文档内容
第三章 《图形的平移与旋转》导学案
问题解决活动-距离最短
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学习目标与重难点
学习目标：
1、能利用轴对称、平移、旋转的性质解决“两点在一条直线异侧”的最短路径问题。
2、通过“将军饮马”模型的探究，体会“化折为直”的转化思想，经历将实际问题抽象为数学模型
的过程。
感受数学在生活中的应用价值，培养勇于探索、严谨求实的科学态度。
学习重点：
构建模型、转化思想。
学习难点：
严谨的逻辑语音证明最短距离问题。
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预习自测
知识链接
”将军饮马“由来
相传亚历山大城有一位精通数学的学者海伦。某日，一位罗马将军专程去拜访他，向他
请教一个百思不得其解的问题。将军每天从军营 A出发，先到河边饮(yìn)马，然后再去河岸同侧的
B地开会，应该怎样走才能使路程最短？从此，这个被称为'将军饮马'的问题广泛流传。
抽象为数学模型：直线同侧有两个定点A、B,请在直线上找一点C,使AC+BC值最小。如果点A、B
在直线的两侧，我们便可用两点之间线段最短，找到点C的位置了。即连接AB交直线于点C。
因此，构造点A关于直线l的对称点A’，连接A’B交直线于点C，点C就找到了。（找对称点，
本质上是通过AC=A'C,把问题转化为求A'C+BC最小值）►
教学过程
提出问题
如图3-32，居民区和工厂分别在一条城铁线路的南、北两侧，现要沿城铁线路修建一条地下通道，
居民区的居民经过地下通道去工厂上班，已知地下通道长 a米，那么地下通道的两个出口应该设计
在何处，才能使居民经过地下通道去工厂上班的线路最短？请画出这条最短线路并说明理由（不考
虑地面到地下通道地面的高度）
理解问题
上述问题可以抽象怎样的数学问题，试着写一写，画一画。
。
拟定计划
（1）你以前遇到过类似的问题吗？
（2）解决这个问题的最大困难时什么？
（3）地下通道将居民区到工厂的路从中间分成两段，你能设法将居民区、通道或工厂“移动”位置，
让前后两段路连起来吗？
实施计划
（1）写出你的解决方案，
（2）说明方案的合理性。（1）居民区点A沿城铁方向平移am到 ，连接 B交城铁线点C.
（2）作AD平行 C,交城铁线点D
理论根据：AD+DC+CB= C+CB+a= B+a
(两点之间线段最短）
回顾反思
将固定的一段线路平移，将问题转化成两点之间线段最短的问题来解答；解决最短距离问题的
关键是要善于利用图形的变换，构造相关点的对称点、平移点、旋转点，将复杂的图形转化成简单
的图形，化“折”为“直”，进而利用“两点之间线段最短”，“垂线段最短”等进行解决
【强调】：
最短距离问题，关键是要善于利用图形的变换，构造相关点的对称点、平移点、旋转点，将复
杂的图形转化成简单的图形，化“折”为“直”，进而利用“两点之间线段最短”，“垂线段最
短”等进行解决。
三、课堂练习、巩固提高
基础达标：
1.如图，直线L是一条河，P，Q是两个村庄，欲在l上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，
现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（ ）
2.如图，已知∠O，点P为其内一定点，分别在∠O的两边上找点A、B，使ΔPAB周长最小的是(
)3.如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任一点，则AP+BP的最小值
是（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
4.A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMNB最短的是（假定河
的两岸是平行线，桥与河岸垂直）（ ）
5.如图，某工厂甲、乙两个单位分别位于厂内一条封闭的道路两旁，现计划修建一座天桥，要求天
桥与道路垂直，那么天桥建在何处才能使由甲到乙的路程最短？能力提升：
6. 已知点P（0，1），Q（5，4），点M在x轴上运动，当MP+MQ的值最小时，点M的坐标为______
．
解答提示：
拓展迁移
7.如图，在△ABC中，AB=AC．
