培优02二元一次方程组的实际应用类型（9大题型）（北师大2024）（解析版）_北师大初中数学_8上-北师大版初中数学_初中数学北师大8上-2025秋季新版_第二套推荐25_07习题试卷_第2套

培优 02 二元一次方程组的实际应用类型（9 大题型） 题型1 二元一次方程组应用--分配问题 识别分配总量与比例关系是核心。设两个未知数分别代表不同分配对象的数量，根据"总量 不变"和"比例关系"建立两个方程。常见于人员分组、物资分配等场景，需注意未知数通常 为非负整数，解出后要验证是否符合实际意义。 1．（24-25七年级下·陕西铜川·阶段练习）盲盒近来火爆，这种不确定的“盲抽”模式受到了大家的喜爱， 一服装厂用某种布料生产玩偶A与玩偶B组合成一批盲盒，一个盲盒搭配2个玩偶A和3个玩偶B，已知 每米布料可做1个玩偶A或3个玩偶B，现计划用135米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题 的关键． 根据题意可知：生产玩偶A的布的米数+生产玩偶B的布的米数=总的布的米数，一个盲盒搭配2个玩偶A 和3个玩偶B，已知每米布料可做1个玩偶A或3个玩偶B，然后即可列出相应的二元一次方程组． 【详解】解：设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B， 依题意，得： ． 故选：B． 2．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）2025年1月7日西藏定日县发生6.8级地震，自治区应急、交通 等部门给予大力帮助．针对灾区房屋安全、电力供应、物资保障等方面进行全方位排查，现安排甲、乙两 种货车从某医药公司仓库运输物资到地震灾区，两种货车的情况如表： 甲种货车/辆 乙种货车/辆 总量/吨 第一次 3 4 27 第二次 4 5 35 (1)甲、乙两种货车每辆分别能装货多少吨？ (2)据了解，这次运输中，每辆车都装满，甲种货车拉每吨货物耗费100元，乙种货车拉每吨货物耗费150 元，有5辆车参与运货，其中甲种货车 辆．求货车所需总费用 与 之间的函数关系式；当所需总费用 为2350元，该如何安排拉货？ 【答案】(1)甲、乙两种货车每辆分别能装货5吨、3吨． (2) ；安排甲种货车2辆，乙种货车3辆参与运货 【分析】本题主要考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应 的方程，写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质求最值． （1）根据表格中的数据，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可； （2）根据题意和题目中的数据，可以写出货车所需总费用w与a之间的函数关系；由 解方程即 可解答． 【详解】（1）解：设甲、乙两种货车每辆分别能装货m吨、n吨，由表格可得： ， 解得 ． 答：甲、乙两种货车每辆分别能装货5吨、3吨． （2）解：设甲种货车a辆，则乙种货车 辆， 由题意可得： ， 即货车所需总费用w与a之间的函数关系是 ； 当 时，由 得 ， ， 故当所需总费用为2350元，安排甲种货车2辆，乙种货车3辆参与运货． 3．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）这个夏天，江苏的顶流话题非“苏超”莫属！朋友圈、抖音全被 刷屏，网友们边看球赛边玩梗．梭子蟹 大闸蟹、云雾茶 碧螺春、海鲜 汤包…… 年 月 日， 连云港主场迎战苏州，一场“舌尖上的德比”未踢先火，更因两地特色 被戏称为“蟹王争霸赛”． 为给赛事加码，连云港放出“宠粉大招”——广大球迷专属优惠：即日起至 月 日，凡持有 年江苏 省城市足球联赛购票凭证的球迷，凭购票记录和身份证，可享受在观赛当日及前、后 天内（十一假期不 含在内）连云港市域内景区、酒店优惠． 已知连云港某酒店的三人间和双人间客房标价为：三人间为每人每天 元，双人间为每人每天 元． 凡球迷圆团体入住一律五折优惠．一个 人的团体在 月 日到该酒店住宿，租住了一些三人间、双人间 客房． (1)如果租住的每个客房正好住满，并且一天一共花去住宿费 元．求租住了三人间、双人间客房各多 少间？(2)一天 元的住宿费是否为最低？如果不是最低，请尝试设计一个方案，使得一天的住宿费用最低， 并求出最低费用． 【答案】(1)租住了三人间 间，双人间 间 (2)一天 元的住宿费不是最低，住宿费用最低的设计方案： 人住三人间， 人住双人间，则费用最 低，为 元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用，（1）设租住了三人间有 间，双人间有 间． 注意凡团体入住一律五折优惠，根据“租住的每个客房正好住满，并且一天一共花去住宿费 元”列方 程组求解即可； （2）设三人间住了 人，则双人间住了 人，住宿费 三人间的人数 双人间的人数，再结 合 的取值范围及实际情况，运用函数的性质即可得解； 解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数和方程的思想解答． 【详解】（1）解：∵凡团体入住一律五折优惠， ∴三人间为每人每天 （元），双人间为每人每天 （元）， 设租住了三人间有 间，双人间有 间， 依题意，得： ， 解得： ， 答：租住了三人间 间，双人间 间； （2）设三人间住了 人，则双人间住了 人， ∴一天的住宿费用为 ， ∵ ， ∴ 随 的增大而减小， ∴当x满足 、 为整数，且 最大时，即 时，住宿费用最低， 此时 ， ∴一天 元的住宿费不是最低；若 人入住三人间，则费用最低，为 元， ∴住宿费用最低的设计方案为： 人住三人间， 人住双人间，则费用最低，为 元． 4．（24-25七年级下·陕西延安·期中）某铁件加工厂用图①的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）可以加工成图②的竖式与横式两种无盖的长方体容器（加工时接缝材料不计）．两种长方体 容器与所需铁片的数量关系如下表： 1个竖式无盖容 1个横式无盖容 器 器 长方形铁片的数 4张 3张 量 正方形铁片的数 1张 2张 量 (1)若现有170张长方形铁片和80张正方形铁片，用于加工图②的竖式容器和横式容器，两种铁片刚好全 部用完，则可以加工出无盖竖式容器和无盖横式容器各多少个？ (2)已知该铁件加工厂加工出的此竖式容器费用为50元/个，此横式容器的费用为60元/个．若五金店老板 计划支付800元用于采购一批竖式容器和横式容器（两种容器都要有），则有哪几种方案可供选择？ 【答案】(1)可以加工出20个无盖竖式容器，30个无盖横式容器 (2)共有2种方案可供选择，方案1：采购10个竖式容器，5个横式容器；方案2：采购4个竖式容器，10 个横式容器 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用． （1）设可以加工出x个无盖竖式容器，y个无盖横式容器，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设采购m个竖式容器，n个横式容器，由题意可知 ，列出所有情况即可． 【详解】（1）解：设可以加工出x个无盖竖式容器，y个无盖横式容器， 根据题意得 ， 解得 ． 答：可以加工出20个无盖竖式容器，30个无盖横式容器； （2）解：设采购m个竖式容器，n个横式容器，根据题意得 ， ． 又 ，n均为正整数， 或 ． 共有2种方案可供选择， 方案1：采购10个竖式容器，5个横式容器； 方案2：采购4个竖式容器，10个横式容器． 5．（24-25七年级下·重庆·期中）春节期间市场上对礼品盒的需求量激增．为了满足市场的需求，沙坪坝 区某工厂计划制作一批圆柱形礼品盒，已知该工厂共有90名工人，其中女工人数比男工人数的3倍少10 名，并且每名工人平均每天可以制作这种礼品盒的盒身400个或盒底1000个． (1)该工厂有男工、女工各多少名？ (2)该工厂计划安排一部分工人负责制作盒身，另一部分工人负责制作盒底，要求一个盒身配两个盒底，那 么应安排制作盒身和盒底的工人各多少名，才能使每天生产的产品刚好配套？ 【答案】(1)该工厂有男工25人，女工65人 (2)安排制作盒身的工人50名，制作盒底的工人40名，才能使每天生产的产品刚好配套 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，找到等量关系是解题的关键． （1）设该工厂有男工x名，女工y名，根据题意列出方程组，即可得出答案； （2）设安排制作盒身的工人a名，制作盒底的工人b名，才能使每天生产的产品刚好配套，根据题意列出 方程组，即可得出答案． 【详解】（1）解：设该工厂有男工x名，女工y名， 根据题意，得 ， 解得： ， 答：设该工厂有男工25人，女工65人． （2）解：设安排制作盒身的工人a名，制作盒底的工人b名，才能使每天生产的产品刚好配套， 根据题意，得 ，解得： ， 答：安排制作盒身的工人50名，制作盒底的工人40名，才能使每天生产的产品刚好配套． 6．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）2024年1月5日，第40届哈尔滨国际冰雪节开幕式在哈尔滨冰雪大 世界举行，掀起了哈尔滨冰雪旅游的高潮．因为天气的寒冷，保温杯的需求也在大量增加，某工厂主要加 工生产保温杯，已知一个保温杯是由一个杯身和两个杯底构成，用1张铁皮可做35个杯身或60个杯底． (1)现有520张铁皮，用多少张做杯身，多少张做杯底才能使杯身与杯底恰好配套，同时可以制造多少个保 温杯？ (2)现由工厂加工生产这批保温杯，生产到一半时，因产品的急需，又增添了一些人员前往加工生产，结果 每天生产的保温杯比原来多了 ，最后提前2天完成．请问原计划每天生产多少个保温杯？ 【答案】(1)用 张做杯身， 张做杯底才能使杯身与杯底恰好配套，同时可以制造 个保温杯 (2)原计划每天生产 个保温杯 【分析】本题考查了由实际问题抽象出方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量 关系，列方程． （1）设用 张做杯身， 张做杯底才能使杯身与杯底恰好配套，根据“一个杯身和两个杯底构成，用1张 铁皮可做35个杯身或60个杯底”列方程解题即可； （2）设原计划每天生产 个保温杯，根据“生产到一半时，因产品的急需，又增添了一些人员前往加工生 产，结果每天生产的保温杯比原来多了 ，最后提前2天完成”列分式方程解题即可． 【详解】（1）解：用 张做杯身， 张做杯底才能使杯身与杯底恰好配套， 则 ，解得： ， 这时可以制造保温杯 个， 答：用 张做杯身， 张做杯底才能使杯身与杯底恰好配套，同时可以制造 个保温杯． （2）解：设原计划每天生产 个保温杯，则列方程得： ， 解得： ， 经检验 是原方程的解， 答：原计划每天生产 个保温杯． 7．（24-25七年级下·浙江温州·期中）综合与实践．【素材1】某工厂计划日生产 件零件． 【素材2】现有初级工、高级工两种工人可安排参与生产，生产能力和薪酬如下： 工种 初级工 高级工 日生产量（件/人） 日薪酬（元/人） 【素材3】为了便于调配，工厂安排的工人恰好可以完成生产计划． 【问题】 (1)若工厂指派 名高级工参与生产，则需要安排多少名初级工？ (2)该工厂每日计划支付薪酬 元，那么需要安排初级工、高级工各多少人？ (3)为了保证生产质量，该工厂计划每4名初级工生产时需1名高级工进行指导（不足4名按4名计算，指 导的高级工不参与生产，但需要支付日薪酬），请为工厂设计一个成本最低（支出工人的总日薪酬最低） 的工人安排方案． 【答案】(1)若工厂指派 名高级工参与生产，则需要安排 名初级工 (2)需要安排初级工5人，高级工 人 (3)应安排初级工 名，高级工8名 【分析】本题考查了二元一次方程组得应用，二元一次方程的应用以及一元一次方程的应用．找准等量关 系，列出正确的等式是解题的关键． （1）设需要安排 名初级工，根据需要日生产 件零件，可列出关于 的一员一次方程，解之即可； （2）设需要安排初级工x人，高级工y人，根据日生产 件零件且该工厂每日支付薪酬 元，可列出 关于 ， 的二元一次方程组，解之即可； （3）设需要安排参与生产的初级工 人，高级工 人，根据日生产 件零件，可列出关于 ， 的二元 一次方程，结合 ， 均为非负整数，可得出各安排方案，结合每4名初级工生产时需要1名高级工进行 指导（不足4名按4名计算，指导的高级工不参与生产，但需要支付日薪酬），可列表得出具体安排方案， 再求出选择各方案需支出工人的总日薪酬，比较后即可得出答案． 【详解】（1）解：设需要安排 名初级工， 根据题意得： ， 解得： ， 答：若工厂指派 名高级工参与生产，则需要安排 名初级工． （2）解：设安排初级工x人，高级工y人，解得 答：需要安排初级工5人，高级工 人． （3）解：设参与生产的初级工 人，高级工 人 则 ，化简得 ， 则 为5的倍数，可列表如下： 0 5 5 参与指导的高 8 6 4 2 级工人数 高级工人数 8 费用 ∴应安排初级工29名，高级工8名． 8．（24-25七年级下·福建泉州·阶段练习）工作人员从仓库领取如图1中的长方形和正方形纸板作侧面和 底面，做成如图2的竖式和横式的两种无盖纸盒若干个，恰好使领取的纸板用完． 正方形纸板 长方形纸板 次数 （张） （张） 第一 560 940 次 第二 420 1002 次 (1)下表是工作人员两次领取纸板数的记录： ①仓库管理员在核查时，发现一次记录有误，请判断第几次的记录有误，并说明理由； ②记录正确的那一次，利用领取的纸板做了竖式和横式纸盒各多少个？ (2)若工作人员某次领取的正方形纸板数与长方形纸板数之比为 ，请你求出利用这些纸板做出的竖式纸 盒与横式纸盒个数的比值； (3)拓展延伸：现在仓库里有 张正方形纸板和 张长方形纸板，如果这些纸板做出的竖式纸盒为 与横式纸盒个数为 ，恰好使库存的纸板用完，则用 的代数式表示 的值． 【答案】(1)①第二次记录有误，见解析；②做成40个竖式纸盒，260个横式纸盒； (2)3 (3) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，代数式，比值，理解题意，找到正确的数量关系是本题的关 键． （1）①设做成x个竖式纸盒，y个横式纸盒，由领取的正方形的纸板和长方形的纸板之和应该是5的倍数， 可判断第二次记录错误；②由第一次记录，列出方程组 ，求解即可； （2）由正方形纸板数与长方形纸板数之比为 ，可得 ，求解即可； （3）根据题意，可得到 ，两个方程相加，即可解答． 【详解】（1）解：①第二次记录错误，理由如下： 设做成x个竖式纸盒，y个横式纸盒，则需要正方形纸板 张，需要长方形的纸板 张， ∴领取的正方形的纸板和长方形的纸板之和为 ，应该是5的倍数， ∴第二次记录有误； ②由题意可得： ， 解得： ， 答：做成40个竖式纸盒，260个横式纸盒； （2）由题意可得： ， 解得： ， ∴ ， 答：竖式纸盒与横式纸盒个数的比值为3．（3）由题意，得 ， ∴ ． 答： 的值为 ． 题型2 二元一次方程组应用--营销问题 抓住进价、售价、利润、数量这四个关键量。设未知数表示不同商品的销量或进价，根 据"总销售额=单价×数量"和"总利润=单利×数量"或"总成本=进价×数量"建立方程组。注意 折扣、利润率等概念的准确计算。 9．（24-25六年级下·上海青浦·期末）某商店销售甲、乙两种商品．现有如下信息： 信息1：甲、乙两种商品零售单价之和是 元． 信息2：按零售单价购买甲商品3件和乙商品 件共需支付 元． (1)根据情境中的信息，求出甲、乙两种商品的单价． (2)恰逢“ ”活动，乙商品降价 销售，已知乙商品的成本为 元，求此时的盈利率． 【答案】(1)甲商品的单价为 元，乙商品的单价为 元； (2)此时的盈利率为 ． 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意， 找出等量关系． （1）设甲商品的单价为 元，乙商品的单价为 元，根据信息1和信息2中的等量关系，列方程组，求解 即可； （2）根据题意，可得乙商品的售价，从而可得乙商品的利润，代入盈利率公式计算即可． 【详解】（1）解：设甲商品的单价为 元，乙商品的单价为 元， 根据题意可得， ， 解得， ， 答：甲商品的单价为 元，乙商品的单价为 元． （2）解：设盈利率为 ，根据题意可得， ， 解得， ， 答：此时的盈利率为 ． 10．（24-25七年级下·重庆·自主招生）某汽车专卖店销售 两款新能源汽车，上周出售1辆A款和3 辆B款，销售额为96万元；本周出售2辆A款和1辆B款，销售额为62万元．问． (1)A、B两款分别价值多少钱？ (2)若A款价格上涨 ，B款上涨 ，则同时购买一辆A款和一辆B款的费用比涨价前多了 ，求 的值． 【答案】(1)A款价值18万元，B款价值26万元 (2)5.5 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，正确理解题意建立方程是解题的 关键． （1）设 款价值 万元， 款价值 万元，根据题意可列方程组 ，解出即可； （2）根据涨价前后的费用变化可建立方程 ，解出即可． 【详解】（1）解：设 款价值 万元， 款价值 万元， 由题意得： ， 解得： ， ， 答：A款价值18万元，B款价值26万元； （2）由题意得： 解得： ， 答：m的值为5.5． 11．（24-25六年级下·上海闵行·期末）今年五一假期，学校号召大家开展丰富的小队活动．六（3）班小 海团队共16人（包含部分家长及学生）一起到某 景区游览，小海负责在网上进行预约，并提前购票． 网络提示购票信息有如下4条： A．成人票：全价票，每张80元； B．学生票：是全价票的一半；C．团体票：20人及以上，按全价票的六折优惠； D．