 ，
平面 ，平面 平面 ， ，
又 为 中点， 为 中点， .
题型三 线面平行、面面平行的性质定理
例5．（2023春·高二课时练习）如图，矩形ADFE和梯形ABCD所在平面互相垂直，
AB∥CD，∠ABC＝∠ADB＝90°，CD＝1，BC＝2，DF＝1．(1)求证：BE∥平面DCF；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）通过证明平面ABE∥平面DFC即可得解；
【详解】（1）证明：∵得AB∥CD， 平面DCF； 平面DCF，∴AB∥平面
DCF；
∵AE∥DF， 平面DCF； 平面DCF，∴AE∥平面DCF，
∵ 平面ABE, 平面ABE,
∴平面ABE∥平面DFC，
∵BE 平面ABE，∴BE∥平面DCF．
例6．（2023春·福建泉州·高三校联考阶段练习）（多选）如图，在四面体 中，截
⊂
面 是正方形，则下列判断正确的是（ ）
A． B． 平面
C． D．点B，D到平面 的距离不相等．
【答案】BC
【分析】由平行线分线段成比例可判断A；由线面平行的判定定理和性质定理可判断B；
由线线平行和垂直的性质可判断C；由线面平行性质可判断D.
【详解】在四面体 中,若截面 是正方形,可得 平面
平面 ,可得 平面
又 平面 ，而平面 平面 ,可得
又 平面 , 面 ，则 平面 ,故B正确；
同样可得 平面 ,所以点B，D到平面 的距离相等，故D错误；
由 ,可得 ,故C正确；
由 ,且 ,但 不一定与 相等,故 , 不一定相等,故A错误.
故选：BC
练习11．（2023·北京海淀·校考三模）如图，在四棱锥 中，底面 是边长为
的正方形，侧面 为等腰直角三角形，且 ，点 为棱 上的点，平面
与棱 交于点 ．
(1)求证： ；
【答案】(1)证明见解析
【分析】(1)由底面 是正方形得 ，用线面平行的判定定理证得 平面
，再用线面平行的性质定理证得 ；
【详解】（1）证明：因为底面 是正方形，所以 ，
平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又因为平面 与 交于点 ， 平面 ，平面 平面
所以 ．
练习12．（2023·重庆万州·统考模拟预测）如图1所示，在四边形 中， ，
为 上一点， ， ，将四边形 沿 折起，使得
，得到如图2所示的四棱锥．
(1)若平面 平面 ，证明： ；
【答案】(1)证明见解析；
【分析】（1）先证明 ，根据线线平行判定定理 平面 ，再由线面平行性质
定理证明线线平行；【详解】（1）在图1中，因为 ， ， ，
所以 ， ，又 ，
所以 ，
因为 ， ，
所以 ，故 ，
在图2中，因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，平面 平面 ，所以 ；
练习13．（2023·全国·高三专题练习）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为平行四边形．设平
面PAD与平面PBC的交线为l，M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点．
(1)求证：平面MNQ∥平面PAD；
(2)求证：BC∥l．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由三角形的中位线定理、平行四边形的性质，结合线面平行和面面平行的判
定，可得证明；
（2）由线面平行的判定和性质，可得证明．
【详解】（1）证明：因为M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点，底面ABCD为平行四边
形，
所以MN∥PD，NQ∥AD，
又MN⊄平面PAD，PD 平面PAD，
⊂则MN∥平面PAD，
同理可得NQ∥平面PAD，
又 平面MNQ
所以平面MNQ∥平面PAD.
（2）证明：因为BC∥AD，BC⊄平面PAD，AD 平面PAD，
所以BC∥平面PAD，
⊂
又BC 平面PBC，平面PBC∩平面PAD＝l，
所以BC∥l．
⊂
练习14．（2023·全国·高三专题练习）如图，矩形 平面
，平面 与棱 交于点G．求证： ；
【答案】证明见解析
【分析】根据题意，利用面面平行的判定定理证明平面 与平面 平行，再根据面
面平行的性质定理得到线线平行；
【详解】证明： 矩形 ，
，
又 平面 ， 平面 ，
平面 ，
，
又 平面 ， 平面 ，
平面 ，
又 ，
所以平面 平面 ，
平面 与棱 交于点G，且 平面 ，
平面 平面 ，平面 平面 ，平面 平面 ，
故 ，得证;
练习15．（2023·全国·高三专题练习）如图，四棱锥 ， ，
， ，平面 平面 ，平面 平面 .若点 为线段中点，求证： ；
【答案】证明见解析
【分析】取 中点 ，根据 得到 ，由 为正三角
形得到 ，根据线面平行的判定得到 平面 和 平面 ，进而得到
平面 平面 ，结合面面平行和线面平行性质可证得结论.
