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北师大版（2024）第五章《二元一次方程组》5.4用二元一次方程组确定一次函数表达式教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 五
课题 用二元一次方程组确定一次函数表达式 课时 1
用二元一次方程组确定一次函数表达式（待定系数法）不仅仅是让学生掌握一种解题技巧，更
课标 重要的是通过它来深化对函数概念的理解，培养模型思想、转化思想和应用意识。
要求
《用二元一次方程组确定一次函数表达式》是北师大版八年级（上）第五章《二元一次方
程组》第4节，本节内容安排了1个学时完成.主要是通过对作图像方法与代数方法的比较，
教材 探索利用二元一次方程组确定一次函数的表达式.这一内容是上一课时内容的自然发展，上一
分析 课时探索了函数与方程之间的关系，并获得了方程组的图像解法，本节课研究利用二元一次方
程组确定一次函数的表达式，这样更为全面地理解函数与方程、图形与代数表达式之间的关
系，从而发展学生数形结合的意识。
学生已经熟练掌握了二元一次方程组的解法，同时在学习了确定一次函数的表达式的基本方
学情 法，在上一节课又学习了二元一次方程组的图像解法，这些知识为本节课的学习作好了很好的
分析 铺垫.由于上节课的惯性，学生易在图像法上停留，因为图像法很直观，容易接受，因此本节
课对代数方法的渗透应有一个循序渐进的过程.
1、掌握利用二元一次方程组确定一次函数的表达式，理解作函数图像的方法与代数方法各自
核心 的特点。
素养
2、进一步理解方程与函数的联系，体会知识之间的普遍联系和知识之间的相互转化。
目标
3、通过对本节课的探究，在探究中培养学生的观察能力、识图能力以及语言表达能力。
教学 会用二元一次方程组确定一次函数表达式。
重点
教学 进一步感悟方程与函数的联系，理解如何用二元一次方程组确定一次函数表达式。
难点
教学 课件
准备
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、知识 1、已知一次函数的图象过点（3，5）与（0，2），求 1、独立完成 回顾旧知，引起学
回顾 这个一次函数的解析式． 求解析式。 生的注意，激发学
解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b. 生的学习兴趣和求
2、用图像解
把点（3，5）与（0，2）分别代入，得： 3k+b=5 方程组。 知欲望，
b=2
理解方程组与
一次函数之间
解方程组得 K=1
的关系
b=2
∴这个一次函数的解析式为y=x+2
2、用图象法解方程组
2x+y=4
2x-3y=12
x
解：由①得y=-2x+4
由②得y= x-4
作出图象：
观察图象得：交点(3,-2)
o y
∴方程组的解为
x=3
y=2
y=-2x
+4二元一次方程组与一次函数有何联系?
二元一次方程组的解是它们对应的两个一次函数图象
的交点坐标； 反之，两个一次函数图象的交点坐标
也是它们所对应的二元一次方程组的解．
方程问题 函数问题
转化
三、探究 探究;二元一次方程组与一次函数 根据情景分析 设计三种方法解决
新知 已知A，B两地相距100千米，甲、乙两人骑车同时 题中的已知条 问题。通过“图像
分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行 件和所求问 法求出的结果准确
题。分析讨论 吗?”讨论，自然
驶，则他们各自到A地的距离S（千米）都是骑车时
三种解法的优 过渡到本节课的主
间 t（时）的一次函数．1 小时后乙距离 A 地 80 千
点和缺陷。 要内容，揭示课
米；2小时后甲距离A地30千米.问经过多长时间两人
题，体现教学意
将相遇？
图。
分析：
甲 乙
A B
时间 距离A的路程
甲 2 30
乙 1 80
小亮的解法：
可以分别作出两人 s 与 t
之间的关系图象，找 出
交点的横坐标就行了
甲：t=0,s=0 ; t=2,s=30
乙：t=0,s=100; t=1,s=80
小明的解法：
他们各自到 A 地的距离
S（千米）都是骑车时间t（时）的一次函数
甲的函数表达式为s=kt+b,经过（0,0）和（2,30）
表达式是y=15t
设乙的函数表达式为s=kt+b,经过（0,100）和（1,80）
表达式是y=100-20t
联立
y=15t
y=100-20t
解得
小颖的解法：
1小时后乙距A地 80千米,即乙车速度是（20km/h)
2小时后甲距A地30千米,即甲车速度是（15km/h)设同时出发后t小时相遇，
等量关系式：甲车行驶路程+乙车行驶路程=AB两地
相隔距离
20t+15t=100 解得
比较三位同学的解法
小亮-----用图像求解；
小明-----一次函数求解；
小颖---- 一元一次方程。 代数法
用用用作作作图图图象象象的的的方方方法法法可可可以以以直直直观观观地地地获获获得得得问问问题题题的的的结结结果果果，，，但但但有有有时时时
却难以准确，为了获得准确的结果，我们一般用代数
方法.