若退票，将扣除购票款的 ． (1)小海团队若分别购买成人票和学生票，需付款1000元．问小海团队家长和学生各几名？ (2)小海支付1000元购票价后，碰到还没有购票的乐乐团队，他们是2名家长和4名学生．他们发现退票后 所有人都购买团体票更合算，请计算小海团队重新购票能节省多少元． 【答案】(1)家长有9名，学生有7名 (2)132元 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，正确的列出方程组是解题的关键： （1）设小海团队家长有x名，学生有y名，根据小海团队共16人，以及小海团队若分别购买成人票和学 生票，需付款1000元，列出方程组进行求解即可； （2）求出退票需扣除的费用，再求出团队购票所需的总费用，用1000减去退费扣除的费用，以及团队购 票费用，即可得出结果． 【详解】（1）解：设小海团队家长有x名，学生有y名， 由题得： 解得： ， 答：小海团队家长有9名，学生有7名 （2）小海团队与乐乐团队合并后总人数为 （人），满足20人及以上的团体票条件， 因此小海团队的16人可按团体票价购买， （元）， （元）， （元）． 答：重新购票后能节省132元． 12．（2025·河北唐山·三模）国产动画《哪吒》系列电影的卓越品质给无数观众留下了深刻的印象．某文 创店老板打算从批发商处购进“哪吒”“敖丙”和“太乙真人”三种手办，第一批只购进了“哪吒”和 “敖丙”两种手办进行试销．其进货单如图所示，其中部分数据被墨水覆盖，已知每套“敖丙”手办的进 价比每套“哪吒”手办贵5元．(1)求出每套“哪吒”手办和每套“敖丙”手办的进价； (2)受电影热度影响，第一批购进的两种手办全部售完，老板将第一批手办的销售额全部用于购进第二批手 办，已知三种手办都需要购进，且购进“哪吒”和“敖丙”手办的数量相等．但每套“哪吒”手办的进价 比原来提高20%，每套“敖丙”手办的进价比原来降低 ，每套“太乙真人”手办的进价不变，若购进 套“太乙真人”手办， 套“哪吒”手办． ①试推算 与 应满足的数量关系； ②若三种手办的售价不变，当“太乙真人”手办的数量不少于130套时，直接写出销售完第二批手办可获 得利润的最大值． 【答案】(1)每套“哪吒”手办的进价为15元，每套“敖丙”手办的进价为20元 (2)① ；②10860元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用以及一次函数的应用，解决本题的关键 是找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，找出a和b应满足的数量关系，再 根据各数量关系找出w关于a的函数关系式． （1）设每套“哪吒”手办的进价为x元，每套“敖丙”手办的进价为y元，利用进货总价 进货单价 进 购数量，结合每套“敖丙”手办的 进价比每套“哪吒”手办的进价贵5元，可列出二元一次方程组，解之 即可得出结论； （2）①利用进货总价 进货单价 进购数量，可列出关于a，b的二元一次方程，整理后，可得出a与b应 满足的关系； ②设销售完第二批手办可获得的利润为w元，利用总利润 每套利润 购进数量，可找出w关于a的函数 关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设每套“哪吒”手办的进价为x元，每套“敖丙”手办的进价为y元， 根据题意得： ，解得 ， 答：每套“哪吒”手办的进价为15元，每套“敖丙”手办的进价为20元； （2）解：①第一批手办的销售额为 元， 第二批每套“哪吒”手办的进价为 元， 第二批每套“敖丙”手办的进价为 元， 根据题意得： ， 整理可得： ； ②设销售完第二批手办可获得的利润为w元， 则 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴w随a的增大而减小， ∵a与b均为正整数， ，且 ， ∴a的最小值为132， ∴当 时，w取得最大值，最大值为 元， ∴销售完第二批手办可获得利润的最大值为10860元． 13．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐 成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解，6辆A型汽 车、5辆B型汽车的进价共计980万元；3辆A型汽车、7辆B型汽车的进价共计940万元． (1)求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若端午节搞活动，该公司了解到A、B两种型号汽车均按照原来的六折出售，所以公司计划正好用960 万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案； (3)若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利0.6万元，销售1辆B型汽车可获利0.4万元，在（2）中的 购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少万元？ 【答案】(1) 型汽车每辆的进价为 万元， 型汽车每辆的进价为 万元； (2)共3种购买方案，方案一：购进 型车5辆， 型车12辆；方案二：购进 型车10辆， 型车8辆；方案三：购进 型车15辆， 型车4辆 (3)购进 型车15辆， 型车4辆获利最大，最大利润是 元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：①找准等量关系， 正确列出二元一次方程组；②找准等量关系，正确列出二元一次方程；③利用总利润 每辆利润 数量求 出三种购车方案获得的利润． （1）设 型汽车每辆的进价为 万元， 型汽车每辆的进价为 万元，根据“6辆 型汽车、5辆 型汽 车的进价共计980万元；3辆 型汽车、7辆 型汽车的进价共计940万元”，即可得出关于 ， 的二元 一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进 型汽车 辆，购进 型汽车 辆，根据总价 单价 数量，即可得出关于 ， 的二元一次 方程，结合 ， 均为正整数，即可得出结论； （3）利用利用总利润 每辆利润 数量，即可求出三种购车方案获得的利润，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设 型汽车每辆的进价为 万元， 型汽车每辆的进价为 万元， 依题意，得： ， 解得： ． 答： 型汽车每辆的进价为 万元， 型汽车每辆的进价为 万元； （2）解：设购进 型汽车 辆，购进 型汽车 辆， 依题意，得： ， 解得： ． ， 均为正整数， ， ， 共3种购买方案，方案一：购进 型车5辆， 型车12辆；方案二：购进 型车10辆， 型车8辆；方 案三：购进 型车15辆， 型车4辆. （3）解：方案一获得利润： （万元 ； 方案二获得利润： （万元 ； 方案三获得利润： （万元 ． ，购进 型车15辆， 型车4辆获利最大，最大利润是 万元． 14．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）根据以下素材，探索完成任务 奖品购买方案设计 素材 某文具店销售某种钢笔与笔记本，已知每支钢笔的单价为 元，每本笔记本的单 1 价为 元． 素材 某学校花费 元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”， 2 购买的钢笔数量比笔记本少 支 学校花费 元后，文具店赠送 张（ ）兑换券（如图）用于商品兑 换．兑换后，笔记本数量与钢笔相同． 素材 3 问题解决 任务 【探究购买方案】在不使用兑换券的情况下，求购买的钢笔和笔记本数量 一 任务 【确定兑换方式】运用数学知识，确定兑换方案． 二 【答案】任务一：购买钢笔 支，笔记本 本；任务二：有 种方案： 张兑换钢笔； 张兑换钢 笔， 张兑换笔记本； 张兑换钢笔， 张兑换笔记本． 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，二元一次方程组的实际应用，读懂题意，找出等量关系，列出 方程和方程组是解题的关键． （ ）设购买钢笔 支，购买笔记本 本，根据某学校花费 元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁 发给“优秀学生”，购买的钢笔数量比笔记本少 支，列出二元一次方程组，解方程组即可； （ ）设其中 张用来兑换钢笔，则 张兑换笔记本，根据兑换后，笔记本数量与钢笔相同，列出二 元一次方程，求出正整数解， 即可解决问题． 【详解】解：（ ）设购买钢笔 支，购买笔记本 本， 由题意得： ，解得 ， 答：购买钢笔 支，笔记本 本； （ ）设其中 张用来兑换钢笔，则 张兑换笔记本， 由题意得： ， 整理得： ， ∵ ， 均为正整数， ∴ 或 或 ； ∴有 种兑换方案： 有 种方案： 张兑换钢笔； 张兑换钢笔， 张兑换笔记本； 张兑换钢笔， 张兑换笔记本． 15．（24-25六年级下·上海·阶段练习）阅读下列材料： 问题：某饭店工作人员第一次买了13只鸡、5只鸭、9只鹅共用了925元．第二次买了2只鸡、4只鸭、3 只鹅共用了320元，试问第三次买了鸡、鸭、鹅各一只共需多少元？（假定三次购买鸡、鸭、鹅单价不 变） 解：设鸡、鸭、鹅的单价分别为x，y，z元．根据题意，得方程组： 上述方程组可变形为： 设 ， ，上述方程组可化为： 得： ，即 ． 答：第三次买鸡、鸭、鹅各一只共需 元． 阅读后，细心的你，可以解决下列问题： (1)上述材料中， ； (2)选择题：上述材料中的解答过程运用了 思想方法来指导解题． A．整体 B．数形结合 C．分类讨论(3)某校体育组购买体育用品甲、乙、丙、丁的件数和用钱金额如下表： 甲 乙 丙 丁 用钱金额/元 第一次购买件 5 4 3 1 1882 数 第二次购买件 9 7 5 1 2764 数 根据表格中提供的数据信息填空，如果购买每种体育用品各一件，共需 元． 【答案】(1) (2)A (3) 【分析】本题考查了二元一次方程组及其应用，熟练掌握整体思想是解此题的关键． （1）按要求补充完整上面求解过程，即可得出 ； （2）在解题过程中采用的是整体思想方法来解决问题，即可得解； （3）设体育组购买体育用品甲、乙、丙、丁的单价分别为 、 、 、 ，根据题意列出方程组，仿照题 干所给材料解方程组即可． 【详解】（1）解：设鸡、鸭、鹅的单价分别为x，y，z元．根据题意，得方程组： 上述方程组可变形为： 设 ， ，上述方程组可化为： 得： ，即 ， 答：第三次买鸡、鸭、鹅各一只共需 元． 故答案为： ； （2）解：上述材料中的解答过程运用了整体思想方法来指导解题， 故选：A； （3）解：设体育组购买体育用品甲、乙、丙、丁的单价分别为 、 、 、 ， 由题意可得： ，该方程组可变形为 ， 设 ， ， 上述方程可转化为 ， 解得： ， ∴ ， ∴购买每种体育用品各一件，共需 元． 16．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）某冬奥会纪念品专卖店计划同时购进“冰墩墩”和“雪容融” 两种毛绒玩具，据了解，4只“冰墩墩”和5只“雪容融”的进价共计1000元；2只“冰墩墩”和6只 “雪容融”的进价共计780元． (1)“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具每只进价分别是多少元？ (2)若该专卖店计划恰好用4500元购进“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具（两种均购买），专卖店共 有几种采购方案？请写出具体的购买方案； (3)若“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具每只的售价分别是200元，100元，则在（2）的条件下，请选 出利润最大的采购方案，并求出最大利润． 【答案】(1)“冰墩墩”毛绒玩具每只进价是150元，“雪容融”毛绒玩具每只进价是80元 (2)3种采购方案，方案1：购进22只“冰墩墩”毛绒玩具，15只“雪容融”毛绒玩具；方案2：购进14只 “冰墩墩”毛绒玩具，30只“雪容融”毛绒玩具；方案3：购进6只“冰墩墩”毛绒玩具，45只“雪容 融”毛绒玩具 (3)当购进22只“冰墩墩”毛绒玩具，15只“雪容融”毛绒玩具时，销售利润最大，最大利润是1400元 【分析】本题主要考查了二元一次方程和二元一次方程组的实际应用、有理数的四则混合运算的应用，正 确理解题意找到等量关系列出对应的方程和方程组是解题的关键． （1）设“冰墩墩”毛绒玩具每只进价是 元，“雪容融”毛绒玩具每只进价是 元，利用总价 单价 数 量，可列出关于 ， 的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该专卖店购进 只“冰墩墩”毛绒玩具， 只“雪容融”毛绒玩具，利用总价 单价 数量，可列 出关于 ， 的二元一次方程，结合 ， 均为正整数，即可得出各购买方案； （3）利用总利润 每只的销售利润 销售数量，可求出选择各方案可获得的总利润，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设“冰墩墩”毛绒玩具每只进价是 元，“雪容融”毛绒玩具每只进价是 元，根据题意得： ， 解得： ． 答：“冰墩墩”毛绒玩具每只进价是150元，“雪容融”毛绒玩具每只进价是80元； （2）解：设该专卖店购进 只“冰墩墩”毛绒玩具， 只“雪容融”毛绒玩具， 根据题意得： ， ． 又 ， 均为正整数， 或 或 ， 该专卖店共有3种采购方案， 方案1：购进22只“冰墩墩”毛绒玩具，15只“雪容融”毛绒玩具； 方案2：购进14只“冰墩墩”毛绒玩具，30只“雪容融”毛绒玩具； 方案3：购进6只“冰墩墩”毛绒玩具，45只“雪容融”毛绒玩具； （3）解：选择方案1可获得的总利润为 （元 ； 选择方案2可获得的总利润为 （元 ； 选择方案3可获得的总利润为 （元 ． ， 当购进22只“冰墩墩”毛绒玩具，15只“雪容融”毛绒玩具时，销售利润最大，最大利润是1400元． 17．（24-25七年级下·浙江宁波·阶段练习）探究奖项设置和奖品采购的方案． 素材1：如图，某学校举办“中国传统文化”知识竞赛，分别设置一等奖、二等奖和三等奖的奖品．已知 一盒水笔比一本笔记本的单价高9元，10盒水笔和10本笔记本的总价为210元．素材2：为提高今后参赛积极性，学校将原定的获奖级别及人数进行调整，如表： 一等 二等 三等 获奖级别 奖 奖 奖 调整前人数 单位：个 5 15 30 调整后人数 单位：个 m 20 n 调整前后获奖总人数不变．调整前一、二、三等奖的平均分数分别为94分、80分、71分，调整后一、二、 三等奖的平均分数分别为90分、75分、70分． 素材3：调整后开始采购，学校有活动经费690元和30张“吉祥超市”的兑换券，一张兑换券兑换3盒水 笔或者7本笔记本 一张兑换券只能兑换一种商品 【任务1】分别求一盒水笔和一本笔记本的单价． 【任务2】求m，n的值． 【任务3】学校计划所需奖品全部在“吉祥超市”采购，请你设计一个最佳采购方案． 【答案】任务一：一盒水笔的单价为15元，一本笔记本的单价为6元；任务二： ， ；任务 三：用30张兑换券兑换90盒水笔，再花240元购买40本笔记本 【分析】本题考查了一次方程的应用、二元一次方程组的应用、有理数混合运算的应用等知识点，理解题 意、正确列出方程和方程组是解题的关键． 任务一：设一盒水笔为x元，则一本笔记本的单价为 元，根据题意列方程求解即可； 任务二：根据题意列关于m、n方程组求解即可； 任务三：尽量兑换水笔，再购买笔记本更优惠，据此即可解答． 【详解】解：任务一：设一盒水笔为x元，则一本笔记本的单价为 元， 由题意得： ， 解得： ，则 ． 答：一盒水笔的单价为15元，一本笔记本的单价为6元． 任务二：由题意得： ，解得： ， ， ． 任务三：共需要水笔： （盒），笔记本： （本）， 30张“吉祥超市”的兑换券可兑换水笔 （盒）， （元）， 所以最佳采购方案为：用30张兑换券兑换90盒水笔，再花240元购买40本笔记本． 18．（24-25七年级上·山东滨州·期末）沾化冬枣主要生产于滨州市沾化区，2024年7月，拟定2024年地 理标志保护工程实施名单．一代冬枣的管理相对简单，适合大规模种植，而二代冬枣需要复杂的短枝嫁接 技术培育管理起来比较麻烦，成本高且产量少．滨城区一水果店都按整数斤进货一代、二代冬枣，进、售 冬枣的价格如下表： 单件类 成本价 销售价 别 （元/件） （元/件） 一代冬 5 7 枣 二代冬 12 25 枣 (1)该水果店购进一代、二代水果共500斤，共花费4600元，该商家购进一代、二代冬枣分别多少斤？ (2)因热销，第一次购进的冬枣全部售完，该水果店打算花费3000元购进一代、二代冬枣，购进一代、二 代冬枣的斤数是均不超过250斤的整十数，且两种冬枣都要采购．请问该水果店有几种购进方案？ (3)在（2）的基础上，你建议水果店采用哪种购进方案？为什么？（假设冬枣全部售完） 【答案】(1)一代冬枣200斤，二代冬枣300斤 (2)两种 (3)见解析 【分析】本题考查了二元一次方程（组）的应用，有理数的混合运算的应用； （1）设该商家购进一代冬枣 斤，购进二代冬枣 斤．根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求 解； （2）设该商家购进一代冬枣 斤，购进二代冬枣 斤．根据题意得出 ，根据 为均不超 过250斤的整十数，进一步即可求解； （3）根据（2）得结论，计算利润，即可求解． 【详解】（1）解：设该商家购进一代冬枣 斤，购进二代冬枣 斤．根据题意得， 解得 答：该商家购进一代冬枣200斤，购进二代冬枣300斤． （2）解：设该商家购进一代冬枣 斤，购进二代冬枣 斤． 