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2023-2024学年九年级数学上学期期末测试卷01（测试范围：九年级上册+下
册）
一、单选题
1．如果（m﹣3）x2+5x﹣2＝0是一元二次方程，则（ ）
A．m≠0 B．m≠3 C．m＝0 D．m＝3
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的定义判断即可．
【解析】∵（m﹣3）x2+5x﹣2＝0是一元二次方程
∴m﹣3≠0
∴m≠3
故选：B
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，形如ax2+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)的方程叫做一元二次方
程，注意a≠0这个条件．解题的关键是熟记一元二次方程的定义．
2．下列几何体中三个视图完全相同的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了简单几何体的三视图，注意主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面
看，所得到的图形．据此作答即可．
【解析】解：A、三棱柱的主视图和左视图都是矩形，俯视图是三角形，故不符合题意；
B、圆锥的三视图主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，故不符合题意；
C、圆柱的三视图既有圆又有长方形，故不符合题意；
D、球的三视图都是圆，故符合题意；
故选：D
3．已知 ， ，且 的周长为 ，则 的周长为( )
A．3 B．5 C．15 D．45
【答案】D
【分析】由题意直接根据相似三角形的周长比等于相似比进行分析计算即可.
1【解析】解：∵ ， ，
∴ 的周长： 的周长 ， 的周长为 ，
∴ 的周长为 ，
故选：D．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，注意掌握两个相似三角形的对应角相等，周长的比等于相似比，面
积的比等于相似比的平方．
4． 中， ， ， ， 的值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【分析】根据勾股定理求出 的值，代入正切公式即可得到答案；
【解析】解：∵ ， ， ，
∴ ，
故选D．
【点睛】本题考查勾股定理及正切定义，，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
5．不透明的袋子中有4个白球和3个红球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出1个球，恰好
是白球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接用白球的数量除以不透明袋子中球的总数即可．
【解析】解：恰好是白球的概率为 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了统计与概率的求法，用到的知识为：概率=所求情况数与总情况数之比．
6．如图， ，则下列比例式成立的是（ ）
2A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平行线分线段比例定理，得到对应的线段成比例，判断出正确的选项．
【解析】解：∵ ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查平行线分线段比例定理，解题的关键是掌握这个定理，根据平行的条件得到对应的线段
成比例．
7．在反比例函数 为常数）上有三点 ， ， ， ， ，若 ，则 ，
， 的大小关系为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查反比例函数图象的特点，熟练掌握反比例函数的图象的特点是解决本题的关键．根
据偶次方的非负性，得 ，再根据反比例函数的图象的特点解决此题．
【解析】解： ，
．
反比例函数 为常数）的函数图象在第一、第三象限；在第一象限内， 随着 的增大而减小；
在第三象限内， 随着 的增大而减小．
，
3， ，即 ．
故选：A
8．对于二次函数 ，下列说法不正确的是（ ）
A．开口向下 B．当 时，y随x的增大而减小
C．当 时，y有最小值2 D．当 时，
【答案】C
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解
答本题．
【解析】解： ，
∵ ，
∴该函数的图象开口向下，故选项A正确；
∵对称轴是直线 ，
∴当 时，y随x的增大而减小，故选项B正确；
∵顶点坐标为 ，
∴当 时，y有最大值4，故选项C不正确；
当 时， ，
解得： ，
∴函数图象与x轴的交点为 和 ，故D正确．