三、典例 例1、某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携带一 学生用待定系 通过两个例题的探
精析 定质量的行李，但超过该质量则需购买行李票，且行 数法求出一次 索，让学生掌握利
李费y（元）是行李质量x(千克)的一次函数.现知李明 函数的表达式 用二元一次方程组
带了60千克的行李，交了行李费5元，张华带了90 并归纳待定系 确定一次函数的表
千克的行李，交了行李费10元． 数法的方法和 达式的方法--待定
步骤。 系数法的方法和步
(1)写出y与x之间的函数表达式；
骤。
(2)旅客最多可免费携带多少千克的行李？
解：（1）设此一次函数表达式为： y=kx+b
根据题意，可得方程组
5=60k+b
10=90k+b
解得k= b=-5
∴y= x-5
(2)当y=0 时
x-5=0
x=30
所以旅客最多可免费携带30千克的行李．
例题2.在弹性限度内，弹簧的长度 y(cm)是所挂物体
质量x(kg)的一次函数，当所挂物体的质量为1kg时，
弹簧长 15cm;当所挂物体的质量为 3kg 时，弹簧长
16cm.写出y与x之间的关系式，并求当所挂物体的质
量为4kg时弹簧的长度
解：（1）设此一次函数表达式为： y=kx+b
根据题意，可得方程组
15=k+b
16=3k+b
解得 k = 0 .5
b=14.5
∴y=0.5x-5
(2)当x=4 时y=0.5x+14.5
=0.5×4+14.5
=16.5
答：所挂物体的质量为4kg时弹簧的长度是16.5cm
探究小结：
一待定系数法
像这样，先设出函数表达式，再根据所给条件确定表
达式中未知的系数，从而得到函数表达式的方法,叫做
待定系数法
二待定系数法求一次函数表达式的一般步骤：
1.设出一次函数的表达式：y=kx+b
2.将已知条件代入上述表达式中，得k，b的二元一次
方程组.
3.解这个二元一次方程组得k，b.
4.写出一次函数的表达式.
五、尝试 基础达标： 学生完成课堂 引导学生能够在课
1. 若方程组 x + y= 2 没有解，由此一次函数y=2- 作业。 堂练习的完成过程
2x+2y=3
x 与y=1.5-x 的图像必定（ B ） 中对要点知识加深
A. 重合 B. 平行 C. 相交 D. 无法判断 巩固，有效应用。
2.以方程2x+y=14 的解为坐标的点组成的图象是一条
直线，这条直线对应的一次函数表达式为( C )
A. y=2x+14 B. y=2x-14 C. y=-2x+14 D. y=-x+7
3．已知直线y＝kx＋b过点(－1，3)和点B(1，1)，则
k，b的值为( B )
A．k＝1，b＝2 B．k＝－1，b＝2
C．k＝1，b＝－2 D．k＝－1，b＝－2
4.如图，函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P，关于
x，y的方程组 y - a x = b 的解是（ D ）
kx -y=0
A. x=-2 B. x=-3
y=-3 y=2
C, x=3 D x=-3
y=-2 y=-2
5.如如图图，，一一次次函函数数图图象象经经过过
点A，且与正比例函数y=-x的图象交于点B，则该一
次函数的表达式为( B )
A.y=−x+2 B. y=x+2
C. y=x−2 D. y=−x−2
解答提示：先写出A、B的坐
标，然后用待定系数法求一次
函数的表达式式。
6.已知函数y=2x+b的图象经过点（a，7）和（-2，a），求这个函数的表达式。
解：将（a，7）和（-2，a）代入y=2x+b
7 = 2a + b
a = -4 + b
解得 a=1
b=5
所所以以该该函函数数的的表表达达式式为为：：y = 2x + 5
7．已知y－3与x－1成正比例，当x＝3时，y＝7，
那么y与x的函数关系式是 .