由题意得 ， 所以 因为购进一代、二代冬枣的斤数是均不超过250斤的整十数，且两种冬枣都要采购 所以 或 答：综上所述，共有两种方案． ①该商家购进一代冬枣120斤，购进二代冬枣200斤． ②该商家购进一代冬枣240斤，购进二代冬枣150斤． （3）方案①利润为 （元） 方案②利润为 （元） 答：因为 ，所以购进一代冬枣120斤，二代冬枣200斤 19．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）根据以下素材，探索完成任务； 生活中的数学问题 案 为了激发学生学习的积极性，李老师决定在某饮品店购买单价为8元和6元的饮 材1 品分别奖励在阶段性学习反馈中获得A+等级和A等级的学生； 李老师班第一次阶段性学习反馈中获得A+等级和A等级的学生共8人；一个月后 素 李老师班第二次阶段性学习反馈中获得A+等级和A等的学生共11人，其中获得 材2 A+等级的有5人： 该饮品店推出优惠活动方案： 素 活动1：累计购买6元及6元以上饮品10杯可赠送1杯6元饮品； 材3 活动2：一次性购买10杯以上（含10杯）单价为6元及6元以上的饮品的，单价8元一杯的饮品可打m折． 注：两种优惠活动不可同时使用，经计算，第二次阶段性学习反馈李老师用优惠 活动1和活动2的花费是相同的． 问题解决 问 第一次阶段性学习反馈后，李老师买奖品共花了 54 元，则获得 A+等级和 A 等 题1 级的学生各有多少人? 问 请求出m的值； 题2 问 若第二次阶段性学习反遗中李老师班获得A+等级和A等级的学生共11人，其中 题3 获得A+等级的有6人，选择哪个优惠活动更合算?请说明理由． 【答案】问题1：获得 A+等级的学生有3人，获得 A 等级的学生有5人 问题2： 问题3：活动2更合算，理由见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找出数量关 系并列出方程． 问题1：设获得 A+等级的学生有x人，获得 A 等级的学生有y人，根据题意列出二元一次方程组，解方 程组即可； 问题2：分别表示出李老师用优惠活动1和活动2的花费，根据“花费是相同”即可求出m的值； 问题3：根据题意求出李老师用优惠活动1和活动2的花费，再进行比较即可得出答案． 【详解】解：问题1：设获得 A+等级的学生有x人，获得 A 等级的学生有y人， 根据题意得， ， 解得 ， 答：获得 A+等级的学生有3人，获得 A 等级的学生有5人； 问题2：根据题意，第二次阶段性学习反馈中获得A+等级和A等级的学生共11人，其中获得A+等级的有 5人，则获得A等级的学生有6人， 活动1的花费： （元）， 李老师用优惠活动1和活动2的花费是相同的，活动2的花费： ， 解得 问题3：活动2更合算，理由如下： 第二次阶段性学习反遗中李老师班获得A+等级和A等级的学生共11人，其中获得A+等级的有6人，则 获得A等级的学生有5人， 活动1的花费： （元）， 活动2的花费： （元）， ， 活动2更合算． 题型3 二元一次方程组应用--工程问题 将工作总量视为单位1，工作效率为核心变量。设两个未知数表示不同工程队或工作模式的 工作效率，根据"甲完成量+乙完成量=总工作量"和"工作时间关系"建立方程。注意合作时工 作效率相加，时间与效率成反比。 20．（24-25九年级下·贵州六盘水·阶段练习）“天无三日晴，地无三里平”是一句形容贵州中部地区自然 环境的谚语．某工程队在一次高速公路修建过程中，晴天每天修建 ，雨天每天修建 ，他们连续 修建了 ，平均每天修建 ，那么这几天中有几天雨天（ ） A．4天 B．6天 C．8天 D．10天 【答案】C 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系列出方程式解题的关键．设这几天中x天晴天， 有y天雨天，根据题意列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设这几天中x天晴天，有y天雨天， 根据题意得， 解得 ∴这几天中有8天雨天． 故选：C． 21．（24-25七年级下·山东德州·期末）现有一项工作，A、B、C、D四人都可做，下表显示了两人组合共同完成该项工作所需要的时间，要想只安排一个人去做该工作，并且要求在最短的时间内完成，应该安排 的人是（ ） 组合 A与B B与C A与C B与D 所需时间 7天 9天 11天 14天 A．A B．B C．C D．D 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用；设A、B、C、D的工作效率分别为 、 、 、 ，通过 比较各组合的工作效率，确定每个人的工作效率高低，从而找出单独完成时间最短的人即可． 【详解】解：设A、B、C、D的工作效率分别为 、 、 、 （效率指每天完成的工作量）．根据组合 时间可得： 1． 2． 3． 4． 解前三个方程： 联立方程1、2、3，得： ， ， ． 比较可知： ． 由方程4得： （负数不合理，说明D效率极低）． 综上，B的效率最高，单独完成时间最短，应安排B． 故选：B． 22．（24-25九年级下·吉林松原·期中）长白山是吉林省的著名旅游景点．为方便外地游客到长白山旅游， 吉林省正在修建“沈阳-白山”的高铁线路，其中一个路段需要开凿一条全长 千米的穿山隧道．为缩短 工期，甲、乙两个工程小组分别从山体两侧同时施工．已知甲组比乙组平均每天多开凿2米，经过 天施 工，两组会合，完成了任务．求甲、乙两个小组平均每天各开凿多少米？ 【答案】甲组平均每天开凿 米，乙组平均每天开凿 米 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题关键是准确出方程组求解．设甲组平均每天开凿 米，乙组平均每天开凿 米，根据题意列出方程组求解． 【详解】解：设甲组平均每天开凿 米，乙组平均每天开凿 米． 根据题意，得 ， 解得 ， 答：甲组平均每天开凿 米，乙组平均每天开凿 米． 23．（24-25七年级下·广西崇左·期末）某建工集团下有甲、乙两个工程队，现中标承建一段公路．若让两 队合做，24天可以完工，需费用120万元；若让两队合做20天后，剩下的工程由乙队做，还需20天才能 完成，这样只需费用110万元问： (1)甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？ (2)甲、乙两队单独完成此项工程各需费用多少万元？ 【答案】(1)甲队单独完成此项工程需30天，乙队单独完成此项工程需120天 (2)甲队单独做需135万元，乙队单独做需60万元 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是理解题意，根据题意找出等量关系列出方程． （1）设甲队每天工作效率为a，乙队每天工作效率为b，根据工作效率 工作时间=工作量，列方程组即可 解答； （2）设甲队单独完成此项工程需费用x万元，乙队单独完成此项工程需费用y万元，费用=甲乙费用和， 列二元一次方程进行计算即可得． 【详解】（1）解：设甲队每天工作效率为a，乙队每天工作效率为b， 由题意得： 解得： ∴甲队单独完成此项工程需30天，乙队单独完成此项工程需 天， 答：甲队单独完成此项工程需30天，乙队单独完成此项工程需120天 （2）设甲队单独做需x万元，乙队单独做需y万元，由题意得： 解得： 答：甲队单独做需135万元，乙队单独做需60万元． 24．（24-25七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）“呼和浩特盛乐国际机场”坐落于呼和浩特市和林格尔县巧 什营镇，是内蒙古自治区首座4F级国际民用机场，距呼和浩特市中心约 千米．为高效推进机场配套 建设，甲、乙两个工程队接力承担一段长为29000米的机场快速路修建任务，甲工程队每天修建100米， 乙工程队每天修建150米，两队接力施工共用260天完成，求甲、乙两个工程队各自修建机场快速路的长 度． 七年级学生盛盛和乐乐根据题意分别列出了下面尚不完整的方程组： 盛盛： 乐乐： (1)请把盛盛和乐乐所列的方程组补充完整； (2)请分别写出盛盛和乐乐所列方程组中未知数x，y表示的意义． 盛盛：x表示________，y表示________； 乐乐：x表示________，y表示________； (3)请你从两位同学的方法中任选一种进行解答． 【答案】(1)260，29000； (2)甲工程队修建快速路的长度，乙工程队修建快速路的长度，甲工程队修建快速路的天数，乙工程队修建 快速路的天数； (3)甲工程队修建快速路长度为20000米，乙工程队修建快速路长度为9000米． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． （1）根据所列方程组补全即可； （2）由（1）作答即可； （3）任选其一求解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：盛盛：由 ， ， 可知x表示甲工程队修建快速路的长度，y表示乙 工程队修建快速路的长度，∴ 表示甲、乙两个工程队施工总时间， 即 ； 乐乐：由 ， ， ，可知x表示甲工程队修建快速路的天数，y表示乙工程队修建快速 路的天数， ∴ 表示甲、乙两个工程队施工总长度， 即 ； 故答案为：260，29000； （2）解：由（1）可知：盛盛：x表示甲工程队修建快速路的长度，y表示乙工程队修建快速路的长度； 乐乐：x表示甲工程队修建快速路的天数，y表示乙工程队修建快速路的天数； 故答案为：甲工程队修建快速路的长度，乙工程队修建快速路的长度，甲工程队修建快速路的天数，乙工 程队修建快速路的天数； （3）解：选择盛盛的方法解答： 解：设甲工程队修建快速路长度为x米，乙工程队修建快速路长度为y米． ； 解得 答：甲工程队修建快速路长度为20000米，乙工程队修建快速路长度为9000米； 选择乐乐的方法解答： 解：设甲工程队修建快速路时间为x天，乙工程队修建快速路时间为y天． ； 解得则甲工程队修建快速路长度为 （米） 则乙工程队修建快速路长度为 （米） 答：甲工程队修建快速路长度为20000米，乙工程队修建快速路长度为9000米． 25．（24-25七年级下·河南许昌·期中）根据以下信息，探索完成任务： 如何设计招聘方案？ 某汽车制造厂开发一款新式电动汽车，计划一年生产安装 辆．每名熟 练工均能独立安装电动汽车，由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动 素材 汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，经过培训上岗可以独立进行安 装． 调研部门发现： 名熟练工和 名新工人每月可安装 辆电动汽车； 名熟 素材 练工和 名新工人每月可安装 辆电动汽车． 工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发 元工资，每名新工人每月发 素材3 元工资． 问题解决 任务一： 分析数量 每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ 关系 任务二： 如果工厂招聘 名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚 确定可行 方案 好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种工人的招聘方案？ 【答案】[任务一]每名熟练工每月可以安装 辆电动汽车，每名新工人每月可以安装 辆电动汽车；[任务 二]工厂有 种工人的招聘方案： 抽调熟练工 名，招聘新工人 名， 抽调熟练工 名，招聘新工人 名． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用等知识点，找准等量关系，正确列出二 元一次方程组和二元一次方程是解题的关键． 任务一：设每名熟练工每月可以安装 辆电动汽车，每名新工人每月可以安装 辆电动汽车，根据题意列 出方程组 ，然后解方程组即可； 任务二：设抽调熟练工 名，招聘新工人 名，由题意得 ，然后求出 为正整数即可 即可．【详解】解：任务一：设每名熟练工每月可以安装 辆电动汽车，每名新工人每月可以安装 辆电动汽车， 根据题意得： ， 解得： ， 答：每名熟练工每月可以安装 辆电动汽车，每名新工人每月可以安装 辆电动汽车； 任务二：设抽调熟练工 名，招聘新工人 名， 由题意得： ， 整理得： ， ∵ 为正整数，且 ， ∴ 或 ， ∴工厂有 种工人的招聘方案： 抽调熟练工 名，招聘新工人 名， 抽调熟练工 名，招聘新工人 名． 题型4 二元一次方程组应用--古代问题 先将文言文翻译为现代数学语言。识别问题中的等量关系，如"盈不足"问题中的分配差 异，"鸡兔同笼"中的头脚关系。设两个未知数，根据古代算法背后的数学原理建立方程组。 26．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度 之，余绳四尺五寸：屈绳量之，不足一尺．木长几何？“意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余 尺：将绳子对折再量长木，长木还剩余 尺，问木长多少尺？设木长为 尺，绳子长为 尺，则下列符 合题意的方程组是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设木长为 尺，绳子长为 尺，根据题意列出方程组即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设木长为 尺，绳子长为 尺， 根据题意得 ， 故选： ． 27．（24-25九年级上·贵州遵义·阶段练习）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五； 人出七，余三；问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人 出7钱，多余3钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，可列方程 组为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组解决实际问题，解题的关键是找准等量关系． 设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据两种购买方式列出方程组即可． 【详解】解：设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意得， 故选：C． 28．（2025·云南丽江·一模）《九章算术》中有这样一个题，其大意是：今有醇酒(优质酒)1斗，价值50钱； 行酒(劣质酒)1斗，价值10钱；现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买多少？设醇酒买了x斗，行 酒买了y斗，则可列二元一次方程组为（ ） A． B． C． D． 【答案】A【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是理解题意，找准等量关系． 设醇酒为x斗，行酒为y斗，根据“醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱； 现有30钱，买得2斗酒”，列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设醇酒买了x斗，行酒买了y斗， 依题意得： ， 故选：A． 29．（24-25八年级上·全国·期末）中国古代数学著作《算法统宗》中记录了这样一个题目：九百九十九文 钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意是：用九百九十九文 钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个．问：苦果、甜果各 有几个？设苦果有 个，甜果有 个，则可列方程组为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题关键． 根据总价 单价 数量，结合题意，即可得关于 、 的二元一次方程组，即可求解． 【详解】解： 共买了一千个苦果和甜果， ， 共花费九百九十九文钱，且四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个， ， 可列方程组为 ． 故选：A． 30．（25-26八年级上·全国·期末）我国古典数学文献《增删算法统宗·六均输》中有一个“隔沟计算”的 问题，其大意如下：甲、乙两人隔一条沟放牧，二人心里暗中合计．甲对乙说：“我得到你的九只羊，我 的羊就比你多一倍．”乙对甲说：“我得到你的九只羊，咱俩的羊就一样多．”两个人在沟两边闲坐，心里很烦躁，因为在地上画了半晌，也没算出来．请问甲、乙各有多少只羊．设甲有 只羊，乙有 只羊， 则符合题意的方程组是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组解古代数学问题，读懂题意，找准等量关系列方程（组）是解决问题的 关键．设甲有 只羊，乙有 只羊，由甲对乙：我得到你的九只羊，我的羊就比你的多一倍得到 ；由乙对甲：我得到你的九只羊，咱俩的羊就一样多得到 ，联立方程组即可得 到答案． 【详解】解：设甲有 只羊，乙有 只羊，根据题意可列方程组为 ， 故选：D． 31．（2025·河北邯郸·三模）《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客 不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若 2名客人共用1个盘子，则少2个盘子；若3名客人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有 多少？”