【详解】证明： 取 中点 ，连接 ，
也 ， ， ，
可得 且 ，
所以 ， ，所以 ，
因为 为 中点，所以 为正三角形，即 ，所以 ，
又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
在 中，因为 的中点，所以 ，
又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又由 ， 平面 ，所以平面 平面 ，
又因为 平面 ，所以 平面 ，
又由平面 平面 ，且 平面 ，所以 .
题型四 线面垂直、面面垂直的判定定理
例7．（2023春·浙江杭州·高三杭师大附中校考期中）如图，在四棱锥 中，底面
是平行四边形， ， ．(1)求证：平面 平面ABC；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）取 中点 ，则 ，连接 , ,利用勾股定理得出 ，然
后利用线面垂直判定定理得出 平面 ，再利用面面垂直判定定理即可得出结论.
【详解】（1）取 中点 ，连接 ， ，
， ，
， ， ，
，又 平面 ， 平面 ，
且 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面ABC.
例8．（2023春·山东临沂·高三校考阶段练习）如图，AB是 的直径，C是圆周上异于
A，B的点，P是平面ABC外一点，且
(1)求证：平面 平面ABC；
【答案】(1)证明见解析；
【分析】（1）根据线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理即得；
【详解】（1）连结OC， ，
，又 是以AB为直径的圆周上一点，
，
≌ ，
，
又 ，OB， 平面ABC，
平面ABC， 平面PAB，平面 平面ABC；
练习16．（浙江省北斗星盟2023届高三下学期5月联考数学试题）已知四棱锥
中，底面 为平行四边形， ，平面 平面 .
(1)若 为 的中点，证明： 平面 ；
【答案】(1)证明见解析；
【分析】（1）利用等腰三角形的性质及线面垂直的判定推理作答.
【详解】（1）在四棱锥 中， 为 的中点，又 ，则 ，而
，
因此 平面 ，
所以 平面 .
练习17．（2023春·广西柳州·高三柳州地区高中校考期中）如图，在四棱锥 中，
， ， ， ， ， ， .
(1)证明： 平面 ；
【答案】(1)证明见解析；
【分析】（1）通过勾股定理，证明出 可证得 平面 .
【详解】（1）∵ ， ， ，
由勾股定理得： ，
中， ，
∵ ，∴ ，又因为 底面 ， 底面 ，所以 ，
又因为 且 平面 ，∴ 平面 ，
练习18．（2023·江苏盐城·盐城中学校考三模）如图，该几何体是由等高的半个圆柱和
个圆柱拼接而成，点 为弧 的中点，且 ， ， ， 四点共面.
(1)证明：平面 平面 ；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）过 作 ，交底面弧于 ，连接 ，有 为平行四边形，根据
题设可得 ，即 ，再由线面垂直的性质可得 ，最后根据线面、面
面垂直的判定即可证结论.
【详解】（1）过 作 ，交底面弧于 ，连接 ，易知： 为平行四边形，
所以 ，又 为弧 的中点，则 是弧 的中点，
所以 ，而由题设知： ，则 ，
所以 ，即 ，由 底面 ， 平面 ，则 ，又
， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以平面 平面 .