故选：C．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的
性质解答．
9．如图， 中， 于E， ， ，则弦 的长为（ ）
4A． B． C．6 D．8
【答案】B
【分析】根据垂径定理求出 ， ，根据直角三角形的性质求出
，再根据勾股定理求解即可．
【解析】解：∵ 于E，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】此题考查了垂径定理，圆周角定理，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟记定理是解题
的关键．
10．如图，二次函数 （ 是常数，且 ）的图象与 轴交于 ， 两点（点 在
点 的左侧），与 轴交于点 ，顶点为 ．其对称轴与线段 交于点 ，与 轴交于点 ．连接 ．
5若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先用 的代数式表示出 ， ， 的坐标，再作 的平分线交 于点 ，过点 作
于点 ，根据全等和角平分线性质得到用 的代数式表示的 和 的长，根据 和 的关
系即可求出 的值．
【解析】当 时， ，
解方程，得 ， ，
点 在点 的左侧，且 ，
， ，
当 时， ，
，
，
，
，
∵ 轴，
，
，
，
作 的平分线交 于点 ，过点 作 于点 ，如图，
6， ，
，
在 和 中，
，
∴ ，
，
，
， ，
，
即 ，
．
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性
质，角平分线性质，通过作辅助线构造全等三角形和直角三角形是解题的关键．
二、填空题
11．已知 ，则 的值是 ．
【答案】
7【分析】首先设 ＝k，即可得a＝2k，b＝3k，c＝4k，然后将其代入 ，即可求得答案．
【解析】解：设 ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】此题考查了比例的性质．此题比较简单，解题的关键是掌握比例变形与设 的解题方
法．
12．方程（x﹣4）（x+3）＝0的解是 ．
【答案】x＝4，x＝﹣3
1 2
【分析】直接利用因式分解法解方程即可．
【解析】解：∵（x﹣4）（x+3）＝0，
∴x﹣4＝0或x+3＝0，
∴x＝4，x＝﹣3；
1 2
故答案为：x＝4，x＝﹣3．
1 2
【点睛】本题考查了解一元二次方程 因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，
这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
13．抛物线 的对称轴是 ．
【答案】直线
【分析】根据顶点坐标公式计算即可得到答案．
【解析】解：抛物线的对称轴是直线x= ，
故答案为：直线 ．
【点睛】此题考查了求抛物线的顶点坐标，熟记抛物线顶点坐标公式是解题的关键．
14．已知C是线段AB的黄金分割点， ，若 ，则 的长为 ．（结果保留根号）
【答案】
【分析】根据黄金分割点的定义，即可进行解答．
【解析】解：∵C是线段AB的黄金分割点， ， ，
8∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了黄金分割点的定义，解题的关键是掌握黄金分割点是指将整体一分为二，较大部
分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值的分割点．其比值是一个无理数，用分数表示为
．
15．如图，在高楼前 点测得楼顶的仰角为 ，向高楼前进 米到 点，又测得仰角为 ，已知该高楼
的高度为 米，则 米．
【答案】30
【分析】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
根据题意可得： ，然后在 中，利用锐角三角函数的定义求出 的长，再利用三角形的
外角性质可得 ，从而可得 米，即可解答．
【解析】由题意得： ，
在 中， ，
∴ (米)，
∵ 是 的一个外角， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 米，
∴ ，
故答案为：30．
916．如图，点E和点F分别是矩形 边上的两点，已知 ，连接 ，设
交于点G，则 值为 ．
【答案】 /
【分析】此题考查了矩形的性质，三角形高有关的计算，连接 ，设 ， ，由等高的三
角形的面积的比等于对应底的比得到 ， ，结合图形得出 ，确定 从
而计算 ，解此题的关键是注意等高的三角形的面积的比等于对应底的比．
【解析】解：连接 ，
设 ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
，
∴ ，
10∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