则下列说法正确的是（ ） A．设有x名客人，y个盘子，根据题意可得 B．设有x名客人，根据题意可得 C．有20名客人 D．有12个盘子 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用、一元一次方程的实际应用，找准等量关系，正确列出二 元一次方程组（或一元一次方程）是解题的关键．根据题意可列出二元一次方程组或一元一次方程，然后求解可求出客人数和盘子数，逐项进行判断即可． 【详解】解：A．设有x名客人，y个盘子， 根据题意可列出方程组 ，选项A不符合题意； B．设有x名客人， 根据题意可列出方程 ，选项B符合题意； C．解方程 ，得： ， ∴有30名客人，选项C不符合题意； D．∵ ， ∴ （个）， ∴有13个盘子，选项D不符合题意． 故选：B． 32．（25-26八年级上·全国·随堂练习）《九章算术》中有这样一个题：今有二马，一牛价过一万，如半马 之价；一马，二牛价不满一万，如半牛之价，问牛，马价各几何？其意思为：今有2匹马，1头牛的总价 超过1万钱，其超出的钱数相当于 匹马的价格，1匹马，2头牛的总价不足1万钱，所差的钱数相当于 头牛的价格．问每头牛，每匹马的价格各是多少？设每匹马的价格为x万钱，每头牛的价格为y万钱，则 可列方程组为 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，正确列出方程组是解题的关键． 根据“2匹马，1头牛的总价超过1万钱，其超出的钱数相当于 匹马的价格，1匹马，2头牛的总价不足1 万钱，所差的钱数相当于 头牛的价格”直接列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设每匹马的价格为x万钱，每头牛的价格为y万钱，根据题意得 ； 故答案为： ． 33．（2025·湖北襄阳·一模）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有甲乙二 人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”意思是：不知道 甲乙二人各有多少钱，如果把乙的钱给甲一半，则甲有50钱；如果把甲的钱 给乙，则乙也有50钱．问： 甲乙二人原来各有多少钱？答：甲原有 钱，乙原有 钱． 【答案】 25 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设甲原有x钱，乙原有y钱，根据“如果把乙的钱给甲一半，则甲有50钱；如果把甲的钱 给乙，则乙也 有50钱”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设甲原有x钱，乙原有y钱， 根据题意得： ， 解得： ， ∴甲原有 钱，乙原有25钱． 故答案为： ，25． 题型5 二元一次方程组应用--行程问题掌握路程=速度×时间这个核心公式。设速度或时间为未知数，根据相遇、追及、往返等不 同情景建立方程。相遇问题用路程和，追及问题用路程差，注意顺逆流中速度的变化。 34．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）从甲地到乙地，先下山再走平路，某人骑自行车以每小时 千 米的速度下山，以每小时 千米的速度走平路，到达乙地共用 分钟；他返回时，以每小时 千米的速度 通过平路，以每小时 千米的速度上山，共用了 小时，甲、乙两地的距离是 ． 【答案】 千米 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设平路为 千米，坡路为 千米，根据题意列出关于 ， 的二元一次方程组求解， 最后把两段路程相加即可． 【详解】解：设平路为 千米，坡路为 千米， 根据题意，得 ， 解得： ， ∴ ， ∴甲、乙两地的距离为 千米． 故答案为： 千米． 35．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）甲驾驶一艘小船在河中匀速行驶，已知顺水行驶120千米， 用时6小时；在同样的水流速度下，逆水行驶80千米用时8小时．则甲驾驶这艘小船在静止水面上行驶 150千米需要 小时． 【答案】10 【分析】设静水速度为 ，水流速度为 ，根据题意，得 ，后计算 即可． 本题考查了顺水航行，逆水航行问题，熟练掌握航行时，三种速度的关系是解题的关键． 【详解】解：设静水速度为 ，水流速度为 ， 根据题意，得 ，解得 ， 故 （小时）． 故答案为：10． 36．（24-25八年级下·北京·期中）小宇的家离学校1800米．小宇早晨从家出发沿笔直的马路匀速步行去 学校上学，几分钟后，在家休假的爸爸发现小宇忘带跳绳，于是从家出发沿相同路线匀速跑步去追小宇， 爸爸追上小宇后以原速度沿原路回家．小宇拿到跳绳后以原速度的1.5倍快步赶往学校（小宇被爸爸追上 时交流的时间忽略不计）．在整个过程中，小宇与爸爸之间的距离 与小宇从家出发到学校的步行时 之间的函数关系如图所示． （1）小宇从家出发 分钟时，爸爸追上小宇； （2）小宇从家到学校用时 分钟． 【答案】 9 18 【分析】本题主要考查了变量关系图像上获取信息以及二元一次方程组和一元一次方程的应用，看懂变量 之间的图像是解题的关键． （1）由图象求解即可； （2）设小宇原来的速度为 ，爸爸的速度为 ，根据函数图像关系列出关于a，b的二元一次 方程求解即可得出a的值，再根据路程等于时间乘以速度列方程即可得出答案． 【详解】（1）由图象可得，当 时， ∴小宇从家出发9分钟时，爸爸追上小宇． 故答案为：9；（2）设小宇原来的速度为 ，爸爸的速度为 ，则小华后来的速度为 根据函数关系图可得出： ， 解得： ， ∴小宇原来的速度为 ，后来的速度为： ， ∴根据题意得， 解得 ∴小宇从家到学校用时18分钟． 故答案为：18． 37．（24-25七年级下·广东广州·期中）列二元一次方程组解下列问题 (1)某校计划购买一批篮球和足球，已知购买2个篮球和3个足球共需430元，购买3个篮球和2个足球共 需420元，求每个篮球和每个足球的售价． (2) 、 两地相距36千米，若甲、乙两人都从 地去 地，乙比甲先出发2小时，甲出发4小时后追上乙； 若甲、乙分别从 、 两地出发，相向而行，乙比甲早出发1.5小时，两人在甲出发后3小时相遇．求甲、 乙两人的速度． 【答案】(1)每个篮球的售价为80元，每个足球的售价为90元 (2)甲的速度为 ，乙的速度为 【分析】本题考查了方程组的应用，正确列出方程组是解题的关键． （1）设每个篮球的售价为 元，每个足球的售价为 元，根据题意可列 ，解方程组即可； （2）设甲的速度为 ，乙的速度为 ，根据题意可列 ，解方程组即可． 【详解】（1）解：设每个篮球的售价为 元，每个足球的售价为 元， 所以根据题意列二元一次方程组得： ， 解得 ，答：每个篮球的售价为80元，每个足球的售价为90元． （2）设甲的速度为 ，乙的速度为 ， 由题意得： ， 解得： ． 答：甲的速度为 ，乙的速度为 ． 38．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一 台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着 走．在接力测试中发现：A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要14秒；A型机器人走15步， 接着B型机器人走20步，共需要27秒． (1)求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？ (2)已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A 型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次 接力任务的时间可能是多少秒？ 【答案】(1)A型机器人走一步需要 秒，B型机器人走一步需要 秒； (2)完成接力任务的时间可能为 秒， 秒， 秒． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用． （1）设A型机器人走一步需要a秒，B型机器人走一步需要b秒，根据题意列方程组求解即可； （2）设A型机器人走了m步，B型机器人走了n步根据题意列出二元一次方程，求出所有符合条件的情况 即可． 【详解】（1）解：设A型机器人走一步需要a秒，B型机器人走一步需要b秒 由题意可得 解得 答：A型机器人走一步需要 秒，B型机器人走一步需要 秒； （2）设A型机器人走了m步，B型机器人走了n步由题意可得 因为m、n为正整数，n为15的整数倍， ， ， 当 时，完成接力任务的时间为 （秒） 当 时，完成接力任务的时间为 （秒） 当 时，完成接力任务的时间为 （秒） 答：完成接力任务的时间可能为 秒， 秒， 秒． 39．（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏，商定：用球拍托着乒乓球 从起跑线起跑，绕过 点跑回到起跑线（如下图所示）；途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑， 用时最少者获胜．结果甲同学由于心急，掉了球，浪费了6秒钟，乙同学以2.5米/秒的速度顺利跑完全程． 事后，甲同学说：“我俩所用的全部时间的和为50秒”，乙同学说：“捡球过程不算在内时，甲的速度是 我的1.2倍”． 请根据图文信息解决下列问题： (1)求甲的赛跑速度； (2)在此次“托球赛跑”游戏中，哪位同学获胜？ 【答案】(1)甲的赛跑速度为 (2)乙获胜【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键． （1）由甲的速度是乙的1.2倍，即可求解； （2）设甲用时为x秒，乙用时为y秒，由题意：甲同学说：“我俩所用的全部时间的和为50秒”，甲同 学由于心急，掉了球，浪费了6秒钟，乙同学以2.5米/秒的速度顺利跑完全程，列出方程组，解方程组即 可． 【详解】（1）依题意得：甲的赛跑速度为 ； （2）设甲用时为 秒，乙用时为 秒， 依题意得： ， 解得： ； ， 此次赛跑中乙获胜． 40．（24-25七年级下·河南焦作·期末）数学活动：轮胎换位问题 户外骑自行车进行锻炼是我们日常生活中常见的一种锻炼方式，深受大众欢迎．在骑行的过程中，自行车 的轮胎与地面摩擦会有损耗，行驶一定的里程就要报废． 【问题解决】 问题一：如果前后轮没有压力差，前轮可以使用4000千米，后轮也可以使用4000千米，这对轮胎行驶的 里程数最大值是_________． 问题二：由于后轮受到的压力大，所以同样的轮胎放在后轮损耗会大一些，如果行驶到某里程数，将前后 轮交换一次，再使用到前后轮同时报废，可以使两个轮胎行驶的里程数最大． （1）一对同样的新轮胎，安装在前轮可以使用5000千米，安装在后轮可以使用3000千米．设每个新轮胎 报废时的总磨损量为 ，则安装在前轮的轮胎每行驶1千米的磨损量为_________，安装在后轮的轮胎每行 驶1千米的磨损量为_________． （2）在（1）的条件下，设一对新轮胎交换位置前走了 千米，交换位置后走了 千米，则这对轮胎行驶 的里程数最大值是多少？行驶的里程数为多少时交换前后轮胎？ 【答案】问题一：4000千米；问题二：（1） ， ；（2）行驶的里程数为1875千米时交换前后 轮胎，这对轮胎行驶的里程数最大值是3750千米 【分析】本题考查二元一次方程组、一元一次方程解决实际问题，读懂题意，找准等量关系，准确列出方程及方程组求解是解决问题的关键． 问题一，由题意直接求解即可得到答案； 问题二：（1）设每个新轮胎报废时的总磨损量为 ，根据一对同样的新轮胎，安装在前轮可以使用5000 千米，安装在后轮可以使用3000千米求解即可得到答案； （2）设一对新轮胎交换位置前走了 千米，交换位置后走了 千米，根据题意得 ，从而 得到 ；设行驶的里程数为 千米时互换前后轮胎，对一只轮胎而言，装在前轮上行了 千米， 装在后轮上就行了 千米，由题意列方程组求解即可得到答案． 【详解】解：问题一：如果前后轮没有压力差，前轮可以使用4000千米，后轮也可以使用4000千米，这 对轮胎行驶的里程数最大值是4000千米， 故答案为：4000千米； 问题二：（1）设每个新轮胎报废时的总磨损量为 ，则安装在前轮的轮胎每行驶1千米的磨损量为 ， 安装在后轮的轮胎每行驶1千米的磨损量为 ， 故答案为： ， ； （2）设一对新轮胎交换位置前走了 千米，交换位置后走了 千米，根据题意得 ， 两式相加得 ， 则 ， 设行驶的里程数为 千米时互换前后轮胎，对一只轮胎而言，装在前轮上行了 千米，装在后轮上就行了 千米， ， 解得 ，答：行驶的里程数为1875千米时交换前后轮胎，这对轮胎行驶的里程数最大值是3750千米． 题型6 二元一次方程组应用--几何问题 运用几何图形的性质建立方程。常见于角度计算（如互补、互余）、长度计算（勾股定理、 周长公式）、面积计算等问题。设两个未知数表示几何量，根据图形特性列出方程组。 41．（24-25八年级上·陕西西安·期末）将四个完全相同的直角三角形分别拼成正方形（如图1，2），边长 分别为6和2．若以一个直角三角形的两条直角边为边向外作正方形（如图3），其面积分别为 ， ， 则 （ ） A．12 B．16 C．20 D．40 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，全等三角形的性质．首先设四个全等的直角三角形的两条直 角边分别为 ，然后根据图1、2列出关于a、b的方程组即可求解． 【详解】解：设四个全等的直角三角形的两条直角边分别为 ， 根据图1得： ， 根据图2得： ， 联立解得 ， ∴ ， 则 ． 故选：A． 42．（24-25七年级下·江苏镇江·期末）如图，在长方形 中放置9个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图） (1)求图中9个形状、大小都相同的小长方形的长与宽； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)小长方形的长为10，宽为3 (2)82 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用； （1）设小长方形的长为 ，宽为 ，结合图形性质建立方程组解题即可； （2）利用割补法可得阴影部分的面积等于大的长方形面积减去9个形状、大小都相同的小长方形面积，进 一步列式计算即可. 【详解】（1）解：设小长方形的长为 ，宽为 ， 根据题意得 ，解得 ， 答：小长方形的长为10，宽为3. （2）解： ． 43．（24-25七年级下·山东济宁·期末）如图，已知直线 和直线 相交于点 ， 平分 ， 是 内部的一条射线． (1)若 ， ，求证： ； (2)若 比 大 ， 比 大 ，请结合二元一次方程组求 的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2)【分析】本题考查角平分线的定义、平角的定义及二元一次方程组的应用，熟练掌握相关定义是解题关键． （1）根据角平分线的定义得出 ，利用平角的定义求出 ，再次利用平角 定义求出 即可得结论； （2）设 ， ，得出 ， ，利用角平分线的定义 及平角定义列二元一次方程组，解方程组求出 、 的值即可得答案． 【详解】（1）证明：∵ 平分 ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． （2）解：设 ， ， ∵ 比 大 ， 比 大 ， ∴ ， ， ， ∴ ， 解得： ， ∴ ． 44．（24-25七年级下·江苏淮安·阶段练习）阅读材料： 小明是个爱动脑筋的学生，他在学习了二元一次方程组后遇到了这样一道题目：现有8个大小相同的长方 形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图②时，中间留下了一个边长为1的小正方形，求每个小长方形的 面积． 小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长 方形的面积公式得出每个小长方形的面积． 解决问题：(1)请按照小明的思路完成上述问题：求出每个小长方形的面积； (2)某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13 个纸杯整齐叠放在一起，此时高度是 ； (3)小明进行自主拓展学习时遇到了以下这道题目：如图，长方形 中放置8个形状、大小都相同的小 长方形（尺寸如图4），求图中阴影部分的面积，请给出解答过程． 【答案】(1)15 (2)20 (3)64 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问 题的关键． （1）设小长方形的长为x，宽为y，观察图形即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的 值，再根据长方形的面积公式即可得出每个小长方形的面积； （2）设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高 ，单独一个纸杯的高度为 ，根据图示数据 列二元一次方程组，求出a，b的值，即可求解； （3）设小长方形的长为x，宽为y，根据长方形的长为19，宽的两种不同表达方式列出方程组求出小长方 形的长和宽，进一步求出图中阴影部分的面积． 