（1）利用尺规作线段AB的垂直平分线DE，垂足为E，交AC于点D；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，
①若∠A=30°，求∠DBC的度数；
②若△ABC的面积是12，BC=4，点M、N分别是BC、DE上的动点，求BN+NM的最小值．
四、总结反思、拓展升华
最短距离问题
关键是要善于利用图形的变换，构造相关点的对称点、平移点、旋转点，将复杂的图形转化成简单的图形，化“折”为“直”，进而利用“两点之间线段最短”，“垂线段最短”等进行解决。
五、【作业布置】
基础达标：
1.如图，在平面直角坐标系中，点A（－2，4），B（4，2），在x轴上取一点P，使点P到点A和点
B的距离之和最小，则点P的坐标是（ ）
A．（－2，0） B．（4，0） C．（2，0） D．（0，0）
2．如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若
AE＝2，当EF＋CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（ ）．
A．15° B．22．5° C．30° D．45°
第1题 第2题 第3题
3．如图，锐角三角形ABC中，∠C＝45°，N为BC上一点，NC＝5，BN＝2，M为边AC上的一个动点，
则BM＋MN的最小值是（ ）．
A． B． C． D．
4.已知，如图，一牧童在A处牧马，牧童家在B处，A，B两处距河岸的距离AC，BD的长分别为700
米，500米，且CD的距离为500米，天黑前牧童从A点将马牵到河边去饮水后，再赶回家，那么牧
童最少要走（ ）米．
A． 1400 B． 1300 C． 1200 D． 1100
第4题 第5题
5.如图，某工厂计划在一条笔直的道路上新建两个储物点，两个储物点的距离固定，工作人员每天
进入大门后先到甲储物点取物品。然后沿道路到乙储物点取物品，最后到另一侧的车间，请画图说
明两个储物点设在何处，使工作人员所走的路程最短？
能力提升：6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝4，E是AB边的中点，F是AC边的中点，
则（1）EF＝ ；（2）若D是BC边上一动点，则△EFD的周长最小值是 ．
第6题 第7题
拓展迁移：
7. 在某一地方，有条小河和草地，一天某牧民的计划是从A处的牧场牵着一只马到草地牧马，再到
小河饮马，你能为他设计一条最短的路线吗？（在 N上任意一点即可牧马，M上任意一点即可饮
马．）（保留作图痕迹，需要证明）
课堂练习参考答案：1、C
2、D
3、A
4、D
5、解析：把甲点沿垂直方向平移至C，平移距离等于天桥的长度,连接C乙两点，交道路的另一边于
N,作MN垂直于道路。则MN就是天桥的位置。
6、找点P关于x轴的对称点 （0，-1），求直线 Q的解析式y=x-1,当Y=0,X=1,所以M(1,0)
7、解：（1）如图，DE为所作；
（2）①∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=（180°-∠A）=12×（180°-30°）=75°，
∵DE垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴∠DBA=∠A=30°，
∴∠DBC=∠ABC-∠DBA=75°-30°=45°；
②如图，∵DE垂直平分AB，
∴NA=NB，
∴BN+NM=AN+MN≥AM（当且仅当A、N、M共线时取等号），
∵当AM⊥BC时，AM的长度最小，
∵ AM•BC=12，
∴AM=6，
∴BN+NM的最小值为6
课外作业参考答案：
1、C
2、C
3、C4、B
5、解析：大门沿道路方向平移至点A，
平移距离等于两个储物点之间的距离，
连接A和车间两点，和道路相交的点
就是乙储物点。根据两储物点的距离
是固定的，再确定甲储物点的位置。
6、2；
7、解：沿AC－CD－DB路线走是最短的路线如图（1）所示
证明：在ON上任意取一点T，在OM上任意取一点R，连接FR、BR、RT、ET、AT，
∵A、E关于ON对称，
∴AC＝EC，
同理BD＝FD，FR＝BR，AT＝ET，
∴AC＋CD＋DB＝EC＋CD＋FD＝EF，
AT＋TR＋BR＝ET＋TR＋FR，
∵ET＋TR＋FR＞EF，
∴AC＋CD＋DB＜AT＋TR＋BR，
即沿AC－CD－DB路线走是最短的路线．