练习19．（2023·全国·高三对口高考）如图1所示，E，F分别是矩形ABCD的边AB，CD
的中点，G是EF上的一点，将 ， 分别沿AB，CD翻折成 ， ，
并连接 ，使得平面 平面ABCD， ，且 ．连接 ，如图
2．
(1)证明：平面 平面 ；
【答案】(1)证明见解析【分析】（1）由面面垂直的性质定理得 平面 ，然后有线线垂直 ，
最后再由页面垂直的判定定理证明即可；
【详解】（1）如图2，因为平面 平面 ，平面 平面 ，
， 平面 ，所以 平面 ， 平面 ，所以
，
又 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
平面 ，所以平面 平面 ；
练习20．（2023·江西·江西师大附中校考三模）已知四棱锥 的底面是正方形，
， 是棱 上任一点．
(1)求证：平面 平面 ；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）由勾股定理证得 ， ，得到 平面 ，证得
，从而证得 平面 ，进而利用面面垂直的判定定理，即可证得平面
平面 ；
【详解】（1）证明：因为 是正方形，且 ，可得 ，且
，
又因为 ，可得 ，
因为 且 平面 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以 ，
因为 ，且 平面 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以平面 平面 ．
题型五 补全垂直的条件
例9．（2023春·山东青岛·高三青岛二中校考期中）如图，在四棱锥 中，
面 ， ， ， ， ， 为线段 上的点．(1)证明： 面 ；
(2)若 满足 面 ，求 的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）证明出 ，可得出 ，再由已知条件可得出 ，
利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；
（2）分析可知 ，计算出 三边边长，利用余弦定理求出 的值，可
求得 的长，进而可求得 的长，即可得解.
【详解】（1）证明：因为 ， ， ，所以， ，
所以， ，则 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以， ，
又因为 ， 、 平面 ，所以， 平面 .
（2）解：因为 平面 ， 平面 ，所以， ，
若 面 ， 平面 ，则 ，
因为 ， ，
由余弦定理可得 ，
因为 平面 ， 、 平面 ，则 ，
所以， ， ，
在 中， ， ， ，
所以， ，
所以， ，所以， ，则 ，
因此，若 满足 面 ，则 .
例10．（2021秋·陕西渭南·高二校考阶段练习）如图，在四棱锥 中，底面
是菱形， ， ， 为 的中点．
(1)求证： ；
(2)若 为 边的中点，能否在棱 上找到一点 ，使 ？请证明你的结论．
【答案】(1)证明见解析
(2)当 为 中点时， ；证明见解析
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一性质可得 ，由线面垂直的判定
与性质可证得结论；
（2）利用面面平行的判定可证得平面 平面 ，由此可得 平面 ，由线
面垂直的性质可证得结论.
【详解】（1）连接 ，
四边形 为菱形， ，又 ， 为等边三角形，
为 中点， ；
， 为 中点， ，
又 ， 平面 ， 平面 ，
平面 ， .
（2）当 为 中点时， ，证明如下：分别为 中点， ，又 平面 ， 平面 ，
平面 ；
分别为 中点， ， ，
四边形 为平行四边形， ，又 平面 ， 平面 ，
平面 ，又 ， 平面 ，
平面 平面 ，
由（1）知： 平面 ， 平面 ，
平面 ， .
练习21．（2023·全国·高三专题练习）如图，在直三棱柱 中， ，
．
(1)试在平面 内确定一点H，使得 平面 ，并写出证明过程；
【答案】(1)答案见解析；
【分析】（1）根据线面垂直和面面垂直的判定定理，结合面面垂直的性质定理进行证明即
可；
【详解】（1）取棱BC的中点D，连接 ，AD．在等腰直角 ABC中， ，
又 ， 平面 ，故 平面△ ．
又 平面 ，故平面 平面 ，这两个平面的交线为 ．
在 中，作 ，则有 平面 ；
练习22．（2022秋·青海海东·高二校考期中）如图，四棱柱 中，底面
ABCD是菱形， ， 平面ABCD，E为 中点， ．(1)求证： 平面 ；
(2)在 上是否存在点M，满足 平面 ?若存在，求出AM长，若不存在，说明
理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)存在， .
【分析】（1）连 交 于点F，连EF，由中位线定理以及线面平行的判定证明即可；
（2）由线面垂直的性质证明 ，作 ，垂足为M，由线面垂直的判定证
明 平面 ，最后得出AM的长.
