文档内容
第五章 二元一次方程组
5.1认识二元一次方程组导学案
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学习目标与重难点
学习目标：
1、掌握利用二元一次方程组确定一次函数的表达式，理解作函数图像的方法与代数方法各自的特点。
2、进一步理解方程与函数的联系，体会知识之间的普遍联系和知识之间的相互转化。
3、通过对本节课的探究，在探究中培养学生的观察能力、识图能力以及语言表达能力。
学习重点：会用二元一次方程组确定一次函数表达式。
学习难点：进一步感悟方程与函数的联系，理解如何用二元一次方程组确定一次函数表达式。
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预习自测
一、知识链接
二元一次方程组与一次函数有何联系?
二、自学自测
1、已知一次函数的图象过点（3，5）与（0，2），求这个一次函数的解析式．
2、用图象法解方程组 2x+y=4
2x-3y=12
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教学过程
一、合作交流、新知探究
探究; 二元一次方程组与一次函数
已知A，B两地相距100千米，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀
速行驶，则他们各自到A地的距离S（千米）都是骑车时间t（时）的一次函数．1小时后乙距离A地80千米；2小时后甲距离A地30千米.问经过多长时间两人将相遇？
分析：
画线段图：
画表格分析：
时间 距离A的路程
甲
乙
小亮的解法：
可以分别作出两人s 与t 之间的关系图象，找 出交点的横坐标就行了
甲：t=0,s=0 ; t=2,s=30
乙：t=0,s=100; t=1,s=80
小明的解法：
他们各自到A地的距离S（千米）都是骑车时间t（时）的一次函数
甲的函数表达式为s=kt+b,经过（0,0）和（2,30）
表达式是y=15t
设乙的函数表达式为s=kt+b,经过（0,100）和（1,80）
表达式是y=100-20t
联立 y=15t
y=100-20t
解得
小颖的解法：
1小时后乙距A地 80千米,即乙车速度是（20km/h)
2小时后甲距A地30千米,即甲车速度是（15km/h)
设同时出发后t小时相遇，
等量关系式：甲车行驶路程+乙车行驶路程=AB两地相隔距离
20t+15t=100 解得
比较三位同学的解法
小亮-----用图像求解；
小明-----一次函数求解；
代数法
小颖---- 一元一次方程。
【强调】用作图象的方法可以直观地获得问题的结果，但有时却难以准确，为了获得准确的结果，
我们一般用代数方法三、典例精析
例1、某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携带一定质量的行李，但超过该质量则需购买行李票，
且行李费y（元）是行李质量x(千克)的一次函数.现知李明带了60千克的行李，交了行李费5元，张
华带了90千克的行李，交了行李费10元．
(1)写出y与x之间的函数表达式；
(2)旅客最多可免费携带多少千克的行李？
解：（1）设此一次函数表达式为： y=kx+b
根据题意，可得方程组 .
解得k= b=
∴y=
(2)：当y=0 时, x=
所以旅客最多可免费携带 千克的行李．
例题2.在弹性限度内，弹簧的长度 y(cm)是所挂物体质量x(kg)的一次函数，当所挂物体的质量为
1kg时，弹簧长15cm;当所挂物体的质量为3kg时，弹簧长16cm.写出y与x之间的关系式，并求当
所挂物体的质量为4kg时弹簧的长度
解：（1）设此一次函数表达式为： y=kx+b
根据题意，可得方程组
解得
∴y= .
(2)当x=4 时
y= .
答：所挂物体的质量为4kg时弹簧的长度是 cm
探究小结：
一待定系数法
像这样，先设出函数表达式，再根据所给条件确定表达式中未知的系数，从而得到函数表达式的方
法,叫做待定系数法
二待定系数法求一次函数表达式的一般步骤：
1.设出一次函数的表达式：y=kx+b
2.将已知条件代入上述表达式中，得k，b的二元一次方程组.
3.解这个二元一次方程组得k，b.
4.写出一次函数的表达式.
三、课堂练习、巩固提高
基础达标：
x+y=2
2x+2y=31. 若方程组 没有解，由此一次函数y=2-x 与y=1.5-x 的图像必定（ ）
A. 重合 B. 平行 C. 相交 D. 无法判断
2.以方程2x+y=14 的解为坐标的点组成的图象是一条直线，这条直线对应的一次函数表达式为(
)
A. y=2x+14 B. y=2x-14 C. y=-2x+14 D. y=-x+7
3．已知直线y＝kx＋b过点(－1，3)和点B(1，1)，则k，b的值为( )
A．k＝1，b＝2 B．k＝－1，b＝2
C．k＝1，b＝－2 D．k＝－1，b＝－2
4.如图，函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P，关于x，y的方程组 y - a x = b 的解是（ ）
kx -y=0
A. x=-2 B. x=-3
y=-3 y=2
5.如图，一次函数图象经过点A，且与正比例函数y=-x的图象交于点B，则该一次函数的表达式为(
)
A.y=−x+2 B. y=x+2 C. y=x−2 D. y=−x−2
第4题 第5题
6.已知函数y=2x+b的图象经过点（a，7）和（-2，a），求这个函数的表达式。
7．已知y－3与x－1成正比例，当x＝3时，y＝7，那么y与x的函数关系式是 .
