文档内容
北师大版（2026）八年级数学下册第三章《图形的平移与旋转》
问题解决活动--最短距离教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 三
课题 问题解决活动--最短距离 课时 1
1、能利用图形的对称、平移等变换探索图形的性质，解决简单的最短距离问题；
课标 2、掌握两点之间线段最短等基本公理，并将其作为解决最短路径的理论依据；
要求 3、能识别并构建“将军饮马”模型，体会数学在解决实际问题中的运用价值，增强运用意
识。
本节课是典型的“综合与实践”活动，它不仅是已学知识（轴对称性质、线段公理、三角形三
边关系）的综合运用，也是为后续学习《一次函数》，《锐角三角函数》以及高中的解析几何
教材 奠定重要的模型基础。
分析
本节教材编排蕴含丰富的数学思想（转化与化归思想、建模思想、对称思想、数形结合思
想），是教学中的重中之重。
学生虽然对轴对称的基本作图已经很熟悉，但在解决最短路径问题时，往往存在以下困难：
学情
①想不到为什么要作对称点（或平移），找不到知识的连接点；②不会证为什么只有这样路径
分析
最短；③无法识别背后的“将军饮马”模型
1、能利用轴对称、平移、旋转的性质解决“两点在一条直线异侧”的最短路径问题。
核心 2、通过“将军饮马”模型的探究，体会“化折为直”的转化思想，经历将实际问题抽象为数
素养 学模型的过程。
目标
3、感受数学在生活中的应用价值，培养勇于探索、严谨求实的科学态度。
教学 构建模型、转化思想。
重点
教学 严谨的逻辑语音证明最短距离问题。
难点
教学
准备
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、温故 ”将军饮马“由来 了解“将军饮 温故知新，为新
相传亚历山大城有一位精通数学的学者海 马”的由来， 授奠基。
伦。某日，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一 并抽象为数学
个百思不得其解的问题。将军每天从军营 A出发，先 模型，转化为
到河边饮(yìn)马，然后再去河岸同侧的B地开会，应 两点之间线段
该怎样走才能使路程最短？从此，这个被称为'将军饮 最短。
马'的问题广泛流传。
抽象为数学模型：直线同侧有两个定点A、B,请在直
线上找一点C,使AC+BC值最小。如果点A、B在直线
的两侧，我们便可用两点之间线段最短，找到点C的
位置了。即连接AB交直线于点C。因此，构造点A关于直线l的对称点A’，连接A’B
交直线于点C，点C就找到了。（找对称点，本质上
是通过AC=A'C,把问题转化为求A'C+BC最小值）
二、活动 提出问题 1、小 组 活 活动过程按：提出
探究 如图3-32，居民区和工厂分别在一条城铁线路的南、 动：提出问 问题、理解问题、
北两侧，现要沿城铁线路修建一条地下通道，居民区 题、理解问 拟定计划、实施计
的居民经过地下通道去工厂上班，已知地下通道长 a 题、拟定计划 划，回顾反思这几
米，那么地下通道的两个出口应该设计在何处，才能 （相互补充完 个步骤进行，重点
使居民经过地下通道去工厂上班的线路最短？请画出 善）、实施计 是回顾反思阶段。
这条最短线路并说明理由（不考虑地面到地下通道地 划，回顾反思
面的高度） （畅所欲言，
发表自己的见
解）。
2、活动小结
最短距离问题
解决的关键是
什么？理论根
据是什么？
理解问题
上述问题可以抽象怎样的数学问题，试着写一写，画
一画。
C、D在什么位置，使AC+CD+DB最短？
拟定计划
（1）你以前遇到过类似的问题吗？（2）解决这个问题的最大困难时什么？
（3）地下通道将居民区到工厂的路从中间分成两段，
你能设法将居民区、通道或工厂“移动”位置，让前
后两段路连起来吗？
实施计划
（1）写出你的解决方案，
（2）说明方案的合理性。
（1）居民区点A沿城铁方向平移am到 ，连接
B交城铁线点C.