【详解】（1）连 交 于点F，连EF，
∵A B C D 是菱形，
1 1 1 1
∴F是 中点，又∵E是 中点，
∴ ，又∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ；
（2）∵ 平面ABCD，平面 平面ABCD，
∴ 平面A B C D ，∵ 平面A B C D ，
1 1 1 1 1 1 1 1
∴ ，
∵菱形A B C D ， ， ， 平面 ，
1 1 1 1
∴ 平面 ，又 平面 ，
∴ ，
在 中，过F作 ，垂足为M，又 ， 平面 ，
所以 平面 ，
∴存在M满足条件，
在 中， ， ，F是 中点，
∴ ，
∴ ．
练习23．（2022春·辽宁葫芦岛·高三统考期末）如图，在四棱锥 中，底面
是矩形， ， ，已知 ，且 平面 ， ，
．
(1)在线段FG上确定一点M使得平面 平面PFG，并说明理由；
【答案】(1) 为 中点，理由见解析
【分析】（1） 为 中点，连接 ， ，过 作 于 ，由线面垂直的判
定定理证明 平面 ，再由面面垂直的判定定理证明即可；
【详解】（1） 为 中点，证明如下：
连接 ， ，过 作 于 ，
于是在 中， ， ，故 ；
在 中， ， ，故
所以 ， 为等腰三角形
又 平面 ，
所以 ， 为等腰三角形
故在等腰三角形 和等腰三角形 中有 ，又 ，且 ， 平面
平面 ，
又 平面 ，
平面 平面 ．
练习24．（2020秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第六中学校校考期中）如图，在四棱锥
中，底面 是菱形， ，侧面 为正三角形，且平面
平面 ．
(1)求证： ．
(2)若 为 中点，试在 上找一点 ，使平面 平面 ．
【答案】(1)证明见解析
(2) 为 的中点
【分析】（1）通过构造线面垂直的方法来证得 .
（2）结合面面垂直的判定定理判断出 点的位置.
【详解】（1）取 的中点 ，连接 ， ， ，
∵ ，∴ ．
在底面菱形 中，∵ ，∴三角形 是等边三角形，则 ，
由于 平面 ，
所以 平面 ，由于 平面 ，所以 .
（2） 为 的中点，连接 交 于点 ．连接 ，
∵ ， ，∴所以四边形 是平行四边形，∴ 为 的中点，则 ．
∵平面 平面 且交线为 ， ， 平面 ，
∴ 平面 ，
则 平面 ，
由于 平面 ，
∴平面 平面 ，
所以 是 的中点.
练习25．（2023·全国·高三专题练习）已知四棱锥P－ABCD中， PBC为正三角形，底面
ABCD为直角梯形， ， ， ， △ ．
(1)设F为BC中点，问：在线段AD上是否存在这样的点E，使得平面PAD⊥平面PEF成
立．若存在，求出AE的长；若不存在，请说明理由；
【答案】(1)存在，
【分析】（1）存在这样的E点；且当 时满足，过点F作 交AD于点E，则
可得 ， ，从而由线面垂直的判定可得AD⊥平面PEF，再由面面垂直的
判定定理可证得结论，
【详解】（1）存在这样的E点；且当 时
过点F作 交AD于点E，
∵△PBC为正三角形，
∴ ，∵ ，∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵
∴AD⊥平面PEF，∵AD 平面PAD，
故平面PAD⊥平面PEF
题型六 线面垂直、面面垂直的性质定理
例11．（2022春·福建·高二统考学业考试）如图，在三棱锥 中，侧面 底面
，且 的面积为6．
(1)求三棱锥 的体积；
(2)若 ，且 为锐角，求证： 平面 ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由面面垂直的性质可得 面 ，即 为体高，利用棱锥体积公式求
体积即可；
（2）由三角形面积公式可得 ，根据已知及平方关系求余弦值，应用余弦定理
求 ，易知 ，再由线面垂直的性质得 ，最后应用线面垂直的判定
证结论.
【详解】（1）面 面 ， ，面 面 ， 面 ，
所以 面 ，又 的面积为6，所以三棱锥 的体积 .
（2）由题设 ，即 ，又 为锐角，
所以 ，
由 ，故 ，
所以 ，
由（1）知 面 ， 面 ，故 ，
， 面 ，故 平面 .
例12．（2023·四川·校联考模拟预测）如图，直角梯形 中， ，
， ， ，将 沿 翻折至 的位置，使得
.
(1)求证：平面 平面 ；
(2)若 ， 分别为 ， 的中点，求三棱锥 的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先证明 平面 ，可得 ，再利用勾股定理证明 ，
即可证得 平面 ，再根据面面垂直的判定定理即可得证；
（2）取 的中点 ，连接 ，根据面面垂直的性质证明 平面 ，再根据
结合棱锥的体积公式即可得解.