17．把二次函数 的图像向左平移1个单位长度，再向上平移m个单位长度（ ），如果
平移后所得抛物线与坐标轴有三个公共点，那么m应满足条件 ．
【答案】
【分析】根据平移得到新函数解析式，再根据抛物线与坐标轴有三个公共点，即抛物线与x轴有两个交点，
根据判别式关系求解即可得到答案；
【解析】解：由题意可得，
平移后函数解析式为： ，
∵平移后所得抛物线与坐标轴有三个公共点，
∴抛物线与x轴有两个交点，
即：方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
故答案为： ；
【点睛】本题考查二次函数与坐标轴交点问题，解题的关键是掌握抛物线与y轴必有一个交点，与x轴交
点取决于令 时方程的判别式．
18．如图是以点O为圆心，AB为直径的圆形纸片，点C在⊙O上，将该圆形纸片沿直线CO对折，点B落
在⊙O上的点D处（不与点A重合），连接CB，CD，AD．设CD与直径AB交于点E．若AD=ED，则
∠B= 度； 的值等于 ．
11【答案】 36
【分析】由等腰三角形的性质得出∠DAE=∠DEA，证出∠BEC=∠BCE，由折叠的性质得出
∠ECO=∠BCO，设∠ECO=∠OCB=∠B=x，证出∠BCE=∠ECO+∠BCO=2x，∠CEB=2x，由三角形内角和定
理可得出答案；证明 CEO∽△BEC，由相似三角形的性质得出 ，设EO=x，EC=OC=OB=a，得出
△
a2=x（x+a），求出OE= a，证明 BCE∽△DAE，由相似三角形的性质得出 ，则可得出答案．
△
【解析】解：∵AD=DE，
∴∠DAE=∠DEA，
∵∠DEA=∠BEC，∠DAE=∠BCE，
∴∠BEC=∠BCE，
∵将该圆形纸片沿直线CO对折，
∴∠ECO=∠BCO，
又∵OB=OC，
∴∠OCB=∠B，
设∠ECO=∠OCB=∠B=x，
∴∠BCE=∠ECO+∠BCO=2x，
∴∠CEB=2x，
∵∠BEC+∠BCE+∠B=180°，
∴x+2x+2x=180°，
∴x=36°，
12∴∠B=36°；
∵∠ECO=∠B，∠CEO=∠CEB，
∴△CEO∽△BEC，
∴ ，
∴CE2=EO•BE，
设EO=x，EC=OC=OB=a，
∴a2=x（x+a），
解得，x= a（负值舍去），
∴OE= a，
∴AE=OA-OE=a- a= a，
∵∠AED=∠BEC，∠DAE=∠BCE，
∴△BCE∽△DAE，
∴ ，
∴ ．
故答案为：36， ．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和
定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
三、问答题
19．解下列方程
(1)x2-6x-16=0（配方法）；
(2) （公式法）．
13【答案】(1)
(2)
【分析】（1）原方程先将常数项移到等号右边，方程两边同加上一次项系数一半的平方，配方后运用直
接开平方法求解即可；
（2）方程运用求根公式求解即可．
【解析】（1）解：
，
，即 ，
∴ ，
∴ ；
（2）解： ，
∵ ，
∴ ，
∴
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、
因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
20．为庆祝神舟十五号载人飞船发射成功，某中学组织志愿者周末到社区进行航天航空知识宣讲活动，现
有A、B、C、D四名同学报名参加．
(1)若从这四人中随机选取一人，恰好选中A同学参加活动的概率是__________；
(2)若从这四人中随机选取两人，请用列表或画树状图的方法求恰好选中A、B两名同学参加活动的概率．
【答案】(1)
(2)表格见解析，
14【分析】（1）根据概率计算公式求解即可；
（2）先列出表格得到所有的等可能性的结果数，再找到恰好选中A、B两名同学参加活动的结果数，最后
依据概率计算公式求解即可．
【解析】（1）解：∵一共有4个人，每个人被选取的概率相同，
∴从这四人中随机选取一人，恰好选中A同学参加活动的概率是 ，
故答案为： ．
（2）解：列表如下：
A B C D
A
B
C
D
由表格可知一共有12种等可能性的结果数，其中恰好选中A、B两名同学参加活动的结果数有2种，
∴恰好选中A、B两名同学参加活动的概率 ．
【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，树状图或列表法求解概率，灵活运用所学知识是解题的关键．
21．如图，在 中， ， ， ．
(1)求 边上的高 的长度；
(2)正方形的一边 在 上，另两个顶点E、H分别在边 、 上，求正方形 的边长．
【答案】(1)
15(2)
【分析】(1)由勾股定理求出 ，再由三角形面积即可得出答案；
(2)设正方形边长为x，证出 ，得出比例式，进而得出答案．
【解析】（1）解：在 中， ， ， ，
，
，
；
（2）解：∵四边形 是正方形，
，
，
如图，设 与 交于点M，
，