（2）作AD平行 C,交城铁线点D
理论根据：AD+DC+CB= C+CB+a= B+a
(两点之间线段最短）
回顾反思
将固定的一段线路平移，将问题转化成两点之间线段
最短的问题来解答；解决最短距离问题的关键是要善
于利用图形的变换，构造相关点的对称点、平移点、
旋转点，将复杂的图形转化成简单的图形，化“折”
为“直”，进而利用“两点之间线段最短”，“垂线
段最短”等进行解决
活动小结：
最短距离问题，关键是要善于利用图形的变换，构造
相关点的对称点、平移点、旋转点，将复杂的图形转
化成简单的图形，化“折”为“直”，进而利用“两
点之间线段最短”，“垂线段最短”等进行解决。
三、尝试 基础达标： 学生完成课堂 引导学生能够在课
1.如图，直线L是一条河，P，Q是两个村庄，欲在l 练习 堂练习的完成过程
上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如 中对要点知识加深
下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需 巩固，有效应用。
管道最短的是（ C ）2.如图，已知∠O，点P为其内一定点，分别在∠O的
两边上找点A、B，使ΔPAB周长最小的是( D )
3.如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，EF垂直平分BC，
点P为直线EF上的任一点，则AP+BP的最小值是（
A ）
A.4 B.5 C.6 D.7
4.A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥
MN，使从A到B的路径AMNB最短的是（假定河的两岸
是平行线，桥与河岸垂直）（ D ）
5.如图，某工厂甲、乙两个单位分别位于厂内一条封
闭的道路两旁，现计划修建一座天桥，要求天桥与道
路垂直，那么天桥建在何处才能使由甲到乙的路程最
短？解析：把甲点沿垂直方向平移至C，平移距离等于天
桥的长度,连接C乙两点，交道路的另一边于N,作MN
垂直于道路。则MN就是天桥的位置。
能力提升：
6. 已知点P（0，1），Q（5，4），点M在x轴上运
动，当MP+MQ的值最小时，点M的坐标为______ ．
解答提示：
找点P关于x轴的对
称点 （0，-1），
求直线 Q的解析式
y=x-1,当Y=0,X=1,所
以M(1,0)
拓展迁移
7. 如 图 ， 在 △ ABC
中，AB=AC．
（1）利用尺规作线段AB的垂直平分线DE，垂足为
E，交AC于点D；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，
①若∠A=30°，求∠DBC的度数；
②若△ABC的面积是12，BC=4，点M、N分别是BC、DE
上的动点，求BN+NM的最小值．
解：（1）如图，DE为所作；
（2）①∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=（180°-∠A）=12×（180°-30°）=75°，
∵DE垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴∠DBA=∠A=30°，
∴∠DBC=∠ABC-∠DBA=75°-30°=45°；
②如图，∵DE垂直平分AB，
∴NA=NB，
∴BN+NM=AN+MN≥AM（当且仅当A、N、M共线时取等
号），
∵当AM⊥BC时，AM的长度最小，
∵ AM•BC=12，
∴AM=6，
∴BN+NM的最小值为6
四、提升 最短距离问题 引导学生进行 引导学生从知识内
关键是要善于利用图形的变换，构造相关点的对称 课堂总结 容、研究方法以及
点、平移点、旋转点，将复杂的图形转化成简单的图 运用过程三个方面
形，化“折”为“直”，进而利用“两点之间线段最 总结自己的收获，
短”，“垂线段最短”等进行解决。 让学生全面把握本
节课的重点和难
点，并启发学生用
类比或迁移的方法
学习后续课程。
板书设计 最短距离问题 利用简洁的文字、
提出问题--理解问题--拟定计划--实施计划--回顾反思 符号、图表等呈现
理论根据： 本节课的新知，可
两点之间线段最短；三角形两边之和大于第三边；垂线段最短。 以帮助学生理解掌
握知识，形成完整
的知识体系。
作业设计 基础达标：
（课外练 1.如图，在平面直角坐标系中，点A（－2，4），B（4，2），在x轴上取一点P，使点P到
习） 点A和点B的距离之和最小，则点P的坐标是（ C ）
A．（－2，0） B．（4，0） C．（2，0） D．（0，0）
2．如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一
点，若AE＝2，当EF＋CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（ C ）．A．15° B．22．5° C．30° D．45°
第1题 第2题 第3题
3．如图，锐角三角形ABC中，∠C＝45°，N为BC上一点，NC＝5，BN＝2，M为边AC上的
一个动点，则BM＋MN的最小值是（ C ）．
A． B． C． D．
4.已知，如图，一牧童在A处牧马，牧童家在B处，A，B两处距河岸的距离AC，BD的长分
别为700米，500米，且CD的距离为500米，天黑前牧童从A点将马牵到河边去饮水后，再
赶回家，那么牧童最少要走（ B ）米．
A． 1400 B． 1300 C． 1200 D． 1100
第4题 第5题
5.如图，某工厂计划在一条笔直的道路上新建两个储物点，两个储物点的距离固定，工作
人员每天进入大门后先到甲储物点取物品。然后沿道路到乙储物点取物品，最后到另一侧
的车间，请画图说明两个储物点设在何处，使工作人员所走的路程最短？
解析：大门沿道路方向平移至点A，
平移距离等于两个储物点之间的距离，
连接A和车间两点，和道路相交的点
就是乙储物点。根据两储物点的距离
是固定的，再确定甲储物点的位置。
能力提升：
6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∠ABC＝60°，BC＝4，E是AB边的中点，F是AC边的中点，则（1）EF＝ 2 ；（2）若
D是BC边上一动点，则△EFD的周长最小值是 ．
第6题 第7题拓展迁移：
7. 在某一地方，有条小河和草地，一天某牧民的计划是从A处的牧场牵着一只马到草地
牧马，再到小河饮马，你能为他设计一条最短的路线吗？（在N上任意一点即可牧马，M上
任意一点即可饮马．）（保留作图痕迹，需要证明）
解：沿AC－CD－DB路线走是最短的路线如图（1）所示
证明：在ON上任意取一点T，在OM上任意取一 点
R，连接FR、BR、RT、ET、AT，
∵A、E关于ON对称，
∴AC＝EC，
同理BD＝FD，FR＝BR，AT＝ET，
∴AC＋CD＋DB＝EC＋CD＋FD＝EF，
AT＋TR＋BR＝ET＋TR＋FR，
∵ET＋TR＋FR＞EF，
∴AC＋CD＋DB＜AT＋TR＋BR，
即沿AC－CD－DB路线走是最短的路线．
教学反思