【详解】（1） ， ， ，
， 平面 ，
平面 ，
又 平面 ， ，
由直角梯形 ， ， ，
， ，得 ，
则 ，所以 ，又 ， ， 平面 ，
平面 ，
又 平面 ， 平面 平面 ；
（2）取 的中点 ，连接 ，
， ，
又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
平面 ，
由（1）得 ，则 ，
，
，
，
，
即三棱锥 的体积为 .
练习26．（2023·河南安阳·统考三模）如图所示，在直角三角形 中， ，
， ， ，将 沿 折起到 的位置，使平面
平面 ，点 满足 .
(1)证明： ；【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）证明出 平面 ，在 上取一点 ，使得 ，连接 、
，证明出平面 平面 ，可得出 平面 ，再利用线面垂直的性质可证
得结论成立；
【详解】（1）证明：在直角三角形 中，因为 ， ，所以 ，
即在四棱锥 中， ， ，
又因为 ， 、 平面 ，所以， 平面 ，
所以， 平面 ，
如图，在 上取一点 ，使得 ，连接 、 .
因为 ，所以 ，所以 ，
又因为 ，所以四边形 是矩形，所以 .
因为 平面 ， 平面 ，所以， 平面 ，
在 中， ， ，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 ， 、 平面 ，所以，平面 平面 ，
所以 平面 ，因为 平面 ，故 .
练习27．（2023·广西·校联考模拟预测）如图，在多面体ABCDE中，平面 平面
ABC， 平面ABC， 和 均为正三角形， ，点M为线段
CD上一点．
(1)求证： ；
【答案】(1)证明见解析；
【分析】（1）取AC中点O，利用面面垂直的性质、线面垂直的性质证明 即可推
理作答.
【详解】（1）取AC中点O，连接DO、OB，在正 和正 中， ，
则 ，而平面 平面ABC，
平面 平面 ， 平面ACD， 平面ABC，于是 平面ABC，
平面ACD，又 平面ABC，即有 ，而 ．因此四边形DOBE是平行四边形，
则 ，
从而 平面ABC， 平面ADC，
所以 .
练习28．（2023·全国·校联考二模）如图，在四棱锥 中， 且 ，
其中 为等腰直角三角形， ，且平面 平面
.
(1)求 的长；
【答案】(1)
【分析】（1）根据题目中的垂直条件结合平面与平面垂直的性质定理以及直线与平面垂直
的判定定理把 放到一个直角三角形中，从而可求长度.
【详解】（1）取 的中点 ，则 ，
又 平面 平面 ，平面 平面 平面 ，
平面 ， 平面 ，
，
， 平面 ，
平面 ， 平面 ，
，
又 .
练习29．（2023春·吉林长春·高三长春市第二中学校考期中）如图，在直三棱柱
中， .(1)求证： ；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）根据直三棱柱 的性质和各棱长可知，连接 ，利用线面垂直
的判定定理可得 平面 ，易知四边形 为菱形，可得 平面 ，由
线面垂直的性质即可得 ；
【详解】（1）连接 与 相交于点 ，如下图所示
在直棱柱 中， 平面 平面 ，
，
又 ， 平面 ，
所以， 平面 ，
又 平面 ，
， 四边形 为菱形，即
又 ，且 平面 ，
平面 ，又 平面 ，
.
练习30．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考模拟预测）如图，在三棱台ABC—
中， ，平面 平面 .
(1)证明： 平面 ；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）在等腰梯形 中，作 ，利用勾股定理得到 ，再利用面面垂直的性质定理得到 ，最后利用线面垂直的判定定理即可得证.
【详解】（1） ，
在等腰梯形 中，作 ，则 ，
在 中， ，所以 ， ，
在 中， ，解得 ，
所以 ，即 ，
由平面 平面 ，平面 平面 ， ， 平面
，
所以 平面 ，因为 平面 ，所以 ，
因为 ， ， 平面 ，所以 平面 .
题型七 判断平行，垂直的有关命题
例13．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知 、 、 为空间中三条不同的直线，
、 、 为空间中三个不同的平面，则下列说法中正确的是（ ）
A．若 ， ， ，则
B．若 ， ， ，若 ，则
C．若 ， 、 分别与 、 所成的角相等，则
D．若m//α，m//β， ，则
【答案】B
【分析】对于ACD，通过举反例说明其错误；利用线面平行的性质可判断B选项.