∴四边形 是矩形，
，
设正方形 的边长为x，
，
，
得
解得 ，
16∴正方形 的边长为 ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，矩形的判定等知识，解题的关键是利用相
似三角形对应高的比等于相似比，学会用方程的思想解决问题．
22．如图，矩形 的对角线相交于点 ， ，连接 ．
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)若 ，求 的面积．
【答案】(1)见解析；
(2) ．
【分析】本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质．
（1）根据菱形的判定证明即可；
（2）作 交 延长线于点 ，根据菱形的性质和三角函数解答即可．
【解析】（1）解：证明：∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵四边形 是矩形，
∴
∴四边形 是菱形；
（2）解：∵ ，
在菱形 中，
∴ 均为等边三角形，
∴ ，
如图，作 交 延长线于点 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
17∴△EBC的面积
23．如图，在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象分别与 轴、 轴交于点 、 ，与反比
例函数 的图象交于点 ，连接 ．已知点 ， 的面积是 ．
(1)求 、 的值；
(2)求 的面积；
(3)观察图象，直接写出当 时， 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合；
（1）先把点B的坐标代入一次函数解析式求出一次函数解析式即可求出b的值，再根据三角形面积公式求
出点C的横坐标，进而求出点C的坐标，再把点C的坐标代入到反比例函数解析式中求出k的值即可；
（2）先求出点A的坐标，得到 的长，再根据三角形面积公式求解即可；
（3）利用图象法求解即可．
【解析】（1）解：把 代入 中得： ，
∴一次函数解析式为 ，
18∵ ，
∴ ，
∵ 的面积是 2，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，当 时， ，
∴ ，
∵点C在反比例函数 的函数图象上，
∴ ；
（2）解：∵点A是一次函数 与x轴的交点，
当 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：观察图象可知当 时，一次函数 的函数图象在反比例函数 的函数图象
下方，
∴不等式 的解集为 ．
24．小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1，纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形，其示意图如图2．
已知 ， ， ， ， ．（结果精确到0.1 ，参
考数据： ， ， ， ， ， ）
19(1)连结 ，求线段 的长．
(2)求点A，B之间的距离．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）过点C作 于点F，根据等腰三角形的性质可得 ， ，
再利用锐角三角函数，即可求解；
（2）连结 ．设纸飞机机尾的横截面的对称轴为直线l，可得对称轴l经过点C．从而得到四边形DGCE
是矩形，进而得到DE=CG，然后过点D作 于点G，过点E作EH⊥AB于点H，可得
，从而得到 ，再利用锐角三
角函数，即可求解．
【解析】（1）解：如图2，过点C作 于点F，
∵ ，
∴ ， 平分 ．
∴ ，
∴ (cm)，
20∴ ．
（2）解：如图3，连结 ．设纸飞机机尾的横截面的对称轴为直线l，
∵纸飞机机尾的横截面示意图是一个轴对称图形，
∴对称轴l经过点C．
∴ ， ，
∴AB∥DE．
过点D作 于点G，过点E作EH⊥AB于点H，
∵DG⊥AB，HE⊥AB，
∴∠EDG =∠DGH=∠EHG=90°，
∴四边形DGCE是矩形，
∴DE=HG，
∴DG∥l， EH∥l，
∴ ，
∵ ，BE⊥CE，
∴ ，
∴ (cm)，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．
25．如图，在 中， ，点E，F分别在边 ， 上， ，以 为直径的 与
相切于点D，连接 ， ， ．
21(1)求证：① ；
② ．
(2)若 ， ，则 的长为______．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)
【分析】（1）①连接 ，根据切线的定义可得 ，再根据平行线的定义可得
，即可得出 是 的垂直平分线，即可求证；②根据同弧所对的圆周角相等可得
， ，再结合平行线的性质，进而得出 ， ，
即可求证；
（2）过点C作 于点H，交 于点G，用等面积法求出 ，即可求出 ，再根据 得出