【详解】（1）解：由题意得 ， 解得 ，每个小长方形的面积为： ； （2）解：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高 ，单独一个纸杯的高度为 ， 根据题意，得 ， 解得 ， 则13个纸杯整齐叠放在一起的高度为： ， 故答案为：20； （3）解：设小长方形的长为x，宽为y， 根据题意得 ， 解得 ， ∴阴影部分的面积为： ． 45．（24-25七年级下·广西南宁·期末）如图， 的两边分别与 的两边平行，即 ， ． (1)在图1中，射线 与 同向， 与 也同向；在图2中，射线 与 异向， 与 也异向； 在图3中，射线 与 同向， 与 异向． 请问：在上述三种情况下， 与 的关系怎样？请结合三个图分别进行说明． (2)根据上述情况，归纳概括出一个结论：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角的 数量关系是______． (3)在（1）（2）的探索归纳概括中，思考一下问题：若 和 的两边分别平行，其中 比 的2倍少 ，求 和 的度数． 【答案】(1) 或 ，理由见解析 (2)相等或互补 (3) 或 ， 【分析】（1）根据题意，由 易得 ，结合图形，再得到 或 ，即可得 到结果； （2）根据（1）的计算得到结论：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角的数量关 系是相等或互补； （3）由题意得到 或 ， ，求得 和 度数即可． 本题考查了平行线的性质的应用，角的计算，熟练掌握平行线的性质是解题的关键 【详解】（1）解：如图1， ， ， ， ， ； 如图2， ， ， ， ， ； 如图3， ， ， ， ， ；（2） 或 ， 结论：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角的数量关系是相等或互补， 故答案为：相等或互补； （3） 和 的两边分别平行， 或 ， 比 的2倍少 ， ， 或 ， 或 ， 或 ， 答： 或 ， 46．（24-25七年级下·湖北宜昌·期末）据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是 ．现要把 一块长 、宽 的长方形土地划分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地， 才能使甲、乙两种作物的总产量的比是 ?某学习小组设计了两种方案，根据问题中涉及的长度和产量的 相等关系，可列出方程组求解． 方案一：按如图1的方式划分土地，甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形 和长方形 ，求 的长度是多少? 方案二：按如图2的方式划分土地，分别在长方形 和长方形 土地中种植甲、乙两种作物，求 的长度是多少? 请你从以上两种方案中任选一种完成解答． 【答案】方案一： 的长度分别为 ．方案二： 的长度分别为 ． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．方案一：设 ， ，根据甲、乙两种作物的单位面积产量的比是 ．现要把一块长 、 宽 的长方形土地划分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，才能使甲、 乙两种作物的总产量的比是 ，列出二元一次方程组，解方程组即可； 方案二：设 ，根据甲、乙两种作物的单位面积产量的比是 ．现要把一块长 、 宽 的长方形土地划分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，才能使甲、 乙两种作物的总产量的比是 ，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：方案一：根据题意可列方程组为： ， 解得： ， 答： 的长度分别为 ． 方案二：根据题意可列方程组为： ， 解得： ， 答： 的长度分别为 ． 47．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）我们已经知道，通过不同方式计算几何图形的面积可以表示一些代 数恒等式．例如，利用图①可得： ．基于此，请解答下列问题： 【知识生成】 （1）如图②，用4个完全相同的长方形（它的长为 ，宽为 ）围成一个正方形，用两种不同的方式表示 图中阴影部分的面积．由此，可得到等式：______； 【类比应用】（2）已知长方形的周长为6，面积为1，设该长方形的长为 ，宽为 ，求 的值． 【知识迁移】 （3）如图③所示，某校计划在一块面积为 的长方形空地 中划出长方形 和长 方形 ，在这两个长方形重叠部分的区域建一个长方形水池 （其中 ， ），并将长方形 和长方形 两个区域建为花园，且这两个花园的总周长为 ， 求 和 的长． 【答案】（1） ；（2） ；（3） 和 的长分别为 、 ． 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式及其变形是解题关键． （1）直接计算阴影部分的面积或由大正方形面积减去小正方形面积即可得出结论， （2）利用完全平方公式变形求解即可； （3）设 ， ，根据长方形面积可得 ，根据长方形 和长方形 两 个区域建为花园，且这两个花园的总周长为 ，可得 ，再模仿（2）求出 ，联立方程 即可求解． 【详解】（1）解： ， （2）依题意得： ， ， ， ，∵ ， （3）设 ， ， 由题意可知： ，即 ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， 联立可得： ， 解得 ， 答： 和 的长分别为 、 ． 48．（24-25七年级下·湖北随州·期末）阅读材料并回答问题 课本再现 据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是 ．现要把一块长 探究2 、宽 的长方形土地划分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物． 怎样划分这块土地，才能使甲、乙两种作物的总产量的比是 ？ 如图1，过长边上一点 ，作 交 于点 ，甲、乙两种作物的种植 区域分别为长方形 和长方形 ．设 ， ，依题意 列方程组 ，解得 ， 方案一 过长方形土地的长边上离一端______处，作这条边的 垂线，把这块土地分为两块长方形土地，较大一块土地种植______种作物， 较小一块土地种植______种作物．如图2，过短边上一点 ，作 交 于点 ，甲、乙两种作物的种 植区域分别为长方形 和长方形 ． …… 方案二 (1)完成方案一中的三个填空； (2)请你参考“方案一”的解答过程，按“方案二”完成后面的解答过程． 【答案】(1) （或 ），甲，乙 (2)见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的列式、求解等知识点，理解题意是解题的关键．根据方案一的解法， 可得 ， ，再根据题干中甲的单位面积产量低于乙的单位面积产量，进而判断不同面 积的区域的分配；模仿方案一的解题方式，进行列式求解即可． 【详解】（1）解：由方案一的解题过程，可得 ， ， ∴过长方形土地的长边上离一端 处或 处，作垂直即可． 故答案为 （或 ）． ∵甲、乙两种作物的单位面积产量的比是 ， 但要满足甲、乙两种作物的总产量的比是 ， ∴应将面积较大的区域分配给甲种作物，而面积较小的区域分配给乙种作物． （2）解：设 ， ，， 由题意得： ，解得 ， 即 ， ， ∴过长方形土地的短边上离一端 （或 ）处，作这条边的垂线，把这块土地分为两块长方形土地． 较大一块土地种植甲种作物、较小一块土地种植乙种作物． 题型7 二元一次方程组应用--方案问题比较不同方案的优劣。设未知数表示关键决策变量，根据成本、效益等指标建立方程。通常 需要求解后比较不同方案的结果，选择最优解。注意约束条件的数学表达。 49．（2025·广东佛山·三模）中国初创企业 （深度求索）公司，其自主研发的人工智能（ ） 大语言模型 ，凭借“好用、开源、免费”三大特点，在全球范围内引发热烈反响． 公 司为提升 服务能力，计划部署两种服务器：型号 和型号 ．这两类新型服务器的维护需求各有 不同，具体如表所示： 服务器类 每台所需技术 每台服务器成本 型 人员 （万元） 型号 3 型号 5 公司共有技术人员 人，全部参与维护且每人只负责一种服务器，总投入资金为 万元．问 和 服务器的部署数量各是多少台？ 【答案】 服务器的安装数量是8台， 服务器的安装数量是6台． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键； 设 服务器的安装数量是 台， 服务器的安装数量是 台，根据公司共有技术人员 人，全部参 与维护且每人只负责一种服务器，总投入资金为 万元，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设 服务器的安装数量是 台， 服务器的安装数量是 台， 由题意得： ， 解得： ． 答： 服务器的安装数量是8台， 服务器的安装数量是6台． 50．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）毓秀学校在“读书日”期间购进了一批图书，需要用大小两种规格 的纸箱来装运.3个大纸箱和2个小纸箱一次可以装130本书，2个大纸箱和3个小纸箱一次可以装120本书．(1)一个大纸箱和一个小纸箱一次分别可以装多少本书？ (2)如果一共购进100本书，每个纸箱恰好装满，且两种规格的纸箱都有，分别需要用多少个大、小纸箱？ 【答案】(1)一个大纸箱可以装30本书，一个小纸箱可以装20本书 (2)需要2个大纸箱、2个小纸箱 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关 系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设一个大纸箱可以装x本书，一个小纸箱可以装y本书，根据“3个大纸箱和2个小纸箱一次可以装 130本书，2个大纸箱和3个小纸箱一次可以装120本书”，即可得出关于x,y的二元一次方程组，解之即 可得出结论； （2）设需要用m个大纸箱，n个小纸箱，根据这些纸箱共装100本书，即可得出关于m，n的二元一次方 程，结合m，n均为正整数，即可得出结论． 【详解】（1）解：设一个大纸箱可以装 本书，一个小纸箱可以装 本书， 依题意得： ， 解得： ， 答：一个大纸箱可以装30本书，一个小纸箱可以装20本书． （2）解：设需要用 个大纸箱， 个小纸箱， 依题意得： ， ． 又 两种规格的纸箱都有， 均为正整数， 答：需要2个大纸箱、2个小纸箱． 51．（24-25六年级下·上海黄浦·期末）2025年央视春晚节目《秧 》别出心裁，独树一帜，人机共舞 为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界． 随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率． 拟购买 、 两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台 型机器人、3台 型机器人，共需260万元；若买3台 型机器人、2台 型机器人，共需360万元． (1)求 、 两种型号智能机器人的单价； (2)该企业预计每天需要分拣200万件快递，现准备购买 、 两种型号智能机器人共10台．已知 型机器 人每台每天可分拣22万件； 型机器人每台每天可分拣18万件，则企业要购买 型和 型机器人各几台？ 【答案】(1) 种型号智能机器人的单价为80万元， 种型号智能机器人的单价为60万元 (2)该企业要购买 型机器人5台， 型机器人5台 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设 种型号智能机器人的单价为 万元， 种型号智能机器人的单价为 万元，根据买1台 型机器 人、3台 型机器人，共需260万元；若买3台 型机器人、2台 型机器人，共需360万元；列出二元一 次方程组，解方程组即可； （2）设该企业要购买 型机器人 台， 型机器人 台，根据该企业预计每天需要分拣200万件快递，现 准备购买 、 两种型号智能机器人共10台，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】（1）解：设 种型号智能机器人的单价为 万元， 种型号智能机器人的单价为 万元， 由题意得 ， 解得 ， 答： 种型号智能机器人的单价为80万元， 种型号智能机器人的单价为60万元； （2）解：设该企业要购买 型机器人 台， 型机器人 台， 由题意得 ， 解得 ， 答：该企业要购买 型机器人5台， 型机器人5台． 52．（24-25七年级下·山西阳泉·期末）综合与实践某市青少年宫计划组织240名学生前往科技馆参观学习，为践行低碳环保理念，租用新能源大巴和中型客 车两种车型（可以只租用其中一种车型）出行．两种车型的相关信息如下： 车型 载客量/（人/辆） 租金（元/辆） 碳排放量/（kg/辆） 新能源大巴 60 1000 18 中型客车 30 600 15 设租用新能源大巴x辆，中型客车y辆． (1)组织方要求租用车辆恰好载客240人，请求出所有满足条件的租车方案． (2)实际出发时，临时通知增加了若干位带队老师，结合租车行的现存车型的实际情况，将学生与老师都送 往科技馆．若组织方租车总花费为4800元，且组织方租车方案的碳排放总量为99kg，求组织方的租车方 案． 【答案】(1)共有 种租车方案，方案1：租用 辆新能源大巴，方案2：租用 辆新能源大巴， 辆中型客 车，方案3：租用 辆新能源大巴， 辆中型客车，方案4：租用 辆新能源大巴， 辆中型客车，方案5： 租用 辆新能源大巴， 辆中型客车． (2)租用 辆新能源大巴， 辆中型客车． 【分析】此题考查了二元一次方程和二元一次方程组的应用，根据题意正确列出方程和方程组是解题的关 键． （1）根据租用车辆恰好载客240人列出二元一次方程，求出方程的非负整数解即可； （2）设租用 辆新能源大巴， 辆中型客车，组织方租车总花费为4800元，且组织方租车方案的碳排放 总量为99kg，据此列出方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意可得， ， ∴ ， ∵x，y为非负整数， ∴ 或 或 或 或 ， ∴共有 种租车方案， 方案1：租用 辆新能源大巴， 辆中型客车； 方案2：租用 辆新能源大巴， 辆中型客车； 方案3：租用 辆新能源大巴， 辆中型客车； 方案4：租用 辆新能源大巴， 辆中型客车；方案5：租用 辆新能源大巴， 辆中型客车． （2）由已知租用 辆新能源大巴， 辆中型客车， 根据题意得到， ， 答：租用 辆新能源大巴， 辆中型客车． 53．（24-25七年级下·湖南郴州·开学考试）综合与实践：清江蜜桔产自湖南省资兴市清江镇，清江镇位于 资兴市东江湖 级景区内，以果实大小适中、色泽鲜艳、酸甜适度、口感浓郁细嫩无渣为特色，该地方的 蜜桔是全国蜜桔当中的高档蜜桔．请阅读以下材料，完成学习任务： 材料一：清江镇某批发市场计划运输一批蜜桔到城区出售，现有 ， 两种型号的货 车，已知用2辆 型车和1辆 型车载满货物一次可运货10吨；用1辆 型车和2辆 型车载满货物一次可运货11吨． 材料二： 型车每辆需租金100元/次， 型车每辆需租金120元/次． 请同学们根据材料一、材料二提供的信息完成2个任务： (1)1辆 型车和1辆 型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)若该批发市场现有34吨蜜桔，计划同时租用 型车 辆， 型车 辆，一次运完，且恰好每辆车都载满 货物．请你帮该批发市场设计租车方案，选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】(1) 辆 型车载满货物一次可运货 吨， 辆 型车载满货物一次可运货 吨 (2)见详解 【分析】本题考查了二元一次方程（组）的应用，根据数量关系列出二元一次方程（组）是解题的关键． （1）设 辆 型车载满货物一次可运货 吨， 辆 型车载满货物一次可运货 吨，根据题意可得出二元一 次方程组，解之即可得出结论； （2）根据（1）所求可得 ，再结合 、 都是正整数进行求解即可． 【详解】（1）解：设 辆 型车载满货物一次可运货 吨， 辆 型车载满货物一次可运货 吨， 根据题意得： ， 解得： ， 答： 辆 型车载满货物一次可运货 吨， 辆 型车载满货物一次可运货 吨．（2）解：由（1）得 辆 型车载满货物一次可运货 吨， 辆 型车载满货物一次可运货 吨． ∵该批发市场现有34吨蜜桔，计划同时租用 型车 辆， 型车 辆，一次运完， ∴ ， ， 、 都是正整数， 必须是 的倍数， 当 时， ， ∵ 型车每辆需租金100元/次， 型车每辆需租金120元/次． ∴ （元） 当 时， ∵ 型车每辆需租金100元/次， 型车每辆需租金120元/次． ∴ （元） 当 时， ， ∵ 型车每辆需租金100元/次， 型车每辆需租金120元/次． ∴ （元） ∵ 共有三种租车方案： 方案一：租用A型车10辆，B型车 辆； 方案二：租用A型车6辆，B型车4辆； 方案三：租用A型车2辆，B型车 辆． 其中最省钱的租车方案是方案三，且租金为 元． 54．（23-24八年级上·广东河源·阶段练习）某商店分两次购进A、B型两种台灯进行销售，两次购进的数 量及费用如下表所示，由于物价上涨，第二次购进A、B型两种台灯时，两种台灯每台进价分别上涨 30%、20%． 购进的台数 购进所需要的费用（元） A型 B型 第一次 10 20 3000 第二次 15 10 4500 (1)求第一次购进A、B型两种台灯每台进价分别是多少元？ (2)A、B型两种台灯销售单价不变，第一次购进的台灯全部售出后，获得的利润为2800元，第二次购进的台灯全部售出后，获得的利润为1800元． ①A型台灯的售价为________元，B型台灯的售价为________元； ②若按照第二次购进A、B型两种台灯的价格再购进一次，将再次购进的台灯全部售出后，要想使获得的 利润为500元，求有哪几种购进方案？ 【答案】(1)第一次购进A、B型台灯每台进价分别为 元、 元； (2)①A型台灯售价为 元，B型台灯售价为 元；②有两种购进方案：购进A型台灯 台，B型台灯 台；购进A型台灯 台，B型台灯 台． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握利润公式和根据题意列方程组是解题的关键． （1）设第一次购进A、B型台灯每台进价分别为 元、 元，根据两次购进的数量及费用列出方程组，求 解得出进价． （2）①根据利润公式利润（售价进价）数量 ，结合第一次购进的数量和利润列 出方程组，求解得出售价．②设购进A型台灯 台，B型台灯 台，根据利润公式列出方程，结合 、 为 正整数求解得出购进方案． 【详解】（1）解：设第一次购进A、B型台灯每台进价分别为 元、 元 ∵第一次购进 台A型， 台B型，费用 元；第二次购进 台A型， 台B型，费用 元，且 第二次进价分别上涨 、 ∴ 化简第二个方程： 由第一个方程得： 将 代入 解得 ∴ ， 答：第一次购进A、B型台灯每台进价分别为 元、 元；（2）解：①设A型台灯售价为 元，B型台灯售价为 元 ∵第一次购进 台A型， 台B型，利润 元；第一次A、B型台灯进价分别为 元、 元 ∴ 化简第一个方程： ，即 ， 化简第二个方程： ， ， ， 用 减去 解得 将 代入 解得 ， 答：A型台灯售价为 元，B型台灯售价为 元； ②设购进A型台灯 台，B型台灯 台 ∵第二次A、B型台灯进价分别为 元、 元，售价分别为 元、 元，利润为 元 ∴ 化简得 ∵ 、 为正整数 ∴当 时， ， ， 当 时， ， ， 当 时， ， （舍去） ∴有两种购进方案：购进A型台灯 台，B型台灯 台；购进A型台灯 台，B型台灯 台． 55．（25-26八年级上·全国·期末）新考向 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计采购方案． 素材1：为了迎接杭州亚运会，某旅游商店购进若干明信片和吉祥物钥匙扣．已知一个吉祥物钥匙扣的售价比一套明信片的售价高20元． 素材2：小明在本店购买了1套明信片与4个吉祥物钥匙扣，共花费130元． 素材3：已知明信片的进价为5元/套，吉祥物钥匙扣的进价为18元/个．为了促销，商店对吉祥物钥匙扣 进行8折销售．临近期中考试，某老师打算提前给学生准备奖品，在本店购买吉祥物钥匙扣和明信片两种 商品若干（允许只购买一种商品），本次交易商家一共获得600元的销售额． 问题解决： 任务1：假设明信片的售价为x元/套，吉祥物钥匙扣的售价为y元/个，则 ______（用含x的代数式表 示）； 任务2：基于任务1的假设和素材2的条件，请尝试求出吉祥物钥匙扣和明信片的售价； 任务3：【拟定设计方案】请结合素材3中的信息，帮助该老师完成此次促销活动中可行的购买方案．在 这些购买方案中，哪种方案商家获利最高． 【答案】任务1： ；任务2：吉祥物钥匙扣的售价为30元/个，明信片的售价为10元/套； 任务3：可行的购买方案见解析，在这些购买方案中，购买吉祥物钥匙扣0个，明信片60套商家获利最高 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程，正确理解题意，寻找等量关系是解题的关键； 任务1：根据一个吉祥物钥匙扣的售价比一套明信片的售价高20元可得结果； 任务2：根据题中条件，列一元一次方程，解方程即可； 任务3：购买吉祥物钥匙扣 个，明信片 套，根据题意求得 ，再列出满足条件的整数解， 计算每一种购买方案商家的获利，再找出商家获利最高的购买方案． 【详解】任务1：因为一个吉祥物钥匙扣的售价比一套明信片的售价高20元，所以 ， 故答案为 ． 任务2：因为小明在本店购买了1套明信片与4个吉祥物钥匙扣，共花费130元， 所以 ， 解得 ， ． 答：吉祥物钥匙扣的售价为30元/个，明信片的售价为10元/套． 任务3：设购买吉祥物钥匙扣 个，明信片 套， 根据题意，得 ，所以 ． 因为 是非负整数，所以 或 或 或 或 或 因为每个吉祥物钥匙扣利润为 （元），每套明信片利润为 （元）， 购买吉祥物钥匙扣0个，明信片60套，商家获利300元； 购买吉祥物钥匙扣5个，明信片48套，商家获利270元； 购买吉祥物钥匙扣10个，明信片36套，商家获利240元； 购买吉祥物钥匙扣15个，明信片24套，商家获利210元； 购买吉祥物钥匙扣20个，明信片12套，商家获利180元； 购买吉祥物钥匙扣25个，明信片0套，商家获利150元． 答：可行的购买方案有购买吉祥物钥匙扣0个，明信片60套；购买吉祥物钥匙扣5个，明信片48套；购 买吉祥物钥匙扣10个，明信片36套；购买吉祥物钥匙扣15个，明信片24套；购买吉祥物钥匙扣20个， 明信片12套；购买吉祥物钥匙扣25个，明信片0套．购买吉祥物钥匙扣0个，明信片60套商家获利最高． 56．（24-25七年级下·陕西榆林·阶段练习）在技术和政策的推动下，越来越多的市民选择购买新能源汽车． 请根据下表信息，回答下列问题． 问题背景 某汽车4S店为满足市场需求，计划用240万元从厂家购进A，B两款新能源汽车若干辆，且分别在进价的 基础上提价3万元和2万元作为定价售卖． 素材一 从厂家购进3辆A款新能源汽车与购进4辆B款新能源汽车的费用相同． 素材二 从厂家购进4辆A款新能源汽车和3辆B款新能源汽车共需125万元． 问题解决 任务一 求A，B两款新能源汽车每辆的进价； 任务二 要使这240万元正好用完（两种都要购买），请你设计出所有的购进方案； 在任务二的基础上，将购进的A，B两款新能源汽车按对应定价全部售出并获利最多，应选择哪 任务三 个购进方案？ 【答案】任务一：A款新能源汽车每辆进价为20万元，B款新能源汽车每辆进价为15万元；任务二：共有 三种方案，购进3辆A款新能源汽车和12辆B款新能源汽车；购进6辆A款新能源汽车和8辆B款新能源 汽车；购进9辆A款新能源汽车和4辆B款新能源汽车；任务三：选择购进9辆A款新能源汽车和4辆B 款新能源汽车的方案 【分析】本题考查二元一次方程（组）的应用、有理数四则混合运算的应用，理解题意，正确列出方程 （组）是解答的关键．（1）设A款新能源汽车每辆进价为x万元，B款新能源汽车每辆进价为y万元，根据题意列方程组求解即 可； （2）设购进m辆A款新能源汽车，n辆B款新能源汽车，根据题意可得方程 ，根据m，n 都为正整数，讨论得出m、n的可能值，进而可得所有满足题意的方案； （3）分别求得三个方案的利润，比较大小即可得到答案． 【详解】解：任务一：设A款新能源汽车每辆进价为x万元，B款新能源汽车每辆进价为y万元． 根据题意，得 ，解得 ， 答：A款新能源汽车每辆进价为20万元，B款新能源汽车每辆进价为15万元； 任务二：设购进m辆A款新能源汽车，n辆B款新能源汽车， 根据题意，得 ， 解得 ． ∵m，n都为正整数， ∴ 或 或 ． ∴共有三种方案，购进3辆A款新能源汽车和12辆B款新能源汽车；购进6辆A款新能源汽车和8辆B款 新能源汽车；购进9辆A款新能源汽车和4辆B款新能源汽车； 任务三：当购进3辆A款新能源汽车和12辆B款新能源汽车时，获得的利润为 （万元）； 当购进6辆A款新能源汽车和8辆B款新能源汽车时，获得的利润为 （万元）； 当购进9辆A款新能源汽车和4辆B款新能源汽车时，获得的利润为 （万元）； ∵ ， ∴要想获利最多，应购进9辆A款新能源汽车和4辆B款新能源汽车． 题型8 二元一次方程组应用--数字问题 理解数位表示方法（如十位数字为a，个位数字为b，则数为10a+b）。设两个数位上的数 字为未知数，根据数字间的关系（和、差、倍数、位置调换）建立方程组。注意数字的取值 范围。 57．（25-26八年级上·全国·单元测试）佳佳坐在匀速行驶的车上，将每隔一段时间看到的里程碑上的数描 述如下： 时刻里程碑上 是一个两位数，数字之 十位数字与个位数字相比 时看到 比 看到的两位数中间 的数 和为9 的刚好颠倒 多了个0 则佳佳 时看到的两位数是（ ） A．18 B．27 C．36 D．54 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设 时看到的两位数的十位数字为x，个位数字为y，根 据十位与个位数字之和为9且行驶的速度不变，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设佳佳 时看到的两位数中十位数字为 ，个位数字为 ， 根据题意，得 解得 ， 所以佳佳 时看到的两位数是27． 故选：B． 58．（25-26八年级上·全国·随堂练习）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方 ——九宫图．将数字 ， ， ， ，0，1，2，3，4分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行、每 一竖列以及对角线上的数字之和都是同一个值，则 的值是 ． 2 m n 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，解二元一次方程组．由 ， ，可知每 一横行、每一竖列以及对角线上的数字之和都是0，如图1，由 ，解得 ， ，解 得 ， ，解得 ， ，解得 ， ，解得 ，如图2，由题意知， ，整理得， ，72mn0 m4   ，整理得， ，联立2m2n0，解得n1 ，然后求解即可． 【详解】解：∵4321012340， 0 ∴ 0，即每一横行、每一竖列以及对角线上的数字之和都是0， 3 如图1， a 2 3 m b c d e n ∵a230，解得a1， ∵3cn0，解得c3n， ∵1md 0，解得d 1m， ∵mbc0，解得bm3n， ∵2be0，解得e2m3n1mn， 如图2， 1 2 3 m m3n 3n 1m 1mn n 3m3n1m0 72mn0 由题意知， ，整理得， ， 1m3nn0 2m2n0 ，整理得， ， 72mn0  ∴2m2n0， m4  解得n1 ， ∴mn5， 故答案为：5． 59．（24-25九年级下·湖北武汉·自主招生）妈妈今年74岁，她养育了一个儿子和一个女儿，大的是儿子，2 小的是女儿，当儿子 岁时，妈妈的年龄比女儿年龄的2倍还大4岁，当女儿年龄是儿子的 时，妈妈恰 32 3 为40岁，那么儿子今年 岁． 【答案】46 【分析】本题考查了列代数式，利用二元一次方程组解决实际问题，一元一次方程的实际应用，解题关键 是找准题中的等量关系． 设儿子今年x岁，女儿今年y岁，根据题中的等量关系，列出方程组，通过消元得到 2 x38234 x34 ，进而可求出儿子今年的年龄． 3 【详解】解：设儿子今年x岁，女儿今年y岁，妈妈今年74岁， 当儿子32岁时， 7432x106x 妈妈的年龄为： 岁， y32x 女儿的年龄为： 岁， 106x2y32x4 此时妈妈的年龄比女儿年龄的2倍还大4岁，即： ， yx382 解得： 当妈妈40岁时，744034（岁），即34年前， x34 儿子的年龄为： 岁， y34 女儿的年龄为： 岁， 2 2 此时女儿年龄是儿子 ，即：y34 x34 ， 3 3 yx382   2 则 y34 x34，  3 2 2 把yx382代入y34 x34 ，即 x38234 x34 ， 3 3 解得：x46， 所以儿子今年46岁． 故答案为：46．60．（24-25七年级下·全国·期中）甲对乙说：“我像你这样大岁数的那年，你的岁数等于我今年的岁数的 一半；当你到我这样大岁数的时候，我的岁数是你今年岁数的二倍少7岁．”则今年甲的年龄为 岁． 【答案】28 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设今年甲的年龄为x岁，乙的年龄为y岁，根据我 1 像你这样大岁数的那年，你的岁数等于我今年的岁数的一半可得方程yx y x，根据当你到我这样 2 xx y2y7 大岁数的时候，我的岁数是你今年岁数的二倍少7岁可得方程 ，据此建立方程组求解即可． 【详解】解：设今年甲的年龄为x岁，乙的年龄为y岁，  1 yxy x  2 由题意得， xxy2y7 ， x28  解得y21， ∴今年甲的年龄为28岁， 故答案为：28． 61．（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每过 一段时间看到的里程碑上的数（单位：公里）如下： 时刻 8:00 9:00 10:00 里程 是一个两位数，它的 也是一个两位数，十位与 是一个三位数，比8:00 碑上 个位数字比十位数字 个位数字与8:00时所看到 时看到的两位数的数字中 的数 的5倍大1 的正好互换了 间多了个0 如果设小明8:00时看到的两位数的十位数字为x，个位数字为 y ．那么： (1)小明8:00时看到的两位数为 ； (2)小明9:00时看到的两位数为 ；10:00时看到的三位数为 ； (3)请你列二元一次方程，求小明在8:00时看到里程碑上的两位数． 10xy 【答案】(1) ； 10yx 100x y (2) ， ；y5x1  (3) 10yx10xy100xy10yx，小明在 时看到里程碑上的两位数为 ．  8:00 16 【分析】本题考查了列代数式，二元一次方程组的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据题意列代数式即可； （2）根据题意列代数式即可； y5x1  （ ）由题意得 10yx10xy100xy10yx，然后解方程组即可． 3  【详解】（1）解：设小明8:00时看到的两位数的十位数字为x，个位数字为 y ， 8:00 10xy ∴小明 时看到的两位数为 ， 10xy 故答案为： ； 9:00 10yx 10:00 100x y （2）解：由题意可得，小明 时看到的两位数为 ， 时看到的三位数为 ， 10yx 100x y 故答案为： ， ； y5x1  （3）解：由题意得： 10yx10xy100xy10yx，  x1  解得：y6， ∴小明在8:00时看到里程碑上的两位数为16． 题型9 二元一次方程组应用--其它问题 针对浓度、年龄、比例等特殊问题。抓住核心关系，根据具体情境灵活设元建立方程组。 62．（24-25七年级下·湖北孝感·期末）小明、小华和小红三人玩飞镖游戏，各投5支飞镖，规定在同一圆 环内得分相同，中靶和得分情况如图，则小红的得分是 分．【答案】29 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设投中内圆得x分，投中外圆得 y 分，根据小明、小华的得分，可列出关于 x,y 的二元一次方程组，解之 x y (2x3y) 可得出 ， 的值，再将其代入 中，即可求出结论． 3x2y31  【详解】解：设投中内圆得x分，投中外圆得y分，根据题意得：x4y27 ， x7  解得：y5， 2x3y273529 （分）， ∴小红的得分是29分． 故答案为：29． 63．（24-25七年级下·浙江台州·期末）漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出 hcm 现了漏刻，小玉同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位 随着时 tmin h ptq t 1min h1.1cm 间 的改变而改变．它的水位可用公式 计算．已测得当 时，水位 ；当 t 5min h2.7cm 时，水位 ．p q (1)求 ， 的值； h4.7cm tmin (2)当水位 时，求时间 的值． p0.4 q0.7 【答案】(1) ， (2)10min 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，准确列式是关键． （1）将数据代入得出二元一次方程组求解即可； （2）求出当h4.7时的t的值即可得到答案． 1.1 pq①  【详解】（1）解：由题意可得： 2.75pq②， 1.64p  ② ①得： ， 解得：p0.4， p0.4 q0.7 把 代入①得： ， p0.4  所以q0.7， ∴h0.4t0.7， p0.4 q0.7 答： ， ． （2）解：当h4.7时，4.70.4t0.7， 解得t 10． 答：当水位h4.7时，时间 t 为10min． 64．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）2024年10月，第三届北斗规模应用国际峰会在湖南株洲举行，我 校为了着眼于培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人，在峰会结束后举行了前往北斗峰会场 馆的研学活动，峰会场馆门票价格如下表： 购票人数/人 1800 8001600 1600以上 每人门票价/元 58 50 48 学校计划七年级分成两批1-16班，17-32班去游览该场馆，其中1-16班的人数少于800人，如果第一批只 单独购买本批次学生门票，则需支付46284元：如果两个批次32个班联合起来作为一个团体购票，则只需 花费77088元，(1)两个批次各去了多少人？ (2)研学活动的下午前往了悠移劳动教育实践基地，为了培养学习团队合作和了解中国传统文化，举行了划 龙舟的活动．在过程之中龙舟划到尽头就调转船头（调头时间忽略不计），返回起点码头，我们把龙舟看 做一个点整个过程总共划行了500m，龙舟在其间航行，顺水航行用了500s，逆水航行用了625s，求龙舟 在静水中的速度和水流速度分别是多少？