【详解】对于A，如图1，若 ， ， ，则 可以与 平行，故A错误；
对于B，因为 ， ， ，且 ， ，则 ，
因为 ， ，则 ，故 ，B正确；
对于C，如图2，若 ， 、 分别与 、 所成的角为 时， 与 可以相交、平行或
异面，故C错误；对于D，如图1，m//α，m//β， ， ，则 与 相交，D错误.
故选：B.
例14．（2023·全国·校联考二模）（多选）已知 为不同的直线， 为不同的平面，
则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则 至少有一条与直线 垂直
D．若 ，则
【答案】BCD
【分析】根据空间直线与平面间的位置关系进行判断A，由线面、面面垂直的判定写性质
判断BCD．
【详解】若 ， 可能平行也可能异面，A错；
，则 ，又 ，则 ，B正确；
若 ，假设 与 不垂直，过直线 任一点 在平面 内作
直线 ，因为 ，所以 ，又 ，则 ，又 ，
是平面 内两相交直线，因此 ，而 ，所以 ，即直线 中如果有一条
不与 垂直，则另一条必定与直线 垂直，C正确；
若 ，如图，设 ， ，过直线 上一点 在平面 内作
直线 ，则 ，
同理过 在平面 内作直线 ，则 ，
因为过一点有且只有一条直线与一个平面垂直，所以 重合，即重合为平面 和 的交
线 ，所以 ，D正确．故选：BCD．
练习31．（2023·重庆·统考模拟预测）已知l，m，n表示不同的直线， ， ， 表示不
同的平面，则下列四个命题正确的是（ ）
A．若 ，且 ，则 B．若 ， ， ，则
C．若 ，且 ，则 D．若 ， ， ，则
【答案】C
【分析】根据线、面位置关系逐项分析判断.
【详解】对于选项A：若 ，且 ，则l，m可能平行、相交或异面，并不一定垂直，
故A错误；
对于选项B：若 ， ， ，则m，n可能平行、相交或异面，并不一定平行，
故B错误；
对于选项C：若 ，且 ，根据线面垂直可得： ，故C正确；
对于选项D：若 ， ，但不能得到 ，
所以虽然 ，不能得到 ，故D错误；
故选：C.
练习32．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）两个平面 与 相交但不垂直，
直线 在平面 内，则在平面 内（ ）
A．一定存在直线与 平行，也一定存在直线与 垂直；
B．一定存在直线与 平行，不一定存在直线与 垂直；
C．不一定存在直线与 平行，一定存在直线与 垂直；
D．不一定存在直线与 平行，也不一定存在直线与 垂直
【答案】C
【分析】根据题意，由条件可得分两种情况： 和 ，然后对选项逐一验证即可
得到结果.
【详解】设 ，则有两种情况： 和 ，
当 时，在平面 内不存在直线与 平行，故AB错误；当 时，在平面 内一定存在直线与 平行，也一定存在直线与 垂直，
当 时，在平面 内不存在直线与 平行，由三垂线定理可知，一定存在直线与
垂直，
综上：不一定存在直线与 平行，但一定存在直线与 垂直，故C正确，D错误；
故选：C
练习33．（2023·北京·首都师范大学附属中学校考模拟预测）设m，n为两条不同的直线，
， 为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若 ， ，则
B．若 ， ， ，则
C．若 ， ， ，则
D．若 ， ， ，则
【答案】C
【分析】根据线面，面面平行的判定和性质，线面垂直的判定和性质判断即可.
【详解】对于A ，由 ， ，可得 或 ，故A 错误；
对于B，由 ， ， ，可得 或平面 相交，故B错误；
对于D，由 ， ， ，可得 或 相交或 异面，
相交或异面时两直线可能不垂直，故D错误；
对于C，若 ，则存在直线 ，使得 ，
又 ，所以 ，又 ，所以 ，故C正确．
故选：C.
练习34．（2023·四川·校考模拟预测）已知a，b是不同的两条直线， ， 是不同的两个
平面，现有以下四个命题：
① ；② ；③ ；④ ．
其中，正确的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐一判断即可.
【详解】若 ，则 ，故①正确；
若 ，则 ，故②正确；
若 ，则 或 ，故③错误；
若 ，则在平面 内存在直线 ，使得 .