，最后根据相似三角形对应边成比例即可求解．
【解析】（1）①证明：连接 ．
∵ 与 边相切于点D，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
22∴ ，即 ，
又∵ ，
∴ ．
②证明：∵ ， ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ， ．
∴ ， ．
∴ ．
（2）过点C作 于点H，交 于点G，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
23∴ ，即 ，解得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了圆和三角形的综合，解题的关键是掌握切线的判定方法，圆周角定理，勾股定理，
相似三角形的判定和性质．
26．已知二次函数 图象与y轴交于点 ，与x轴交于点B、 （点B在点C的
左侧）．点P是该图象位于第一象限上的一动点．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)过点P作 轴，交 于点H，
① 当点P在何处时， 的值最大，最大值是多少？
② 若 中恰有一个角与 相等，求此时点P的横坐标．
【答案】(1)
(2)①当 时，PH最大值为3，②3或
【分析】（1）直接用待定系数法求解即可；
（2）①先用待定系数法求出直线 解析式为 ，设 ，则 ，所
以 ，得用二次函数最值方法求解即可；
②分两种情况：当 时，当 时，分别求解即可．
24【解析】（1）解：把 ， 分别代入 ，得
，解得： ，
∴二次函数的表达式为 ；
（2）解：①设直线 解析式为 ，把 ， 分别代入，得
，解得： ，
∴ ，
设 ，
∵ ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴当 时， 有最大值，最大值为3，
把 代入 ，得 ，
∴ ，
∴当 时， 的值最大，最大值是3；
②当 时，
∵
∴ ，即 轴，
∵ ，
25∴点P纵坐标为3，
∴
解得： ， （舍去），
∴点P的横坐标3；
当 时，
∵ ，
∴
∴ ，
过点A作 于N，过点O作 于M，
∵ ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由①知
∴ ，
解得 ， （舍去），
26∴点P的横坐标为 ，
综上，当 中恰有一个角与 相等，此时点P的横坐标为3或 ．
【点睛】本题考查用待定系数法求函数解析式，二次函数的图象性质，相似三角形的判定与性质，本题是
二次函数综合题目，综合性较大，属中考试压轴题，具有一定难度．
27．问题提出：若任意两个正数的和为定值，则它们的乘积会如何变化呢？比如两个正数的和是1，那么
这两个正数可以是 和 ， 和 ， 和 ，…它们的乘积分别是 ， ， ，…，初步判断：当这两
个正数分别是 和 时，乘积有最大值为 ．
(1)问题探究：
若两个正数的和是10，其中一个正数为 ，这两个正数的乘积为y，试探究y与x之间的函数关
系式，并求出y的最大值．
(2)结论猜想：
猜想：若任意两个正数的和是一个固定的数a，那么这两个正数的乘积存在最大值，最大值为__________．
(3)结论应用：
①已知m、n满足 ，则当t为多少时， 取得最大值？并求出最大值：
②如图， 是 的直径， ，C是 上一点，且 ，点D是半圆上一动点，点E、F分别
是 延长线上一点，且满足 ，直接写出四边形 的面积的最大值．
【答案】(1) ，25
27(2)
(3)① ， ； ②25
【分析】（1）根据题意得到 ，然后利用二次函数的性质求解即可；
（2）：设其中一个正数为m，则另一个正数为 ，它们的积为n，仿照（1）得到
，利用二次函数的性质即可得到答案；
（3）①先求出 且 ，再根据（2）的结论进行求解即可；②先解直角三角形求出
，则 ，如图所示，过点A作 于H，则 ，推出
，同理可得 ，进而推出 ，
根据（2）的结论求出 的最大值为 即可得到答案．
【解析】（1）解：∵两个正数的和是10，其中一个正数为 ，
∴另一个正数是 ，
∵这两个正数的乘积为y，
∴ ，
∵ ，
∴当 时， 最大，最大值为 ；
（2）解：设其中一个正数为m，则另一个正数为 ，它们的积为n，
∴ ，
∵ ，
∴当 时， 最大，最大值为 ；
（3）解：①∵ ，
28∴ ，且 ，
∴由（2）的结论可知，当 ，即 时， 有最大值 ；
②∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
如图所示，过点A作 于H，
∴ ，
∴ ，
同理可得 ，
又∵ ，
∴ ，
∴
，
∵ ，且 ，
∴由（2）的结论可知 的最大值为 ，
∴ 的最大值为 ．
29【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解直角三角形，同弧所对的圆周角相等等等，正确理解题意是
解题的关键．
30