能力提升：
8．老李与老张两人骑摩托车分别从A，B两地同时出发相向而行，图中L1、L2分别表示两辆摩托车
与A地的距离s(千米)与行驶时间t(小时)之间的函数关系．
(1)甲、乙两辆摩托车的速度差为
(2)经过h两车相距6 km.拓展迁移
9．甲、乙两地相距300 km，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地．如图所示，线段 OA表
示货车离甲地的距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系，折线BCDE表示轿车离甲地的距离y(km)与
时间x(h)之间的函数关系，根据图象，解答下列问题：
(1)线段CD表示轿车在途中停留了 h；
(2)求线段DE对应的函数表达式；
(3)求轿车从甲地出发后经过多长时间追上货车？
10、如图，甲、乙两人在同一直道上骑行，其中甲骑摩托车，乙骑自行车，图中L1，L2分别表示甲、
乙两人骑行过程中，与甲的出发点的距离y(km)和甲的骑行时间x(h)之间的关系．
(1)求L1，L2对应的函数表达式；
(2)当乙开始骑行时，求甲、乙之间的距离；
(3)求甲追上乙所用的时间四、总结反思、拓展升华
一 待定系数法概念：
像这样，先设出函数表达式，再根据所给条件确定表达式中未知的系数，从而得到函数表达式的方
法,叫做待定系数法
二 待定系数法求一次函数表达式的一般步骤：
1.设出一次函数的表达式：y=kx+b
2.将已知条件代入上述表达式中，得k，b的二元一次方程组.
3.解这个二元一次方程组得k，b.
4.写出一次函数的表达式.
五、【作业布置】
基础达标：
1．已知直线y＝kx＋b过点(－1，3)和点B(1，1)，则k，b的值为( )
A．k＝1，b＝2 B．k＝－1，b＝2 C．k＝1，b＝-2 D．k＝－1，b＝－2
2．一次函数y＝kx＋b满足x＝3时，y＝0；x＝－2时，y＝10，则一次函数的表达式为( )
A．y＝2x＋6 B．y＝－2x＋6 C．y＝－2x－6 D．y－2x＝6
3．若点(5，－18)、点(－7，6)、点(a，12)在一条直线上，则a的值为( )
A．－16 B．－12 C．－10 D．－8
4、某航空公司规定旅客可随身携带一定质量的行李，若超过规定质量，则须购买行李票．已知行李
票费用是行李质量的一次函数；行李质量60 kg行李票费用6元，行李质量80 kg行李票费用10元．
旅客最多可免费携带行李的质量是( )
A．10 kg B．20 kg C．30 kg D．40 kg
5、为响应“节约用水”的号召，市自来水公司决定采取月用水量分段收费办法，某户居民应交水费
y(元)与用水量x(吨)的函数关系如图所示．
若该用户本月用水21吨，则应交水费( )
A．52.5元 B．45元 C．42元 D．37.8元
6、如图，弹簧的长度与所挂物体的质量关系为一次函数，关系式是 ： .
由图可知，不挂物体时，弹簧的长度为 .