又 ，所以 ，所以 ，故④正确.所以正确的个数有3个.
故选:C.
练习35．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）（多选）已知l，m，n为
空间中三条不同的直线， ， ， 为空间中三个不同的平面，则下列说法中正确的有
（ ）
A．若 ， ， ，则
B．若 ，l，m分别与 ， 所成的角相等，则
C．若 ， ， ，若 ，则
D．若 ， ， ，则
【答案】AC
【分析】由垂直的性质及平行公理可判定选项A正确，对于BD，通过反练习说明其错误，
利用线面平行的性质可判断选项C正确.
【详解】对于A，若 ， ，则 ，又 ，则 ，故选项A正确；
对于B，若 ， ， 分别与 ， 所成的角为 时， 与 可以相交、平行或异面，
故选项B错误；
对于C，因为 ， ， ，所以 ， ， ，
因为 ，所以 ，
因为 ， ，所以 ，
因为 ，所以 ；故选项C正确；
对于D，若 ， ， ，则 可以与 平行，故选项D错误.
故选：AC.
题型八 平行，垂直的综合应用
例15．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥 中，已知底面 是菱形，
且对角线 与 相交于点 .
(1)若 ，求证：平面 平面 ；
(2)设点 为 的中点，在棱 上是否存在点 ，使得 平面 ？请说明理由.
【答案】(1)证明见解析(2)存在，理由见解析
【分析】（1）先证明 平面 ，再证明平面 平面 即可；
（2）存在棱 的中点 使得 平面 ，可使用线面平行判定定理证明.
【详解】（1）
由已知， 为 中点，连接 ，若 ，则 ，
又∵底面 是菱形，∴ ，
∵ ， 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ，
又∵ 平面 ，∴平面 平面 .
（2）
棱 上存在点 ，使得 平面 ， 为 中点，证明如下：
取 的中点 ，连接 ， ，∵ 是 的中点，∴ ，
又∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 .
故存在棱 的中点 使得 平面 .
例16．（2023春·陕西榆林·高二绥德中学校考阶段练习）如图，在四棱锥 中，底
面ABCD是矩形， 底面ABCD， ，点M是SD的中点， 且交SC于
点N.(1)求证： ∥平面ACM；
(2)求证：平面 平面AMN.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）连结BD交AC于E，连结ME，由三角形中位线的性质可得ME∥SB，结合
线面平行的性质可得 平面ACM；
（2）由线面垂直得线线垂直，由线线垂直证明线面垂直，从而证明面面垂直.
【详解】（1）连结 交 于 ，连结 ，
因为 是矩形，所以 是 的中点，
因为 是 的中点，所以 是 的中位线，
所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
（2）因为 底面ABCD， 底面ABCD，
所以 ，又四边形ABCD为矩形，所以 ，
又 ， 平面SAD， 平面SAD，
所以 平面SAD，因为 平面SAD，所以 ，
由题意， ，点M是SD的中点，所以 ，
又 ， 平面SCD， 平面SCD，
所以 平面SCD，因为 平面SCD，所以 ，又 ， ， 平面AMN， 平面AMN，
所以 平面AMN，又因为 平面SAC，所以平面 平面AMN.
练习36．（2023·山东潍坊·三模）如图， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面的圆心， 为底
面直径， 为底面圆 的内接正三角形，且边长为 ，点 在母线 上，且
.
(1)求证：直线 平面 ；
(2)求证：平面 平面 ；
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）设 交 于点 ，连接 ，利用三角形相似证得 ，从而证得
，进而证得直线 平面 ；
（2）通过 平面 ，证得 平面 ，所以平面 平面 ；
【详解】（1）如图，设 交 于点 ，连接 ，易知 底面 ， ，
所以 ，
又 是底面圆的内接正三角形，由 ，可得 ， .
又 ， ，所以 ，即 ，
又 ，所以 ，
所以 ，即 ，
又 平面 ，直线 平面 ， 平面 ，
所以直线 平面 ..