（此问需利用方程解答） 【答案】(1)第一批去798人，第二批去808人； (2)龙舟在静水中的速度是0.9m/s，水流速度分别是0.1m/s 【分析】此题考查二元一次方程组的应用， （1）设第一批人数为x人，第二批为y人，列方程组求解； （2）龙舟在静水中的速度为vm/s，水流速度为um/s，列方程组求解． 【详解】（1）解：设第一批人数为x人，第二批为y人， ∵800—1600每人门票价为50元，且两个批次32个班联合起来作为一个团体购票，则只需花费77088元， 77088不是50的倍数， ∴两批次去的人数和为1600以上， 58x46284  ∴ 48xy77088，  x798  解得y808， ∴第一批去798人，第二批去808人； （2）解：设龙舟在静水中的速度为vm/s，水流速度为um/s， 500vu500   625vu500, v0.9  解得u0.1， 答：龙舟在静水中的速度是0.9m/s，水流速度分别是0.1m/s． 65．（24-25七年级下·山东临沂·期末）新疆长绒棉品质优良，其纤维柔长，洁白光泽，弹性良好，可制成 高级纺织面料，防化与防原子辐射布、其他纺织品，及各类宝塔线、缝纫线、绣花线、针织线等．丝路纺 织厂与A，B两地有公路、铁路相连（距离如表所示）． A地 B地公路段路程（km） 10 20 铁路段路程（km） 120 110 这家纺织厂从A地购买一批每吨3.08万元的长绒棉运回工厂，制成每吨4.25万元的高级纺织面料运到B地． 已知公路运价为0.5元/（吨·千米），铁路运价为0.2元/（吨·千米），这两次运输共支出公路运输费5200 元，铁路运输费16640元． (1)请计算这批纺织面料的销售额比原料费（只计长绒棉的价格）与运输费的和多多少万元? (2)如果工厂在运输过程中原料和产品均不产生损耗，在生产过程中原料的损耗率不变．工厂原计划用部分 长绒棉作原料，生产高级纺织面料，原料和产品一共144吨．若要增加m吨的产品，此时产品的销售款与 原料的进货款之差等于27.2万元．求m的值． 【答案】(1)这批产品的销售款比原料费与运输费的和多125.816万元； (2)m的值为4． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． （1）设工厂从A地购买了x吨长绒棉，制成高级纺织面料y吨，根据题意列出二元一次方程组，求解即可； （2）求得原料与生产的产品比为5:4，设原料a吨，产品b吨，根据题意列出二元一次方程组，求解即可． 【详解】（1）解：设工厂从A地购买了x吨长绒棉，制成高级纺织面料y吨， 依题意，得  0.510x20y5200   0.2120x110y16640， x400  解得：y320， 4.253203.084000.521.664125.816（万元）， 答：这批产品的销售款比原料费与运输费的和多125.816万元； （2）解：由（1）知，400吨原料可生产产品320吨， 故原料与生产的产品比为5:4， 设原料a吨，产品b吨， ab144  依题意，得 4a5b ， a80  解得b64，5 要使产品增加m吨，则原料需增加 m吨， 4  5  4.2564m3.0880 m27.2 根据题意得：  4  ， 解得：m4， 答：m的值为4． 66．（24-25七年级下·福建福州·期末）某班级开展综合实践活动，用如图1所示的正方形和长方形卡纸 （正方形的边长与长方形的宽相等），制作成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体收纳盒，用于收 纳班级文具（制作时的接缝材料不计）． (1)若该班级准备了正方形卡纸1100张，长方形卡纸2400张，求竖式与横式两种收纳盒各制作多少个，恰 好能将准备的卡纸全部用完； (2)该班级某一天共使用了正方形卡纸60张，长方形卡纸a张，全部制作成上述两种收纳盒，且 110a126，求这一天制作两种收纳盒时a的所有可能值． 【答案】(1)制作竖式收纳盒300个，横式收纳盒400个，恰能将准备的卡纸全部用完 (2)在这一天制作两种收纳盒时，a的所有可能值为115，120，125 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系， 正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组，推出二元一次方程． （1）设制作竖式收纳盒x个，横式收纳盒y个，根据竖式与横式两种无盖的长方体收纳盒各用正方形和长 方形卡纸的数量，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设制作竖式收纳盒m个，横式收纳盒n个，根据竖式与横式两种无盖的长方体收纳盒各用正方形和 长方形卡纸的数量，列出二元一次方程组，解方程组得出二元一次方程，再由n、a均为正整数， 110a126，即可得出结果． 【详解】（1）解：设制作竖式收纳盒x个，横式收纳盒 y 个，  x2y1100 x300   依题意得：4x3y2400，解得：y400． 答：制作竖式收纳盒300个，横式收纳盒400个，恰能将准备的卡纸全部用完．（2）解：设制作竖式收纳盒m个，横式收纳盒n个， m2n60  依题意得：4m3na， a n48 ， 5 Qn ，a为正整数， a为5的倍数， 又 110a126，  a 满足条件的 为：115，120，125． 答：在这一天制作两种收纳盒时，a的所有可能值为115，120，125． 67．（24-25七年级下·浙江金华·期末）运动会开幕式需要各代表队按正方形方阵（行数和列数相等）入场 展示．如图所示，正方形方阵分为实心方阵和空心方阵（每层都是正方形形状）两种形式． (1)7列2层空心方阵有 人，x列2层空心方阵有 人．（用含x的代数式表示，其中x为大于4的正整数） (2)某代表队可以排成m列2层空心方阵，也可以排成n列3层空心方阵，且m比n多1，求m，n的值． (3)某代表队共有72人，请设计一个正方形方阵，要求全体成员都能参加．（写出一种方案即可） 8x16 【答案】(1)40； m8  (2)n7 (3)11列2层空心方阵（答案不唯一） 【分析】（1）根据图形列式计算即可； （2）根据“排成m列2层空心方阵，也可以排成n列3层空心方阵，且m比n多1”列方程组求解即可； （3）设正方形方阵为a列2层空心方阵，根据题意列方程求解即可． 7232 49940 【详解】（1）解：由题意可得，7列2层空心方阵有： ；x2x42 8x16 x列2层空心方阵有： ， 8x16 故答案为：40； ． （2）解：由题意可得：m列2层空心方阵人数：8m16； n2n62 12n36 n列3层空心方阵人数： ， mn1  ∴8m1612n36， m8  解得：n7． （3）解：设正方形方阵为a列2层空心方阵 根据题意得，8a1672 解得a11 ∴可以为11列2层空心方阵．（答案不唯一） 【点睛】本题主要考查了列代数式、二元一次方程组，完全平方公式，一元一次方程的应用等知识点，找 到相等关系列出方程组是解题的关键． 68．（24-25七年级下·河南安阳·期末）活力课堂：为创新教学形式，激发学生学习热情，打造活力课堂， 本县某校李老师在数学课上设计了如下活动： 问题情境：在数学实践课上，老师让同学们利用一架天平和一个10g的砝码，探究 如何称出1个乒乓球和1个纸杯的质量． 操作探究：下面是“智慧小组”的探究过程． 准备物品：①若干个大小相同的乒乓球（质量相同）． ②若干个大小相同的纸杯（质量相同）． 开始探究：设每个乒乓球的质量是xg，每个纸杯的质量是yg． 天平状 天平左边的总质量 天平右边的总质量 天平左边 天平右边 态 （g） （g） 记录 8个乒乓球和1个砝 14个纸 平衡 _______ _______ 1 码 杯 记录 3个乒乓球 4个纸杯 平衡 _______ _______ 2 解决问题：（1）①补全表格；（用含x，y的式子表示） ②分别求出1个乒乓球的质量和1个纸杯的质量． 拓展设计： （2）请补全下表，使得天平平衡时，乒乓球的个数为一次性纸杯个数的2倍． 天平左边 天平右边 天平状态 记录3 ________个乒乓球 砝码和________个纸杯 平衡 8x10 14y 3x 4y 【答案】（1）① ， ， ， ；②1个乒乓球的质量是4克，1个纸杯的质量为3克；（2） 4，2 【分析】本题主要考查实际问题与一元一次方程 ，实际问题与二元一次方程，列代数式； （1）①由题目中的数量关系列代数式即可； ②根据题意列出二元一次方程组，计算求解即可； （2）一次性纸杯个数为m，乒乓球的个数为2m，根据题意列出一元一次方程，计算求解即可． 【详解】解：（1）①根据题意，8个乒乓球和1个砝码的总质量为：8x10， 14y 14个纸杯的总质量为： ， 3个乒乓球的总质量为：3x， 4y 4个纸杯的总质量为： ； 8x10 14y 3x 4y 故答案为： ， ， ， ． 8x1014y  ②根据题意，3x4y ， x4  解得y3， ∴1个乒乓球的质量是4克，1个纸杯的质量为3克； （2）设：一次性纸杯个数为m，乒乓球的个数为2m， ∴4 2m 10  3m， 解得m2， 2m4，∴一次性纸杯个数为2，乒乓球的个数为4． 故答案为：4，2． A,B A 69．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）如图，某工厂与 两地有公路和铁路相连．这家工厂从 地购买 原料运回工厂，制成产品运到B地．已知公路的运价为a元/（吨km），铁路的运价为b元/（吨km）． x y a,b,x, y (1)设一批原料有 吨，生产成的产品有 吨．填写下表（结果用含 的代数式表示）； A地 B地 公路运费 10ax ____________ （元） 铁路运费 ____________ ____________ （元） (2)第一批货购买了500吨原料，生产了300吨产品，原料从A地运回工厂运费67500元，制成产品运到B a,b 地运费39000元．求 的值． (3)工厂从A地购买原料的单价为每吨1000元，产品售往B地的价格为每吨8000元．因需要需增补第二批 货物，已知第二批货物的销售款比原料费多260000元，运输单价与第一批货物相同，运输总费用为13300 元，问第二批货物的原料是多少吨？与第一批货物从原料到产品的成品率相比，成品率是提高了还是降低 了？ 120bx 20ay 100by 【答案】(1) ， ， (2)a1.5，b1． (3)第二批货物的原料是60吨，成品率提高了 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意，列出方程组是解题的关键． a,b,x, y （1）根据题意分别用 表示即可； （2）根据“第一批货购买了500吨原料，生产了300吨产品，原料从A地运回工厂运费67500元，制成产品运到B地运费39000元．”列出方程组，即可求解； （3）设第二批货物的原料有m吨，产品有n吨，根据题意，列出方程组，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意填写表格如下： A地 B地 公路运费（元） 10ax 20ay 铁路运费（元） 120bx 100by 50010a500120b67500  （2）解：由题意得：30020a300100b39000， a1.5  解得：b1 ． （3）解：设第二批货物的原料有m吨，产品有n吨，由题意得： 8000n1000m260000  1.510m1.5120m30n100n13300， m60  解得：n40 ， ∵第一批成品率：300500100%60% 第二批成品率：4060100%66.7% ∴第二批成品率提高了． 答：第二批货物的原料是60吨，成品率提高了． 培优综合练 M abcd 70．（24-25七年级下·重庆·期末）如果一个四位自然数 ，各个数位上的数均不为0，且满足 abcd bcm ，那么称m为M的“同心数”；将M十位与百位数字调换得到N，记N的“同心数”为 m n，令FM ．例如 ，满足 ，则69为5351的“同心数”，将5351十位与百 n M 5351 5351356923 位数字调换得到5531，满足 ，则5531的“同心数”为33，此时FM ，若 ， 55315333 11 M 1234 FM m27 则其“同心数”m为 ；当 ，且 为整数时，M最大值与最小值的差为 【答案】 23 1869 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、整式的加减的应用，由“同心数”的定义计算即可得出m的 10a9b9cd 27①  值；由题意可得 M abcd ， N acbd ，结合“同心数”的定义可得 10a9b9cd n② ，由①②可 27 得210ad27n，由FM 为整数，并求出22210ad198，即可得出 或 或 或 n n27 9 3 3 或1或1，再分情况计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：若M 1234，由题意可得：123423m， 解得m23； M abcd N acbd 由题意可得： ， ， m27 abcd bc27 acbd cbn 故当 时， ， ， 10ab10cd 10bc27  ∴10ac10bd 10cbn ， 10a9b9cd 27①  整理可得： 10a9b9cd n② ， ①② 210ad27n 由 可得： ， 27 ∵FM 为整数， n ∴n27或27或9或9或3或3或1或1， ∵1a9，1d 9， ∴1110ad 99， 22210ad198 ∴ ， ∴n27或9或3或3或1或1，210ad54 n27 a2 d 7 bc 当 时， ，此时 ， ， ， 当bc9时，M 有最大值，为2997；当bc1时，M 有最小值为2117； 210ad36 n9 a1 d 8 cb1 当 时， ，此时 ， ， ， 当b8，c9时，M 有最大值，为1898，当b1，c2时，M 有最小值，为1128； 210ad30 n3 a1 d 5 9b9c12 b c 当 时， ，此时 ， ， ，没有符合题意的 、 的值，故不符合题 意； 210ad24 当 n3 时， ，此时 a1 ， d 2 ， 9b9c15 ，没有符合题意的 b 、 c 的值，故不符合题 意； 210ad28 n1 a1 d 4 9b9c13 b c 当 时， ，此时 ， ， ，没有符合题意的 、 的值，故不符合题 意； 210ad26 n1 a1 d 3 9b9c14 b c 当 时， ，此时 ， ， ，没有符合题意的 、 的值，故不符合题 意； 综上所述，M 的值可以为：2997或2117或1898或1128，故最大值与最小值的差为：299711281869， 故答案为：23，1869． 71．（24-25七年级下·北京西城·期末）二十四节气中的夏至是一年中白昼最长的一天（通常在6月中下 旬）．一年中每天的正午时刻，夏至这天影长最短，某数学小组借助学校一栋教学楼的影子，研究夏至日 及其前后若干天的影长变化情况，他们在操场上设置了一条参照线，每天正午时刻测量该楼影子超过参照 线的长度，所得数据记为“相对影长L”（单位：cm）．下表记录了他们在6月9-27日连续三周工作日 测量得到的数据． 日期 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 29. 26. 22. 19. 16. 10. 7. L/cm 8.7 7 3 7 7 3 3 7 日期 19 20 21 22 23 24 25 26 27 8. 9. 10. 12. L/cm 7.0 6.3 7.3 3 5 7 7 回答下列问题： (1)他们发现表中9-20日记录的相对影长逐渐减小，查阅资料后决定用如下方法估算14日、15日的相对影长数据：近似地认为13-16日这四天中，14日、15日的数据都是它前一天和后一天数据的平均数．请按此 方法估算14日、15日的数据； (2)为了更加清楚地看出相对影长与日期之间的关系，如图，他们用横轴表示日期，用纵轴表示相对影长， 描出表中17-20日、23-26日的各对值所对应的点（不完整）． ①请在图中补全23-26日的各对值所对应的点； ②他们发现图中17-20日的散点大致落在一条呈下降趋势的直线附近，23-26日的散点大致落在一条呈上升 趋势的直线附近，根据学习趋势图的经验，他们分别画出了这两条直线，因为夏至日的相对影长最小，所 以他们推测该年夏至日的相对影长与这两条直线的交点对应的相对影长相等，按此方法可推测该年夏至日 的相对影长约为________cm（结果保留小数点后一位）． 【答案】(1)14.3和12.3 (2)①见解析；②5.3 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，数据的收集，熟练列出等式，利用二元一次方程解题是关键． x,y （1）设14日、15日的数据分别为 ，利用题意列出方程组即可解答； （2）①根据题意补全即可； ②观察两条直线的交点，即可解答． x,y 【详解】（1）解：设14日、15日的数据分别为 ， 16.3y2x  则可得10.3x2y， x14.3  解得y12.3， 所以14日、15日的数据为14.3和12.3； （2）解：①作图如下：②如图，观察两直线的交点，可得该年夏至日的相对影长约为5.3cm ， 故答案为：5.3． 72．