【解析】解:设正比例函数的表达式是y-3=k(x-1)
把x=3,y=7代入y-3=k(x-1)，即7-3=k(3-1)
求出k=2,
把k=2代入y-3=k(x-1)，得到y-3=2(x-1)
化简得:y=2x+1
能力提升：
8．老李与老张两人骑摩托车分别从A，B两地同时出
发相向而行，图中L1、L2分别表示两辆摩托车与A地
的距离s(千米)与行驶时间t(小时)之间的函数关系．
(1)甲、乙两辆摩托车的速度差为
老李0.6小时行24千米，
速度是24÷0.6=40（千米/时）
老张0.5小时行24千米，
速度是24÷0.5=48（千米/时）
速度差：48-40=8千米/小时；
(2)经过h两车相距6 km.
解：设x小时两车相距6千米
相遇前相距6千米。得40x+48x+6=24, x=
相遇后相距6千米。得40x+48x-6=24, x=
所以经过 小时或 小时相距6千米
拓展迁移
9．甲、乙两地相距300 km，一辆货车和一辆轿车先
后从甲地出发驶向乙地．如图所示，线段OA表示货车
离甲地的距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系，折
线BCDE表示轿车离甲地的距离y(km)与时间x(h)之间
的函数关系，根据图象，解答下列问题：(1)线段CD表示轿车在途中停留了 0. 5 h；
(2)求线段DE对应的函数表达式；
(3)求轿车从甲地出发后经过多长时间追上货车？
【解析】：（2）线段DE经过（2.5，80）和（4.5，
300）
用待定系数法求出线段DE的表达式，注意DE是线
段，所以自变量X的取值范围是2.5≤x≤4.5)
答案是y＝110x－195(2.5≤x≤4.5)
（3）：求出OA的解析式，再和DE的解析式联立成二
元一次方程组，解得：x＝3.9，这时间是货车出发时
间，轿车不货车晚1小时出发。故轿车出发时间是3.9
－1＝2.9(小时)．
10、如图，甲、乙两人在同一直道上骑行，其中甲骑
摩托车，乙骑自行车，图中L1，L2分别表示甲、乙两
人骑行过程中，与甲的出发点的距离 y(km)和甲的骑
行时间x(h)之间的关系．
(1)求L1，L2对应的函数表达式；
(2)当乙开始骑行时，求甲、乙之间的距离；
(3)求甲追上乙所用的时间
解：（1）设L1对应的函数表达式为y＝kx(k≠0)．
把(6，180)代入，可得180＝6k，解得k＝30，
所以L1对应的函数表达式为y＝30x(x≥0)．
设L2对应的函数表达式为y＝mx＋n(m≠0)．
把(2，100)，(10，180)代入，
可得 100=2m+n
180=10m+n
m=10
n=80解得：
所以L2对应的函数表达式为y＝10x＋80(x≥2)．
(2）：在y＝30x中，当x＝2时，y＝30×2＝60，
∴100－60＝40(km)．
所以当乙开始骑行时，甲、乙之间距离40Km,
（3）：解方程组
y=30x
y=10x+80
解得： x=4
y=120
∴甲追上乙所用的时间为4 h．
六、提升 一待定系数法 引导学生课堂 引导学生从知识内
像这样，先设出函数表达式，再根据所给条件确定表 总结 容、研究方法以及
达式中未知的系数，从而得到函数表达式的方法,叫做 运用过程三个方面
待定系数法 总结自己的收获，
二待定系数法求一次函数表达式的一般步骤： 让学生全面把握本
1.设出一次函数的表达式：y=kx+b 节课的重点和难
2.将已知条件代入上述表达式中，得k，b的二元一次 点，并启发学生用
类比或迁移的方法
方程组.
学习后续课程。
3.解这个二元一次方程组得k，b.
4.写出一次函数的表达式.