7、某公司销售人员的个人月收入y(元)与其每月的销售量x(千件)之间的关系如图所示，则销售人
员的销售量3千件时的月收入是 元第5题 第6题 第7题
能力提升：
8．如图，已知一次函数y＝kx＋3的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，与一次函数
y＝ x－2的图象相交于点C，已知点C的纵坐标为1，下 列结论：
①关于x的方程kx＋8＝0的解为x＝18；
②过点AD的直线为y＝ x－2；
③四边形BOEC的面积为 ；
kx-y+3=0
x=4.5
2x-3y-2=0
y=1
④方程组的 的解为 ，
其中正确的有 ．(填正确的序号)
拓展迁移：
9、某市实施“农业立市，工业强市，旅游兴市”计划后，2013年全市荔枝种植面积为24万亩．调
查分析结果显示：从2013年开始，该市荔枝种植面积y(万亩)随着时间x(年)逐年成直线上升，y与
x之间的函数关系如图所示．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)该市2016年荔枝种植面积为多少万亩？
10、周末，小明骑自行车从家里出发到野外郊游．从家出发0.5小时后到达甲地，游玩一段时间后
按原速前往乙地．小明离家1小时20分钟后，妈妈驾 车沿相同路线
前往乙地，如图是他们离家的路程y(km)与小明离家时 间x(h)的函数图
象．已知妈妈驾车的速度是小明骑车速度的3倍．(1)求小明骑车的速度和在甲地游玩的时间；
(2)小明从家出发多少小时后被妈妈追上？
此时离家多远？
(3)若妈妈比小明早10分钟到达乙地，求从
家到乙地的路程．
课堂练习参考答案：
1、B
2、C
3、B
4、D
5、B,解答提示：先写出A、B的坐标，然后用待定系数法求一次函数的表达式式。
6、解：将（a，7）和（-2，a）代入y=2x+b
7 = 2a + b
a = -4 + b
a=1
解得
b=5
所以该函数的表达式为：y = 2x + 5
7、【解析】解:设正比例函数的表达式是y-3=k(x-1)
把x=3,y=7代入y-3=k(x-1)，即7-3=k(3-1)
求出k=2,
把k=2代入y-3=k(x-1)，得到y-3=2(x-1)
化简得:y=2x+1
8、（1）解：老李0.6小时行24千米，速度是24÷0.6=40（千米/时）
老张0.5小时行24千米，
速度是24÷0.5=48（千米/时）
速度差：48-40=8千米/小时；
（2）解：设x小时两车相距6千米
相遇前相距6千米。得40x+48x+6=24, x=
相遇后相距6千米。得40x+48x-6=24, x=
所以经过 小时或 小时相距6千米
9、【解析】：（1）0.5
（2）线段DE经过（2.5，80）和（4.5，300）
用待定系数法求出线段DE的表达式，注意DE是线
段，所以自变量X的取值范围是2.5≤x≤4.5)
答案是y＝110x－195(2.5≤x≤4.5)
（3）：求出OA的解析式，再和DE的解析式联立成二元一次方程组，解得：x＝3.9，这时间是货车
出发时间，轿车不货车晚1小时出发。故轿车出发时间是3.9－1＝2.9(小时)．
10、
解：（1）设L1对应的函数表达式为y＝kx(k≠0)．
把(6，180)代入，可得180＝6k，解得k＝30，
所以L1对应的函数表达式为y＝30x(x≥0)．
设L2对应的函数表达式为y＝mx＋n(m≠0)．
把(2，100)，(10，180)代入，
100=2m+n
可得
180=10m+n
m=10
解得：
n=80
所以L2对应的函数表达式为y＝10x＋80(x≥2)．
(2）：在y＝30x中，当x＝2时，y＝30×2＝60，
∴100－60＝40(km)．
所以当乙开始骑行时，甲、乙之间距离40Km,
（3）：解方程组 y=30x
y=10x+80
x=4
解得：
y=120
∴甲追上乙所用的时间为4 h．
课外作业参考答案：1、B
2、B
3、C
4、C
5、C
6、Y=0.5x+10; 10cm
7、1400
8、解：（1）直线 y＝ x－2 ，经过点C的纵坐标为1,则C( ,1),代入y＝kx＋3
k=- ，方程kx＋8＝0即- x+8=0 ,x=18,故选项①正确；
（2）求出A( ，0） D(0,-2)用系数法求出AD的解析式是y= x-2,故②正确；
（3）B(0,3),C( ,1),E（3，0） 连接OC,四边形BOEC的面积等于三角形BOC的面积+三角形
OCE的面积= 故③正确；
kx-y+3=0 x=3.3
（4）由于K=- ，代入方程组 解得 故④不正确
2x-3y-2=0 y=
所以正确的有①②③ .
9、答案：(1)y与x之间的关系式为y＝x－1 989；
(2)27(万亩)
10、解：(1)小明骑车速度：100÷5＝20(km/h).在甲地游玩的时间是1－0.5＝0.5(h)．
（2)妈妈驾车速度：20×3＝60(km/h)
设直线BC解析式为y＝20x＋b，把点B(1，10)代入得b＝－10.
∴y＝20x－10 .
设直线DE解析式为y＝60x＋c，把点D( ，0)，代入得c＝－80，
∴y＝60x－80，
∴ y＝20x－10，
y＝60x－80， 解得x＝1.75，y＝25.
∴交点F(1.75，25)．
答：小明出发1.75小时(105分钟)被妈妈追上，此时离家25 km.
(3)：设从妈妈追上小明的地点到乙地的路程为n(km)，
由题意得：n÷20－n÷60＝10÷60
∴n＝5.
∴从家到乙地的路程为5＋25＝30(km)．