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）（新定义）对任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字 互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可 以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如n123，对调百位与十 位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三 213321132666 6661116 F1236 位数的和为 ， ，所以 ． F241 F627 (1)计算： ， ． s100x32 t150y 1x9 1 y9，x，y (2)若s，t都是“相异数”，其中 ， （ ， 都是正整数），规定：F(s) k  F(t) ，当 FsFt19 时，求k的最大值． F2417 F62715 【答案】(1) ， 11 (2)k的最大值为 8 【分析】本题考查了新定义运算和二元一次方程的应用，解题的关键是根据新定义列式计算和列出关于未 知数的方程． （1）根据“相异数”的定义列式计算即可； s100x32 t150y FsFt19 （2）由 ， ，结合 ，即可得出关于x、y的二元一次方程，解之即可 Fn Fs Ft 得出x、y的值，再根据“相异数”的定义结合 的定义式，即可求出 、 的值，将其代入 FsFt19 ，即可得出k值． F241421142214111 【详解】（1）解：① 777111 7； F627267726672111 ② 1665111 15； s100x32，t150y （2）解：∵s，t都是“相异数”，其中 ， Fs30210x230x100x23111 x5 ， Ft510y100y5110510y111 y6 ， FsFt19  ， x5y6xy1119， xy8，1x9 1 y9，x，y  ， 都是正整数， x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7        ∴y7或y6或y5或y4或y3或y2或y1， x是“相异数”，x2，x3， y y1 y5 是“相异数”， ， ， x1 x4 x5 x6     所以满足条件的有y7或y4或y3或y2， Fs 15 6 F(x) 45 9 F(x) 55 10 F(x) 65 11 k    k    k    k    所以 Ft 76 13或 F(y) 46 10或 F(y) 36 9 或 F(y) 26 8 ． 6 9 10 11 11 因为    ，所以 的最大值为 ． 13 10 9 8 k 8 11 故答案为： ． 8 73．（24-25八年级下·福建厦门·期末）本学期青少年宫在学校开设了多项特色课程，丰富了学生的校园生 活．期末时，青少年宫计划购买A，B两款盲盒作为礼物送给参加剪纸班的47名学生．这两款盲盒的销售 信息如表三： 表三 盲盒种 单价（元／个） 优惠方案 类 A款盲盒 20 优惠方案一：A款盲盒满30份及以上打八五折 优惠方案二：B款盲盒满18份及以上打八折 优惠方案三：总费用满800元立减100元 B款盲盒 15 （备注：方案三不与方案一、方案二叠加使用）| 目前47名学生都参与了选择盲盒意向调查，每人只能在A，B两款中选一款，其中30人已作明确选择，剩 余17人可以接受任意一款．若按这30人的选择下单，由于不满足优惠条件，总费用为540元． (1)在已作明确选择的30名学生里，选A款和B款盲盒的分别有多少人？ (2)若剩余17人中选择A款盲盒有m人，购买这两款盲盒的总费用为 y 元，求 y 的最小值． 【答案】(1)选A款和B款盲盒的分别有18、12人 (2)700 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，解题的关键是：（1）设选A款和B款盲盒的分别有x、y人，根据“按这30人的选择下单，由于不满足优惠条件，总费用 为540元”列方程组求解即可； 18m 29m （2）根据题意，得出选择A款盲盒有 人，选择B款盲盒有 人，然后分两种情况讨论：① 当0m11时，根据一次函数的性质求出选择方案一、二的最小值和选择方案三的最小值，然后比较得出 最小值；②当12m17时，根据一次函数的性质求出选择方案一、二的最小值和选择方案三的最小值，然 后比较得出最小值，最后比较①、②两种情况即可求解． 【详解】（1）解∶设选A款和B款盲盒的分别有x、y人， xy30  根据题意，得20x15y540， x18  解得y12， 答：选A款和B款盲盒的分别有18、12人； （2）解：∵剩余17人中选择A款盲盒有m人， 18m 4718m29m ∴选择A款盲盒有 人，选择B款盲盒有 人， ①当0m11时，18m30，29m18， 若选方案一、二， y2018m150.829m8m708 则 ， ∵80， ∴y随m的增大而增大， 又0m11， ∴当m0时，y取最小值，最小值为80708708； 2018m1529m800 若选方案三，则 ， 解得m1， y2018m1529m1005m695 此时 ， ∵50， ∴y随m的增大而增大， 又1m11，∴当m1时，y取最小值，最小值为51695700； ∵700708， ∴当m1时，y的最小值为700； ②当12m17时，18m30，29m18， 若选方案一、二， y200.8518m1529m2m741 则 ， ∵20， ∴y随m的增大而增大， 又12m17， ∴当m12时，y取最小值，最小值为212741765； 2018m1529m800 若选方案三，则 ， 解得m1， y200.8518m1529m1005m695 此时 ， ∵50， ∴y随m的增大而增大， 又12m17， ∴当m12时，y取最小值，最小值为512695755； ∵755765， ∴当m12时，y的最小值为755； ∵700755， ∴当m1时，y的最小值为700． AB x y Aa,0 B0,b a b 74．（24-25七年级下·湖北黄石·期末）如图，直线 分别交 轴， 轴于点 ， ，且 ， a6 3b 0 满足 ．a b S  (1)直接写出 _____， _____， △AOB _____； Px,y y S 2S (2)如图1，点 为 轴上一动点，若 AOP AOB，求点P的坐标． C4,3 (3)如图2，已知 ，平移 VABC 到 EFG （其中A、B、 C 的对应点分别是 E 、 F 、 G ），设 5 1 4 Em,n，Fp,q，且满足 m nq p2，请直接写出点 的坐标是_____ 2 2 3 G 【答案】(1)6；3；9 0,6 0,6 (2) 或 ； 13,8 (3) A6,0 B0,3 a60 3b0 【分析】（1）根据非负数的性质得 ， ，求解即可；得 ， ，继而得到 1 ， ，再根据S  OAOB，代入计算即可； OA6 OB3 △AOB 2 （2）根据点 Px,y 为 y 轴上一动点，得 x0 ，点P到 x 轴的距离为 y ，进一步得到 1 S AOP  2 OA y 3 y ，再根据S 2S 建立方程求解即可； AOP AOB m6 p0 m p6 q5p31 5 1 4   m nq p2  （3）根据平移的性质得 n0q3 ，得 nq3 ，代入 2 2 3 ，得 3q4p6 ， F9,14 求解后得 ，确定平移方式后即可得出答案．a6 3b 0 a6 0 3b 0 【详解】（1）解：∵ ， ， ， ∴a60，3b0， 解得：a6，b3， A6,0 B0,3 ∴ ， ， ∴OA6，OB3， 1 1 ∴S △AOB  2 OAOB 2 639， 故答案为：6；3；9； Px,y y （2）∵点 为 轴上一动点， y ∴ x0 ，点P到 x 轴的距离为 ， 1 1 ∴S  OA y  6 y 3 y ， AOP 2 2 S 2S ∵ AOP AOB， 3 y 29 ∴ ， 解得：y6， 0,6 0,6 ∴点P的坐标为 或 ； A6,0 B0,3 （3）由（1）知 ， ， C4,3 Em,n Fp,q ∵ ，平移 VABC 到 EFG （其中A、B、 C 的对应点分别是 E 、 F 、 G ），设 ， ， m6 p0 m p6   ∴ n0q3 ，即 nq3 ， 5 1 4 ∵ m nq p2， 2 2 3 5 1 p6 q32  2 2 将m p6代入可得 4 ，  q p2 nq3  3q5p31  整理，得：3q4p6 ， p9  解得：q14， F9,14 ∴ ， B0,3 F9,14 9 11 ∴点 向右平移 个单位，再向上平移 个单位得到点 ， B0,3 F9,14 C4,3 G ∵将点 平移到 的过程与将点 平移到 的过程相同， G13,8 ∴ ， 13,8 故答案为： ． 【点睛】本题考查非负数的性质，点的坐标特征，点到坐标轴的距离，三角形的面积，平移的性质，二元 一次方程组的应用等知识点．掌握平移的性质是解题的关键． 75．（24-25七年级下·天津河西·期末）幻方是一种中国传统游戏，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻 方——九宫格，其规则是将数字填在正方形格子中，使每一行、每一列和两条对角线上的3个数字的和都 相等．例如图①就是一个幻方． （I）图②是一个未完成的幻方，则 xy 的结果为 ；（II）图③中的x为 （用含a的式子表示） 【答案】 12 a1 【分析】本题考查了整式加减的应用，二元一次方程组应用． 根据每一行、每一列和两条对角线上的3个数字的和都相等．可知有公共单元格的横竖斜行的其他两个数 和相等，据此求出未知第三格的数值（或用代数式表示），最后列出方程（组）求解即可． 【详解】解：∵每一横行，每一坚列以及两条对角线上的3个数之和都相等．由图②中，m206224， ∴y204222， xn204  ∴2nx6 x10  解得：n14 xy12 ∴ ， 由图③中，设每一横行，每一坚列以及两条对角线上的3个数之和都相等． K(a2)xa K xa(a2)x2 ∵ ，∴ ， ∵xP(a2)(a5)，∴P(a2)(a5)x2ax3， RPK(a5) R(x2)(a5)(2ax3)x2xa4 ∵ ，∴ ， LRa(a5) La(a5)(2xa4)3a2x1 ∵ ，∴ ， 又∵LPxa，∴Lxa(2ax3)2xa3， 2xa33a2x1， ∴xa1 故答案为：12；a1．Q P P 76．（23-24七年级下·北京·期中）对于平面直角坐标中的任意两点 ， ，若点 到两坐标轴的距离之和 等于点Q到两坐标轴的距离之和，则称P，Q两点为“和合点”，如图1中的P，Q两点即为“和合点”． A4,8 B6,0 C6,6 D2,9 (1)已知点 ， ， ， ． E5,7 ①在上面四点中， 与点 为“和合点”的是 ； F3,0 ②若点 ， 过点 F 作直线 l x x 轴，点 G 在直线 l 上， A、 G 两点为“和合点”， 则点 G 的坐 标为 ； M2a,3b N3a,b ③若点 在第二象限，点 在第四象限， 且A、 M 两点为“和合点”， D 、 N 两点为 “和合点”， 求a， b的值． H5,0 K0,5 Rx,y HK xy5， Tn,0 (2)如图2，已知点 ， ，点 是线段 上的一动点， 且满足 过点 作直线mx轴，若在直线m上存在点S，使得R，S两点为“和合点”，直接写出n的最大值． a3 【答案】(1)①A，C；② 3,9 或 3,9 ；③  b2 (2)5 【分析】本题考查了坐标系中各象限点的坐标特征，“和合点”的定义，解二元一次方程组； （1）①分别求出四点到两坐标轴的距离之和，然后根据“和合点”的概念求解即可； G3,a ② ，然后根据A、G两点为“和合点”列方程求解即可； ③根据A、M两点为“和合点”，D、N两点为“和合点”列方程求解即可；（2）首先求出点R到两坐标轴的距离之和，然后根据R，S两点为“和合点”求解即可． A4,8 B6,0 C6,6 D2,9 【详解】（1）①∵ ， ， ， 4  8 12 ∴点A到两坐标轴的距离之和为 ， 6  0 6 点B到两坐标轴的距离之和为 ， 6  6 12 点C到两坐标轴的距离之和为 ， 2  9 11 点D到两坐标轴的距离之和为 ， E5,7 5  7 12 ∵点 到两坐标轴的距离之和为 ， E5,7 ∴在上面四点中，与点 为“和合点”的是A，C． 故答案为：A，C； F3,0 l x ②∵点 ，过点F作直线 轴，点G直线l上， G3,a ∴设 3  a  a 3 ∴点G到两坐标轴的距离之和为 ∵A、G两点为“和合点” a 312 a9 ∴ ，解得 3,9 3,9 ∴点G的坐标为 或 ； M2a,3b N3a,b ③∵点 在第二象限，点 在第四象限， ∴2a0，3b0，-3a>0，b0， ∵A、M两点为“和合点”，D、N两点为“和合点”， 2a  3b 12 2a3b12   ∴  3a  b 11 ，即 3ab11 a3  解得b2 ；Rx,y HK xy5 （2）∵点 是线段 上的一动点，且满足 ， yx5 ∴ x  y  x  x5 xx55 ∴点R到两坐标轴的距离之和为 Sn，m 设 ∵R，S两点为“和合点”， n  m 5 ∴ ∴5n5． 所以最大值为5． 77．（2023·河南商丘·三模）某火锅店为吸引客户，推出两款双人套餐，下表是近两天两种套餐的收入统 计： 数量 收入 B套 A套餐 餐 第一 2800 20次 10次 天 元 第二 15次 20次 3350元 天 (1)求这两款套餐的单价； (2)A套餐的成本约为45元，B套餐的成本约为50元，受材料和餐位的限制，该火锅店每天最多供应50个 1 套餐，且 套餐的数量不少于 套餐数量的 ，求火锅店每天在这两种套餐上的最大利润； A B 5 (3)火锅店后续推出增值服务，每个套餐可选择再付10元即可加料，即在鱼豆腐、面筋、川粉和蘑菇中任选 两种涮菜．小明是这个火锅店的常客，2022年他共花费1610元购买两个套餐，其中A套餐不加料的数量 1 占总数量的 ，则小明选择 套餐加料的数量为______个． 4 B 【答案】(1)A套餐销售单价为90元，B套餐销售单价为100元 (2)2455元 (3)小明选择B套餐加料的数量为5个【分析】（1）设A套餐销售单价为a元，B套餐销售单价为b元，根据题意列出二元一次方程组，解方程 组即可求解； 25 （2）设售出 套餐 个，总利润为w元，根据题意得出m ，然后根据一次函数的性质即可求解； A m 3 A x A B y B (3x y) （3）设 套餐不加料数量为 个， 套餐加料和 套餐不加料共 个，则 套餐加料数量为 ﹣ 个， 根据题意列出二元一次方程，根据整数解，即可求解． 【详解】（1）解：设A套餐销售单价为a元，B套餐销售单价为b元， 20a10b2800  根据题意，得15a20b3350 a90  , 解得b100 答:A套餐销售单价为90元，B套餐销售单价为100元； （2）设售出A套餐m个，总利润为w元， w (90 45)m(100 50)(50 m) 5m2500 则 ＝ ﹣ ﹣ ﹣ ＝ ， 1 1 套餐的数量不少于 套餐数量的 ，即m 50m ，  A B 5 5 25 m ， ，  3 k 50 w m m 随 的增大而减小， 为正整数， 当m＝9时，w最大，w的最大值为2455元； A x A B y B (3x y) （3）设 套餐不加料数量为 个， 套餐加料和 套餐不加料共 个，则 套餐加料数量为 ﹣ 个， 90x100y110(3x y) 1610 根据题意，得： ﹣ ＝ ， 整理，得：42x﹣ y ＝161，且x， y 均为正整数， x4  解得y7， 3x﹣ y ＝5， 即小明选择B套餐加料的数量为5个． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程组、不等式以及一次函数关系式是解题的关键． 78．（24-25七年级下·山西大同·期末）综合与实践 青少年正处于生长发育的黄金阶段．某校食堂为保证学生科学饮食，计划结合青少年每日摄入营养比例设 计一个健康饮食餐盒． 材料搜集：材料1，青少年每餐摄入食物比例整理如下表． 食物 主食 肉蛋类 蔬菜 水果 占比 35% 15% 30% 20% 材料2，学生每餐最少摄入3种颜色的非淀粉类蔬菜． 方案设计：综合与实践小组设计了如图所示的长方形餐盒，其中主食格、菜格、水果格、肉蛋格参考材料 AB25cm AD35cm 1中数据设计，另外增加了汤格和餐具格，其中，菜格平均分为三块区域．已知 ， ， DF 2.5cm AM xcm NF  ycm ．设 ， ． 问题解决：请根据题意完成下列解答， MN (1)填空： _________ ， _________． AG cm AM (2)列方程就是“拉出一个量，将之算两次”，即对一个“量”讲“两个故事”，并把两个“故事”用“ ”号连接起来．请将下列各“量”分别用“两个故事”表示（用含x， y 的式子表示）． 第二个“故 “量” 第一个“故事” 用“”连接 事” AF x________ y 32.5 x______y32.5 （ ） ABHM 的面积 25x _____ 50% ．．．．．．(3)请求出x， y 的值． 3 【答案】(1)10， 4 (2)见解析 (3)15，6.25． 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，正确的列出二元一次方程组是解题的关键： （1）根据表格中的比例关系，得到长方形中线段的比例关系进行求解即可； （2）根据线段的和差关系和图形的面积的计算方法，列出代数式即可； （3）列出方程组，进行求解即可． MN 15% 3 【详解】（1）解：由图可表格可知， ，   ， AG:BG20%:30%2:3 AM 20% 4 2 ∴AG AB10cm， 5 3 故答案为：10， ； 4 3 3 （2）由（1）知：MN  AM  x， 4 4 3 ∴AF  AM NM NF x xy， 4 1  由表格可知：ABHM 的面积 2 （长方形ABCD的面积  餐具格的面积  汤格的面积） 1  25352.52510y 2 1  812.510y ； 2 填表如下： 第一个“故 “量” 第二个“故事” 用“”连接 事” 3 3 AF x xy 32.5 x xy32.5 4 4 ABHM 的面积 25x 812.510y50% 25x812.510y50% ．．．．．． 3  xy32.5x  4 （3）列方程组25x812.510y50%   x15，  解得y6.25． 答：x， y 的值分别为15，6.25．