（2）因为 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 ；
练习37．（2023春·河南·高三洛阳市第三中学校联考阶段练习）在如图所示的几何体中，
平面 平面ABCD， ，E，F分别为棱PA，PC的中点．
(1)求证： 平面ABCD；
(2)若 ，求证：平面 平面PBC．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）连接AC，由 得 平面ABCD；
（2）过P作 ，垂足为M，由平面 平面ABCD得 平面ABCD，进而得
，可证得 平面PAB，从而得 ，可得 平面PAD，从而平面
平面PBC．
【详解】（1）如图，连接AC，
因为E，F分别为棱PA，PC的中点，所以 ．
因为 平面ABCD， 平面ABCD，所以 平面ABCD．（2）过P作 ，垂足为M，
因为平面 平面ABCD，平面 平面 ， 平面PAB，
所以 平面ABCD，又 平面ABCD，所以 ．
又 ， ，PA， 平面PAB，所以 平面PAB．
又 平面PAB，所以 ．
又 ，PA， 平面PAD，所以 平面PAD．
而 平面PBC，所以平面 平面PBC．
练习38．（2023·全国·模拟预测）（多选）在正四面体 中， ， ， 分别是
， ， 的中点，则（ ）
A． //平面
B．
C．平面 平面
D．平面 平面
【答案】AC
【分析】对于A：根据线面平行分析判断；对于B：根据异面直线夹角分析判断；对于
C、D：根据线面、面面垂直的判定定理分析判断.
【详解】对于选项A：因为 ， 分别是 ， 的中点，则 // ，
平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，故A正确；
对于选项B：因为 ， 分别是 ， 的中点，则 ，
且 与 夹角为 ，所以异面直线 与 夹角为 ，故B错误；
对于选项C：因为 是 的中点，且 是等边三角形，则 ，
同理可得： ，
， 平面 ，所以 平面 ，
且 平面 ，所以平面 平面 ，故C正确；
对于选项D：取底面 的中心 ，连接 ，则 平面 ，
但 与平面 相交，所以平面 与平面 不垂直，故D错误；
故选：AC.练习39．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥 中，底面ABCD为矩形，
平面PAB， ， ，N为PC的中点．
(1)若M为AB的中点，求证： 平面ADP．
(2)求证：平面 平面 ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）设 ，连接 ，进而证明平面 平面 即可证
明结论；
（2）证明 平面 得 ，再根据 证明 平面 ，进而可证
明结论.
【详解】（1）证明：设 ，连接 ，
∵底面ABCD为矩形，∴G是AC，BD的中点，
∵N为PC的中点，M为AB的中点，∴ ， ．
∵ 平面 ， 平面 ， 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ， 平面
∵ 平面
∴平面 平面 ．
又∵ 平面 ，
∴ 平面 ．
（2）证明：∵ 平面PAB， 平面PAB，∴ ，
∵ ，∴ ．∵ ， 平面 ，
∴ 平面 ．
∵ 平面 ．
∴ ．
∵ ， 为 的中点，
∴ ．
∵ ， 平面
∴ 平面 ．
又∵ 平面 ，
∴平面 平面 ．
练习40．（2022·高三课时练习）（多选）如图AB为圆O的直径，点C在圆周上（异于
A，B点），直线PA垂直于圆所在的平面，点M为线段PB的中点，则以下四个命题正确
的是（ ）
A．PB⊥AC B．OC⊥平面PAB
C．MO∥平面PAC D．平面PAC⊥平面PBC
【答案】CD
【详解】利用反证法思想说明AB错误；由直线与平面平行的判定判断C；由平面与平面
垂直的判定判断D．
【解答】解：对于A，假设PB⊥AC，由已知可得AC⊥PA，
又PA∩PB＝P， 平面 ，∴AC⊥平面PAB，而 平面 ，则AC⊥AB，
与∠CAB是锐角矛盾，故A错误；
对于B，∵点C是圆周上的任意一点，∴OC与AB不一定垂直，
若OC⊥平面PAB，则OC一定与AB垂直，故B错误；
对于C，∵点M为线段PB的中点，点O为AB的中点，∴OM∥PA，
而OM 平面PAC，PA 平面PAC，∴MO∥平面PAC，故C正确；
对于D，∵PA垂直于圆所在的平面，∴PA⊥BC，由已知得BC⊥AC，
⊄ ⊂
且PA∩AC＝A， 平面 ，∴BC⊥平面PAC，而BC 平面PBC，则平面PAC⊥
平面PBC，故D正确． ⊂
故选：CD．