板书设计 待定系数法求一次函数表达式的一般步骤： 利用简洁的文字、
1.用含字母的系数设出一次函数的表达式：y=kx+b 符号、图表等呈现
2.将已知条件代入上述表达式中，得k，b的二元一次方程组. 本节课的新知，可
3.求这个二元一次方程组得k，b. 以帮助学生理解掌
4.写出一次函数的表达式. 握知识，形成完整
的知识体系。
作业设计 基础达标：
（课外练 1．已知直线y＝kx＋b过点(－1，3)和点B(1，1)，则k，b的值为( B )
习） A．k＝1，b＝2 B．k＝－1，b＝2 C．k＝1，b＝-2 D．k＝－1，b＝－2
2．一次函数y＝kx＋b满足x＝3时，y＝0；x＝－2时，y＝10，则一次函数的表达式为(
B )
A．y＝2x＋6 B．y＝－2x＋6 C．y＝－2x－6 D．y－2x＝6
3．若点(5，－18)、点(－7，6)、点(a，12)在一条直线上，则a的值为( C )
A．－16 B．－12 C．－10 D．－8
4、某航空公司规定旅客可随身携带一定质量的行李，若超过规定质量，则须购买行李票．
已知行李票费用是行李质量的一次函数；行李质量60 kg行李票费用6元，行李质量80 kg
行李票费用10元．旅客最多可免费携带行李的质量是( C )
A．10 kg B．20 kg C．30 kg D．40 kg
5、为响应“节约用水”的号召，市自来水公司决定采取月用水量分段收费办法，某户居民
应交水费y(元)与用水量x(吨)的函数关系如图所示．
若该用户本月用水21吨，则应交水费( C )A．52.5元 B．45元 C．42元 D．37.8元
y = 0.5x + 10
6、如图，弹簧的长度与所挂物体的质量关系为一次函数，关系式是 ：
.
由图可知，不挂物体时，弹簧的长度为 10c m .
7、某公司销售人员的个人月收入y(元)与其每月的销售量x(千件)之间的关系如图所示，
则销售人员的销售量3千件时的月收入是 140 0 元
第5题 第6题 第7题
能力提升：
8．如图，已知一次函数y＝kx＋3的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，与一次函数
y＝ x－2的图象相交于点C，已知点C的纵坐标为1，下列结论：
①关于x的方程kx＋8＝0的解为x＝18；
②过点AD的直线为y＝ x－2；
③四边形BOEC的面积为 ；
kx-y+3=0
x=4.5
④方程组的 2 x - 3 y - 2 = 0 的解为 y = 1 ，
其中正确的有 ．(填正确的序号)
解：（1）直线 y＝ x－2 ，经过点C的纵坐标为1,则C(
,1),代入y＝kx＋3
k=- ，方程kx＋8＝0即- x+8=0 ,x=18,故选项①正确；
（2）求出A( ，0） D(0,-2)用系数法求出AD的解析式是y= x-2,故②正确；
（3）B(0,3),C( ,1),E（3，0） 连接OC,四边形BOEC的面积等于三角形BOC的面积
+三角形OCE的面积= 故③正确；
（4）由于K=- ，代入方程组 解得 故④不正确
kx-y+3=0 x=3.3
所以正确的有①②③ .
2x-3y-2=0 y=
拓展迁移：
9、某市实施“农业立市，工业强市，旅游兴市”计划后，2013年全市荔枝种植面积为24
万亩．调查分析结果显示：从2013年开始，该市荔枝种植面积y(万亩)随着时间x(年)逐年
成直线上升，y与x之间的函数关系如图所示．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)该市2016年荔枝种植面积为多少万亩？
答案：(1)y与x之间的关系式为y＝x－1 989；
(2)27(万亩)10、周末，小明骑自行车从家里出发到野外郊游．从家出发0.5小时后到达甲地，游玩一
段时间后按原速前往乙地．小明离家1小时20分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地，如
图是他们离家的路程y(km)与小明离家时间x(h)的函
数图象．已知妈妈驾车的速度是小明骑车速度的3
倍．
(1)求小明骑车的速度和在甲地游玩的时间；
(2)小明从家出发多少小时后被妈妈追上？
此时离家多远？
(3)若妈妈比小明早10分钟到达乙地，求从
家到乙地的路程．
解：(1)小明骑车速度：100÷5＝20(km/h).在甲地游玩的时间是1－0.5＝0.5(h)．
（2)妈妈驾车速度：20×3＝60(km/h)
设直线BC解析式为y＝20x＋b，把点B(1，10)代入得b＝－10.
∴y＝20x－10 .
设直线DE解析式为y＝60x＋c，把点D( ，0)，代入得c＝－80，
∴y＝60x－80，
∴ y＝20x－10，
y＝60x－80， 解得x＝1.75，y＝25.
∴交点F(1.75，25)．
答：小明出发1.75小时(105分钟)被妈妈追上，此时离家25 km.
(3)：设从妈妈追上小明的地点到乙地的路程为n(km)，
由题意得：n÷20－n÷60＝10÷60
∴n＝5.
∴从家到乙地的路程为5＋25＝30(km)．
教学反思
